2022-2023学年浙江省杭州市源清中学高二上学期期中数学试题(解析版).pdf

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1、第 1 页 共 19 页 2022-2023 学年浙江省杭州市源清中学高二上学期期中数学试题 一、单选题 1已知直线的方程为30 xy，则该直线的倾斜角为（）A45 B60 C135 D150【答案】A【分析】求出直线的斜率，进而得到直线的倾斜角.【详解】直线的斜率为 1，设直线的倾斜角为，则tan1，因为0180，所以=45.故选:A.2现有一组数据8，7，9，9，7，则这组数据的方差是（）A2 55 B25 C45 D1【答案】C【分析】根据方差公式计算【详解】解：根据题意，得：8799785，则这组数据8，7，9，9，7的平均数是8，所以这组数据的方差为2222214(88)(78)(9

2、8)(98)78)55，故选：C 3正方体1111ABCDABC D中，则异面直线1AB与1BC所成的角是 A30 B45 C60 D90【答案】C【分析】连接1AD，易知：1BC平行 1AD，异面直线1AB与1BC所成的角即异面直线1AB与 A1D所成的角，连接11B D，易知11AB D为等边三角形，异面直线1AB与1BC所成的角是 60 第 2 页 共 19 页 故选 C.4方程ln42xx的根所在的区间是（）A01，B 12，C23，D34，【答案】B【分析】构造函数 ln24f xxx，确定其单调性，结合零点存在性定理得到结论.【详解】令 ln24f xxx，显然 ln24f xxx

3、单调递增，又因为 12420f ，2ln244ln20f，由零点存在性定理可知：ln24f xxx的零点所在区间为 12，所以ln42xx的根所在区间为 12，.故选：B 5如图，在四面体 OABC中，,OAa OBb OCc，且11,24OEEA BFBC，则EF（）A131344abc B131344abc C131344abc D131344abc【答案】D【分析】利用空间向量基本定理求解出3144OFbc，从而求出131344EFOFOEabc.第 3 页 共 19 页【详解】因为14BFBC，所以1131()4444OFOBBFOBBCOBOCOBbc，又1123OEEAa，所以13

4、1344EFOFOEabc 故选：D 6已知椭圆22221(0)xyabab的左、右焦点分别为1F、2F，短轴长为4 3，离心率为12，过点1F的直线交椭圆于,A B两点，则2ABF的周长为（）A4 B5 C16 D32【答案】C【分析】根据短轴长得出b值，再根据离心率得到a值，再利用椭圆定义则得到三角形周长.【详解】由题意，椭圆22221(0)xyabab的短轴长为4 3，离心率为12，所以2222222114cabbaaa，24 3b，则212b，所以4a，所以2ABF的周长为1212416AFAFBFBFa 故选：C.7 算数书是已知最早的中国数学著作，于上世纪八十年代出土，大约比现有传

5、本的九章算术还要早近二百年 算数书内容丰富，有学者称之为“中国数学史上的重大发现”在算数书成书的时代，人们对圆周率的认识不多，用于计算的近似数与真实值相比误差较大 如书中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一此术相当于给出了圆锥的体积 V的计算公式为2136L h，其中 L 和 h分别为圆锥的底面周长和高这说明，该书的作者是将圆周率近似地取为（）A3.00 B3.14 C3.16 D3.20【答案】A【分析】由圆的周长公式可得半径，再由圆锥体积公式结合已知可得.【详解】因为2Lr，所以2Lr，则2221321236LL hL hVh，3.故选：A 8已知过点4,0Pm

6、m作圆22:40C xyy的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，则直线AB必过定点（）第 4 页 共 19 页 A1,2 B2,1 C 1,1 D11,2【答案】A【分析】通过过点4,0Pmm作圆22:40C xyy的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，能得到AB是以PC为直径的圆和圆C的公共弦，将两圆的方程相减可得直线AB的方程，从而求得直线AB恒过定点坐标.【详解】圆22:40C xyy的方程可化为22:(2)4C xy，所以圆心(0,2)C.则以PC为直径的圆的圆心为2(2,)2m，设以PC为直径的圆的半径为r，则2224(2)16(2)222PCmmr.所以以PC为直径的圆的方程为

7、222216(2)(2)()24mmxy.过点4,0Pmm作圆22:40C xyy的切点分别为A，B,两圆的交点为A,B,即两圆的公共弦为AB.将两圆的方程相减可得直线AB的方程为4(2)20 xmym，即(2)(42)0m yxy.令20420yxy得12xy.所以直线AB必过定点1,2.故选：A.【点睛】本题解题的关键是把圆的切线问题转化为求两圆的公共弦问题，然后就能得到直线AB的方程，再利用含参直线过定点的解题策略求定点坐标即可.二、多选题 9已知圆22:430M xyx，则下列说法正确的是（）A点(4,0)在圆内 B圆 M关于320 xy对称 C直线20 xy与截圆 M的弦长为2 55

8、 D直线30 xy与圆 M 相切【答案】BCD【分析】将圆 M 的一般方程转化为标准方程，可知圆心和半径，利用点到圆心的距离和半径比较，第 5 页 共 19 页 可知点与圆的位置关系，判断 A 选项正误，利用圆的对称直线过圆心，判断 B 选项正误，利用圆心到直线的距离和半径以及弦的关系判断 C 选项正误，利用圆心到直线的距离等于半径表示直线与圆相切，判断 D 选项正误.【详解】已知圆22:430M xyx，则其标准方程为2221xy，1r，圆心2,0M，将点4,0到圆心2,0M的距离22142002dr，所以，点4,0在圆外，A 选项错误；将圆心2,0M代入直线320 xy，得23 020 成

9、立 所以直线过圆心，则圆M关于直线320 xy对称，B 选项正确；因为圆心2,0M到直线20 xy的距离2222 5=51 45d,可得弦长为22242 522 155rd,C 选项正确；因为圆心2,0M到直线30 xy的距离3211 3dr，所以直线30 xy与圆M相切，D 选项正确.故选：BCD 10下列结论中正确的结论是（）A2y22xx的最小值是 4 B222sinsin2xx的最小值是2 22 C若1x，则2loglog(2)xxx的最小值是52 D(10)xx的最大值是 25【答案】AC【分析】利用基本不等式可判断A,B,C,根据二次函数的值域可判断D.【详解】对于A:应用基本不等

10、式，因为2220,0 xx,所以2222 2y222 242xxxx,当且仅当1x 时取等号，故A正确;对于B:应用基本不等式 222222222sinsin222sin22=2 22sin2sin2sin2xxxxxx 第 6 页 共 19 页 当且仅当222sin2=sin2xx取等号，即2sin=22x不成立，最小值取不到，故B错误；对于C:若1x,2log0,log(2)log 2log0 xxxxxx 2222loglog(2)=log+log 2log115=log+log 22loglog 2=222xxxxxxxxxxx 当且仅当2log=log 2xx时，即2x 时取等号，故

11、C正确；对于D:2(10)10 xxxx，当5x 时，(10)xx最大值是 5.故D错误；故选：AC.11已知函数()sincos(0)f xxx图像的最小正周期是，则（）A()f x的图像关于点5,08对称 B将()f x的图像向左平移8个单位长度，得到的函数图像关于 y 轴对称 C()f x在0,2上的值域为 1,2 D()f x在3,84上单调递增【答案】BC【分析】先应用辅助角公式把函数化简为()2sin 24f xx,再根据三角函数的对称性，值域和单调性依次判断A.B.C.D即可.【详解】应用辅助角公式把函数化简为()2sin4f xx，因为最小正周期是2=，所以=2，即()2sin

12、 24f xx 对于A：令2,4xk即,Z82kxk，对称中心为082k，所以A错误；对于B：将()f x的图像向左平移8个单位长度，得到的函数为2sin 22sin 22cos2842xxxy，即函数为偶函数关于 y轴对称，所以B正确；对于C：50,2,2444xx，2sin 2,142x，()f x的值域为 1,2，所以C正确；第 7 页 共 19 页 对于D：3 3,2+,84424xx ，当 32424x，即,8 4x时()f x是单调递减的，所以D错误.故选：BC.12在四边形ABCD中(如图 1)，,45,2ABADABDBCBDCD，将四边形ABCD沿对角线BD折成四面体ABCD

13、（如图 2 所示），使得90A BC，E，F，G分别为,BC A D A B的中点，连接,EF CG Q为平面BCD内一点，则（）A三棱锥ABCD的体积为23 B直线EF与CG所成的角的余弦值为4 515 C四面体ABCD的外接球的表面积为8 D若1A Q，则 Q点的轨迹长度为2 33【答案】ABD【分析】取BD中点O，先证BD平面AOC，再由ABCDB A OCD A OCVVV计算体积即可判断 A 选项；用,BC BD BA表示出,EF CG，再由向量的运算求出,EF CG夹角的余弦值即可判断 B 选项；取A C的中点M，由62MAMCMBMD 求出外接球半径，即可判断 C 选项；作A N

14、CO交CO延长线于N，由A N平面BCD，进而求得33NQ，得出 Q点的轨迹即可求得 D 选项.【详解】第 8 页 共 19 页 对于 A，如图，取BD中点O，连接,A O CO，易得,A OBD COBD，又A OCOO，,A O CO平面AOC，则BD平面AOC，易得11,4 13,2,2462A OBDOCA BA C，则1 363cos32 13A OC ，则6sin3A OC，16213232A OCS，则1233ABCDB A OCD A OCA OCVVVSBD，A 正确；对于 B，11112222EFEBBDDFBCBDDABCBDBABD 111222BCBDBA，则2222

15、111111444222EFBCBDBABC BDBC BABD BA1111251 12 222222222 ，则102EF，12CGCBBGBCBA，则2221194422CGBCBC BABA，3 22CG，又1111111222222222244EF CGBCBDBABCBA ，则24 15cos,15103 222EF CGEF CGEFCG，即直线EF与CG所成的角的余弦值为4 515，B 正确；第 9 页 共 19 页 对于 C，易得ABCADC，90A BC，则90A DC，取A C的中点M，连接,MB MD，易得62MAMCMBMD，则四面体ABCD的外接球的半径为62，则外

16、接球表面积为26462，C 错误；对于 D，作A NCO交CO延长线于N，由 A 选项知，A NBD，又BDCOO，,BD CO 平面BCD，则A N平面BCD，又NQ 平面BCD，则A NNQ，又1222A OCSOC A N，则63A N，又1A Q，则263133NQ，即 Q 点的轨迹为以N为圆心，33为半径的圆，则 Q点的轨迹长度为2 33，D 正确.故选：ABD.【点睛】求三棱锥的体积关键在于找出棱锥的高，本题通过分割三棱锥进而得到棱锥的高求出体积；求异面直线的夹角，可以通过向量法进行解决，通过基底表示出两条异面直线所在向量，再由向量的运算求解即可；本题外接球问题属于共斜边的直角三角

17、形模型，求出半径即可求解；立体几何中的轨迹问题通常借助平面的垂线段转化为平面的轨迹问题加以处理.三、填空题 13已知复数1 3i1 iz（i为虚数单位），则z _.【答案】5【分析】根据复数除法运算得2 iz，再计算模即可得答案.【详解】解：因为1 3i1 i1 3i1 i3i+32i1 i1 i1 i2z，所以22215z.第 10 页 共 19 页 故答案为;5 14若直线1:250lxy与直线2:10lkxyk 平行，则这两条直线的距离为_【答案】4 55#455【分析】首先由两条直线平行性质求出k,再由两条平行直线间距离公式计算即可.【详解】因为直线1:250lxy与直线2:10lkx

18、yk 平行 所以21k ,即12k .1:250lxy，211:022lxy，即2:210lxy 应用平行线间距离公式得225 144 55512d 故答案为:4 55.15已知|2|abab，作,OAa OBab，则cosAOB_【答案】3 68#368【分析】先求出,OA OB的数量积和模长,再由向量夹角余弦公式计算可得.【详解】设|2|=2ababt 因为2222|=2=242abtaa bbta bt ,可得22=a b t 所以2222|=2426abaa bbta btt 由222219422OA OBaabaa bttt=2,=6OAat OBabt 可得2993 62cos82

19、64 6tOA OBAOBttOA OB.故答案为：3 68.16已知函数()f x满足(3)(1)9(2)f xfxf对任意Rx恒成立，又函数9fx的图象关于点(9,0)对称，且(1)2022f，则(45)f_【答案】2022【分析】根据题意先求出(2)0f，再根据条件分析得到函数()f x的周期，再求解计算即可.第 11 页 共 19 页【详解】因为函数()f x满足(3)(1)9(2)f xfxf对任意Rx恒成立，所以令=1x，即(2)(2)9(2)fff，解得(2)0f，所以(3)(1)f xfx对任意Rx恒成立，又函数9fx的图象关于点(9,0)对称，将函数9fx向右平移9个单位得到

20、()f x，所以()f x关于点(0,0)，即()f x为R上的奇函数，所以()f xfx，又(3)(1)f xfx对任意Rx恒成立，令3xx ，得()(4)fxf x，即()(4)f xf x，再令4xx，得(+4)(8)f xf x，分析得()(8)f xf x，所以函数()f x的周期为8，因为(1)2022f，所以在(3)(1)f xfx中，令0 x，得(3)(1)2022ff，所以 (45)6 83332022ffff .故答案为：2022.四、解答题 17已知圆1C与 y 轴相切于点(0 3)，圆心在经过点(21)，与点(23)，的直线 l上(1)求圆1C的方程；(2)若圆1C与圆

21、222:6350Cxyxy相交于 M，N两点，求两圆的公共弦长【答案】(1)224316xy(2)2 3 【分析】(1)利用两点求出直线方程 l，利用圆心在 l上又在3y 求出圆心坐标，进而求出圆的半径求出圆1C的方程；(2)利用两圆的方程相减得到公共弦所在直线方程，求出圆心1C到公共弦的距离，利用勾股定理求出两圆的公共弦长【详解】（1）经过点(21)，与点(23)，的直线 l的方程为123 122yx ，即1yx，因为圆1C与 y 轴相切于点(0 3)，所以圆心在直线3y 上，联立31yyx解得43xy可得圆心坐标为(4 3)，又因为圆1C与 y轴相切于点(0 3)，故圆1C的半径为 4，第

22、 12 页 共 19 页 故圆1C的方程为224316xy（2）圆1C的方程为224316xy，即228690 xyxy，圆222:6350Cxyxy，两式作差可得两圆公共弦所在的直线方程为2340 xy，圆1C的圆心(4 3)，到直线2340 xy的距离228941323d，所以两圆的公共弦长为2 16132 3 18如图，在三棱柱111ABCABC中，1AA 底面ABC，122AABCABAC，点M为11BC的中点 (1)证明：1/AC平面1ABM；(2)设N是线段AC上的点，2ANCN，求平面1ABM与平面1AMN夹角的余弦值【答案】(1)证明见解析(2)22 【分析】（1）连接1AB与

23、1A B交于点 O，连接 OM，证明1/OM AC，根据线面平行的判定定理即可得证；（2）建立空间直角坐标系Axyz，不妨设1AB，从而得到各点的坐标，再分别求出平面1ABM与平面1AMN的法向量，利用空间向量夹角余弦的坐标表示即可求得所求.【详解】（1）连接1AB与1A B交于点 O，连接 OM，如图 1，第 13 页 共 19 页 因为在三棱柱111ABCABC中，四边形11AA B B为平行四边形，则 O为1AB的中点，因为点 M为11BC的中点，所以1/OMAC，因为OM 平面1ABM，1AC 平面1ABM，所以1/AC平面1ABM.（2）因为22BCABAC，所以222ABACBC，

24、所以ABAC，又1AA 底面ABC，,AB AC 面ABC，所以11,AAAB AAAC，所以建立空间直角坐标系Axyz，如图 2，不妨设1AB，则(1,0,0)B，10,0,2A，1 1,22 2M，因为N是线段AC上的点，2ANCN，所以2(0,0)3N，所以11,0,2BA ，11 1,02 2AM，120,23A N，设平面1ABM的一个法向量为111,mx y z，则1111112011022m BAxzm AMxy，取12x，得2,2,1m，设平面1AMN的一个法向量为222,xny z，则有122122110222203n AMxyn A Nyz，取23x ，得3,3,2n ，所

25、以3 23 222cos,25992m nm nmn，第 14 页 共 19 页 设平面1ABM与平面1AMN夹角为，易知02，所以2coscos,2m n，即平面1ABM与平面1AMN夹角的余弦值为22.19在ABC中，cos(3sin)sin cosBabCbBC(1)求B；(2)若2,caABC的面积为2 33，求ABC的周长【答案】(1)3(2)2 32 【分析】(1)应用三角恒等变换,正弦定理化简已知等式,结合sin0A,可得tanB的值,即得B的值;(2)由题意利用三角形面积公式可求a的值,进而可求c的值,由余弦定理可求b的值,即可求解ABC的周长的值.【详解】（1）由cos(3s

26、in)sin cosBabCbBC,及正弦定理得23cos sinsin sin cossincosBABCBBC，即得23cos sinsincossin sin cossinsin coscos sinBABCBCBBBCBC，又因为ABC中,sinsinBCA，所以3cos sinsin sinBABA,又因为sin0A,所以sin3cosBB即tan3B 又0,B，故3B （2）由题意，12 3sin23acB，故232 323a，第 15 页 共 19 页 即2 33a，故4 323ca，由余弦定理2222 34 32 34 31233332b ，解得2b.故三角形ABC的周长为2

27、34 322 3233 20已知斜三棱柱111ABCABC，90BCA，2ACBC，1A在底面ABC上的射影恰为AC的中点D，又知11BAAC.(1)线段1A D的长(2)求1C到平面1A AB的距离；【答案】(1)3(2)2 217 【分析】建立空间直角做标系，用空间向量的方法解题即可.【详解】（1）如右图，取AB的中点E，则/DEBC，因为BCAC，第 16 页 共 19 页 所以DEAC，因为1A在底面的射影为D，所以1AD 平面ABC，以1,DE DC DA为,x y z轴建立空间坐标系，则0,1,0A，0,1,0C，2,1,0B，10,0,At，10,2,Ct，10,3,ACt，12

28、,1,BAt，2,0,0CB，由1AC 2130BAt ，得3t，13AD.（2）设平面1A AB的法向量为,nx y z，10,1,3AA，2,2,0AB，所以130220n AAyzn ABxy，设1z，则3,3,1n，所以点1C到平面1A AB的距离1AC ndn2 217.21已知椭圆C：22221xyab（0ab）的离心率为22，右顶点、上顶点分别为A、B，原点O到直线AB的距离为66ab （1）求椭圆C的方程；（2）若P，Q为椭圆C上两不同点，线段PQ的中点为M 当M的坐标为 1,1时，求直线PQ的直线方程 当三角形OPQ面积等于2时，求OM的取值范围【答案】（1）22142xy（

29、2）230 xy，1,2OM.【解析】（1）设出AB方程，根据O到直线AB的距离列出关于,a b的方程，结合离心率求解出22,ab的值，由此求解出椭圆C的方程；（2）利用点差法结合M点坐标，求解出直线PQ的斜率，再根据直线的点斜式方程求解出PQ的直线方程；根据直线PQ与x轴是否垂直进行分类讨论，若PQ与x轴垂直，则根据坐标直接求解出OM的值；若PQ与x轴不垂直，采用联立方程思想，借助韦达定理表示出三角形OPQ的面积，由此得到关于,k m第 17 页 共 19 页 的等式，再化简OM的表达式，即可求解出OM的范围.【详解】解：（1）设直线:1xyABab，即0bxayab，所以O到直线AB的距离

30、为222266ababababab，所以226ab，又因为22222226ceaabcab，所以2242ab，所以椭圆C的方程为：22142xy；（2）因为PQ的中点为 1,1M，且PQ的斜率存在，设1122,P x yQ x y，所以221122222424xyxy，所以222212122xxyy，所以121212122xxyyyyxx，又因为12122,2xxyy，所以121212PQyykxx，所以PQ的直线方程为：1112yx ，即230 xy；若直线PQ垂直于x轴，则22212222222pppppxxyxx 22Mx，0My，所以2OM 若直线PQ不垂直于x轴，设直线PQ方程：0y

31、kxm m，1122,P x yQ x y，22222124240142ykxmkxkmxmxy，所以122412kmxxk，21222412mxxk，22244 12240kmkm，即2242km，又因为O到PQ的距离为21mdk，所以222212122248211422121OPQmmkmSkxxx xkk，2222222222241212012mkmkkmkm，且此时2242km，即0 满足，而1222221 2Mxxkmkxkm，1MMykxmm，第 18 页 共 19 页 所以22222412112kmOMmmm，因为2212km，所以21m，所以21122m，所以12OM，综上可知

32、：1,2OM.【点睛】方法点睛：已知椭圆中一条弦的中点坐标，求解该弦所在直线方程时，可以通过先设出弦所在直线与椭圆的交点坐标，将坐标代入椭圆方程中并将两个方程作差，由此可得中点和坐标原点连线的斜率与直线斜率的关系，从而根据直线的点斜式方程可求解出直线方程.22已知函数 22233 21,f xaxaaxaxR(其中a为常数)(1)若 f x在1,上有两个不同的零点，求实数a的取值范围；(2)若 yf x在区间31,2上单调递增，求实数a的取值范围【答案】(1)331,322(2),13,【分析】（1）利用因式分解得到函数 f x的两个零点，根据所处范围得到不等式组，求得答案；（2）根据函数的零

33、点，采用分类讨论的方法，即讨论两零点的大小关系，再根据要使得 yf x在区间31,2上单调递增，列出相应的不等关系，解得答案.【详解】（1）22233 21321f xaxaaxaaxxa，因为有两个不同的零点所以0a，令 0f x，则123,21xxaa，所以3121 1321aaaa,解得03,1,31.2aaaa 且所以13a，且32a，所以a的取值范围为331,322（2）y 321f xaxxa，当a0时，1230,210 xxaa，所以31,2x时，yf xf x 在31,2上单调递增成立；第 19 页 共 19 页 当0a 时，33yf xx，所以31,2x时，33yx在31,2上单调递增成立，当302a时，12321xxaa，此时 yf x在22321,2aaaa和3,a上单调递增，又32a，所以 yf x在31,2上单调递增，则232321 122aaaa，解得01a；当32a 时，123212xxaa，所以 yf x在31,2上单调递减，不满足；当32a 时，12321xxaa，此时 yf x在23 23,21,)2aaaaa和上单调递增，又212a，所以 yf x在31,2上单调递增，则23323122aaaa，解得3a，综上a的取值范围为,13,