2021-2022学年辽宁省沈阳市东北育才学校学高中部高二下学期期中考试数学试题(解析版).pdf

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1、第 1 页 共 19 页 2021-2022 学年辽宁省沈阳市东北育才学校学高中部高二下学期期中考试数学试题 一、单选题 1若数列na的首项114a ，且满足111nnaa，则2022a（）A14 B5 C45 D54【答案】C【分析】根据递推公式，结合代入法可以求出数列的周期，利用数列的周期性进行求解即可.【详解】因为114a ，111nnaa，所以2341141115,1,11455445aaa ，所以该数列的周期为3，于是有2022674 3345aaa，故选：C 2函数()yf x的图像如图所示，下列不等关系正确的是（）A0(2)(3)(3)(2)ffff B0(2)(3)(2)(3)

2、ffff C0(3)(3)(2)(2)ffff D0(3)(2)(2)(3)ffff【答案】C【分析】根据导数的几何意义和函数平均变化率的定义，结合图象，即可求解.【详解】如图所示，根据导数的几何意义，可得 2f 表示切线1l斜率10k，3f表示切线3l斜率30k，又由平均变化率的定义，可得(3)(2)(3)(2)32ffff，表示割线2l的斜率2k，第 2 页 共 19 页 结合图象，可得3210kkk，即 03322ffff.故选：C.3已知两等差数列 na，nb，前 n项和分别是nA，nB，且满足2132nnAnBn，则66ab（）A1320 B2335 C2538 D2741【答案】B

3、【分析】根据给定条件，利用等差数列的性质、前 n 项和公式推理计算作答.【详解】两等差数列 na，nb，前 n项和分别是nA，nB，满足2132nnAnBn，所以111661111111166111111122 11 123223 11235112aaaaaaAbbbbbbB.故选：B 4设点P是函数()2e(0)(1)xf xfxf图象上的任意一点，点P处切线的倾斜角为，则角的取值范围是（）A30,4 B30,24 C3,24 D30,24【答案】B【分析】在 fx中令0 x 后可求 01f，再根据导数的取值范围可得tan的范围，从而可得的取值范围.【详解】2e01xf xfxf，2e0 x

4、fxf，020ff，01f，2e1xf xxf，2e11xfx .点 P 是曲线上的任意一点，点 P处切线的倾斜角为，tan1.第 3 页 共 19 页 0,，30,24.故选：B.5甲乙两个箱子里各装有 5 个大小形状都相同的球，其中甲箱中有 3 个红球和 2 个白球，乙箱中有 2 个红球和 3 个白球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，再从乙箱中随机取出一球，则取出的球是红球的概率为（）A15 B1330 C1730 D1325【答案】B【分析】根据全概率公式进行求解即可.【详解】设事件A表示从甲箱中随机取出一红球放入乙箱中，事件B表示从甲箱中随机取出一白球放入乙箱中，设事件C表示：从甲箱

5、中随机取出一球放入乙箱中，再从乙箱中随机取出一球，则取出的球是红球，则有：331221(),(),(),()562563P AP C AP BP C A，所以312113()()()()()525330P CP A P C AP B P C B，故选：B 6 定义在R上的偶函数 f x的导函数为,fx若对任意的的实数0 x，都有：22f xxfx恒成立，则使 2211x f xfx成立的实数x的取值范围为（）A1x x B(-1，1)C,11,D(-1，0)0,1【答案】C【分析】根据已知构造合适的函数，对函数求导，根据函数的单调性，求出函数的取值范围，并根据偶函数的性质的对称性，求出0 x

6、的取值范围【详解】当0 x 时，由2()()20f xxfx可知：两边同乘以x得：22()()20 xf xx fxx 设：22()()g xx f xx 则2()2()()20g xxf xx fxx，恒成立：()g x在(0,)单调递减，由 21x f xf21x 2211x f xxf 第 4 页 共 19 页 即 1g xg 即1x；当0 x 时，函数是偶函数，同理得：1x 综上可知：实数x的取值范围为(，1)(1，)，故选：C【点睛】关键点点睛：主要根据已知构造合适的函数，函数求导，并应用导数法判断函数的单调性，偶函数的性质，属于中档题 7著名物理学家李政道说：“科学和艺术是不可分割

7、的”.音乐中使用的乐音在高度上不是任意定的，它们是按照严格的数学方法确定的.我国明代的数学家、音乐理论家朱载填创立了十二平均律是第一个利用数学使音律公式化的人.十二平均律的生律法是精确规定八度的比例，把八度分成 13 个半音，使相邻两个半音之间的频率比是常数，如下表所示，其中1213,a aa表示这些半音的频率，它们满足1212log11,2,12iiaia.若某一半音与#D的频率之比为32，则该半音为（）频率 1a 2a 3a 4a 5a 6a 7a 8a 9a 10a 11a 12a 13a 半音 C#C D#D E F#F G#G A#A B C（八度）A#F BG C#G DA【答案】

8、B【分析】利用对数与指数的转化，得到数列1213,a aa为等比数列，公比1122q，然后求得所求半音对应的数列的项数，从而得到答案.【详解】依题意可知01,2,13nan.由于1213,a aa满足1212log11,2,12iiaia，则12111122,2iiiiaaaa，所以数列1213,a aa为等比数列，公比1122q，#D对应的频率为4a，题目所求半音与#D的频率之比为4113312222，所以所求半音对应的频率为4112482aa，即对应的半音为G.第 5 页 共 19 页 故选：B.【点睛】本题考查等比数列的应用，涉及对数运算，等比数列的判定，等比数列的性质，属中档题.8已知

9、0.02ea，b=0.01，c=ln1.01，则（）Acab Bbac Cabc Dbca【答案】C【分析】根据指数函数的性质判断,a b，构造函数()e1xf xx，由导数确定单调性得(0.01)(0)ff，再由对数性质得,b c大小，从而得结论 【详解】由指数函数的性质得：10.02211ee0.01e3，设()e1xf xx，则e()10 xfx 在0 x 时恒成立，所以()f x在(0,)上是增函数，()f x是连续函数，因此()f x在0,)上是增函数，所以(0.01)(0)ff，即0.01e1 0.010，即0.01e1.01，所以0.01ln1.01，所以abc 故选：C 二、多

10、选题 9已知数列 na中，12a，1*12nnnaanN，则以下说法正确的是（）A410a B数列 na是等比数列 C20232022223a D20231232021223aaaa【答案】ACD【分析】利用递推关系可得前 4 项，故可判断 AB，利用分组求和可判断 D，由题设中的递推关系可得122nnnaa，从而可判断 C.【详解】由12a 及112nnnaa可得前四项为 2，2，6，10，A 选项正确，而6222，故 2，2，6 不为等比数列，故 B 选项错误 135202112202112345202020212222aaaaaaaaaa 1011101120232 1 42 42221

11、 433故 D 选项正确 因为112nnnaa，故2122nnnaa，第 6 页 共 19 页 所以2112222nnnnnaa，故20222022202020202018422aaaaaaaa 202320212019312222223，故 C 选项正确.故选：ACD 10已知函数 lnxf xx，下列结论正确的是（）A函数 f x有极小值，且极小值是 f x的最小值 B3333 C函数 f x在区间1,e单调递减，在区间e,单调递增 D设 2g xxa，若对任意1x R，都存在21,x，使 12g xf x成立，则ea 【答案】BCD【分析】首先确定定义域(0,1)(1,)x，根据导数研究

12、函数的单调性以及最值，逐项分析判断即可得解.【详解】对 C，由0ln0 xx，可得(0,1)(1,)x，求导可得2ln1()(ln)xfxx，由()0fx，可得ex，当(0,1)x，(1,e)x时，()0fx，()f x为减函数，当(e,)x时，()0fx，()f x为增函数，故 C 正确；对 A，由选项 C 可知，函数 f x在ex处有极小值，且其极小值为e(e)0f，而11()022ln 2f，故极小值不是最小值，故 A 错误；对 B，由e3，所以()(3)ff，所以3ln ln3，ln33ln，即33，又3，333，故3333成立，故 B 正确.对 D，()f x在(1,)上的值域包含

13、g x在R上的值域，第 7 页 共 19 页 由(1,e)x时，()f x为减函数，当(e,)x时，()f x为增函数，故()f x的值域为e,，由 g x在R上的值域为,a，所以ea，故 D 正确；故选：BCD 11 已知数列 na的前 n 项和为nS，11a，1*11,221,21nnnankakNank.则下列选项正确的为（）A614a B数列*213kakN是以 2 为公比的等比数列 C对于任意的*k N，1223kka D1000nS 的最小正整数 n 的值为 15【答案】ABD【解析】根据题设的递推关系可得2212121,21kkkkaaaa，从而可得22222kkaa，由此可得

14、2ka的通项和21ka的通项，从而可逐项判断正误.【详解】由题设可得2212121,21kkkkaaaa，因为11a，211aa，故2112aa，所以22212121,12kkkkaaaa，所以22222kkaa，所以222222kkaa，因为2240a，故220ka，所以222222kkaa，所以22ka为等比数列，所以12242kka即1222kka，故416214a，故 A 对，C 错.又112122123kkka，故12132kka，所以2121323kkaa，即*213kakN是以 2 为公比的等比数列，故 B 正确.141214117711Saaaaaaa 238135791113

15、2722323237981aaaaaaa ，第 8 页 共 19 页 15141598150914901000SSa，故1000nS 的最小正整数 n 的值为 15，故 D 正确.故选：ABD.【点睛】方法点睛：题设中给出的是混合递推关系，因此需要考虑奇数项的递推关系和偶数项的递推关系，另外讨论 D 是否成立时注意先考虑14S的值.12已知函数2()exf xx，则下列说法正确的是（）A()f x在R上单调递增 B()f x在(,ln2)上单调递减 C若函数2()lnyf xxx在0 xx处取得最小值，则0(0,1)x D(0,)x，2()ln2f xxx【答案】ACD【分析】AB 选项利用二

16、次求导的方法求得 f x的单调性来判断，CD 选项通过构造函数 g x，结合二次求导的方法来进而判断.【详解】()e2xfxx，令()()e2xg xfxx，则()e2xg x，所以()g x在(,ln2)上单调递减，在ln2,上单调递增，所以()(ln2)22ln 20g xg，所以()f x在R上单调递增.A 正确，B 错误.令2()()lnelnxg xf xxxx，则1e1()exxxg xxx.令()e1xh xx，则()(1)0 xh xxe在(0,)上恒成立，则()h x在(0,)上单调递增.又(0)(1)(e1)0hh，所以0(0,1)x，00h x，则()g x在00,x上单

17、调递减，在0,x 上单调递增，即 0min 00()elnxg xg xx.又001xex，00lnxx，所以min001()2g xxx.CD 选项正确.故选：ACD 三、填空题 13袋中装有编号为1,2,10的10个球，先从袋中一次性任取两个球，在取出的两个球编号之和为偶数的条件下，2号球被取出的概率为_.第 9 页 共 19 页【答案】15#0.2【分析】根据条件概率公式计算可得结果.【详解】记事件A为“取出的两个球编号之和为偶数”，事件B为“2号球被取出”，则 2255210204459CCP AC，14210445CP ABC，4145459P ABP B AP A，即在取出的两个球

18、编号之和为偶数的条件下，2号球被取出的概率为15.故答案为：15.14 已知等差数列 na的前n项和为nS，且151316,260aaS，则2020201720202017SS_ 【答案】92【分析】根据题意列出方程组，求得37,a a的值，求得数列的通项公式31nan，得到3122nSnn，进而求得2020201720202017SS的值.【详解】由题意，等差数列 na的前n项和为nS，且151316,260aaS，所以15311313721613132602aaaaaSa，解得378,20aa，可得73208734aad3，所以3(3)8(3)331naandnn，所以123131222n

19、nn aannnnS，则3122nSnn，所以2020201731319(2020)(2017)2020201722222SS.故答案为：92 15已知函数 2124f xxx，函数 lnxg xmx，若对任意的 11,2x，存在2221,eex，使得 12f xg x，则实数m的取值范围为_.【答案】11,e4【分析】理解题意，转化为最值问题求解【详解】由题意得 12maxmaxf xg x 322fxx，1,2x时 0fx，故 f x在1,2上单调递增，1max14f x 第 10 页 共 19 页 21 ln xgxx，21,eex时 0gx，2(e,e x时 0g x 故 g x在21

20、,ee上单调递增，在2(e,e 上单调递减，2max1eg xm 12maxmaxf xg x，解得11,e4m 故答案为：11,e4 16定义：若数列 nt满足 1nnnnf tttft，则称该数列为函数 f x的“切线零点数列”.已知函数 2f xxpxq有两个零点1、2，数列 nx为函数 f x的“切线零点数列”，设数列 na满足13a，2ln1nnnxax，数列 na的前n项和为nS，则2020S_.【答案】20203 23【解析】根据二次函数 f x的零点可求得p、q的值，求出 fx，推导出数列 na为等比数列，确定该数列的首项和公比，进而可求得2020S.【详解】2f xxpxq有

21、两个零点1、2，由韦达定理可得121 2pq ，解得12pq ，22f xxx，21fxx.由题意得221222121nnnnnnnxxxxxxx，22212212222144221211121nnnnnnnnnnnnxxxxxxxxxxxx，2ln1nnnxax，11122ln2ln211nnnnnnxxaaxx.又13a，所以，数列 na是首项为3，公比为2的等比数列，所以，13 2nna，20002020202031 23 231 2S.故答案为：20203 23.【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法直接求和；（2）对于n na b型数列，其中 na是

22、等差数列，nb是等比数列，利用错位相减法求和；第 11 页 共 19 页（3）对于nnab型数列，利用分组求和法；（4）对于11nna a型数列，其中 na是公差为0d d 的等差数列，利用裂项相消法求和.四、解答题 17已知数列 na的前n项和为nS，且满足11a，1212nnSSn.(1)求 na的通项公式；(2)若111nnnnabaa，求数列 nb的前n项和nT.【答案】(1)12nna(2)12122nn 【分析】（1）根据递推关系1212nnSSn，求出nS，再利用na与nS的关系式求出na；（2）首先求出nb，再利用裂项求和的方法求出nT.【详解】（1）因为121nnSS，所以1

23、121nnSS，112S ，所以数列1nS 是以 2 为首项，2 为公比的等比数列，所以112 2nnSn N，即21nnS 当2n时111222nnnnnnaSS 当1n 时11a，符合上式，所以 na的通项公式为12nna.（2）由（1）得11121121212121nnnnnnb 所以11211111111 12121212121nnnT 1112122122nnn.18已知函数 eea xf xxx(1)当2a 时，求曲线 yf x在点 22f,处的切线方程；第 12 页 共 19 页(2)若函数 yf x在 R 上单调递增，求实数 a 的取值范围【答案】(1)e140 xy(2),3

24、 【分析】（1）求出 2f、2f，再利用直线的点斜式方程求出切线方程；（2）求出 fx，转化为 0fx在 R 上恒成立，构造函数 11eR x ag xxx，求出 g x在1xa取得最小值，要使 0fx，则 0g x 在 R 上恒成立，令30a 可得答案.【详解】（1）2a，2eexf xxx，22eeexxfxx，21 2ee 1 kf，2 222e2e22ef，yf x在点 22f,处的切线方程为22ee 12 yx，即e 140 xy.（2）由题意 1eee1ee a xa xx aa xfxxx，若函数 yf x在 R 上单调递增，则 0fx，因为e0a x，即11e0 x ax在 R

25、 上恒成立，令 11eR x ag xxx，11 e x agx，令 0g x，得1xa 故当1,xa时，0gx，g x单调递增，当,1 xa时，0gx，g x单调递减 故 g x在1xa取得最小值，且0111 e3 g aaa，要使 0fx，则 0g x 在 R 上恒成立，所以30a，即3a，故实数a的取值范围是,3.【点睛】本题考查了导数的几何意义和有单调性求参数范围的问题，解题的关键点是转化为导函数第 13 页 共 19 页 恒大于等于零，再构造函数求最值的问题，考查了学生发现问题、解决问题的能力.19已知数列 na满足111221,(2)311nnnaanaa（1）求数列 na的通项公

26、式;（2）设数列 na的前n项和为nS,用数学归纳法证明:13ln22nnSn.【答案】（1）12nnan.（2）答案见解析【解析】（1）因为1121,(2)11nnnanaa,可得111111nnaa,故11na是首项为3,公差为1的等差数列,即可求得答案;（2）由（1）可得:111342nSnn,用数学归纳法证明:13ln22nnSn,即可求得答案.;【详解】（1）1121,(2)11nnnanaa,11111111111nnnnaaaa 111111nnaa 11na是首项为3,公差为1的等差数列 13(1)21nnna 12nnan（2）由（1）可得:111342nSnn 下面用数学归

27、纳法证明:13ln22nnSn 当1n 时,左边1123Sa,5ln26 右边12521ln2ln22363 左边 命题成立 假设当*1,nk kkN时命题成立,即13ln22kkSk 则当1nk时,11312ln223kkkkkSSakk 要证1(1)31(1)ln22kkSk 第 14 页 共 19 页 只要证3121ln(1)ln12232kkkkk 只要证241ln33kkk 即证11ln 133kk 考查函数()ln(1)(0)F xxx x的单调性 0 x,1()1011xfxxx 函数()F x在(0,)上为减函数()(0)0F xF,即ln(1)xx.11ln 133kk 故当

28、1nk时命题也成立 综上所述,31ln22nnSn【点睛】本题考查了利用数学归纳法证明不等式,考查了构造思想及转化思想,解题关键是掌握利用导数证明不等式恒成立问题,考查计算能力及化归能力,属于难题。20已知函数 22lnf xxxa x.(1)当0a 时，讨论函数 f x的单调性；(2)若函数 f x有两个极值点12,x x，证明：123ln22f xf x.【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析.【分析】（1）对函数进行求导，根据一元二次方程是否有实根分类讨论进行求解即可；（2）根据极值的定义，结合导数的性质、对数的运算性质，再通过构造函数进行求解即可.【详解】（1）f x的定义域为0,

29、，22222axxafxxxx 令 222g xxxa，4 8a，当0，即12a 时，则 0g x 即 0fx，则 f x在0,上单调递增；当0，即102a时，令 0g x，得11122ax，21122ax，且120 xx，第 15 页 共 19 页 1121120,22aax时，0fx 112112,22aax时，0fx，f x的单调增区间为1120,2a，112,2a，单调减区间为112112,22aa 综上所述，当12a 时，yf x在0,上单调递增；当102a时，f x在1120,2a，112,2a上单调递增，在112112,22aa上单调递减；（2）2220 xxafxxx，且函数

30、f x有两个极值点12,x x，方程2220 xxa有两个正实根12,x x，则有1212480102axxax x102a 22121112222ln2lnf xf xxxa xxxa x21212121222lnxxx xxxax x1ln2aaa ，令 11ln022ah aaaa ，则 ln02ah a，则 h a在102，上单调递减，13ln222h ah，123ln22f xf x.【点睛】关键点睛：根据对数的运算性质，结合构造函数法是解题的关键.21已知数列 na的前 n 项和为nS，满足：*21NnnaSnn(1)求证：数列 na为等差数列；第 16 页 共 19 页(2)若2

31、5a，令1nnba，数列 nb的前 n 项和为nT，若不等式122455nnTTmm对任意*Nn恒成立，求实数 m的取值范围【答案】(1)证明见解析；(2)(,27,)m .【分析】（1）利用,nnaS关系可得1(2)(1)1nnnana，即有1(1)1nnnana，将两式相减并整理有112nnnaaa，即可证结论.（2）由（1）结论及题设可得143nbn，令21nnncTT、1231nnncTT，应用作差法比较它们的大小，即可确定21nnTT的单调性并求其最大值，结合恒成立求 m 的取值范围【详解】（1）由题设，(1)2nnn aS，则11(1)(1)2nnnaS(2)n，所以111(1)(

32、1)(1)(1)1222nnnnnnnn anananaaSS，整理得1(2)(1)1nnnana，则1(1)1nnnana，所以11(1)(2)1(1)1nnnnnananana，即11(1)()2(1)nnnnaana，10n，所以112nnnaaa，故数列 na为等差数列，得证.（2）由1121Sa，可得11a，又25a，结合（1）结论知：公差214daa，所以43nan，故1143nnban，则21111.414581nnnnnTncT，所以123111111.4549818589nnnnncTTnnn，且*Nn，所以111140310858941(41)(85)(89)nnccnnn

33、nnnn，即1nncc，所以，在1,)n且*Nn上21nnTT递减，则max32111114)594(5nnTTTT，要使122455nnTTmm对任意*Nn恒成立，即2514(7)(2)0mmmm，所以(,27,)m .22已知函数1e()ln,()xg xxh xxx (1)求函数()()()(R)f xag xh x a的极值；(2)若对(0,),()()xg xh xm 恒成立，求实数m的取值范围【答案】(1)见解析 第 17 页 共 19 页(2)(,e 【分析】（1）先求出导数2(e)(1)()xa xfxx，再分1,e,1,eaaeaa 讨论函数的单调性，进而确定函数的极值，（2

34、）由()10,()0g xh x 可得0m 时符合题意，当0m时，将(0,),()()xg xh xm 转化为minmax()()mg xh x，求出min()g x和max1()h x的最大值即可【详解】（1）因为1e()ln,()xg xxh xxx，（0 x）所以1e()()()(ln)(R)xf xag xh xaxaxx（0 x），则2221ee(e)(1)()(0)xxxaxa xfxxxxxx，令()0fx，则1x 或e0 xa，当1a 时，方程e0 xa在(0,)上无解，则当01x，()0fx，当1x 时，()0fx，所以()f x在(0,1)上单调递减，在(1,)上单调递增，

35、所以()f x在1x 处取得极小值，即()f x的极小值为(1)efa，无极大值，当ea 时，由e0 xa，得ln()xa（ln()1a），(),()f xfx随x的变化情况如下表 x(0,1)1 1,ln()a ln()a ln(),a()fx 0 0 ()f x 递增 极大值 递减 极小值 递增 所以()f x在1x 处取得极大值，()f x的极大值为(1)efa，在ln()xa处取得极小值，则()f x的极小值为ln()ln ln()faaa，当1e a 时，由e0 xa，得ln()xa，0ln()1a，(),()f xfx随x的变化情况如下表 x 0,ln()a ln()a ln(),

36、1a 1(1,)()fx 0 0 第 18 页 共 19 页()f x 递增 极大值 递减 极小值 递增 所以()f x在1x 处取得极小值，()f x的极小值为(1)efa，在ln()xa处取得极大值，则()f x的极大值为ln()ln ln()faaa，当ae 时，()0fx，此时()f x在(0,)上单调递增，所以函数无极值，综上，当1a 时，()f x的极小值为ea，无极大值，当ea 时，()f x的极大值为ea，极小值为ln ln()aa，当1e a 时，()f x的极小值为ea，极大值为ln ln()aa，当ae 时，()f x无极值，（2）令1()()exxxh x，则 2ee1

37、()eexxxxxxx，当01x时，()0 x，当1x 时，()0 x，所以()x在(0,1)上递增，在(1,)上递减，所以 max11ex 由1()lng xxx，得22111()xg xxxx，当01x时，()0g x，当1x 时，()0g x，所以()g x在(0,1)上递减，在(1,)上递增，所以 min11g xg，当0m 时，()10,()0g xh x，则()()0g xh x，满足题意，当0m时，由(0,),()()xg xh xm 可得minmax()()mg xh x，所以minmaxmax1()()()g xmmxh x，所以1em，得0em，综上，em，即实数m的取值范围(,e【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查利用导数求出函数的极值，考查利用导数解决不等式恒成立问题，第（2）问解题的关键是0m 时，(0,),()()xg xh xm 恒成立，所以只第 19 页 共 19 页 需考虑0m的情况，所以将问题转化为minmaxmax1()()()g xmmxh x，所以利用导数求出两函数的最值即可，考查数学转化思想和计算能力，属于较难题