2022-2023学年江苏省南京市田家炳高级中学高一上学期12月月考数学试题(解析版).pdf

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1、第 1 页 共 15 页 2022-2023 学年江苏省南京市田家炳高级中学高一上学期 12 月月考数学试题 一、单选题 1命题“2x，使得230 x”的否定是（）A2x，使得230 x B2x，都有230 x C2x，都有230 x D2x，使得230 x 【答案】B【分析】由全称命题和特称命题的否定形式判断即可.【详解】根据题意，命题“2x，使得230 x”是特称命题，其否定为：2x，都有230 x ；故选：B.2“a0”是“关于x的函数0yaxb a单调递减”的（）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C既不充分也不必要条件 D充要条件【答案】D【分析】由函数的单调性依次判断充分性和必要性

2、即可.【详解】若a0，则函数0yaxb a单调递减，满足充分性；若函数0yaxb a单调递减，则a0，满足必要性，故“a0”是“关于x的函数0yaxb a单调递减”的充要条件.故选：D.3若扇形的弧长为8cm，圆心角为 2 弧度，则扇形的面积为（）A28cm B28cm C216cm D216cm【答案】C【分析】利用扇形的面积计算公式即可得出答案.【详解】设扇形的弧长为l，圆心角为，扇形的弧长为8cm，圆心角为 2 弧度，即8,2l，lr，可得4r,第 2 页 共 15 页 该扇形的面积2118 416 cm22Sl r ,故选：C.4计算210232983()(2.5)()()4272 的

3、结果为（）A52 B12 C2518 D32【答案】B【解析】利用指数的运算法则以及零次幂求解即可.【详解】210232983344()(2.5)()()14272299 12；故选：B.【点睛】本题主要考查了指数的运算法则.属于容易题.5设 a=sin1,b=cos1,c=tan1,则 a,b,c的大小关系是（）Aabc Bacb Cbac Dbca【答案】C【详解】由于142，结合三角函数线的定义有：cos1,sin1,tan1OCCBDA，结合几何关系可得：cos1sin1tan1，即bac.本题选择 C选项.6函数 2cos1xxf xx的图像大致如下（）第 3 页 共 15 页 A

4、B C D【答案】A【分析】先通过奇偶性排除 C、D 选项，再计算()f 的值判断 A、B 选项即可.【详解】因为22coscos()01()1()f xfxxxxxxx，所以()f x为奇函数，由奇函数的图像性质可知 C、D 选项不正确；因为2(1)11()1112f ，所以 B 选项不正确.故选：A.7若 xlog23=1，则 3x+9x 的值为（）A3 B6 C2 D12【答案】B【分析】利用对数的运算性质计算即可得到答案.【详解】由题意 x=321log 2log 3，所以 3x=3log 23=2，所以 9x=4，所以 3x+9x=6 故选 B【点睛】本题考查对数的运算性质，属基础题

5、 8 已知函数 223,02 1,0 xxxf xnxx，若方程 f xk恰有 3 个不等的实数根123,x xx，则123xxx的取值范围是（）第 4 页 共 15 页 A2,B22,e C212,e D2112,2ee 【答案】D【分析】作出 f x的图象，由图象可知122xx，再确定3x的范围，最后求解即可.【详解】作出 f x的图象，如图所示：因为 f xk恰有 3 个不等的实数根123,x xx，所以43k，设123xxx，由对称性可知122xx，由42ln3x ，可得：2ln1x，所以211eex，即3211eex，所以12321122eexxx 故选：D.二、多选题 9若函数 x

6、f xa（0a 且1a）在区间2 2,上的最大值和最小值的和为103，则a的值可能是（）A13 B33 C3 D3【答案】BC 第 5 页 共 15 页【分析】分01a、1a 两种情况讨论，分析函数 xf xa在2 2,上的单调性，根据已知条件可得出关于实数a的等式，即可求得实数a的值.【详解】当01a时，函数 xf xa在2 2,上为减函数，则 22maxmin110223f xf xffaa，解得33a；当1a 时，函数 xf xa在2 2,上为增函数，则 22maxmin110223f xf xffaa，解得3a.综上所述，33a 或3.故选：BC.10下列命题为真命题的是（）A若0ab

7、，则11ab B若0ab，则22aabb C若0ab，则ab D若0ab，则22acbc【答案】BC【分析】根据不等式的性质逐一判断即可.【详解】A选项，因为0ab，所以0ab，不等式ab两边同除以ab得11ba，A 不正确；B 选项，0ab，则220,0aaba ababbab b，则有22aabb，B 正确；C 选项，若0ab，则有ab，C 正确；D 选项，当0c时，22acbc，D 不正确；故选：BC.11已知函数 sin2121xfxx R，下列说法正确的是（）A函数 f x是奇函数 B函数 f x的值域为1 1,3 3 C函数 f x是周期为的周期函数 D函数 f x在3,22上单调

8、递减【答案】ABD【分析】根据函数的奇偶性、单调性、周期性知识，逐项分析即可求解.【详解】由于sinsinsinsinsin221221()1212121xxxxxf x ，又函数的定义域为R，第 6 页 共 15 页 所以定义域关于原点对称，而sinsinsin()sinsinsin()sinsinsinsin21 221211 2()()21211221 2xxxxxxxxxxfxf x，故()f x为奇函数，A 正确，由于sin 1,1x，所以sinsinsin1322 42,2,21,3,22213 3xxx，从而sin21 11,213 3x，B 正确，sinsinsin()sins

9、insin()sinsinsinsin21 221211 2()()21211221 2xxxxxxxxxxf xf x，所以()f x不是周期为的周期函数，C 错误，由于sinyx在3,22上单调递减，所以sin21xy 在3,22上单调递减，从而sin221xy 在3,22上单调递增，则sin221xy 在3,22上单调递减，则sin2()121xf x 在3,22上单调递减，D 正确.故选：ABD.12若函数 f x同时满足：对于定义域内的x，都有 0f xfx；对于定义域内的1x，2x，当12xx时，都有 12120f xf xxx，则称函数 f x为“颜值函数”.下列函数中，是“颜值

10、函数”的有（）A sinf xx B 2f xx C 224,04,0 xx xf xxx x D 3f xx 【答案】CD【解析】由条件得出“颜值函数”在定义域内为奇函数、减函数，再对选项进行逐一判断即可.【详解】由题意知，函数 f x是定义域上单调递减的奇函数，A 选项，sinf xx在是定义域上不是单调递减，故错误；B 选项，2f xx不是奇函数，故错误；C 选项.作出函数 224,04,0 xx xf xxx x的图象，如下 第 7 页 共 15 页 根据图象，函数 f x在定义域内为奇函数且为减函数，所以是“颜值函数”.则 C 正确.D 选项,2f xx 在定义域内为奇函数且为减函数

11、,所以是“颜值函数”，则 D 正确.故选:CD.三、填空题 13若幂函数 243mmfxx在区间0,上是减函数，则整数m _【答案】2【分析】由题意可得2430mm，求出m的取值范围，从而可出整数m的值【详解】因为幂函数 243mmfxx在区间0,上是减函数，所以2430mm，解得13m，因为mZ，所以2m，故答案为：2 14函数1sin,2,2 23yxx 的单调递增区间是_.【答案】5,33 【分析】求出函数1sin23yx的所有定义域上的单调递增区间,即可分析出 2,2 x 的单调递增区间.第 8 页 共 15 页【详解】由122()2232kxkkZ得544()33kxkkZ,当0k

12、时,得533x,5,2,2 33 ,且仅当0k 时符合题意,所以函数1sin,2,2 23yxx 的单调递增区间是5,33,故答案为5,33.【点睛】本题主要考查了正弦函数的单调性,意在考查对基础知识的掌握与应用，属于基础题.15已知函数sinyx与函数2cos1yx在区间0,2上的图象的交点为0P，过点0P作x轴的垂线l，垂足为H，l与函数tanyx的图象交于点1P，则线段1PH的长为_.【答案】34【解析】先由题意，设000,P xy，则0,0H x，100,tanP xx，根据题中条件，得到00sin2cos1xx，再由同角三角函数基本关系，计算出0tan x，即可求出结果.【详解】设0

13、00,P xy，则0,0H x，100,tanP xx，因为函数sinyx与函数2cos1yx在区间0,2上的图象的交点为0P，所以00sin2cos1xx，其中0sin0 x，0cos0 x，由00220000sin2cos1sincos1sin0cos0 xxxxxx，解得003sin54cos5xx，因此000sin3tancos4xxx，所以103tan4PHx.故答案为：34 四、双空题 16设 1 923xxfxx，则3log 2f_；不等式21554fxfx的解的范围为_.【答案】31log 22；1,4.【分析】根据题意，化简函数的解析式再代入计算即得解；设 1233xxg x

14、f xx，分析 g x的奇偶性和单调性，将原不等式等价变形为2155xx，解可得答案.第 9 页 共 15 页【详解】解：根据题意，1 9123233xxxxfxxx，则33311log 22log 22log 222f；设 1233xxg xf xx，其定义域为R，易得 g x为减函数（减函数+减函数=减函数），又由 133xxgxxg x，则函数 g x为奇函数，不等式22155412552fxfxfxfx，即2155gxgx，则有2155xx，解可得14x，即不等式的解集为1,4.故答案为：31log 2,1,42.五、解答题 17已知关于x的不等式2120 xmx的解集为6,n.(1)

15、求实数,m n的值；(2)正实数,a b满足22namb，求11ab的最小值；【答案】(1)4,2mn.(2)9.【分析】（1）由一元二次不等式的解集可知6和n是方程2120 xmx的两个根，由此利用根与系数的关系，即可求得答案；（2）由已知结合（1）可得41ab，将11ab变形为114abab，展开后利用基本不等式即可求得答案.【详解】（1）由题意可得6和n是方程2120 xmx的两个根，由根与系数的关系可得6126mnn ，解得4,2mn.（2）正实数,a b满足22namb，由（1）可得282ab，即41ab，所以11114445529babaababababab，当且仅当4baab，即

16、123ab时等号成立，第 10 页 共 15 页 所以11ab的最小值为 9.18（1）求17164cossintan633的值；（2）已知是第三象限角，化简，221sin1cos1tantan.【答案】（1）3；（2）sincos.【解析】（1）根据诱导公式，将大角化小角，并根据特殊值的三角函数，可得结果.（2）根据切化弦，进行化简，可得一个完全平方式，然后根据角所在范围，可得结果.【详解】（1）175coscos 266，即1753coscos662 1616sinsinsin 5333 ，即163sinsin332 44tantantan3333 ，所以原式333322 .(2)令221

17、 T=sin1cos1tantan 22sincossincossincossincosT 2sincossincosT，因为是第三象限角，所以sin0，cos0，所以原式sincos.【点睛】本题主要考查诱导公式以及切化弦，属基础题.19定义一种集合运算：MNx xM，且xN.例如，1,2,3,4,5M，4,5,6,7,8N，则有1,2,3MN.已知集合22|lg 3,R,93,RxxMx yxxxNxx.(1)求MN；(2)求MN和NNM.【答案】(1)23MNxx 第 11 页 共 15 页(2)|02MNxx，|23NNMxx 【分析】（1）化简集合M N，利用交集运算可求得答案；（2

18、）利用集合运算的新定义求解可得答案.【详解】（1）解：因为22|lg 3,R,93,RxxMx yxxxNxx 其中230 xx解得03x，所以03|Mxx；又2229333xxxx，解得2x，所以|2Nx x|23MNxx，（2）解：根据新定义可得集合MN中元素属于集合M，但不属集合N，所以集合|02MNxx，|3,NMx x 则|23NNMxx.20如图，一个水轮的半径为 4 米，水轮圆心 O 距离水面 2 米，已知水轮每分钟逆时针转动 1 圈，当水轮上点 P 从水中浮现时（图中点0P）开始计算时间.（1）将点 P 距离水面的距离 z（单位：米，在水面以下，则 z 为负数）表示为时间 t（

19、单位：秒）的函数；（2）在水轮转动 1 圈内，有多长时间点 P 位于水面上方？【答案】（1）4sin20306tzt；（2）40秒.【解析】（1）以圆心为原点建立平面直角坐标系，根据O距离水面的高度计算出0P坐标，再利用三角函数表示出P点坐标，将P的纵坐标加2即可得到z关于t的函数；（2）根据条件可知0z，解对应的不等式求解出t的范围，由此确定出有多长时间点P位于水面第 12 页 共 15 页 上方.【详解】（1）建立如图所示平面直角坐标系，由题意可知：02 3,2P，则3tan3，所以6，因为水轮每分钟逆时针转动1圈，所以t秒可转动的角度为26030tt，所以P的坐标为4cos,4sin30

20、6306tt，且P的纵坐标加上2即为P到水面的距离，所以4sin20306tzt；（2）因为110,60,30666tt，令4sin20306t，所以1sin3062t，所以763066t，所以040t，所以在水轮转动1圈内，有40秒时间点 P 位于水面上方【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是通过建立合适平面直角坐标系结合三角函数定义求解出z关于t的函数，其中着重去分析P点的纵坐标值得注意.21已知函数 2xf x，()()()g xf xfx（1）解不等式：(2)(1)3fxf x；（2）当1 1,2x 时，求函数()g x的值域；（3）若1x(0，)，2x1，0，使得112(2)()2()

21、0gxag xg x成立，求实数 a 的取值范围 【答案】（1）2|log 3x x；（2）2,2 2；（3）(10,)【解析】（1）由(2)(1)3fxf x，化简得(23)(21)0 xx，结合对数的运算性质，即可求解；（2）由()()()22xxg xf xf x，分类讨论，结合指数的单调性，即可求解.第 13 页 共 15 页（3）根据题意，转化为1112min(0,),(2)()2()x gxag xg x，由（2）求得2max5()2g x，分离参数，得到115(2)2 2 xxa恒成立，结合基本不等式，即可求解.【详解】（1）由题意，函数 2xf x，又由不等式(2)(1)3fx

22、f x，可得212230 xx，即(23)(21)0 xx，解得23x，可得2log 3x，所以不等式的解集为2|log 3x x；（2）由()()()22xxg xf xf x，当10,2x时，1()22,2 2xg x；当 1,0)x 时，1()22xxg x，令2xt，则2111,1,102 yttytt，即1ytt 在1,12上为减函数，故5()2,2g x；综上得：当11,2x 时，函数()g x的值域为2,2 2.（3）由题意得，1112min(0,),(2)()2()x gxag xg x，当21,0 x ，由（2）得2max5()2g x，所以2min2()5 g x，所以11

23、22(2)225 xxa恒成立，即115(2)2 2 xxa恒成立，又115522102 22xx，当且仅当1210log2x时取等号，所以实数 a 的取值范围为(10,)【点睛】有关任意性和存在性问题的求解：此类逻辑推理的关键要素是：逻辑的起点、推理的形式、结论的表达，解决此类问题是对“任意性或存在性”问题进行“等价转化”为两个函数的最值或值域之间的关系，结合基本不等式或不等式的解法等进行求解.22已知函数 cos1 sin1 sin,R,2 2fxaxxx ax.(1)当0a 时，判断并证明函数 f x的奇偶性；(2)设1sin1 sintxx.第 14 页 共 15 页 求实数t的取值范

24、围，并将 f x表示为t的函数 g t；若12 0,2 2ax x，均有 1232 22f xf x，求实数a的取值范围.【答案】(1)奇函数，证明见解析；(2)21,2,22g tatta t ；0,1.【分析】（1）当0a 时，根据函数奇偶性的定义，证明函数的奇偶性；（2）首先平方求222cos0,2tx，再代入求函数 g t；由若12 0,2 2ax x，均有 1232 22f xf x，所以 12max32 22fxfx恒成立，12maxminmax()()f xf xf xf x，分情况讨论可得a的范围.【详解】（1）当0a 时，1 sin1 sinf xxx，,2 2 x 则 1

25、sin1 sin1 sin1 sinfxxxxxf x，所以函数 f x为奇函数，（2）1sin1 sintxx.两边平方得222 costx，又,2 2 x，所以222cos0,2tx，所以2,2t，所以 21,2,22g tatta t ，由若12 0,2 2ax x，均有 1232 22f xf x，所以 12max32 22f xf x恒成立，12maxminmax()()f xf xf xf x，当0a 时，maxmin()2,()2g tg t，有 1232 22f xf x成立，若0a，2212111222g ta ttaa taaaa ，对称轴为1ta，当12a，即202a时，max222g tgaa ，min2()22g taag ，所以 maxmin()2 2g tg t，所以 12max32 22 22f xf x，即202a时，不等式成立，第 15 页 共 15 页 当12a，即22a时，maxmin11(),()22g tga g tgaaa 22a，maxmin132 2()()222g tg taa，则1322aa，所以2231 0aa，解得112a，又22a，所以212a.综上所述：实数a的取值范围为 0,1.