2022-2023学年河南省周口市太康县第二高级中学高二上学期11月月考数学(理)试题(解析版).pdf

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1、第 1 页 共 18 页 2022-2023 学年河南省周口市太康县第二高级中学高二上学期 11 月月考数学（理）试题 一、单选题 1在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E，F 分别在 A1D，AC 上，且 A1E23A1D，AF13AC，则（）AEF 至多与 A1D，AC 中的一个垂直 BEFA1D，EFAC CEF 与 BD1相交 DEF 与 BD1异面【答案】B【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法判断两直线的位置关系；【详解】解：以 D 为坐标原点，分别以 DA，DC，DD1所在直线为 x轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系 Dxyz，设正方体的棱长为 1，则11,0,1A，0

2、,0,0D，1,0,0A，0,1,0C，11,0,33E，2 1,03 3F，1,1,0B，10,0,1D，11,0,1AD ，1,1,0AC ，1 11,3 33EF，11,1,1BD ，113EFBD，10AD EF，0EAFC，从而1/EFD B，1A DEF，ACEF，故选：B 第 2 页 共 18 页 2若1,1,3A mn，2,2Bm n mn，3,3,9C mn三点共线，则mn的值为（）A0 B1 C1 D2【答案】A【解析】三点共线转化为向量,AB AC共线，由向量共线可得【详解】由题意(1,1,23),(2,2,6)ABmmnAC，,A B C三点共线，即,AB AC共线，所

3、以存在实数，使得ABAC，所以1212236mmn ，解得0012mn 所以0mn 故选：A【点睛】本题考查空间向量共线定理，考查空间向量共线的坐标运算，属于基础题 3已知1,0,1a，,1,2bx，且3a b，则向量a与b的夹角为（）A56 B6 C3 D23【答案】B【分析】先求出向量a与b的夹角的余弦值，即可求出a与b的夹角.【详解】1,0,1a,1,2bx，3a b 所以23abx，1x，1,1,2b，33cos2|26a babab，=，又0ab，a与b的夹角为6.故选：B.4在长方体1111ABCDABC D中，2BC，14ABBB，E，F分别是11AD，CD的中点，则异面直线1A

4、F与1B E所成角的余弦值为（）第 3 页 共 18 页 A10234 B10234 C55 D66【答案】A【分析】分别以AB，AD，1AA为x，y，z轴正方向建系，则可求出11,A F B E的坐标，进而可求出1AF，1BE的坐标，代入公式即可求解.【详解】分别以AB，AD，1AA为x，y，z轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则点10,0,4A，2,2,0F，14,0,4B，0,1,4E，则12,2,4AF，14,1,0B E .设直线1AF与1B E所成角的大小为，则02，所以11116102cos342 617AF B EAF B E.故选：A.【点睛】本题考查空间向量中异面直线夹

5、角的求法，关键在于建立适当的坐标系，属基础题.5已知(2,4)A(3,1)B 两点，直线l：ykx与线段AB相交，则直线l的斜率的取值范围（）A2,)B(,02,)C1,1,)3 D1,2,)3 【答案】D【分析】作出图形，求出当直线l分别经过点A、B时，直线l的斜率k的值，数形结合可得出实数k的取值范围.【详解】直线:l ykx恒过点0,0O，则直线OA的斜率为40220AOk，直线OB的斜率为1 01303OBk ，如图，第 4 页 共 18 页 由图可知直线l的斜率k的取值范围是1,2,3，故选：D 6直线1:0laxyb，2:0lbxya（0ab，a、bR）的图象可能是（）A B C

6、D【答案】D【分析】首先假定每个选项中的1l图象正确，则可得,a b正负，由此可确定2l图象所经过的象限，对比选项中的图象即可得到结果.【详解】将1:0laxyb化为yaxb，将2:0lbxya化为ybxa.对于 A，若1l图象正确，则0a，0b，2l图象经过第一、二、四象限，A 不正确；对于 B，若1l图象正确，则0a，0b，2l图象经过第一、二、三象限，B 不正确；对于 C，若1l图象正确，则，则0a，0b，2l图象经过第一、二、四象限，C 不正确；对于 D，若1l图象正确，则a0，0b，2l图象经过第二、三、四象限，D 正确.故选：D.第 5 页 共 18 页 7在平面直角坐标系中，四点

7、坐标分别为 2,0,3,23,1,23,ABC4,Da，若它们都在同一个圆周上，则 a的值为（）A0 B1 C2 D3【答案】C【分析】设出圆的一般式220 xyDxEyF，根据 2,0,3,23,1,23,ABC求出444DEF ，然后将点4,Da带入圆的方程即可求得结果.【详解】设圆的方程为220 xyDxEyF，由题意得22222220203233230123230DFDEFDEF，解得444DEF ，所以224440 xyxy，又因为点4,Da在圆上，所以2244 4440aa ，即2a.故选：C.8已知圆22:4210C xyxy 及直线:2l ykxkkR，设直线l与圆C相交所得的

8、最长弦长为MN，最短弦为PQ，则四边形PMQN的面积为（）A4 2 B2 2 C8 D8 2【答案】A【分析】由圆的方程可确定圆心和半径，由直线方程可确定直线所过定点；由过圆内一点最长弦为直径、最短弦为与最长弦垂直的弦，结合垂径定理可求得最长弦和最短弦，由对角线垂直的四边形面积公式可求得结果.【详解】将圆C方程整理为：22214xy，则圆心2,1C，半径2r；将直线l方程整理为：12yk x，则直线l恒过定点1,2，且1,2在圆C内；最长弦MN为过1,2的圆的直径，则4MN；最短弦PQ为过1,2，且与最长弦MN垂直的弦，2 111 2MNk，1PQk，直线PQ方程为21yx，即10 xy，第

9、6 页 共 18 页 圆心C到直线PQ的距离为2 1 122 d，2222 422 2PQrd；四边形PMQN的面积114 2 24 222SMNPQ.故选：A.【点睛】结论点睛：过圆内一点00,P x y的最长弦为圆的直径；最短弦为过P且与最长弦垂直的弦.二、多选题 9设,a b c是空间一个基底，则下列选项中正确的是（）A若,ab bc，则ac B,a b c两两共面，但,a b c不可能共面 C对空间任一向量p，总存在有序实数组(,)x y z，使pxaybzc D,ab bc ca一定能构成空间的一个基底【答案】BCD【分析】对于 A 选项，垂直关系不传递判断；对于 B 选项，由基底的

10、概念判断；对于 C 选项，由空间向量的基本定理判断；对于 D 选项，易知,a b c不共面假设,ab bc ac共面，利用反证法判断.【详解】对于 A 选项，b与,a c都垂直，,a c夹角不一定是2，A 选项错误 对于 B 选项，根据基底的概念可知,a b c两两共面，但,a b c不可能共面，B 选项正确 对于 C 选项，根据空间向量的基本定理可知，C 选项正确 对于 D 选项，由于,a b c是空间一个基底，所以,a b c不共面假设,ab bc ac共面，不妨设 abx bcy ca，化简得110y ax bxy c，因为,a b c不共面，则10100yxxy，而方程无解，所以,ab

11、 bc ac不共面，可以作为空间的一个基底，D 选项正确 故选：BCD 10 四边形ABCD中，4ABBDDA，2 2BCCD，现将ABD沿BD拆起，当二面角ABDC的大小在2,33时，直线AB和平面BCD所成的角为，则cos的值可以为（）第 7 页 共 18 页 A12 B74 C34 D32【答案】AB【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求得cos的取值范围，由此确定正确选项.【详解】ABD是边长为4的等边三角形，BCD是以BCD为直角的等腰三角形，设BD的中点为O，则,OABD OCBD，二面角ABDC的平面角为AOC.以O为原点建立如图所示空间直角坐标系，则2,0,0B，设2,33A

12、OC.则0,cos,sinAOAOA，即0,2 3cos,2 3sinA，2,2 3cos,2 3sinBA，平面BCD的法向量为0,0,1n，直线AB与平面BCD所成角为0,2，则3sinsin2n BAnBA，223cos1sin1sin4，22233339317sin,1,sin,1,sin,1sin,24441644 16，所以17cos,24.故选：AB 第 8 页 共 18 页 11已知椭圆C：221259xy，1F，2F分别为它的左右焦点，A，B分别为它的左右顶点，点P是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（）A点P到右焦点的距离的最大值为 9，最小值为 1 B12cosFPF的

13、最小值为725 C若1290FPF，则12FPF的面积为 9 D直线PA与直线PB斜率乘积为定值925【答案】ACD【分析】根据椭圆的性质可以判断 A；根据椭圆的定义和余弦定理，再结合基本不等式即可判断 B；根据椭圆的定义和勾股定理可以求出三角形的面积，进而判断 C；设出点 P 的坐标，得到斜率，进而结合点 P 的坐标满足椭圆方程求出答案，进而判断 D.【详解】对 A，5,3,4abc，则9,1acac，A 正确；对 B，记12|,|PFm PFn，则10mn，由余弦定理：222122646436218cos1222mnmnmnmnFPFmnmnmnmn 21871252mn ，当且仅当12|

14、PFPF时取“=”，B 错误；对 C，2222210118642mnmnmnmnmn，所以12192F PFSmn，C 正确；对 D，设,5,5,0,5,0P x yxAB，则221259xy，,55PAPByykkxx，于是22229 125955252525PAPBxyyykkxxxx,D 正确.故选：ACD.12已知m为 3 与 5 的等差中项，n为 4 与 16 的等比中项，则下列对曲线22:1xyCmn描述正确的是（）A曲线C可表示为焦点在y轴的椭圆 B曲线C可表示为焦距是 4 的双曲线 C曲线C可表示为离心率是22的椭圆 第 9 页 共 18 页 D曲线C可表示为渐近线方程是2yx

15、 的双曲线【答案】ACD【分析】由已知条件先求出,m n的值，从而可得曲线 C的方程，然后根据曲线方程分析判断即可【详解】由m为 3 与 5 的等差中项，得2358m，即4m，由n为 4 与 16 的等比中项，得24 1664n，即8n ，则曲线22:1xyCmn的方程为22148xy或22148xy 其中22148xy表示焦点在y轴的椭圆，此时它的离心率22222421182cabbeaaa，故A 正确，C正确；其中22148xy表示焦点在x轴的双曲线，焦距为22222 484 3cab，渐近线方程为y 2 222bxxxa ，故 B不正确，D正确 故选:ACD 三、填空题 13若(1,1,

16、0)a,(1,0,2)b ,则与ab同方向的单位向量是_.【答案】5 2 50,55【分析】先由已知求出ab的坐标，再除以ab可得答案【详解】因为(1,1,0)a,(1,0,2)b ，所以(0,1,2)ab 所以与ab同方向的单位向量为15 2 5(0,1,2)0,555，故答案为：5 2 50,55 14若直线yxb与曲线234yxx有公共点，则b的取值范围是_.【答案】12 2,3【解析】曲线234yxx表示圆心为(2,3)，半径为2的半圆，画出图象，结合点到直线的距离第 10 页 共 18 页 公式，得出b的取值范围.【详解】由240 xx，解得04x 根据二次函数的性质得出2042xx

17、，即13y 曲线234yxx可化为22(2)(3)4xy，04,13xy 所以该曲线表示圆心为(2,3)，半径为2的半圆 因为直线yxb与曲线234yxx有公共点，所以它位于12,l l之间，如下图所示 当直线yxb运动到1l时，过(0,3)，代入yxb得：3b 当直线yxb运动到2l时，此时yxb与曲线相切 则22|2 1 3 1|1|2211bb ，解得1 2 2b 或12 2（舍）要使得直线yxb与曲线234yxx有公共点，则12 2,3b 故答案为：12 2,3【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，属于中档题.15若圆C以椭圆2211612xy的右焦点为圆心、长半轴为半径，则圆C的

18、方程为_【答案】22(2)16xy【解析】根据椭圆的方程，可求出椭圆的右焦点和长半轴，椭圆的右焦点和长半轴是圆的圆心和半径，故可写出圆的方程.【详解】由椭圆方程可知221612ab，则24c 所以椭圆右焦点为2,0长半轴为4.根据题意可知，2,0为圆心，4为圆的半径.则圆的方程为22216xy.第 11 页 共 18 页 故答案为：22216xy.16设12,F F分别是椭圆22=1169xy的两个焦点，点P在椭圆上，若线段1PF的中点在y轴上，则12|PFPF=_.【答案】239【分析】先设 P 点，中点，再求焦点12,F F,再根据线段1PF的中点在y轴上，求出 P 点坐标，再利用焦半径公

19、式即可得12|,|PFPF的长,则12|PFPF可解.【详解】设(,)ppP xy，中点(0,)mn.由题意得12(7,0),(7,0)FF，4a，74e 由线段1PF的中点在y轴上，则有702px，7px ，代入22=1169xy中得 P点坐标 为9(7,)4或9(7,)4根据焦半径公式可得，12239|,|44PFPF，12|23|9PFPF.故答案为：239.【点睛】考查椭圆的焦半径公式,解题关键要求出 P 点坐标.四、解答题 17已知1,1,2a，6,21,2b.（1）若/a b，分别求与的值；（2）若5a，且a与2,2,c垂直，求a.【答案】（1）15，3；（2）0,1,2a.【分析

20、】（1）根据平行关系可得atb，由此构造方程组求得结果；（2）根据向量垂直和模长可构造方程组求得，由此得到a.【详解】（1）由/a b得：atb，即1612122ttt，解得：153；（2）ac，222122220a c ，第 12 页 共 18 页 又5a，221145，即25230，由225230220得：1，0,1,2a.18如图，在直四棱柱1111ABCDABC D中，底面ABCD是边长为 2 的菱形，且13AA，E，F分别为1CC，1BD的中点.（1）证明：EF平面11BB D D；（2）若60DAB，求二面角11ABED的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）7 1326.【分析

21、】（1）连接AC交BD于O点，连接OF，F为1BD的中点，易得四边形OFEC为平行四边形，从而/OC FE，再利用线面垂直的判定定理证得OC 平面11BB D D即可.（2）以 O 为原点，以 OB，OC，OF 建立空间直角坐标系，分别求得平面1ABE的一个法向量,nx y z和平面1D BE的一个法向量111,mx y z，然后由cos,m nn mmn求解.【详解】（1）如图所示：第 13 页 共 18 页 连接AC交BD于O点，连接OF，F为1BD的中点，所以1/OF DD，112OFDD，又E为1CC的中点11/CCDD，所以1/CE DD，112CEDD，所以/OF CE，OFCE，

22、所以四边形OFEC为平行四边形，/OC FE.直四棱柱1111ABCDABC D中，1DD 平面ABCD，OC 平面ABCD，所以1DDOC.又因为底面ABCD是菱形，所以OCBD，又1DDBDD，1DD 平面11BB D D，BD平面11BB D D，所以OC 平面11BB D D.所以EF平面11BB D D.（2）建立如图空间直角坐标系Oxyz，第 14 页 共 18 页 由60DAB，知2BDABBC，又13AA，则1,0,0B，30,3,2E，10,3,3A，11,0,3D，设,nx y z为平面1ABE的一个法向量.由100n ABn BE，得3303302xyzxyz，令3y，可

23、得9,3,4n.设111,mx y z为平面1D BE的一个法向量.由100m BDm BE，即111112303302xzxyz，令13x，可得3,0,2m.2222229 3304 27 13cos,26934302m nn mmn .如图可知二面角11ABED为锐角，所以二面角11ABED的余弦值是7 1326.【点睛】方法点睛：1、利用向量求异面直线所成的角的方法：设异面直线 AC，BD 的夹角为，则cos AC BDACBD.2、利用向量求线面角的方法：(1)分别求出斜线和它所在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线

24、的方向向量与平面的法向量第 15 页 共 18 页 所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角 3、利用向量求面面角的方法：就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角 19已知直线方程l经过两条直线1:3420lxy与2:220lxy的交点P.(1)求垂直于直线3:210lxy 的直线l的方程；(2)求与坐标轴相交于两点，且以P为中点的直线方程【答案】（1）220 xy；（2）40 xy.【详解】试题分析：（1）联立方程组求出两直线的交点2,2P，再由直线垂直的条件求得直线的斜率，代入直线方程的点斜式

25、可得到直线l的方程；（2）设过点2,2P 的直线l与x轴交于点,0A a与y轴交于点0,Bb，由中点坐标公式求得,a b的值，得到,A B的坐标，可求出,A B所在直线的斜率，再由直线方程的点斜式得答案.试题解析：(1)由3420220 xyxy解得22xy，点 P的坐标是(2,2)所求直线 l与 l3垂直，设直线 l的方程为 2xyC0.把点 P的坐标代入得 2(2)2C0，得 C2.所求直线 l的方程为 2xy20.(2)设与 x 轴交于 A(a,0)，与 y轴交于 B(0，b)，点 P(2,2)为中点，a4，b4，直线方程 l为44xy1，即 xy40.20已知圆22:2220C xyx

26、y，点,1A m、4,2B m，其中mR（1）若直线AB与圆C相切，求直线AB的方程；（2）若以AB为直径的圆D与圆C有公共点，求实数m的取值范围【答案】（1）34170 xy或3430 xy；（2）32 5,2 53.【解析】（1）求出圆心C的圆心坐标与半径长，求出直线AB的方程，利用直线AB与圆C相切可得出圆心C到直线AB的距离等于圆C的半径，可得出关于实数m的等式，求出m的值，进而可求得直线AB的方程；（2）求出线段AB的中点D的坐标，由题意可得出关于m的不等式，即可解得实数m的取值范围.【详解】（1）圆C的标准方程为22114xy，圆心1,1C，半径为2r，第 16 页 共 18 页

27、直线AB的斜率为21344ABkmm，所以，直线AB的方程为314yxm，即34340 xym，由于直线AB与圆C相切，则31125m，解得13m 或7m ，因此，直线AB的方程为34170 xy或3430 xy；（2）线段AB的中点为12,2D m，且5AB，由于以AB为直径的圆D与圆C有公共点，则22ABABrCDr，可得2211931222m，解得32 52 53m，故实数m的取值范围为32 5,2 53.【点睛】关键点睛：本题考查利用两圆有公共点求参数的取值范围，若两圆圆心分别为1C、2C，半径分别为1r、2r，可将问题等价转化为121212rrCCrr来处理.21已知半椭圆22221

28、0,0yxyabab和半圆2220 xyby组成曲线C.如图所示，半椭圆内接于矩形ABCD，CD与y轴交于点G，点P是半圆上异于A，B的任意一点.当点P位于点63,33M处时，AGP的面积最大.（1）求曲线C的方程；（2）连PC，PD分别交AB于点E，F，求证：22AEBF为定值.【答案】(1)22102yxy和2210 xyy.(2)证明见解析，定值为 4【分析】（1）由点M在半圆上，求得b，再由AGP的面积最大，则AG与半圆在M点处的切线平行，从而可求得a，可得曲线C方程 第 17 页 共 18 页（2）设000,0P x yy，写出直线,PC PD方程，求出,E F点坐标，计算22AEB

29、F即可【详解】（1）因为点M在半圆上，得22263133b，0b，1b，当半圆在点M处的切线与直线AG平行时，AGP的面积最大.12OMk，2AGakb，1b，2a，所以曲线C的方程22102yxy和2210 xyy.（2）得1,2C，1,2D，设000,0P x yy，则PCl：002112yxxy，令0y，得0002,02xyEy，PDl：002112yxxy，令0y，得0002,02xyFy，又1,0A，10B,，22001xy，所以2222000000221122xyxyAEBFyy 220000202222222xyxyy 2200020488 242xyyy 4.【点睛】本题考查求

30、曲线的方程，考查解析几何中的定值问题对于定值问题，直接设动点坐标，然后根据已知计算点的坐标，计算线段长度等等，再利用动点在曲线上的性质得出定值是一种基本方法 22已知椭圆222:1(0)9xyCbb上的动点 P 到右焦点距离的最小值为32 2.（1）求椭圆 C 的方程；（2）若直线 l 和椭圆 C 交于 M、N 两点，A 为椭圆的右顶点，0AMAN，求AMN面积的最大值.【答案】（1）2219xy；（2）38.【分析】（1）由题意，得到332 2aac，求得2 2c 且1b，即可得到椭圆 C 的方程；第 18 页 共 18 页（2）设直线AM的方程为(3)yk x，进而得到直线AN的方程为1(

31、3)yxk，联立方程组，求得点M的横坐标21227391kxk，得出,AMAN,进而得到AMN的面积的表达式，结合基本不等式，即可求解.【详解】（1）由题意，椭圆222:1(0)9xyCbb上的动点 P 到右焦点距离的最小值为32 2，可得332 2aac，解得2 2c，又由221bac，故椭圆 C 的方程为2219xy.（2）设直线AM的方程为(3)yk x，不妨设0k.因为0AMAN，则直线AN的方程为1(3)yxk.由22(3),19yk xxy可得222291548190kxk xk.设11,M x y，因为点 A 的坐标为(3,0)，所以212819391kxk，即21227391k

32、xk，所以22126|13191AMkxkk，同理可得2222166|11991kANkkkk，所以AMN的面积1|2SAMAN22213612991kkkk 222422218118198299164kkkkkkkk22181838912 9 64641kkkk，当且仅当2226491kk，即473k时等号成立.所以AMN面积的最大值为38.【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程的求解、及直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用,解答此类题目，通常联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等