2022-2023学年甘肃省兰州市第五十八中学(兰炼一中)高三上第一次模拟考试数学(理科)(解析版).pdf

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1、 答案第 1 页，共 17 页 外装订线 学校:_姓名：_班级：_考号：_ 内装订线内装保密启用前 兰州市第五十八中学（兰炼一中）2022-2023 学年度第一次模拟考试 数学试卷（理科）考试时间：120 分钟；总分 150 分 题号 一 二 三 总分 得分 注意事项：1答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2请将答案正确填写在答题卡上 第 I 卷（选择题）一、单选题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知全集 UxZ|0 x0)右焦点为 F1，过 F1且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A，B两点，抛物线 y216x

2、 的焦点为 F，若ABF 为锐角三角形，则双曲线的离心率的取值范围是()A1 132，B(13，)答案第 3 页，共 17 页 外装订线 学校:_姓名：_班级：_考号：_ 内装订线内装C(1,3)D1，1 132 12 已知 f(x)是偶函数，在(，0)上满足 xf(x)0 恒成立，则下列不等式成立的是()Af(3)f(4)f(5)Bf(4)f(5)Cf(5)f(3)f(4)Df(4)f(5)m，x24x2，xm的图象恰有三个公共点，则实数 m 的取值范围是 14 已知向量a，b满足|a|5，|ab|6，|ab|4，则向量b在向量a上的投影为 15.袋中装有 3 个红球 2 个白球，从中随机取

3、球，每次一个，直到取得红球为止，则取球次数 的数学期望为 .16数列an的前 n 项积为 n2，那么当 n2 时，an 三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共 60 分 17(12 分)第 23 届冬季奥运会于 2018 年 2 月 9 日至 2 月 25 日在韩国平昌举行，期间正值我市学校放寒假，寒假结束后，某校工会对全校教职工在冬季奥运会期间每天收看比赛转播的时间作了一次调查，得到如下频数分布表：收看时间(单位：小时)0,1)1,2)2,3)3,4)4,5)5,

4、6 收看人数 14 30 16 28 20 12(1)若将每天收看比赛转播时间不低于 3 小时的教职工定义为“体育达人”，否则定义为“非体育达人”，请根据频数分布表补全 22 列联表：男 女 合计 体育达人 40 非体育达人 30 合计 并判断能否有 90%的把握认为该校教职工是否为“体育达人”与“性别”有关；答案第 4 页，共 17 页 外装订线 请不要在装订线内答题 线(2)在全校“体育达人”中按性别分层抽样抽取 6 名，再从这 6 名“体育达人”中选取 2名作冬奥会知识讲座，求抽取的这两人恰好是一男一女的概率 附表及公式：P(K2k0)0.15 0.10 0.05 0.025 0.010

5、 0.005 0.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 K2nadbc2abcdacbd.18(12 分)在直角梯形 ABCD(如图 1)，ABC90，BCAD，AD8，ABBC4，M 为线段 AD 中点将ABC 沿 AC 折起，使平面 ABC平面 ACD，得到几何体 BACD(如图2)(1)求证：CD平面 ABC；(2)求 AB 与平面 BCM 所成角 的正弦值 19(12 分)已知各项都为正数的数列an满足 an22an13an.(1)证明：数列anan1为等比数列；(2)若 a112，a232，求an的通项公式 20(12 分

6、)已知函数 f(x)ln x，g(x)12ax22x(a0)(1)若函数 h(x)f(x)g(x)存在单调递减区间，求实数 a 的取值范围；(2)若函数 h(x)f(x)g(x)在1，4上单调递减，求实数 a 的取值范围 21(12 分)已知 F1，F2分别是椭圆 C：x24y21 的左、右焦点(1)若 P 是第一象限内该椭圆上的一点，PF1PF254，求点 P 的坐标；(2)设过定点 M(0,2)的直线 l 与椭圆交于不同的两点 A，B，且AOB 为锐角(其中 O 为坐标原点)，求直线 l 的斜率 k 的取值范围（二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按

7、所做的第一题计分 选修 4-4：坐标系与参数方程 答案第 5 页，共 17 页 外装订线 学校:_姓名：_班级：_考号：_ 内装订线内装22 (10 分)在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为=1+22,=2+22(t为参数),以该直角坐标系的原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为cos2+4cos-=0.(1)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程;(2)求直线l被曲线C截得的弦长是多少?选修 4-5：不等式 23.(10 分)已知f(x)=|x+1|-|ax-1|.(1)当a=1 时,求不等式f(x)1 的解集;(2)若x(0,1)时不等式f(x)x成立,

8、求a的取值范围.答案第 6 页，共 17 页 外装订线 请不要在装订线内答题 线 答案及解析 1已知全集 UxZ|0 x0，a42.又 a42a752，a714.设an的公比为 q，则a7a4q318，q12，ana412n425n，S516842131.9 如图所示，在ABC 中，点 D 在线段 BC 上，且 BD3DC.若ADABAC，则(B)答案第 8 页，共 17 页 外装订线 请不要在装订线内答题 线 A12 B13 C2 D23 解析 本题考查向量的线性运算.ADABBDAB34BCAB34(ACAB)14AB34AC，所以 14，34，从而求得13，故选 B.9已知函数 f(x)

9、2sin(x1)，若对于任意的 xR，都有 f(x1)f(x)f(x2)成立，则|x1x2|的最小值为()A2 B1 C4 D12 解析 对任意的 xR，f(x1)f(x)f(x2)成立，所以 f(x1)f(x)min2，f(x2)f(x)max2，所以|x1x2|minT2，又 f(x)2sin(x1)的周期 T22，所以|x1x2|min1，故选 B.10 从 5 名同学中选若干名分别到图书馆、食堂做志愿者，若每个地方至少去 2 名，则不同的安排方法共有(B)A20 种 B50 种 C80 种 D100 种 解析 当去 4 个人时，则安排方法有 C45C2430 种，当去 5 个人时，则安

10、排方法有 C35C1220 种，综上，不同的安排方法共有 50 种故选 B.11 已知双曲线x24y2b21(b0)右焦点为 F1，过 F1且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A，B两点，抛物线 y216x 的焦点为 F，若ABF 为锐角三角形，则双曲线的离心率的取值范围是(D)A1 132，B(13，)答案第 9 页，共 17 页 外装订线 学校:_姓名：_班级：_考号：_ 内装订线内装C(1,3)D1，1 132 解析 在双曲线x24y2b21 中，当 xc 时，yb22，取 Ac，b22.因为ABF 是锐角三角形，所以AFF14，则 tanAFF1b224ctan 41，即 b282c.

11、因为双曲线x24y2b21 中 a2，所以 b2c2a2c24，所以 c2482c，解得 1 13c1 13，所以1 132ca1，则 1e0 恒成立，则下列不等式成立的是(A)Af(3)f(4)f(5)Bf(4)f(5)Cf(5)f(3)f(4)Df(4)f(5)0 即 f(x)0，f(x)在(，0)上单调递减，又 f(x)为偶函数，f(x)在(0，)上单调递增 f(3)f(4)f(5)，f(3)f(4)m，x24x2，xm的图象恰有三个公共点，则实数 m 的取值范围是 1，2)解析 画出函数图象，如图所示 答案第 10 页，共 17 页 外装订线 请不要在装订线内答题 线 由图可知，当 m

12、1 时，直线 yx 与函数图象恰好有 3 个公共点，当 m2 时，直线yx 与函数图象只有 2 个公共点，故 m 的取值范围是1，2).13 已知向量 a，b 满足|a|5，|ab|6，|ab|4，则向量 b 在向量 a 上的投影为 1 解析 向量 a，b 满足|a|5，|ab|6，|ab|4.|ab|225b22ab36，|ab|225b22ab16.ab5，|b|1，向量 b 在向量 a 上的投影为|b|cos a，b|b|ab|a|b|ab|a|551.15.袋中装有 3 个红球 2 个白球，从中随机取球，每次一个，直到取得红球为止，则取球次数 的数学期望为 32.解析 由题意得 的所有

13、可能值为 1,2,3，P(1)C13C1535，P(2)C12C13C15C14310；P(3)C12C11C13C15C14C13110，E()1352310311032.16数列an的前 n 项积为 n2，那么当 n2 时，an n2（n1）2 解析 设数列an的前 n 项积为 Tn，则 Tnn2，当 n2 时，anTnTn1n2（n1）2.17 第 23 届冬季奥运会于 2018 年 2 月 9 日至 2 月 25 日在韩国平昌举行，期间正值我 答案第 11 页，共 17 页 外装订线 学校:_姓名：_班级：_考号：_ 内装订线内装市学校放寒假，寒假结束后，某校工会对全校教职工在冬季奥运

14、会期间每天收看比赛转播的时间作了一次调查，得到如下频数分布表：收看时间(单位：小时)0,1)1,2)2,3)3,4)4,5)5,6 收看人数 14 30 16 28 20 12(1)若将每天收看比赛转播时间不低于 3 小时的教职工定义为“体育达人”，否则定义为“非体育达人”，请根据频数分布表补全 22 列联表：男 女 合计 体育达人 40 非体育达人 30 合计 并判断能否有 90%的把握认为该校教职工是否为“体育达人”与“性别”有关；(2)在全校“体育达人”中按性别分层抽样抽取 6 名，再从这 6 名“体育达人”中选取 2名作冬奥会知识讲座，求抽取的这两人恰好是一男一女的概率 附表及公式：P

15、(K2k0)0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 K2nadbc2abcdacbd.解析(1)由题意得下表：男 女 合计 体育达人 40 20 60 非体育达人 30 30 60 合计 70 50 120 k21201 2006002705060602472.706.所以有 90%的把握认为该校教职工是“体育达人”与“性别”有关(2)由题意知抽取的 6 名“体育达人”中有 4 名男职工，2 名女职工，记“抽取的这两人恰好是一男一女”为事件 A，P(A)C14C12

16、C26815.答案第 12 页，共 17 页 外装订线 请不要在装订线内答题 线 18 在直角梯形 ABCD(如图 1)，ABC90，BCAD，AD8，ABBC4，M 为线段 AD 中点将ABC 沿 AC 折起，使平面 ABC平面 ACD，得到几何体 BACD(如图2)(1)求证：CD平面 ABC；(2)求 AB 与平面 BCM 所成角 的正弦值 解析(1)由题设可知 AC4 2，CD4 2，AD8，AD2CD2AC2，CDAC，又平面 ABC平面 ACD，平面 ABC平面 ACDAC，CD平面 ABC(2)解法一：等体积法 取 AC 的中点 O 连接 OB，由题设可知ABC 为等腰直角三角形

17、，所以 OB面 ACM，VBACMVABCM且 VBACM13S ACMBO16 23，而 SBCM4 3，A 到面 BCM 的距离 h4 63，所以 sin hAB63.解法二：向量法 取 AC 的中点 O 连接 OB，由题设可知ABC 为等腰直角三角形，所以 OB面 ACM，连接 OM，因为 M、O 分别为 AB 和 AC 的中点，所以 OMCD，由(1)可知 OMAC，故以 OM、OC、OB 所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，如图所示 答案第 13 页，共 17 页 外装订线 学校:_姓名：_班级：_考号：_ 内装订线内装 则 A(0，2 2，0)，B(0,0,2 2

18、)，C(0,2 2，0)，M(2 2，0,0)，CB(0，2 2，2 2)，CM(2 2，2 2，0)，BA(0，2 2，2 2)，平面 BCM 的一个法向量 n(1,1,1)，sin|BAn|BA|n|63.19(12 分)已知各项都为正数的数列an满足 an22an13an.(1)证明：数列anan1为等比数列；(2)若 a112，a232，求an的通项公式 解析(1)an22an13an，an2an13(an1an)又an0，an2an1an1an3，数列an1an为等比数列(2)由(1)得，anan1(a1a2)3n123n1 an1an223n 得 an2an43n1 当 n 为奇数

19、时，a3a1430 a5a3432 a7a5434 答案第 14 页，共 17 页 外装订线 请不要在装订线内答题 线 anan243n3 相加得 ana14(3032343n3)4303n3321323n112，an123n1.当 n 为偶数时由 anan123n1得 an23n1an123n1123n123n1.综上所述 an123n1.20 已知函数 f(x)ln x，g(x)12ax22x(a0)(1)若函数 h(x)f(x)g(x)存在单调递减区间，求实数 a 的取值范围；(2)若函数 h(x)f(x)g(x)在1，4上单调递减，求实数 a 的取值范围 解析(1)h(x)ln x12

20、ax22x，x(0，)，则 h(x)1xax2.由 h(x)在(0，)上存在单调递减区间，知当 x(0，)时，1xax21x22x有解 设 G(x)1x22x，则只要 aG(x)min即可，而 G(x)1x121，所以 G(x)min1，所以 a1.(2)由 h(x)在1，4上单调递减，得当 x1，4时，h(x)1xax20 恒成立，即 a1x22x恒成立，设 G(x)1x22x，则 aG(x)max，而 G(x)1x121，又 x1，4，所以1x14，1，所以 G(x)max716(此时 x4)，所以 a716.21 已知 F1，F2分别是椭圆 C：x24y21 的左、右焦点(1)若 P 是

21、第一象限内该椭圆上的一点，PF1PF254，求点 P 的坐标；(2)设过定点 M(0,2)的直线 l 与椭圆交于不同的两点 A，B，且AOB 为锐角(其中 O 为坐标原点)，求直线 l 的斜率 k 的取值范围 解析(1)因为椭圆方程为x24y21，所以 a2，b1，c 3，答案第 15 页，共 17 页 外装订线 学校:_姓名：_班级：_考号：_ 内装订线内装可得 F1(3，0)，F2(3，0)，设 P(x，y)(x0，y0)，则PF1PF2(3x，y)(3x，y)x2y2354，联立 x2y274，x24y21，解得 x21，y234，x1，y32，即 P1，32.(2)显然 x0 不满足题

22、意，可设 l 的方程为 ykx2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立 x24y21，ykx2，(14k2)x216kx120，由(16k)24(14k2)120，得 k234，x1x216k14k2，x1x21214k2.又AOB 为锐角，即OAOB0，即 x1x2y1y20，x1x2(kx12)(kx22)0，(1k2)x1x22k(x1x2)4(1k2)1214k22k16k14k2444k214k20，可得 k234，即为34k20,设直线l与抛物线C交于点A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=6,x1x2=1,故直线l被曲线C截得的弦长为|AB|=(1+2)(1+2)

23、2-412=(1+1)(36-4)=8.23.已知f(x)=|x+1|-|ax-1|.(1)当a=1 时,求不等式f(x)1 的解集;(2)若x(0,1)时不等式f(x)x成立,求a的取值范围.解:(1)当a=1 时,f(x)=|x+1|-|x-1|,即f(x)=-2,1,2,-1 1 的解集为|12.(2)当x(0,1)时|x+1|-|ax-1|x成立等价于当x(0,1)时|ax-1|0,则|ax-1|1 的解集为|0 2,所以21,故 0a2.答案第 17 页，共 17 页 外装订线 学校:_姓名：_班级：_考号：_ 内装订线内装综上,a的取值范围为(0,2.答案第 18 页，共 1 页 外装订线 请不要在装订线内答题 线