2022-2023学年河南省驻马店市确山县第一高级中学高二上学期期末数学试题(解析版).pdf

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1、第 1 页 共 19 页 2022-2023 学年河南省驻马店市确山县第一高级中学高二上学期期末数学试题 一、单选题 1若6axx的展开式中的常数项为20，则 a=（）A2 B2 C1 D1【答案】D【分析】由题意利用二项展开式的通项公式，求的展开式的常数项.【详解】已知6axx的展开式中的通项公式为：66 21rrrrTCax，令620r，求得：3r，可得展开式的常数项为：63320Ca=，解得：1a.故选：D.2设某医院仓库中有 10 盒同样规格的 X光片，已知其中有 5 盒、3 盒、2 盒依次是甲厂、乙厂、丙厂生产的.且甲、乙、丙三厂生产该种 X光片的次品率依次为111,10 15 20

2、，现从这 10 盒中任取一盒，再从这盒中任取一张 X 光片，则取得的 X光片是次品的概率为（）A0.08 B0.1 C0.15 D0.2【答案】A【分析】利用条件概率公式即可求解.【详解】以 A1，A2，A3分别表示取得的这盒 X光片是由甲厂、乙厂、丙厂生产的，B 表示取得的 X 光片为次品，P 1A=510，P2A=310，P 3A=210，P1|BA=110，P2|BA=115，P3|BA=120；则由全概率公式，所求概率为 P B=P 11|A P BA+P 22|AP BA+P 33|A P BA=510110+310115+210120=0.08.故选：A 30121834521CC

3、CC的值等于 第 2 页 共 19 页 A7351 B7355 C7513 D7315【答案】D【详解】原式等于433344452122.7315CCCCC，故选 D.4已知向量2 3,0,2a，向量13,0,22b，则向量a在向量b上的投影向量为（）A3,0,3 B3,0,1 C1,0,3 D13,0,44【答案】A【分析】根据投影向量的公式求解即可【详解】a在b上投影向量2132 3,0,3,0,323123a babbb 故选：A 5曲率半径可用来描述曲线上某点处的弯曲变化程度，曲率半径越大则曲线在该点处的弯曲程度越小.已知椭圆C：22221xyab（0ab）上点00,P x y处的曲率

4、半径公式为3222220044xyRa bab 若椭圆C上所有点相应的曲率半径的最大值是最小值的 8 倍，则椭圆C的离心率为（）A12 B22 C32 D144【答案】C【分析】根据曲率半径的定义可判断何时曲率半径最大，合适曲率半径最小，再由题设可得基本量的关系，从而可求离心率.【详解】因为曲率半径越大则曲线在该点处的弯曲程度越小，故椭圆在,0a处曲率半径最小，则2minbRa，而椭圆在0,b处曲率半径最大，则2maxaRb，因为maxmin8RR，所以228abba，所以2ab，32e 故选：C.6已知抛物线2:4C yx的焦点为F，点P为抛物线C上一点，点2,2A，则PAPF的最小值为（）

5、A5 B2 C10 D3【答案】D【分析】求出抛物线 C 的准线 l的方程，过 A 作 l的垂线段，结合几何意义及抛物线定义即可得解.第 3 页 共 19 页【详解】抛物线2:4C yx的准线 l：=1x，显然点 A在抛物线 C 内，过 A作 AMl于 M，交抛物线 C 于 P，如图，在抛物线 C上任取不同于点 P 的点P，过P作P Nl于点 N，连 PF，AN，,P A P F，由抛物线定义知，|PAPFPAPMAMANPAPNPAPF，于是得min(|)|2(1)3PAPFAM，即点 P是过 A作准线 l的垂线与抛物线 C的交点时，PAPF取最小值，所以PAPF的最小值为 3.故选：D 7

6、中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱，假设空间站要安排甲，乙，丙，丁 4 名航天员开展实验，其中天和核心舱安排 2 人，问天实验舱与梦天实验舱各安排 1 人，则甲乙两人安排在同一个舱内的概率为（）A16 B14 C13 D12【答案】A【分析】分别求出所有的安排情况，再求甲乙两人安排在同一个舱内的情况，最后用古典概率公式可求解.【详解】从甲，乙，丙，丁 4 名航天员中任选两人去天和核心舱，剩下两人去剩下两个舱位，则有2242=62=12CA种可能，第 4 页 共 19 页 要使得甲乙在同一个舱内，由题意，甲乙只能同时在天和核心舱，在这种安排下，剩下两人去剩下两个舱位，则有

7、22=2A种可能.所以甲乙两人安排在同一个舱内的概率21126P.故选：A 8现要安排六名志愿者去四个不同的场馆参加活动，每名志愿者只能去一个场馆.且每个场馆最少安排一名志愿者，则不同的分配方法有（）A1020种 B1280种 C1560种 D1680种【答案】C【分析】先对志愿者进行分组，然后安排到四个场馆，由此计算出正确答案.【详解】根据题意，若6名志愿者以2,2,1,1形式分为四个服务小组，共有22464422C CA1080A种分配方法；若6名志愿者以3,1,1,1形式分为四个服务小组，共有3464CA480种分配方法.故共有10804801560种分配方法.故选：C 9已知圆221:

8、2440Cxyxy，圆222:4210Cxyxy，M，N分别为圆1C和圆2C上的动点，P为直线:2l yx上的动点，则MPNP的最小值为（）A2 103 B2 103 C103 D103【答案】A【解析】分析圆1C与圆2C的圆心和半径，求出与圆1C关于直线l对称的圆C，再设圆C上的点M与圆1C上点M对称，分析可得原问题可以转化为P到圆C和圆2C上的动点距离之和最小值问题，据此分析可得答案【详解】圆221:2440Cxyxy，即22121xy，圆心为1,2，半径1R，圆222:4210Cxyxy，即22214xy，圆心为2,1，半径2r，设点1,2 关于直线:2l yx对称的点为,a b 第 5

9、 页 共 19 页 则21121222baba ，解得：41ab，圆1C关于直线:2l yx对称的圆为圆C，其圆心为4,1，半径1R，则其方程为22411xy，设圆C上的点M与圆1C上点M对称，则有PMPM，原问题可以转化为P到圆C和圆2C上的动点距离之和最小值问题，连接2C C，与直线l交于点P，此时点P是满足PNPM最小的点，此时232 103PNPMC C，即MPNP的最小值为2 103，故选：A【点睛】关键点点睛：本题考查直线与圆的位置关系，涉及圆与圆关于直线的对称问题，解答本题的关键是求出圆1C直线:2l yx对称的圆的方程22411xy，原问题可以转化为P到圆C和圆2C上的动点距离

10、之和最小值问题.10为排查新型冠状病毒肺炎患者，需要进行核酸检测.现有两种检测方式：（1）逐份检测；（2）混合检测：将其中 k份核酸分别取样混合在一起检测，若检测结果为阴性，则这 k份核酸全为阴性，因而这 k份核酸只要检一次就够了，如果检测结果为阳性，为了明确这 k份核酸样本究竟哪几份为阳性，就需要对这 k 份核酸再逐份检测，此时，这 k 份核酸的检测次数总共为1k 次.假设在接受检测的核酸样本中，每份样本的检测结果是阴性还是阳性都是独立的，并且每份样本是阳性的概率都为01pp，若10k，运用概率统计的知识判断下面哪个 p 值能使得混合检测方式优于逐份检测方式.（参考数据：lg0.7940.1

11、）（）A0.1 B0.3 C0.4 D0.5 第 6 页 共 19 页【答案】A【分析】计算混合检测方式，样本需要检测的总次数Y的期望()E Y，又逐份检测方式，样本需要检测的总次数X，知()10E X，利用()()E YE X求解可得 p的范围，即可得出选项.【详解】设混合检测方式，样本需要检测的总次数 Y 可能取值为 1，11.1011P Yp，101111P Yp，故 Y 的分布列为：Y 1 11 P 101p 1011p 10101011111111 101E Yppp 设逐份检测方式，样本需要检测的总次数 X，则 10E X 要使得混合检测方式优于逐份检测方式，需 E YE X 即1

12、011 10110p，即101110p，即0.1011p 又lg0.7940.1，lg0.7941010.794p ，0.79.140 206p，00.206p.故选：A.二、多选题 11已知在直三棱柱111ABCABC中，底面是一个等腰直角三角形，且1ABBCBB，E、F、G、M 分别为1111BCA BABBC，的中点则（）A1GB与平面11ACC A夹角余弦值为2 55 B1AB与1BC所成角为3 C1/AM平面 EFB D平面1AB C平面1AMC【答案】BCD【分析】建系，利用坐标法，根据线面角，线线角的向量求法可判断 AB，根据线面平行的判定定理可判断 C，利用线面垂直的判定定理先

13、证BC平面11ABB A，可得1BCAB，再证1AB 平面1ABC，第 7 页 共 19 页 然后根据面面垂直的判定定理即得【详解】如图 1，建立空间之间坐标系，设2AB，则有：110,2,00,0,02,0,00,1,02,0,20,0,2ABCGCB，10,1,2GB，2,2,0AC，10,0,2CC，12,0,2BC，10,2,2AB，设平面 ACC1A1的法向量为,nx y z 则有122020n ACxyn CCz，令 x1，则1,1,0n，则111110cos,1025n GBn GBn GB ，1GB与平面11ACC A夹角的正弦值为1010，则余弦值为3 1010，A 错误；1

14、1111141cos,22 22 2BCABBC ABBCAB，AB1与 BC1所成角的余弦值为12，则夹角为3，B 正确；如图 2：连接1EFBEB M，设1BEB MO，连接 OF，E、M 分别为11BCBC，的中点，则1/B EBM且1B EBM，第 8 页 共 19 页 1EMBB为平行四边形，则 O 为1MB的中点，又F 为11AB的中点，则1/OFAM，OF 平面 EFB，1AM平面 EFB，1/AM平面 EFB，C 正确；由题可知平面1AMC即为平面1ABC，由题意可得：1BCABBCBB，又1ABBBB，AB，1BB 平面11ABB A，BC平面11ABB A，1AB 平面11

15、ABB A，则1BCAB，又11ABB A为正方形，则11ABAB，又1BCABB，,BC1AB 平面1ABC，所以1AB 平面1ABC，1AB 平面1AB C，平面1AB C平面1ABC，即平面1AB C平面1AMC，D 正确.故选：BCD 12月光石不能频繁遇水，因为其主要成分是钾钠硅酸盐.一块斯里兰卡月光石的截面可近似看成由半圆和半椭圆组成，如图所示，在平面直角坐标系，半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的右焦点3,0F，椭圆的短轴与半圆的直径重合.若直线0yt t与半圆交于点 A，与半椭圆交于点 B，则下列结论正确的是（）A椭圆的离心率是22 B点F关于直线12yx的对称点在半圆上

16、 CABF面积的最大值是9214 第 9 页 共 19 页 D线段 AB 长度的取值范围是0,33 2【答案】ACD【分析】由题意可求出半圆和椭圆的方程，即可求得椭圆离心率，判断 A；求出F关于直线12yx的对称点即可判断 B；设,A B坐标，表示出ABF面积，利用基本不等式求得其最大值，判断 C；结合半圆的半径以及椭圆的长半轴长，可确定线段 AB 长度的取值范围，判断 D；【详解】由题意得半圆的方程为22+90 xyx，设椭圆的方程为222210,0 xyabxab，所以33bc，所以218a，3 2a 所以椭圆的方程为2210189xyx A椭圆的离心率是3223 2cea，故 A 正确；

17、B设3,0F关于直线12yx的对称点为,m n，可得23nm 且113222mn，解得912,55mn，即对称点为9 12,5 5，因为半圆的方程为22+90 xyx，所以对称点为9 12,5 5不在半圆上，故 B 错误；C由题得ABF面积1|2SAB t，设222111,9,903A x txtxtt ，设222222,1,182189xtB x txt，所以22|9182ABtt，所以222221212191829=9222Sttttttt 2181921244，当且仅当322t 时等号成立，故 C 正确；D当0t 时，|33 2AB；当3t 时，|0AB，所以线段 AB 长度的取值范围是

18、0,33 2，故 D 正确；第 10 页 共 19 页 故选：ACD.三、填空题 13已知双曲线2222:10,0 xyCabab的一条渐近线方程为43yx，且其右焦点为5,0，则双曲线C的标准方程为_.【答案】221916xy【分析】依题意可得43ba，5c，即可求出a、b的值，从而得解.【详解】双曲线2222:10,0 xyCabab的渐近线方程为43yx，可得43ba，其右焦点为5,0，可得5c，又222cab，解得3a，4b，则双曲线C的方程为：221916xy 故答案为：221916xy 14如图，一个三棱柱形容器中盛有水，且侧棱112AA.若侧面 AA1B1B水平放置时，液面恰好过

19、AC，BC，A1C1，B1C1的中点.当底面 ABC水平放置时，液面高为_.【答案】9【分析】先根据条件将水的实际体积算出，再根据棱柱的体积公式即可算出当底面 ABC 水平放置时，液面高度.【详解】设ABC的面积为 x，底面 ABC 水平放置时，液面高为 h 则水的体积为1121294Vxxx 当底面 ABC 水平放置时，水的体积为9Vx hx，解得9h 故答案为:9 15有五瓶墨水，其中红色一瓶，蓝色、黑色各两瓶，某同学从中随机任取两瓶，若取的两瓶中有第 11 页 共 19 页 一瓶是蓝色，则另一瓶是红色或黑色的概率为_.【答案】67【分析】设事件A为“一瓶是蓝色”，事件B为“另一瓶是红色”

20、，事件C为“另一瓶是黑色”，事件D为“另一瓶是红色或黑色”，可得DBC，利用条件概率公式可求得所求事件的概率.【详解】设事件A为“一瓶是蓝色”，事件B为“另一瓶是红色”，事件C为“另一瓶是黑色”，事件D为“另一瓶是红色或黑色”，则DBC，且B与C互斥，又 11223225710C CCP AC，122515CP ABC，11222525C CP ACC，故 67P ABP ACP D APBCAP B AP C AP AP A.故答案为：67.【点睛】方法点睛：求条件概率的常用方法：（1）P ABP B AP A；（2）n ABP B An A；（3）转化为古典概型求解.四、双空题 16已知2

21、nxnxN的展开式中前三项的二项式系数之和为 46，n _；展开式中系数最大的项_【答案】9 925376x【分析】由题意得：0121CCC1462nnnn nn，得9n，又二项式的展开式通项为：9192CrrrrTxx，得11991199C2C2C2C2rrrrrrrr即可解决.【详解】由题意得：0121CCC1462nnnn nn，解得：9n 或10，因为nN，所以10n （舍去），从而9n，第 12 页 共 19 页 因为二项式的展开式通项为：9192CrrrrTxx，所以系数为9C2rr，要求其最大值，所以只要满足11991199C2C2C2C2rrrrrrrr，即119!9!22!9

22、!1!10!9!9!22!9!1!8!rrrrrrrrrrrr，解得：172033r，因为rN，所以6r，所以系数最大项为 69362792C5376Txxx 故答案为：9；925376x 五、解答题 17在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：22(1)(2)9xy(1)若直线l：10kxyk 恒过圆C内一定点M，求过点M的最短弦所在直线的方程；(2)从圆C外一点11,P x y向圆C引一条切线，切点为Q，且有PQPO，求PQ的最小值【答案】(1)210 xy；(2)2 55 【分析】（1）首先求出直线l所过定点 1,1M，然后分析出最短弦与CM垂直，求出斜率，写出直线即可；（2）根据题意得到2

23、2|9PQPC，即22|9POPC，即22221111(1)(2)9xyxy，化简得到P的轨迹方程为220 xy，求出点O到上述直线的距离即为 PO最小值.【详解】（1）直线l的方程变形为 110k xy，令1010 xy，解得11xy，第 13 页 共 19 页 所以无论k取何值，直线l过定点 1,1M，又因为圆C的圆心1,2C，因为过点M的最短弦与CM垂直，且直线 CM的斜率2 111 12CMk ，所以最短弦所在直线的斜率为2，故最短弦的直线方程为121yx，即210 xy；（2）由于2222|9PCPQrPQ，所以22|9PQPC，又PQPO，所以22|9POPC，所以22221111

24、(1)(2)9xyxy，化简得11220 xy，所以点P的轨迹方程为220 xy，因为PQPO，所以PQ取得最小值，即PO取得最小值，点O到直线220 xy的距离220022 551(2)d，即PQ的最小值为2 55 18甲，乙，丙三名同学相约一起打乒乓球，已知丙与甲，乙比赛，丙每局获胜的概率分别为23，01pp，每局比赛的结果互不影响，若乙，丙采用“三局两胜制”进行比赛，丙获胜的概率为295p.(1)求p的值；(2)在甲，乙两名同学中用抽签法随机选择一名同学与丙进行一局比赛，求丙获胜的概率.【答案】(1)35(2)1930 【分析】（1）分情况，丙获胜有两种可能：丙前两局连胜，或者前两局乙，

25、丙各胜一局且第三局丙胜，再根据独立事件的概率公式及互斥事件的概率公式计算可得；（2）根据全概率公式计算可得.第 14 页 共 19 页【详解】（1）由题知，乙，丙进行比赛，丙每局获胜的概率为01pp，若乙，丙采用“三局两胜制”进行比赛，丙获胜有两种可能：丙前两局连胜，概率为21pp；或者前两局乙，丙各胜一局且第三局丙胜，概率为1222(1)pppC，所以丙获胜的概率为2122C(1)ppp295p，计算得p 35.（2）设1A事件为：甲与丙进行比赛，2A事件为：乙与丙进行比赛，B事件为：丙比赛获胜，则 112P A，212P A，123P AB，235P A B，所以 1122121319=2

26、32530P BP A P B AP AP B A.19甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相同，所得次品数分别为X，Y，且X和Y的分布列如下表：X 0 1 2 P 35 110 310 Y 0 1 2 P 12 310 15 试对这两名工人的技术水平进行比较【答案】乙的技术更稳定【分析】根据分布列分别求甲和乙的期望和方差，再进行比较.【详解】【解】工人甲生产出次品数X的均值和方差分别为 3130120.751010E X ，22231300.71 0.720.70.8151010D X 工人乙生产出次品数Y的均值和方差分别为 1310120.72105E Y ，22213100

27、.71 0.720.70.612105D Y 由 E XE Y知，两人生产出次品的平均数相同，技术水平相当，但 D XYD，可见乙的技术更稳定 20如图，在四棱锥PABCD中，平面PAD 平面,2,4,2 3ABCD PAADBDAB，BD是第 15 页 共 19 页 ADC的平分线，且BDBC.(1)若点E为棱PC的中点，证明：BE平面PAD；(2)已知二面角PABD的大小为60，求平面PBD和平面PCD的夹角的余弦值.【答案】(1)证明见解析.(2)35.【分析】(1)延长,CB DA交于点F，连接PF,证明BEPF即可；(2)以AD的中点为O为原点，建立空间直角坐标系，用向量法解决问题.

28、【详解】（1）延长,CB DA交于点F，连接PF，在CDF中，BD是ADC的平分线，且BDBC，CDF是等腰三角形，点B是CF的中点，又E是PC的中点，BEPF，又PF 平面,PAD BE 平面PAD，直线BE平面PAD.（2）在ABD中，2,4,2 3ADBDAB，则90BAD，即BAAD，由已知得60,8BDCBDACD，又平面PAD 平面,ABCD BA 平面ABCD 所以BA 平面PAD，即BAPA，所以以PAD为二面角PABD的平面角，第 16 页 共 19 页 所以60PAD，又2PAAD，所以PAD为正三角形，取AD的中点为O，连OP，则,OPAD OP平面,ABCD 如图建立空

29、间直角坐标系，则 1,0,0,1,2 3,0,5,4 3,0,1,0,0,0,0,3ABCDP，所以1,0,3,2,2 3,0,4,4 3,0DPBDDC ，设111222,mx y znxy z分别为平面PBD和平面PCD的法向量，则 00m DPm BD，即11113022 30 xzxy，取11y ，则3,1,1m ，00n DPn DC，即22223044 30 xzxy，取21y，则3,1,1n，所以3cos,5m nm nm n.则平面PBD和平面PCD所成夹角的余弦值为35.21甲乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司的底薪 80 元，每单抽成 4 元；乙公司无底薪，4

30、0 单以内(含 40 单)的部分每单抽成 6 元，超出 40 单的部分每单抽成 7 元，假设同一公司送餐员一天的送餐单数相同，现从两家公司各随机抽取一名送餐员，并分别记录其 50 天的送餐单数，得到如下频数表：甲公司送餐员送餐单数频数表：送餐单数 38 39 40 41 42 天数 10 15 10 10 5 乙公司送餐员送餐单数频数表：第 17 页 共 19 页 送餐单数 38 39 40 41 42 天数 5 10 10 20 5 若将频率视为概率，回答下列两个问题：（1）记乙公司送餐员日工资为X(单位：元)，求X的分布列和数学期望；（2）小王打算到甲乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从

31、日工资的角度考虑，请利用所学的统计学知识为小王作出选择，并说明理由.【答案】（1）详见解析；（2）推荐小王去乙公司应聘，理由见解析.【解析】（1）本题首先可以设乙公司送餐员送餐单数为a，然后依次求出38a、39a、40a、41a、42a 时的工资X以及概率p，即可列出X的分布列并求出数学期望；（2）本题可求出甲公司送餐员日平均工资，然后与乙公司送餐员日平均工资进行对比，即可得出结果.【详解】（1）设乙公司送餐员送餐单数为a，当38a 时，38 6228X ，515010p；当39a 时，39 6234X，101505p；当40a 时，40 6240X，101505p；当41a 时，40 6 1

32、 7247X ，202505p；当42a 时，40 62 7254X ，515010p，故X的所有可能取值为228、234、240、247、254，故X的分布列为：X 228 234 240 247 254 P 110 15 15 25 110 故11121()228234240247254241.81055510E X.（2）甲公司送餐员日平均送餐单数为：38 0.239 0.340 0.241 0.242 0.139.7，则甲公司送餐员日平均工资为804 39.7238.8 元，第 18 页 共 19 页 因为乙公司送餐员日平均工资为241.8元，238.8241.8，所以推荐小王去乙公司

33、应聘.【点睛】关键点点睛：（1）求分布列的关键是根据题意确定随机变量的所有可能取值和取每一个值时的概率，然后列成表格的形式后即可，（2）根据统计数据做出决策时，可根据实际情况从平均数、方差等的大小关系作出比较后得到结论.22已知点 10B,，点 M是圆 A：22116xy上任意一点，线段 MB的垂直平分线交半径 MA于点 P，当点 M 在圆 A 上运动时，记 P 点的轨迹为 E.(1)求轨迹 E 的方程；(2)作BQx轴，交轨迹 E 于点 Q（Q点在 x 轴的上方），直线:,l xmyn m nR与轨迹 E 交于 C、D（l不过 Q 点）两点，若 CQ 和 DQ关于直线 BQ对称，试求 m的值

34、.【答案】(1)22143xy(2)2m 【分析】（1）利用椭圆定义即可求得轨迹 E 的方程；（2）先将直线l的方程与轨迹 E 的方程联立，再利用设而不求的方法表示0CQDQkk，进而得到mn、的关系式，从而求得 m 的值.【详解】（1）圆22:116Axy的圆心1,0A，半径4r，点P为线段MB的垂直平分线与半径MA的交点，PMPB，42PAPBPAPMAMAB，P点的轨迹E是以AB为焦点的椭圆，设其方程为222210 xyabab，则24a，22c，所以2a，1c，223bac，第 19 页 共 19 页 因此，轨迹E的方程为22143xy.（2）设11,C x y、22,D xy，BQx

35、轴，Q点在x轴的上方，将1x 代入方程22143xy，可得32y ，则31,2Q，联立223412xmynxy可得2223463120mymnyn，22223612 3440m nmn，可得2234nm，由韦达定可得122634mnyym，212231234ny ym.因为CQ、DQ关于直线BQ对称，则0CQDQkk，则1212211233332201101122yyxyxyxx，又11xmyn，22xmyn，则12123213302my ynmyyn，即222312362133034234nmnmnmnmm ，化简得：2328440mnmn，即23220mmn 则2m 或3220mn，当3220mn时，312nm，此时，直线l的方程为331122xmymm y，直线l过点31,2Q，不合题意.综上所述，2m.