2022-2023学年北京市房山区高二上学期诊断性评价数学试题(解析版).pdf

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1、第 1 页 共 11 页 2022-2023 学年北京市房山区高二上学期诊断性评价数学试题 一、单选题 1椭圆2251162xy的焦距是（）A6 B8 C10 D12【答案】A【分析】根据椭圆方程直接求解即可.【详解】由2251162xy得：225169c，解得：3c，焦距为26c.故选：A.2直线23yk x经过定点（）A2,3 B2,3 C2,3 D2,3 【答案】D【分析】令20 x 求解.【详解】解：令20 x，得2x，此时=3y，所以直线23yk x经过定点2,3，故选：D 3已知以点 A(2，3)为圆心，半径长等于 5 的圆 O，则点 M(5，7)与圆 O的位置关系是()A在圆内

2、B在圆上 C在圆外 D无法判断【答案】B【详解】因为22345AMr,所以点M在圆上，选 B.4“0mn”是“方程221xymn表示的曲线为双曲线”的（）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件【答案】C【分析】根据双曲线的方程以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可.【详解】当0mn，则0m且0n 或0m 且0n，此时方程221xymn表示的曲线一定为双曲线；则充分性成立；第 2 页 共 11 页 若方程221xymn表示的曲线为双曲线，则0mn，则必要性成立，故选：C.5已知椭圆22184xy的左右焦点分别为12,F F，点 A在椭圆上，点 B 在1F A的延

3、长线上，且2ABAF，则点 B 的轨迹是（）A两条平行线 B双曲线 C椭圆 D圆【答案】D【分析】结合椭圆和圆的定义求得正确答案.【详解】根据椭圆的定义可知1224 2AFAFa，由于2ABAF，所以14 2AFAB，即14 2BF，所以B点的轨迹是以1F为圆心，半径为4 2的圆.故选：D 6直线310axy 与直线2()103axy 垂直，则a的值是 A1 或13 B1 或13 C13或1 D13或 1【答案】D【详解】因为直线310axy 与直线2()103axy 垂直，所以21310,133a aa 故选 D.7过抛物线 y28x 的焦点，作倾斜角为 45的直线，则被抛物线截得的弦长为(

4、)A8 B16 C32 D64【答案】B【分析】求出抛物线的焦点为 F（2，0），直线的斜率 k=tan45=1，从而得到直线的方程为 y=x2 直线方程与抛物线方程联解消去 y 得 x212x+4=0，利用根与系数的关系可得 x1+x2=12，再根据抛物线的定义加以计算，即可得到直线被抛物线截得的弦长【详解】抛物线方程为 y2=8x，2p=8，2p=2，抛物线的焦点是 F（2，0）直线的倾斜角为 45，直线斜率为 k=tan45=1 可得直线方程为：y=1（x2），即 y=x2 设直线交抛物线于点 A（x1，y1），B（x2，y2），第 3 页 共 11 页 联解228yxyx，消去 y 得

5、 x212x+4=0，x1+x2=12，根据抛物线的定义，可得|AF|=x1+2p=x1+2，|BF|=x2+2p=x2+2，|AB|=x1+x2+4=12+4=16，即直线被抛物线截得的弦长为 16 故选 B【点睛】本题给出经过抛物线的焦点的直线倾斜角为 45，求直线被抛物线截得的弦长着重考查了抛物线的定义与标准方程、一元二次方程根与系数的关系、直线与圆锥曲线的位置关系等知识，属于中档题 8过定点3,1P作圆22(1)1xy的切线则切线的方程为（）A4390 xy B4330 xy C4390 xy或1y D4330 xy或1y 【答案】C【分析】根据圆心到直线的距离等于半径求得切线方程，【

6、详解】依题意可知，切线的斜率存在，设切线方程为13yk x，即1 30kxyk，圆22(1)1xy的圆心为1,0，半径为1，所以20 1 311kkk ，解得0k 或43k，所以切线方程为1y 或41403xy，即1y 或4390 xy.故选：C 9已知双曲线C过点3,2且渐近线为33yx，则下列结论正确的是（）第 4 页 共 11 页 A双曲线C的方程为2213xy B双曲线C的离心率为3 C曲线22 0 xxy 经过双曲线C的一个焦点 D直线210 xy 与双曲线C有两个不同交点【答案】A【分析】根据待定系数法求得双曲线方程，进而逐项求解判断即可.【详解】由题意设双曲线方程为22(0)3x

7、ym m，将点3,2代入223xym解得1m，所以双曲线方程为2213xy，A 正确；因为23a，21b，所以2224cab，22 333cea，B 错误；因为双曲线的焦点坐标为(2 0)，代入22 0 xxy 均不满足，C 错误；联立2221013xyxy 得22 220yy，22 24 1 20 ，所以直线210 xy 与双曲线C仅有一个交点，D 错误；故选：A 10已知12FF，是双曲线222210,0 xyabab的左、右焦点，若在右支上存在点 A，使得点2F到直线1AF的距离为3a，则双曲线离心率 e的范围是（）A51,2 B71,2 C5,2 D7,2【答案】D【分析】设1,0Fc

8、，2,0F c，其中222cab，设直线1AF方程为yk xc，其中利用点2F到直线1AF的距离为3a，得到k关于ac，表达式，再利用222bka可得答案.【详解】设1,0Fc，2,0F c，其中222cab，设直线1AF方程为yk xc，则0bka.因点2F到直线1AF的距离为3a，则 第 5 页 共 11 页 2222222222222243334331431kcc kaaacakakkcak 则22222222222222237470443abcackccaecaaaa，则72e.故选：D 二、填空题 11直线3yx的倾斜角是_【答案】14【分析】根据斜率和倾斜角的对应关系确定正确答案.

9、【详解】直线3yx的斜率为1，倾斜角范围是0,），所以倾斜角为14.故答案为：14 12抛物线2yx的准线方程为_【答案】14x 【详解】抛物线2yx的准线方程为14x ；故填14x .13圆22:40P xyx的圆心到直线:20l xy的距离是_【答案】2 2【分析】将圆的一般方程化为标准方程，找出圆心，再利用点到直线的距离公式求解即可.【详解】由圆22:40P xyx有圆的标准方程为：2224xy，所以圆心为2,0P，则P到直线:20l xy的距离为：222022 211d，故答案为：2 2.14已知双曲线 M满足以下条件：离心率为 2；焦点在坐标轴上；对称轴是坐标轴则满足第 6 页 共

10、11 页 上述条件的双曲线 M 的一个方程是_【答案】2213yx（答案不唯一）【分析】根据条件写出一个双曲线方程即可.【详解】由双曲线2213yx 中1,3,2abc，故离心率为 2，且焦点在 x 轴上，曲线关于坐标轴对称，所以双曲线2213yx 满足题设.故答案为：2213yx（答案不唯一）15已知点1,3A 是圆228:0C xyxay上一点，给出下列结论：6a；圆 C的圆心为4,3；圆 C 的半径为 25；点 1,1也是圆 C上一点 其中正确结论的序号是_【答案】【分析】利用a点坐标求得a，进而确定正确答案.【详解】由于点1,3A 是圆228:0C xyxay上一点，所以19830,6

11、aa，正确，圆的方程为22860 xyxy，即224325xy，故圆心为4,3，半径为5，正确，错误.22141 325，所以点 1,1也是圆 C 上一点，正确.故答案为：三、双空题 16已知椭圆22122:10 xyCabab的左、右焦点分别为12,F F，离心率为1e，椭圆1C的上顶点为M 且120MF MF 双曲线2C和椭圆1C有相同焦点，且双曲线2C的离心率为2e，P为曲线1C与2C的一个公共点，若123FPF则1e _，2e _【答案】22 62【分析】根据120MF MF可得bc，2ac，由此可得1e；假设P在第一象限，由1212122PFPFaPFPFa第 7 页 共 11 页

12、求出11|PFaa，21|PFaa，根据余弦定理得cos3222121212|2|PFPFFFPFPF，将11|PFaa，21|PFaa代入可得2212234aacc，再根据离心率公式可求出结果.【详解】在椭圆1C中，因为上顶点为M且120MF MF，所以1290F MF，所以bc，所以222abcc，所以122cea.设双曲线方程为2222111xyab11(0,0)ab，假设点P在第一象限，则由1212122PFPFaPFPFa得11|PFaa，21|PFaa，在12PFF中，由余弦定理得cos3222121212|2|PFPFFFPFPF，所以22211114122()()aaaacaa

13、aa，整理得222134aac，得2212234aacc，所以2221314ee，所以2213412e，解得262e.故答案为：22；62.四、解答题 17已知ABC的边 AC，AB上的高所在直线方程分别为2310,0 xyxy 顶点1,2A(1)求顶点 C 的坐标；(2)求 BC边所在的直线方程【答案】(1)7,7C(2)2370 xy 【分析】（1）根据ABC的边 AC的高所在直线方程为2310 xy 和顶点1,2A，得到直线 AC的方程，与ABC的边 AB 上的高所在直线方程联立求解；（2）利用（1）的方法，再求得顶点 B 的坐标，然后利用两点式写出直线 AB所在的直线方程.第 8 页

14、共 11 页【详解】（1）解：因为ABC的边 AC的高所在直线方程为2310 xy，所以32ACk 又顶点1,2A，所以直线 AC 的方程为3212yx，即3270 xy，又ABC的边 AB上的高所在直线方程为0 xy，由32700 xyxy，解得77xy，所以顶点7,7C；（2）由 ABC的边 AB 上的高所在直线方程为0 xy，得1ABk又顶点1,2A，所以直线 AB 的方程为21yx，即10 xy，又ABC的边 AC的高所在直线方程分别为2310 xy，由231010 xyxy ，解得21xy ，所以顶点2,1B；所以 BC 边所在的直线方程7172yyxx，即2370 xy 18已知圆

15、22:68210C xyxy，点1,0,1,0ABP 是圆 C上的任意一点(1)求圆 C的圆心坐标与半径大小；(2)求22PAPB的最大值与最小值【答案】(1)圆心为(3,4)，半径2r (2)最大值、最小值分别为 16、8.【分析】（1）写出圆 C 的标准方程，即可确定圆心和半径；（2）设(,)P x y，则有22222()2xPAPBy，问题转化为求22xy的范围，即圆C上点(,)P x y到原点 O 距离平方的范围，即可得结果.【详解】（1）由题设22:(3)(4)4Cxy，故圆心为3,4C，半径2r；（2）令(,)P x y，则22222222(1)(1)2()2xyxxPAPyyB，

16、而22xy为圆C上点(,)P x y到原点 O距离的平方，第 9 页 共 11 页 所以，只需确定22xy的范围，即可确定22PAPB的最值，因为22|,|3,7xyOCr OCr，故228,16PAPB，所以22PAPB的最大值、最小值分别为 16、8.19圆过点 A(1，2)，B(1，4)，求：（1）周长最小的圆的方程；（2）圆心在直线 2xy40 上的圆的方程【答案】（1）x2(y1)210；（2）(x3)2(y2)220.【分析】（1）根据当 AB为直径时，过 A，B 的圆的半径最小进行求解即可；（2）根据垂径定理，通过解方程组求出圆心坐标，进而可以求出圆的方程.【详解】解：（1）当

17、AB 为直径时，过 A，B的圆的半径最小，从而周长最小，即 AB中点(0，1)为圆心，半径 r12|AB|10.故圆的方程为 x2(y1)210；（2）由于 AB 的斜率为 k3，则 AB 的垂直平分线的斜率为13，AB 的垂直平分线的方程是 y113x，即 x3y30.由330,240,xyxy解得3,2,xy 即圆心坐标是 C(3，2)又 r|AC|22(3 1)(22)25.所以圆的方程是(x3)2(y2)220.20已知抛物线 C 的顶点在原点，对称轴是 y 轴，焦点 F在 y轴正半轴，直线 l与抛物线 C 交于 A，B 两点，线段 AB的中点 M 的纵坐标为 2，且6AFBF(1)求

18、抛物线 C的标准方程；(2)若直线 l经过焦点 F，求直线 l的方程【答案】(1)24xy(2)212yx 【分析】（1）首先根据中点坐标，得124yy，再根据焦半径公式求p，即可求抛物线方程；（2）首先设直线l的方程1ykx，与抛物线方程联立，利用韦达定理求k，即可求抛物线方程.第 10 页 共 11 页【详解】（1）设抛物线方程220 xpy p，11,A x y，22,B xy，由条件可知，124yy，124622ppAFBFyyp，得2p，所以抛物线 C 的标准方程是24xy；（2）由（1）可知，直线l的斜率存在，且焦点0,1F，设直线:1l ykx，联立214ykxxy，得22421

19、0yky 212424yyk，得22k ，所以直线 l的方程是212yx.21已知椭圆2222:10 xyCabab过点0,1A离心率为22，右焦点为F过F的直线l与椭圆C交于A，B两点，点M的坐标为2,0(1)求椭圆C的方程；(2)设O为坐标原点证明：OMAOMB 【答案】(1)2212xy；(2)证明见解析.【分析】（1）根据由题意，列关于,a b c的方程组求解，即可得椭圆的方程；（2）讨论直线l与x轴重合以及垂直的情况可得OMAOMB，然后讨论直线l与x轴不重合也不垂直的情况，设直线方程，联立方程组，写出韦达定理，表示出直线MA和直线MB的斜率之和，从而代入韦达定理计算，可得0MAMB

20、kk，从而得直线MA和直线MB的倾斜角互补，即可证明OMAOMB.【详解】（1）由题意，列式得222122bcaabc，解得211abc，所以椭圆C的方程为2212xy.（2）当直线l与x轴重合时，0OMAOMB，当直线l与x轴垂直时，直线OM为AB的垂直平分线，所以OMAOMB.第 11 页 共 11 页 当直线l与x轴不重合也不垂直时，由题意，1,0F，设直线l的方程为10yk xk，11,A x y，22,B xy，则22121xyyk x，得2222214220kxk xk.所以22121222422,2121kkxxx xkk，由题意，直线MA和直线MB的斜率之和为 1221121212222222MAMByxyxyykkxxxx 122112121212222342222kxkxkxkxkx xk xxkxxxx，代入韦达定理得，33312122441284234021kkkkkkx xk xxkk，所以0MAMBkk，故直线MA和直线MB的倾斜角互补，所以OMAOMB.综上，OMAOMB 得证.【点睛】思路点睛：（1）解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系；（2）涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形