2022-2023学年河南省洛阳市第二中学高一上学期期末数学试题(解析版).pdf

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1、第 1 页 共 16 页 2022-2023 学年河南省洛阳市第二中学高一上学期期末数学试题 一、单选题 1集合21,20,1UR Ax xxBx yx，则图中阴影部分所表示的集合是（）A12xx B 12xx C 12xx D 12xx【答案】C【分析】先将集合化简，阴影部分表示AAB，然后求解即可.【详解】因为21,20,1UR Ax xxBx yx，得12Axx，1Bx x，图中阴影部分表示AAB,所以得12AABxx 故选：C 2已知Zk，则“函数()sin(2)f xx为偶函数”是“22k”的（）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件【答案】B【分析】

2、充分性判断：利用偶函数的性质，结合和差角正弦公式求；必要性判断：应用诱导公式化简()f x并判断奇偶性，最后由充分、必要性定义确定题设条件间的关系.【详解】当()sin(2)f xx为偶函数时sin(2)sin(2)xx，则2sin 2 cos0 x恒成立，即2k，Zk；当2,Z2kk时，()sin(2)cos22f xxx为偶函数；综上，“函数()sin(2)f xx为偶函数”是“22k”的必要不充分条件.故选：B 3已知:12px，2:21qaxa，若 p 是 q 的必要条件，则实数 a 的取值范围是（）A1a B112a C112a D112a【答案】D 第 2 页 共 16 页【解析】

3、由p是q的必要条件，列不等式组，可得实数 a 的取值范围【详解】由p是q的必要条件，可得21221aa，解得112a 故选：D.4已知集合|22,42kkkZ则角 的终边落在阴影处(包括边界)的区域是（）A B C D【答案】B【分析】令0k，由此判断出正确选项.【详解】令0k，则42，故 B 选项符合.故选：B【点睛】本小题主要考查用图像表示角的范围，考查终边相同的角的概念，属于基础题.5在流行病学中，每名感染者平均可传染的人数叫做基本传染数，当基本传染数高于 1 时，每个感染者平均会感染 1 个以上的人，从而导致感染者人数急剧增长当基本传染数低于 1 时，疫情才可能逐渐消散而广泛接种疫苗是

4、降低基本传染数的有效途径，假设某种传染病的基本传染数为0R，1 个感染者平均会接触到 N个新人（0NR），这 N人中有 V 个人接种过疫苗（VN为接种率），那么1 个感染者可传染的平均新感染人数0()RNVN已知某病毒在某地的基本传染数03log(9 3)R，为了使 1 个感染者可传染的平均新感染人数不超过 1，则该地疫苗的接种率至少为（）A90%B80%C70%D60%【答案】D 第 3 页 共 16 页【分析】根据已知条件可得出关于VN的不等式，解之即可得出结果.【详解】因为035log9 32R，由题意5112VN，解得35VN，故选：D 6已知实数 a，b，c 满足不等式01abc，且

5、2aM，5bN，17cP，则 M、N、P的大小关系为（）AMNP BPMN CNPM DPNM【答案】A【分析】结合指数函数特征易知1,2M，771ccP，画出5,7xxyy的图象，由,bc的相对位置可比较,N P大小，进而得解.【详解】因为01abc，所以1,22aM，771ccP，画出5,7xxyy的图象，如图，则0cb ，由图可知1PN，故MNP.故选：A 7 若31,2，记cossincoslog,logcos,1logtanxyz，则,x y z的大小关系正确的是（）Axyz Bzxy Cxzy Dyxz【答案】C【分析】由题意可得0cossin1,tan1，然后利用对数函数的单调性

6、比较大小【详解】因为31,2，所以0cossin1,tan1，所以coscosloglog10 x，第 4 页 共 16 页 sinsinlogcoslogsin1y，coscoscos1logtanlog(costan)logsinz，因为0cossin1，所以coscoscoslogcoslogsinlog1，所以cos1logsin0，即01z，综上，xzy，故选：C 8 已知 f x是定义在1,1上的奇函数，且 11f，当,1,1a b且0ab时 0f af bab.已知,2 2 ，若 243sin2cosf x对1,1x 恒成立，则的取值范围是（）A,6 2 B,23 C,3 2 D

7、,2 6 【答案】A【解析】由奇偶性分析条件可得 f x在1,1上单调递增，所以 max1f x，进而得2143sin2cos，结合角的范围解不等式即可得解.【详解】因为 f x是定义在1,1上的奇函数，所以当,1,1a b且0ab时 00()f af bf afbabab，根据,a b的任意性，即,ab的任意性可判断 f x在1,1上单调递增，所以 max(1)(1)1f xff，若 243sin2cosf x对1,1x 恒成立，则2143sin2cos，整理得(sin1)(2sin1)0，所以1sin2，由,2 2 ，可得,6 2 ，故选：A.【点睛】关键点点睛，本题解题的关键是利用 00

8、()f af bf afbabab，结合变量的任意性，可判断函数的单调性，属于中档题.二、多选题 9下列既是存在量词命题又是真命题的是（）第 5 页 共 16 页 AZx，220 xx B至少有个xZ，使x能同时被3和5整除 CRx，20 x D每个平行四边形都是中心对称图形【答案】AB【分析】AB 选项，可举出实例；C 选项，根据所有实数的平方非负，得到 C 为假命题；D 选项为全称量词命题，不合要求.【详解】A中，当=1x时，满足220 xx，所以 A 是真命题;B 中，15能同时被3和5整除，所以 B 是真命题;C 中，因为所有实数的平方非负，即20 x，所以 C 是假命题;D 是全称量

9、词命题，所以不符合题意.故选：AB 10水车在古代是进行灌溉的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征.如图，一个半径为 6 米的水车逆时针匀速转动，水轮圆心O距离水面 3 米，已知水轮每分钟转动1 圈，如果当水轮上一点 P 从水中浮现时(图中点0P)开始计时，经过 t 秒后，水车旋转到P点，则下列说法正确的是（）A在转动一圈内，点P的高度在水面 3 米以上的持续时间为 30 秒 B当0,15t时，点 P 距水面的最大距离为 6 米 C当10t 秒时，06PP D若P第二次到达最高点大约需要时间为 80 秒【答案】ACD【分析】由题意可知1 26030，再设角(0)2是以

10、Ox为始边，0OP为终边的角，可求得高度与时间的关系，进而根据三角函数图象性质进行判断.第 6 页 共 16 页【详解】由题意可知1 26030，设角(0)2是以Ox为始边，0OP为终边的角，由条件得高度6sin()3(0)302yt，当0t时，0y，代入得6，故6sin()3306yt，令3y，解得5603560,ktk kN，故在转动一圈内，点P的高度在水面 3 米以上的持续时间为 30 秒，即 A 选项正确；当0,15t时，,3066 3t ，当3063t时，15t 时，max6sin33 333y点 P 距水面的最大距离为3 33米，B 选项错误；当10t 时，水车旋转10303，即0

11、3POP，故06PP，C 选项正确；6sin()3306yt，当3062t，即2060,tk kN，故第二次到达最高点的时间为2060 180t ，故 D 选项正确.故选：ACD 11已知正数 a，b 满足22abab，则下列说法一定正确的是（）A24ab B4ab C8ab D2248ab【答案】AD【分析】由基本不等式判断 AD，取1,2ba判断 BC.【详解】由题意可知1112ba，1122(2)2422abababbaba（当且仅当22ab时取等号），故 A 正确；取1,2ba，则3,2abab，故 BC 错误；因为222 2ababab，所以2ab（当且仅当22ab时取等号），则22

12、448abab（当且仅当22ab时取等号），故 D 正确；第 7 页 共 16 页 故选：AD 12已知正实数 x，y，z满足236xyz，则（）A111xyz B236xyz C236xyz D24xyz【答案】ACD【分析】令236xyzt则1t，可得：2logxt，6logzt，进而结合对数运算与换底公式判断各选项即可得答案.；【详解】解：令236xyzt，则1t，可得：2logxt，3logyt，6logzt，对于选项 A：因为231111lg2lg31lg61lg2lg3log 6logloglglglglgtxyttttttz，所以111xyz，故选项 A 正确；对于选项 B，因为

13、1t，故lg0t，所以232lg3lg2log3loglg2lg323tttxty23lglg3lg2lg2 lg3t9lg lg80lg2 lg3t，即23xy；3663lglg3lglg62lg33lg6lg9363log6log0lg3lg6lg3 lg6lg3 lg6ttttyztt，即36yz，故 B 选项错误.对于选项 C：loglglgattaaa，因为02lg 23lg36lg 6，所以1112lg23lg36lg6，因为lg0t，所以lglglg2lg23lg36lg6ttt，即362logloglog236ttt，即236xyz，故选项 C 正确；对于选项 D：223lgl

14、glglogloglg2 lg3lg2 lg3tttxytt，222262lg444 log4lglg6lg6tztt，因为22lg6lg2lg30lg2 lg324，因为lg2lg3所以等号不成立，所以214lg2 lg3lg6，即222lg4lglg2 lg3lg6tt，所以24xyz，根据“或”命题的性质可知选项 D 正确.故选：ACD 三、填空题 第 8 页 共 16 页 13已知函数2,0()31,0 xxf xxx，则(2)(2)ff的值为_【答案】3【分析】由分段函数的定义计算，注意自变量的取值范围【详解】(2)3(2)17f ，2(2)24f，(2)(2)743ff 故答案为：

15、3 14如图 1 是某小区的圆形公园，它外围有一圆形跑道，并有 4 个出口 A、B、C、D（视为点），并四等分圆弧（如图 2）.小明从 A点出发，在圆形跑道上按逆时针方向作匀速圆周跑动，假设他每分钟转过圆心角为弧度（0），3 分钟第一次到达劣弧 CD之间（不包括 C、D点），15 分钟时回到出发点 A，则的值为_.【答案】25【分析】首先求出的大致范围，再根据 15 分钟时回到出发点 A，得到152,kkN，即可得解；【详解】解：依题意 A 点 3 分钟转过3，且332，所以32，又 15 分钟时回到出发点A，所以152,kkN，所以2,15kkN，因为32，所以25 故答案为：25 15函数

16、212log23yxx的单调递减区间是_【答案】1,1#(1,1)【详解】2212log23,230,13yxxxxx，设223txx，对称轴1x，112，12logyt 递减，223txx 在1,1上递增，根据复合函数的单调性判断：函数 212log23yxx的调减区间为1,1，故答案为1,1.【方法点睛】本题主要考查对数函数的性质、复合函数的单调性，属于中档题.复合函数的单调性的第 9 页 共 16 页 判断可以综合考查两个函数的单调性，因此也是命题的热点，判断复合函数单调性要注意把握两点：一是要同时考虑两个函数的的定义域；二是同时考虑两个函数的单调性，正确理解“同增异减”的含义（增增 增

17、，减减 增，增减 减，减增 减）.16定义在R上的奇函数()f x，当0 x 时，2,0,1),()113,1,),xxf xxxx则函数1()()F xf x的所有零点之和为_【答案】112【详解】由图知，共五个零点，从左到右交点横坐标依次为12345,xxx xx，满足1234516,612xxxxx，因此所有零点之和为112 四、解答题 17已知集合2111xAxx，2220Bxxmxm(1)当1m 时，求AB；(2)xA是xB的必要条件，求m的取值范围【答案】(1)112ABxx(2)24m 【分析】（1）当1m 时，求出集合A、B，利用交集的定义可求得集合AB；（2）分析可知BA，对

18、2m、1的大小关系进行分类讨论，根据BA检验或得出关于实数m的不等式，综合可求得实数m的取值范围.【详解】（1）解：由2111xx可得2121011xxxx，解得2 1x，即21Axx，第 10 页 共 16 页 当1m 时，2121012Bxxxxx，此时，112ABxx.（2）解：由题意可知BA，且210Bxxmx，当12m时，即当2m 时，12mBxx，不满足BA，不符合题意；当12m时，即2m 时，B，符合题意；当12m时，则12mBxx，由BA，得212m ，解得24m.综上，24m 18计算下列各式：(1)3041(52)94 5852；(2)23948(lg 2)lg 2 lg

19、50lg 25(log2log 2)(log3log 3)【答案】(1)19(2)134 【分析】（1）、利用指数幂的运算性质求解即可；（2）、利用对数的运算性质求解.【详解】（1）4203423152(52)94 58=1522 2 58525252 52 15216=19.（2）23948(lg 2)lg 2 lg 50lg 25(log2log 2)(log3log 3)23232111(lg2)lg2 lg5 12lg5log 2log 2log 3log 3223 23235(lg2)lg2lg5lg22lg5log 2log 326 5lg2 lg2lg5+lg22lg54 52l

20、g22lg54 134 第 11 页 共 16 页 19命题p：“1,2x，20 xxa”，命题q：“Rx，2320 xxa”.(1)写出命题p的否定命题p，并求当命题p为真时，实数a的取值范围；(2)若p和q中有且只有一个是真命题，求实数a的取值范围【答案】(1)2a (2)2a 或14a 【分析】（1）根据全称命题的否定形式写出p，当命题p为真时，可转化为2min()0 xxa，当 1,2x，利用二次函数的性质求解即可；（2）由（1）可得p为真命题时a的取值范围，再求解q为真命题时a的取值范围，分p真和q假，p假和q真两种情况讨论，求解即可【详解】（1）由题意，命题p：“1,2x，20 x

21、xa”，根据全称命题的否定形式，p：“1,2x，20 xxa”当命题p为真时，2min()0 xxa，当 1,2x 二次函数2yxxa为开口向上的二次函数，对称轴为12x 故当1x 时，函数取得最小值，即2min()20 xxaa 故实数a的取值范围是2a （2）由（1）若p为真命题2a，若p为假命题2a 若命题q：“Rx，2320 xxa”为真命题 则94(2)0a，解得14a 故若q为假命题14a 由题意，p和q中有且只有一个是真命题，当p真和q假时，2a 且14a ，故14a ；当p假和q真时，2a 且14a ，故2a；综上：实数a的取值范围是2a 或14a 20已知函数()yf x的定

22、义域为 R，且对任意 a，bR，都有()()()f abf af b，且当0 x 时，()0f x 恒成立.第 12 页 共 16 页(1)证明函数()yf x是奇函数；(2)证明函数()yf x是 R 上的减函数；(3)若2(2)()0f xf x，求 x的取值范围.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)1x x 或2x 【分析】（1）利用特殊值求出(0)0f，从而证明()()fxf x 即可；（2）证明出121222()()()()f xf xfxxxf x12()f xx，再利用当0 x 时，()0f x 恒成立即可得解；（3）利用函数的单调性和奇偶性进行证明即可得解.【详解】（

23、1）证明：由()()()f abf af b，令0ab可得(0)(0)(0)fff，解得(0)0f，令,ax bx可得()()()f xxf xfx，即()()(0)f xfxf，而(0)0f，()()fxf x，而函数()yf x的定义域为 R，故函数()yf x是奇函数（2）证明：设12xx，且1Rx，2xR，则120 xx，而()()()f abf af b 121222()()()()f xf xfxxxf x 1222()()()f xxf xf x 12()f xx，又当0 x 时，()0f x 恒成立，即12()0f xx，12()()f xf x，函数()yf x是 R 上的减

24、函数；（3）(方法一）由2(2)()0f xf x，得2(2)()f xf x，又()yf x是奇函数，即2(2)()f xfx，第 13 页 共 16 页 又()yf x在 R 上是减函数，22xx 解得1x 或2.x 故 x的取值范围是1x x 或2x .(方法二)由2(2)()0f xf x且(0)0f，得2(2)(0)f xxf，又()yf x在 R 上是减函数，220 xx，解得1x 或2.x 故 x的取值范围是 1x x 或2x .21 如图，一个半圆和长方形组成的木块，长方形的边CD为半圆的直径，O为半圆的圆心，2AB，1AD，现要将此木块锯出一个等腰三角形EFG，其底边EFAB

25、，点E在半圆上.（1）设6EOC，求三角形木块EFG面积；（2）设EOC，试用表示三角形木块EFG的面积S，并求S的最大值.【答案】（1）EFG63 3S8；（2）1 sincossincos2S,EFG的面积最大值为32 24【分析】（1）构造垂线，将EF、GH的长度进行转化，EF的长度即为EMMF的值，GH的长度即为DOOM的值，从而求解出EFGS；（2）根据第（1）问的转化方法，同理可以得出EFGS的表达式，然后将sincos看成整体进行换元，进而将面积函数转化为熟悉的二次函数，从而求解出最值.【详解】解：（1）过点G作GHEF交EF于点H，设EF交CD于点M，第 14 页 共 16 页

26、 所以31 1?cos162GHDMDOOM ,31 1?sin62EFEMMF，所以1132363 322228EFGSEFGH；（2）因为半圆和长方形组成的铁皮具有对称性，所以可只分析0,2时的情况，1 1?cos1 cosGHDMDOOM ，1 1?sin1 sinEFEMMF ，所以11(1cos)(1sin)22EFGSEFGH 1 sincossincos2，令sincost，0,2，故21sincos2t，sincos2sin()4t，0,2 3,444，2sin(),142，1,2t，221121224EFGttttS，函数2214tty在1,2单调递增，所以当2t 时，EFG

27、的面积最大，最大值为32 24.【点睛】本题考查了三角函数在实际问题中的应用，考查了三角函数的值域问题，三角函数中第 15 页 共 16 页 sincos与sincos的联系等等，考查了学生综合应用能力.22已知点 11,A x f x，22,B xf x是函数 2sin0,02f xx图象上的任意两点，且角的终边经过点1,3P，若 124f xf x时，12xx的最小值为3(1)求函数 fx的解析式；(2)求函数 fx的对称中心及在0,上的减区间；(3)若方程 230f xf xm 在4,99x内有两个不相同的解，求实数m的取值范围【答案】(1)2sin 33fxx；(2)对称中心,039k

28、kZ；减区间：5111818，17,18；(3)112m 或100m.【分析】（1）根据函数图象性质可得参数值及函数解析式；（2）由（1）函数解析式，利用整体法求函数的对称中心及单调区间；（3）设 tf x，将方程转化为函数23ytt与ym 公共点问题.【详解】（1）解：角的终边经过点1,3P，tan3,02,3,由 124f xf x时，12xx的最小值为3，得23T，即223，3,2sin 33fxx，（2）解：令 2sin 303fxx，即3,3xkkZ，即,39kxkZ，所以函数 fx的对称中心为,039kkZ，令3232,232kxkkZ，得25211,318318kkxkZ，又因为0,x，所以 fx在0,上的减区间为5111818，17,18 第 16 页 共 16 页（3）解：4,99x，30,3x，0sin 313x，设 f xt，问题等价于方程230ttm 在0,2仅有一根或有两个相等的根 23mtt，0,2t，作出曲线2:3C ytt，0,2t与直线:l ym 的图象 16t 时，112y ；0t时，0y；2t 时，10y 当112m 或010m时，直线l与曲线C有且只有一个公共点 m的取值范围是：112m 或100m