2022-2023学年湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学高二上学期12月月考数学试题(解析版).pdf

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1、第 1 页 共 33 页 2022-2023 学年湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学高二上学期12 月月考数学试题 一、单选题 1如图，在平行六面体1111ABCDABC D中，M是11AC与11B D的交点，若AB a=，ADb，1AAc，且MBxaybzc，则xyz等于（）A1 B12 C0 D1【答案】D【分析】以,a b c为一组基底可表示出MB，从而求得,x y z的值，进而得到结果.【详解】1111111111222MBMBB BD BAADBAAABADAA111112222ABADAAabc，12x，12y ，1z ，1xyz .故选：D.2已知向量2,1,3,1,3,2,1

2、,1abct 共面，则实数t的值是（）A1 B1 C2 D2【答案】C【分析】根据空间共面向量定理，结合已知向量的坐标，待定系数，求解即可.【详解】因为,a b c共面，所以存在,x yR，使得cxayb，整理得 1,12,3,32txy xyxy，解得1,1,2xyt.故选：C.3已知ABC的三个顶点分别为5,3,2A，1,1,3B，1,3,5C ，则BC边上的中线长为（）第 2 页 共 33 页 A2 6 B3 6 C3 5 D2 5【答案】B【分析】求得BC的中点坐标，利用两点间的距离公式即可求得答案.【详解】由题意5,3,2A，1,1,3B，1,3,5C ，可得BC的中点坐标为0,2,

3、4D，所以BC边上的中线长为2225032243 6AD，故选：B.4 已知椭圆C：2212xy的左、右焦点分别为1F，2F，过2F的直线l交椭圆 C于 A，B两点，若1ABF的内切圆的周长为4 59，则直线l的方程是（）A1133yx或1133yx B33yx或33yx C1122yx或1122yx D22yx或22yx【答案】D【分析】由1ABF内切圆的周长可以求出内切圆的半径，结合椭圆定义，可以求出1ABF的面积，设直线l的方程为1xmy，与椭圆方程联立，可以将1ABF的面积以m表示，以1ABF面积建立方程，即可解出m，求出直线l的方程.【详解】设1ABF内切圆的圆心为M，半径为r，则周

4、长4 529r，2 59r，111ABFMABMAFMBFSSSS 11111222AB rAF rBF r 1112ABAFBFr 由椭圆的定义知，1144 2ABAFBFa，第 3 页 共 33 页 1ABFS1112ABAFBFr12 54 104 2299，由已知，11,0F，21,0F，易知直线l的斜率不为0，设直线l的方程为：1xmy，22121xyxmy，消去x，化简，得，222210mymy，222442880mmm，设11,A x y，22,B xy，则12222myym，122102y ym，11 21 21211221122ABFAF FBF FSSSFFyFFy 121

5、212FFyy 212121242yyy y 22224422mmm 222 224 1029mm，解得214m，12m ，直线l的方程为：112xy，即22yx或22yx.故选：D.【点睛】本题解题关键在1ABF的面积，以两种形式将三角形1ABF表示出来，即可求出直线方程.5已知抛物线2:2(0)C ypx p的焦点为 F，点 M在抛物线 C的准线 l上，线段MF与 y 轴交于点A，与抛物线 C交于点 B，若|3|3MAAB，则p（）A1 B2 C3 D4【答案】C【分析】由题知点 A 为MF的中点，结合已知得|6,|2,|4MFBFBM，过点 B 作BQl，由抛物线的定义即可求解.【详解】

6、设 l与 x 轴的交点为 H，由 O 为FH中点，知点 A 为MF的中点，第 4 页 共 33 页 因为|3|3MAAB，所以|6,|2,|4MFBFBM 过点 B作BQl，垂足为 Q，则由抛物线的定义可知|2BQBF，所以|2|BMBQ，则|2|6MFFH，所以|3pFH 故选：C 6已知F为抛物线2yx的焦点，点,A B C在抛物线上，F为ABC的重心，则AFBFCF（）A12 B1 C32 D2【答案】C【分析】由抛物线方程确定焦点F坐标，根据抛物线焦半径公式和重心的坐标表示可直接求得结果.【详解】由抛物线方程知：1,04F；设11,A x y，22,B xy，33,C x y，则123

7、12311134444AFBFCFxxxxxx；F为ABC的重心，123134xxx，则12334xxx，333442AFBFCF.故选：C.7已知直线:40l xy上动点P，过点P向圆221xy引切线，则切线长的最小值是（）A7 B6 C2 21 D2 2【答案】A【分析】根据切线长，半径以及圆心到点P的距离的关系，求得圆心到直线的距离，再求切线长距离的最小值即可.【详解】圆221xy，其圆心为0,0O，半径1r，则O到直线l的距离42 22d；设切线长为m，则22211mOPOP，若m最小，则OP取得最小值，显然最小值为2 2d，第 5 页 共 33 页 故m的最小值为218 17d ，即

8、切线长的最小值为7.故选：A.8在正三角形ABC中，M为BC中点，P为三角形内一动点，且满足2PAPM，则PAPB最小值为（）A1 B64 C22 D32【答案】D【分析】以M为坐标原点建立平面直角坐标系，设ABC边长为2，由向量坐标运算可表示出P点轨迹，利用两点间距离公式可得222244132132PAPMPBPBxy；当12x 时，可求得2PAPB；当12x 时，令3212ytx，根据t的几何意义，利用直线与圆的位置关系可求得t的范围，进而得到最小值；综合两种情况可得结果.【详解】以M为坐标原点，,MC MA正方向为,x y轴，可建立如图所示平面直角坐标系，不妨设正三角形ABC的边长为2，

9、则0,3A，0,0M，1,0B，设,P x y，则2223PAxy，222PMxy，2PAPM，224PAPM，2222344xyxy，即222 3103xyy；P点轨迹为：2234033xyy，第 6 页 共 33 页 22222222222222444442121211112 313xyxyPAPMxxPBPBxyxxyxyy4132132xy；当12x 时，224PAPB，2PAPB；当12x 时，令3212ytx，则t表示,P x y与13,22连线的斜率，设直线3122yk x与圆223433xy相切，则圆心到直线距离25 332 3344kdk，解得：3 313k 或3k，3 3,

10、3,13t ，则当3 313t 时，22PAPB取得最小值34，min32PAPB；综上所述：PAPB最小值为32.故选：D.二、多选题 9已知圆M：2222xy，直线l：20 xy，点P在直线l上运动，直线PA，PB分别与圆M相切于点,A B.则下列说法正确的是（）A四边形PAMB的面积的最小值为2 3 BPA最小时，弦AB长为5 CPA最小时，弦AB所在直线方程为10 xy D直线AB过定点3 1,2 2【答案】AD【分析】利用12222PAMSSPA rPA 和等面积法判断AB；设11,A x y，22,B xy，00(,)P xy，第 7 页 共 33 页 利用两条切线方程联立得到直线

11、AB关于00(,)P xy的方程，求出PA最小时P点坐标代入即可判断 C；由含参直线方程过定点的求法计算 D 即可.【详解】由圆的方程知：圆心2,0M，半径2r，对于 AB，四边形PAMB的面积12222PAMSSPA rPA，则当PA最小时，四边形PAMB的面积最小，点M到直线l的距离2022 22d，所以22min6PAdr，此时min2 3S，A 正确；又111222PAMSPA rPMAB，所以此时62612 22AB，B 错误；对于 C，设11,A x y，22,B xy，00(,)P xy，则过A作圆的切线，切线方程为：11222xxy y，过B作圆的切线，切线方程为：22222x

12、xy y，又P为两切线交点，所以10102020(2)(2)2(2)(2)2xxy yxxy y，则,A B两点坐标满足方程：00222xxy y，即AB方程为：00222xxy y；当PA最小时，PMl，所以直线PM方程为：2yx，由220yxxy得02xy，即0,2P，所以AB方程为：2222xy，即10 xy，C 错误 对于 D，由 C 知：AB方程为：00222xxy y；第 8 页 共 33 页 又0020 xy，即002yx，所以AB方程可整理为：022220 xyxxy，由202220 xyxy得3212xy，所以AB过定点3 1,2 2，D 正确.故选：AD 10已知正方体11

13、11ABCDABC D，棱长为 1，,E F分别为棱1,AB CC的中点，则（）A直线1AD与直线EF共面 B1AEAF C直线1AE与直线BF的所成角为60 D三棱锥1CADF的体积为112【答案】BD【分析】如图，以D为原点，以1,DA DC DD所在直线分别为,x y z建立空间直角坐标系，对于 A，利用面面平行性质结合平行公理分析判断，对于 B，通过计算1AE AF进行判断，对于 C，利用向量的夹角公式求解，对于 D，利用11CADFA C DFVV求解.【详解】如图，以D为原点，以1,DA DC DD所在直线分别为,x y z建立空间直角坐标系，则(0,0,0),(1,0,0),(1

14、,1,0),(0,1,0)DABC，1111(0,0,1),(1,0,1),(1,1,1),(0,1,1)DABC，111,0,0,1,22EF，对于 A，假设直线1AD与直线EF共面，因为平面11ABB A平面11DCC D，平面1AEFD平面11ABB AAE，平面11DCC D平面111ABB AD F，第 9 页 共 33 页 所以AE1D F，因为AE11C D，所以11C D1D F，矛盾，所以直线1AD与直线EF不共面，所以 A 错误；对于 B，因为11101,1,1,22AEAF，所以1110022AE AF，所以1AEAF，所以1AEAF，所以 B 正确，对于 C，设直线1A

15、E与直线BF的所成角为，因为11101,1,0,22AEBF，所以1111212coscos,52111144AE BFAE BFAE BF，所以60，所以 C 错误，对于 D，因为AD 平面11DCC D，所以111111111 1332212CADFA C DFC DFVVSAD ，所以 D 正确，故选：BD.11如图，正方体1111ABCDABC D的棱长为 2，E是1DD的中点，则（）A11BCBD B点 E 到直线1BC的距离为3 2 C直线1B E与平面11BC C所成的角的正弦值为23 D点1C到平面1BCE的距离为23【答案】AC【分析】以点A为原点，建立空间直角坐标系，利用向

16、量法逐一判断分析各个选项即可.【详解】如图以点A为原点，建立空间直角坐标系，则1112,0,0,2,2,0,0,2,1,2,0,2,0,2,2,2,2,2BCEBDC，110,2,2,2,2,2BCBD，第 10 页 共 33 页 则110440BC BD，所以11BCBD，故 A 正确；12,2,1B E ，则111111422cos,22 23B E BCB E BCB E BC，所以12sin2CB E，所以点 E 到直线1BC的距离为113 2sin2B ECB E，故 B 错误；因为11C D 平面11BC C，所以112,0,0DC 即为平面11BC C的一条法向量，则直线1B E

17、与平面11BC C所成的角的正弦值为11111111142cos,2 33DCB EDC B EDC B E，故 C 正确；10,0,2CC 设平面1BCE的法向量为,nx y z，则有11220220n BCyzn B Exyz，可取1,2,2n，则点1C到平面1BCE的距离为143CC nn，故 D 错误.故选：AC.12已知点 F 为椭圆 C：22221xyab，0ab的左焦点，过原点 O 的直线 l交椭圆于 P，Q两点，点 M是椭圆上异于 P，Q的一点，直线 MP，MQ的斜率分别为1k，2k，椭圆的离心率为 e，若2PFQF，23PFQ，则（）第 11 页 共 33 页 A74e B3

18、3e C12916k k D1223k k 【答案】BD【分析】设出右焦点F，根据椭圆定义结合对称性以及余弦定理得到,a c关系，则离心率可求，设出,P M坐标，利用点差法可求得12kk的表示，结合,a c关系可求解出12k k的值.【详解】连接PFQF，根据椭圆对称性可知四边形PFQF为平行四边形，则|QFPF，且由120PFQ，可得60FPF,所以|32PFPFPFa,则24,|33PFa PFa.由余弦定理可得22222164421(2)|2|cos60299332cPFPFPFPFaaaa，化简得2213ca，故213e，所以33e（负舍）设 0011,M xyP x y，则01011

19、1120101,yyyyQxykkxxxx，所以220101011222010101yyyyyyk kxxxxxx，又22220011222211xyxyabab，相减可得2220122201yybxxa因为2213ca，所以22213aba，2223ab，所以1223k k .故选：BD.【点睛】解答本题的关键在于合理运用焦点三角形的知识以及点差法设而不求的思想去计算；椭圆是一个对称图形，任何过原点的直线(不与焦点所在轴重合)与椭圆相交于两点，这两点与椭圆的焦点构成的四边形为平行四边形.三、填空题 13 已知抛物线2:8Mxy，直线:2l ykx与抛物线交于A，D两点，与圆：22:430N

20、xyy交于B，C两点（A，B在第一象限），则|2|ACBD的最小值为_【答案】94 2#4 29 第 12 页 共 33 页【分析】分别在0k，0k 时，结合抛物线的性质证明111|2AFDF，结合图象可得|2|2|3ACBDAFDF，再利用基本不等式求其最小值.【详解】因为抛物线 M的方程为28xy，所以抛物线 M的焦点为(0,2)F，准线=2y，则直线2ykx过抛物线的焦点 F，当0k 时，联立2y 与28xy可得，4x 所以|4AFDF，则111|2AFDF；当0k 时，如图，过A作AKy轴于 K，设抛物线的准线交 y轴于 E，则|EKEFFK|cos|pAFAFKAF，得|1 cosp

21、AFAFK，则11 cos|AFKAFp，同理可得11cos|AFKDFp，所以1121|2AFDFp，化圆 N：22430 xyy为22(2)1xy，则圆 N的圆心为 F，半径为 1，|2|ACBD|12(|1)AFDF|2|3AFDF 2(|2|)AFDF113|AFDF|2|2 33|AFDFDFAF|2|2 323|AFDFDFAF94 2，当且仅当|2|AFDF且111|2AFDF时等号成立，第 13 页 共 33 页 即22DF，22 2AF 时等号成立；所以|2|ACBD的最小值为94 2 故答案为：94 2 14已知曲线 C的方程为221xyxy，则下列说法中：曲线 C 关于原

22、点中心对称；曲线 C 关于直线yx对称；若动点 P、Q都在曲线 C上，则线段PQ的最大值为2 2；曲线 C 的面积小于 3 所有正确的序号是_【答案】【分析】对于：根据对称理解运算即可判断；对于：根据椭圆定义可知曲线 C为椭圆，结合椭圆性质分析即可求解.【详解】对：曲线 C的上任一点,A x y关于原点的对称点为,Axy，则22221xyxyxyxy ，即A在曲线 C上，曲线 C 关于原点中心对称，正确；对：曲线 C的上任一点,B x y关于直线yx的对称点为,Byx，则 22221yxyxxyxy ，即B在曲线 C上，曲线 C 关于直线yx对称，正确；221xyxy，则2243xyxy，24

23、xy，即22xy，又221xyxy，即213xyxy，则22222662 642 643333332xyxyxxyyxyxy 22226162 64333332 62xyxyxyxyxyxy 363xy，第 14 页 共 33 页 同理可得：226633633xyxy，则曲线 C 的上任一点,P x y到6666,3333MN的距离之和为：33662 233xyxPPyMN，曲线 C 表示以,M N为焦点且2 32,3ac的椭圆，则2263bac，对：则线段PQ的最大值为22 2a，正确；对：则曲线 C的面积2 333Sab，错误；故答案为：.15已知PQ分别在直线1:10lxy 与直线2:1

24、0lxy 上，且1PQl，点4,4A，4,0B，则APPQQB的最小值为_.【答案】582#258【分析】利用线段的等量关系进行转化，找到APQB最小值即为所求.【详解】由直线1l与2l间的距离为2得2PQ，过4,0B作直线l垂直于1:10lxy，如图，则直线l的方程为：4yx ，将4,0B沿着直线l往上平移2个单位到B点，有3,1B，连接AB交直线1l于点 P，过 P作2PQl于 Q，连接 BQ，有/,|BBPQ BBPQ，即四边形BB PQ为平行四边形，则|PBBQ，即有|APQBAPPBAB，显然AB是直线1l上的点与点,A B距离和的最小值，因此APQB的最小值，即APPB的最小值AB

25、，而22434 158AB ，第 15 页 共 33 页 所以APPQQB的最小值为ABPQ=582 故答案为：582【点睛】思路点睛：（1）合理的利用假设可以探究取值的范围，严谨的思维是验证的必要过程.（2）转化与划归思想是解决距离最值问题中一种有效的途径.（3）数形结合使得问题更加具体和形象，从而使得方法清晰与明朗.16在正三棱柱111ABCABC中，2AB，14AA，D，E 分别为棱1AA，11AB的中点，F是线段1BC上的一点，且12FCBF，则点C到平面DEF的距离为_【答案】8 5353#85353【分析】根据题意建立空间直角坐标系，利用向量的数量积运算求出平面DEF的法向量与CD

26、，再利用空间向量法即可求得点C到平面DEF的距离.【详解】记AC的中点为O，连结BO，过O作1/OGAA，如图，根据题意，易知,OB OC OG两两垂直，以O为原点，,OB OC OG为,x y z轴，建立空间直角坐标系，则 1113,0,0,3,0,4,0,1,0,0,1,4,0,1,0,0,1,4,BBCCAA 故310,1,2,422DE，3 1,2,0,0,2,3,1,022DEDAAB，13,1,4BC ，因为12FCBF，所以 10,0,23,1,03,1,43DFDAABBF2 3 42,333，设平面DEF的一个法向量为,nx y z，则00DE nDF n，即3120222

27、3420333xyzxyz，令3 3x ，则5,1yz，故3 3,5,1n ，又0,2,2CD，所以点C到平面DEF的距离为0 1028 53532725 1CD nn.故答案为：8 5353.第 16 页 共 33 页.四、解答题 17如图，在三棱柱111ABCABC中，112,2ABACBCAAAC，17AB，点M为11BC的中点，点N是11C A上一点，且113C NNA.(1)求点 A到平面1ABC的距离；(2)求平面1BCC与平面AMN所成平面角的余弦值.【答案】(1)2 9331(2)8 574287 【分析】（1）取AC的中点O，连接1,BO AO，以O为原点，,OB OC分别为

28、,x y轴，Oz为z轴，建立空间直角坐标系，再利用空间向量法求解即可.（2）利用空间向量法求解即可.【详解】（1）取AC的中点O，连接1,BO AO，如图所示：第 17 页 共 33 页 因为112,2ABACBCAAAC，所以OBAC，1AOAC，所以22213OB，221211AO.以O为原点，,OB OC分别为,x y轴，Oz为z轴，建立空间直角坐标系，0,1,0A，3,0,0B，0,1,0C，设1,0,A xz，则2211AOxz，22137ABxz，解得32x ，12z，即131,0,22A.1313,0,22AB，3,1,0BC ，设平面1ABC的法向量为111,mx y z，则1

29、111131302230m ABxzm BCxy，令13x，解得113,9yz，即3,3,9m.0,2,0AC，设点 A 到平面1ABC的距离为d，则62 933193AC mdm（2）3,1,0BC ，1131,1,22CCAA，设平面1BCC的法向量为222,xny z，则2212223031022n BCxyn CCxyz ，令23x，解得223,3yz，第 18 页 共 33 页 即3,3,3n.设1333,Cx y z，则1133331,22ACxy z，0,2,0AC，因为11ACAC，解得131,2,22C.设1444,B xy z，则1144431,22ABxyz，3,1,0A

30、B，因为11ABAB，解得131,1,22B.因为点M为11BC的中点，所以3 10,2 2M，5 10,2 2AM.1111113113 3 1,1,0,2,0,422422 2ANAAA NAAAC .设平面AMN的法向量为555,px y z，则55555331022251022p ANxyzp AMyz，令51y，解得552 3,53xz ，即2 3,1,53p.168 574cos,28782213n pn pnp，因为平面1BCC与平面AMN所成平面角为锐角，所以平面1BCC与平面AMN所成平面角的余弦值8 574287.18如图，直四棱柱 ABCDA1B1C1D1 的底面是菱形，

31、AA1=4，AB=2，BAD=60，E，M，N 分别是 BC，BB1，A1D的中点.第 19 页 共 33 页 （1）证明：MN平面 C1DE；（2）求点 C到平面 C1DE的距离【答案】（1）见解析；（2）4 1717.【分析】（1）利用三角形中位线和11/AD BC可证得/ME ND，证得四边形MNDE为平行四边形，进而证得/MNDE，根据线面平行判定定理可证得结论；（2）根据题意求得三棱锥1CCDE的体积，再求出1C DE的面积，利用11CCDEC C DEVV求得点 C到平面1C DE的距离，得到结果.【详解】（1）连接ME，1BC M，E分别为1BB，BC中点 ME为1B BC的中位

32、线 1/ME BC且112MEB C 又N为1A D中点，且11/AD BC 1/ND BC且112NDBC/ME ND 四边形MNDE为平行四边形 第 20 页 共 33 页/MNDE，又MN平面1C DE，DE平面1C DE/MN平面1C DE（2）在菱形ABCD中，E为BC中点，所以DEBC，根据题意有3DE，117C E，因为棱柱为直棱柱，所以有DE平面11BCC B，所以1DEEC，所以113172DECS，设点 C 到平面1C DE的距离为d，根据题意有11CCDEC C DEVV，则有11113171343232d，解得44 171717d，所以点 C 到平面1C DE的距离为4

33、 1717.【点睛】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有线面平行的判定，点到平面的距离的求解，在解题的过程中，注意要熟记线面平行的判定定理的内容，注意平行线的寻找思路，再者就是利用等积法求点到平面的距离是文科生常考的内容.19如图，在长方体1111ABCDABC D中，点,E F分别在棱11,DD BB上，且12DEED，12BFFB （1）证明：点1C在平面AEF内；（2）若2AB，1AD，13AA，求二面角1AEFA的正弦值【答案】（1）证明见解析；（2）427.【分析】（1）方法一:连接1C E、1C F，证明出四边形1AEC F为平行四边形，进而可证得点1C在平面AEF内；

34、第 21 页 共 33 页（2）方法一：以点1C为坐标原点，11C D、11C B、1C C所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系1Cxyz，利用空间向量法可计算出二面角1AEFA的余弦值，进而可求得二面角1AEFA的正弦值.【详解】（1）方法一【最优解】：利用平面基本事实的推论 在棱1CC上取点G，使得112CGCG，连接DG、FG、1C E、1C F，如图 1 所示.在长方体1111ABCDABC D中，/,BFCG BFCG，所以四边形BCGF为平行四边形，则/,BCFG BCFG，而,/BCAD BCAD，所以/,ADFG ADFG，所以四边形DAFG为平行四边形，即有/AFDG

35、，同理可证四边形1DEC G为平行四边形，1/C EDG，1/C EAF，因此点1C在平面AEF内.方法二：空间向量共线定理 第 22 页 共 33 页 以11111,C D C B C C分别为 x 轴，y轴，z 轴，建立空间直角坐标系，如图 2 所示 设11111,3C Da C Bb CCc，则1(0,0,0),(,0,2),(0,),(,3)CE ac Fb cA a b c 所以1(,0,2),(,0,2)C Eac FAac故1C EFA所以1AFC E，点1C在平面AEF内 方法三：平面向量基本定理 同方法二建系，并得1(0,0,0),(,0,2),(0,),(,3)CE ac

36、Fb cA a b c，所以111(,0,2),(0,),(,3)C Eac C Fb c C Aa b c 故111C AC EC F所以点1C在平面AEF内 方法四：根据题意，如图 3，设11111,2,3ADa ABb A Ac 在平面11AB BA内，因为12BFFB，所以1111133B FB BA A 延长AF交11AB于 G，AF 平面AEF，11A B 平面1111DCBA 11,GAF GAB，所以G平面,AEF G平面1111DCBA 延长AE交11AD于 H，同理H 平面,AEF H 平面1111DCBA 由得，平面AEF 平面1111ABC DGH 第 23 页 共 3

37、3 页 连接11,GH GC HC，根据相似三角形知识可得11,2GBb D Ha 在11Rt C BG中，221C Gab 同理，在11Rt C D H中，2212C Hab 如图 4，在1Rt AGH中，223GHab 所以11GHCGC H，即 G，1C，H三点共线 因为GH平面AEF，所以1C 平面AEF，得证 方法五：如图 5，连接11,DF EB DB，则四边形1DEB F为平行四边形，设1DB与EF相交于点 O，则 O 为1,EF DB的中点 联结1AC，由长方体知识知，体对角线交于一点，且为它们的中点，即11ACB DO，则1AC经过点 O，故点1C在平面AEF内 第 24 页

38、 共 33 页 （2）方法一【最优解】：坐标法 以点1C为坐标原点，11C D、11C B、1C C所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系1Cxyz，如图 2.则2,1,3A、12,1,0A、2,0,2E、0,1,1F，0,1,1AE ，2,0,2AF ，10,1,2AE，12,0,1AF ，设平面AEF的一个法向量为111,mx y z，由00m AEm AF，得11110220yzxz取11z ，得111xy，则1,1,1m，设平面1AEF的一个法向量为222,nx y z，由1100n AEn AF，得22222020yzxz，取22z，得21x，24y，则1,4,2n

39、，37cos,7321m nm nmn，设二面角1AEFA的平面角为，则7cos7，242sin1 cos7.因此，二面角1AEFA的正弦值为427.方法二：定义法 第 25 页 共 33 页 在AEF中，2,2 2,5 16AEAFEF，即222AEEFAF，所以AEEF在1AEF中，115AEAF，如图 6，设,EF AF的中点分别为 M，N，连接11,AM MN A N，则1,AMEF MNEF，所以1AMN为二面角1AEFA的平面角 在1AMN中，22111214,522MNAMAFMFAN 所以1175722cos7214222AMN，则1142sin177AMN 方法三：向量法 第

40、 26 页 共 33 页 由题意得112,8,5,6AEAFAFAEEF，由于222AEEFAF，所以AEEF 如图 7，在平面1AEF内作1AGEF，垂足为 G，则EA与1GA的夹角即为二面角1AEFA的大小 由11AAAEEGGA，得22221111222AAAEEGGAAE EGEG GAAE GA 其中，1614,22EGAG，解得11AE GA，11cos,7AE GA 所以二面角1AEFA的正弦值427 方法四：三面角公式 由题易得，112,2 2,6,5,5EAFAFEEAFA 所以2222221111(2)(5)310cos2102 25EAEAAAAEAEA EA 22222

41、2(2)(6)(2 2)cos0,sin122 26EAEFAFAEFAEFEA EF 22222211111(5)(6)(5)3070cos,sin210102 56EAEFAFAEFAEFEA EF 设为二面角1AEFA的平面角，由二面角的三个面角公式，得 111coscoscos107cossinsin770AEAAEFAEFAEFAEF，所以42sin7 第 27 页 共 33 页【整体点评】（1）方法一：通过证明直线1/C E AF，根据平面的基本事实二的推论即可证出，思路直接，简单明了，是通性通法，也是最优解；方法二：利用空间向量基本定理证明；方法三：利用平面向量基本定理；方法四：

42、利用平面的基本事实三通过证明三点共线说明点在平面内；方法五：利用平面的基本事实以及平行四边形的对角线和长方体的体对角线互相平分即可证出（2）方法一：利用建立空间直角坐标系，由两个平面的法向量的夹角和二面角的关系求出；方法二：利用二面角的定义结合解三角形求出；方法三：利用和二面角公共棱垂直的两个向量夹角和二面角的关系即可求出，为最优解；方法四：利用三面角的余弦公式即可求出 20已知双曲线 C：221xmy与 x轴的正半轴交于点 M，动直线 l与双曲线 C 交于 A，B两点，当l过双曲线 C的右焦点且垂直于 x 轴时，54OA OB，O 为坐标原点(1)求双曲线 C的方程；(2)若90AMB，求点

43、 M 到直线 l距离的最大值【答案】(1)2221xy；(2)2 【分析】（1）由双曲线方程求得右焦点211,0Fm，则可求出 l过双曲线 C的右焦点且垂直于 x轴时的 A，B 两点坐标，由54OA OB及数量积的坐标运算即可解出 m，得到双曲线方程；（2）由90AMB得0MA MB，分别讨论直线斜率存在、不存在的情况，当斜率不存在时，设0 xx，直接求出交点，结合数量积运算可解出0 x，即可得点 M到直线 l距离；当斜率存在时，设ykxb，联立双曲线方程，结合韦达定理及数量积运算可得k与 b 的关系，即可结合点线距离公式进一步讨论距离范围.【详解】（1）由曲线为双曲线得0m，双曲线标准形式为

44、2211yxm，故222111,1abcmm，右焦点211,0Fm，1,0M，当11xm时，代入双曲线方程得1ym，故11111,1,ABm mmm，由54OA OB得2211512024mmmm，第 28 页 共 33 页 故双曲线 C的方程为2221xy；（2）由90AMB得0MA MB，i.当直线斜率不存在时，设为0 xx，联立2221xy得22012xy，故当01x 才有两个交点，此时22000011,22xxA xB x，2200001101302MxABxxMx，解得03x 或01x（舍）.故点 M 到直线 l距离为 2；ii.当直线斜率存在时，设为ykxb，联立2221xy得22

45、21 24210kxkbxb，故当222222211 20244 1 22102210kkkbkbbk （*）才有两个交点，设1122,A x yB xy，则2121222421,1 21 2kbbxxx xkk，故1212110 xMxByAyM，即2212121110kx xkbxxb，即 2222221411101 21 2bkbkkbbkk，整理得30kbkb，得3bk 或bk.当bk 时，直线 l为1yk x过1,0与 M重合，不合题意；当3bk 时，代入（*）可得212k 时有两个交点，点 M 到直线 l距离为22222122 12111kkkkk.综上，点 M 到直线 l距离的最

46、大值为 2.【点睛】关键点点睛：（1）根据直线与圆锥曲线的交点个数，注意讨论个数成立的条件；（2）结合韦达定理可以表示MA MB，即可进一步求出直线系数间的关系.21已知椭圆 C的方程为22221(0)xyabab，右焦点为(2,0)F，且离心率为63（1）求椭圆 C 的方程；（2）设 M，N是椭圆 C上的两点，直线MN与曲线222(0)xybx相切证明：M，N，F 三点共线的充要条件是|3MN 【答案】（1）2213xy；（2）证明见解析.【分析】（1）由离心率公式可得3a，进而可得2b，即可得解；第 29 页 共 33 页（2）必要性：由三点共线及直线与圆相切可得直线方程，联立直线与椭圆方

47、程可证3MN；充分性：设直线:,0MNykxb kb，由直线与圆相切得221bk，联立直线与椭圆方程结合弦长公式可得222241313kkk，进而可得1k ，即可得解.【详解】（1）由题意，椭圆半焦距2c 且63cea，所以3a，又2221bac，所以椭圆方程为2213xy；（2）由（1）得，曲线为221(0)xyx，当直线MN的斜率不存在时，直线:1MN x，不合题意；当直线MN的斜率存在时，设1122,M x yN x y，必要性：若 M，N，F三点共线，可设直线:2MNyk x即20kxyk，由直线MN与曲线221(0)xyx相切可得2211kk，解得1k ，联立22213yxxy 可得

48、246 230 xx，所以12122,3243xxxx，所以212121 143MNxxxx,所以必要性成立；充分性：设直线:,0MNykxb kb即0kxyb，由直线MN与曲线221(0)xyx相切可得211bk，所以221bk，联立2213ykxbxy可得2221 36330kxkbxb，所以2121222633,1313kbbxxxxkk，所以2222212122263314141 31 3kbbMNkxxxxkkk 2222411 3kkk3，化简得22310k，所以1k ，第 30 页 共 33 页 所以12kb 或12kb，所以直线:2MNyx或2yx ，所以直线MN过点(2,0)

49、F，M，N，F三点共线，充分性成立；所以 M，N，F 三点共线的充要条件是|3MN 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是直线方程与椭圆方程联立及韦达定理的应用，注意运算的准确性是解题的重中之重.22在平面直角坐标系xOy中，椭圆 C 过点1(3,)2，焦点12(3,0),(3,0)FF，圆 O的直径为12FF （1）求椭圆 C 及圆 O的方程；（2）设直线 l与圆 O相切于第一象限内的点 P 若直线 l与椭圆 C 有且只有一个公共点，求点 P的坐标；直线 l与椭圆 C交于,A B两点若OAB的面积为2 67，求直线 l的方程【答案】（1）2214xy，223xy；（2）(2,1)；53 2yx

50、 【分析】（1）根据条件易得圆的半径，即得圆的标准方程，再根据点在椭圆上，解方程组可得 a,b，即得椭圆方程；（2）方法一：先根据直线与圆相切得一方程，再根据直线与椭圆相切得另一方程，解方程组可得切点坐标；先根据三角形面积得三角形底边边长，再结合中方程组，利用求根公式以及两点间距离公式，列方程，解得切点坐标，即得直线方程.【详解】（1）因为椭圆 C的焦点为123,0,(3,0)FF，可设椭圆 C的方程为22221(0)xyabab又点13,2在椭圆 C上，所以2222311,43,abab，解得224,1,ab 因此，椭圆 C 的方程为2214xy 因为圆 O 的直径为12FF，所以其方程为2