2022-2023学年江苏省盐城中学高二上学期期末数学试题(解析版).pdf

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1、第 1 页 共 17 页 2022-2023 学年江苏省盐城中学高二上学期期末数学试题 一、单选题 1已知椭圆C:221916xy，则椭圆C的焦点坐标为（）A5,0,(5,0)B(0,7),(0,7)C0,3,(0,3)D 0,5,0,5【答案】B【分析】首先确定焦点位置是在x轴还是在y轴，再由标准方程求得,a b c即可求得焦点坐标.【详解】因为椭圆方程是221916xy，所以2216,9ab，所以222cab，即221697cab，又因为椭圆焦点在y轴上，所以焦点坐标为(0,7),(0,7).故选：B.2已知3()f xx，则0(1)(1)limxfxfx （）A0 B3 C2 D3【答案

2、】D【分析】利用导数的定义与运算法则即可得出【详解】已知3()f xx，得2()3fxx，由导数的定义可得0(1)(1)lim(1)3xfxffx .故选：D 3已知2,0A、2,3B，直线l过定点1,2P，且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是（）A21k B112k C1k D2k 或1k 【答案】A【分析】设直线l与线段AB交于点2,Qy，其中03y，利用斜率公式可求得k的取值范围.【详解】设直线l与线段AB交于点2,Qy，其中03y，所以，222,12 1yky .第 2 页 共 17 页 故选：A.4已知 212023 ln2f xfxxx，则2023f（）A0 B2023

3、C1 D2023【答案】B【分析】求导直接求解即可.【详解】解：求导得 20231ffxxx，所以202320232023 12023ff，解得20232023f 故选:B 5已知直线l过点,0A a，且斜率为1，若圆224xy上有 4 个点到l的距离为 1，则a的取值范围为（）A(1,1)B22,22 C(2,2)D0,2)【答案】C【分析】首先由点斜式求出直线方程，再确定圆心，由题意知圆心到直线的距离小于 1，即可求出a的取值范围.【详解】因为圆224xy上有 4 个点到l的距离为 1，所以圆心到直线的距离小于 1，设圆224xy的圆心0,0O到直线的距离为d，又因为过点,0A a，且斜率

4、为1的直线方程为yxa ，即0 xya，所以2200111ad，解得2a，即22a.故选：C.6已知圆22:(1)16Cxy，(1,0)F 为圆内一点，将圆折起使得圆周过点F(如图)，然后将纸片展开，得到一条折痕l，这样继续下去将会得到若干折痕，观察这些折痕围成的轮廓是一条圆锥曲线，则该圆锥曲线的方程为（）第 3 页 共 17 页 A22143xy B2214xy C22143xy D22154xy【答案】A【分析】由图形可知PFPCPAPCAC结果为定值，进而根据椭图的定义推断出点P的轨迹方程.【详解】(1,0)F，(1,0)C，点F关于折痕l的对称点A在圆周上，折痕l为线段AF的垂直平分线

5、，折痕l与AC相交于点P，如图所示：则有PAPF，可知42PFPCPAPCACFC，所以点P的轨迹是以,F C为左、右焦点的椭圆，其中长轴24a，焦距22c，所以点P的轨迹方程为22143xy，即折痕围成轮廓的圆锥曲线的方程为22143xy.故选：A 7若数列na满足1211nnaa ，且13a，则2023a（）A2 B13 C12 D3【答案】B【分析】先根据题干中的递推公式进行逐项代入，即可判别出数列为周期数列，再根据周期数列的性质即可计算出2023a的值【详解】数列na满足1211nnaa ，且13a，212121aa ，3221113aa ，4321112aa ，5142131aaa

6、，则数列na是以 4 为最小正周期的周期数列，即4nnaa，第 4 页 共 17 页 2023505 4 3313aaa .故选：B 8“中国剩余定理”一般指“孙子定理”，是中国古代求解一次同余式组的方法，是数论中一个重要定理，若将被 3 除余 2 且被 5 除余 2 的正整数从小到大排列，组成数列 nc，则23c为（）A62 B102 C302 D332【答案】D【分析】由条件确定数列 nc的通项公式，由此确定23c.【详解】被 3 除余数为 2 的正整数从小到大排列可得，2,5,8,11,14,17,20,23,26,29,32,，被 5 除余数为 2 的正整数从小到大排列可得，2,7,1

7、2,17,22,27,32,，两个数列的公共项按从小到大排列可得，2,17,32,，所以 nc为首项为 2，公差为 15 的等差数列，所以23222 15332c 故选：D.二、多选题 9若曲线22:1xyCab，且,a b分别是 1 与 9 的等差中项与等比中项，则下列描述正确的是（）A曲线C可以表示焦点在x轴的椭圆 B曲线C可以表示焦距是4 2的双曲线 C曲线C可以表示离心率是25的椭圆 D曲线C可以表示渐近线方程是35yx 的双曲线【答案】AB【分析】先求出a，b的值，分类讨论即可求解.【详解】由题知，,a b分别是 1 与 9 的等差中项与等比中项，21 910a ，21 99b ，解

8、得：5a，3b ；当5a，3b 时，第 5 页 共 17 页 此时曲线C的方程为：22153xy，因此曲线C为椭圆，焦点在x轴上，离心率23101155bea，故选项 A 正确，C 错误；当5a，3b 时，此时曲线C的方程为：22153xy，因此曲线C为双曲线，由222cab得2538c，解得：2 2c，焦距为：4 2，渐近线方程为：22053xy即155yx 故选项 B 正确，D 错误；故选：AB.10若数列 na为等比数列，nS为数列 na的前n项和，则下列数列一定成等比的有（）A数列2na B数列1nnaa C232,nnnnnSSSSS D数列1nnaa【答案】AD【分析】设出等比数列

9、 na的公比，利用定义及通项并结合公比的取值情况逐项判断作答.【详解】令等比数列 na的公比为(0)q q，则11nnaa q，对于 A，1122nnaa q，122nnaqa，数列2na是等比数列，A 是；对于 B，当1q 时，1111(1)(1)0nnnnaaaa ，此时数列1nnaa不是等比数列，B 不是；对于 C，当1q ，且n为正偶数时，0nS，此时232,nnnnnSSSSS不成等比数列，C 不是；对于 D，21221nnnnnnaaaqaaa，则数列1nnaa是等比数列，D 是.故选：AD 11下列求导运算错误的是（）A21(log(2)2 ln2xx B1()eexxxx 第

10、6 页 共 17 页 C(3)3 lnxxx D(sin(2)sin(2)2 cos(2)xxxxx 【答案】ABC【分析】利用导数运算法则，逐项计算、判断作答.【详解】对于 A，2(2)1(log(2)2 ln2ln2xxxx，A 不正确；对于 B，2ee1()e(e)exxxxxxxx，B 不正确；对于 C，(3)3 ln3xx，C 不正确；对于 D，(sin(2)sin(2)(sin(2)sin(2)2cos(2)sin(2)2 cos(2)xxxxxxxxxxx，D 正确.故选：ABC 12“黄金双曲线”是指离心率为“黄金分割比”的倒数的双曲线（将线段一分为二，较大部分与全长的比值等于

11、较小部分与较大部分的比值，则这个比值称为“黄金分割比”），若黄金双曲线2222:1(0)xyCabab 的左右两顶点分别为12,A A，虚轴上下两端点分别为12,B B，左右焦点分别为12,F F，EF为双曲线任意一条不过原点且不平行于坐标轴的弦，M为EF的中点.设双曲线C的离心率为e，则下列说法正确的有（）A5+12e BEFOMkke C直线12F B与双曲线C的一条渐近线垂直 D2121212A AFFB B【答案】ACD【分析】对选项逐个分析判断：对于 A 由黄金双曲线的定义即可求得离心率，对于 B 由点差法即可得出EFOMkk的值，对于 C 分别求出直线12F B及渐近线的斜率，求得

12、斜率之积是否为1，对于 D 将所给线段长度由,a b c代入，再由,a b c之间的关系化简即可判断.【详解】对于 A：若2222:1(0)xyCabab是黄金双曲线，则1512512cea，故 A 正确；对于 B：设1122,E x yF xy，00,M x y，其中12012022xxxyyy，第 7 页 共 17 页 又1122,E x yF xy在双曲线上，即22112222222211xyabxyab两式相减得22221212220 xxyyab，即22220001212222212120002020 xxxyyxxbbbbxxayyayayay 则221EFOMbkak得2221E

13、FOMbkkea，故 B 错误；对于 C：1200F Bbbkcc ，渐近线得斜率bka，则1222212511251F Bb bbackkec aacace ，即121F Bkk，则直线12F B与双曲线C的一条渐近线垂直，故 C 正确；对于 D：因为1212122,2,2A Aa B Bb FFc，512cea，所以225151,22ca ba 所以222212121251514444022FFB BacbA Aaa，即2121212A AFFB B，故 D 正确.故选：ACD.三、填空题 13在平面直角坐标系xOy中，若F是抛物线2yx的焦点，2,Pm是抛物线上的一点，则PF _【答案】

14、174【分析】将点P的坐标代入抛物线方程，求出m的值，可得出点P的坐标，再利用抛物线的定义可求得PF.【详解】将点P的坐标代入抛物线方程可得224m，即点2,4P，易知点10,4F，由抛物线的定义可得117444PF.故答案为：174.第 8 页 共 17 页 14若P是直线10 xy 上的一点，点Q是曲线lnyx上的一点，则PQ的最小值为 _ 【答案】2【分析】设,ln,0Q mmm，利用点到直线的距离可得ln12mmd，令 ln1g xxx，利用导数求出 min12g xg，即可得到答案【详解】因为点Q是曲线lnyx上的一点，故设,ln,0Q mmm，所以Q到直线10 xy 的距离为ln1

15、2mmd，令 ln1g xxx，则 111xgxxx 当 1,0,xgxg x单调递增；当 01,0,xg xg x单调递减；所以 min12g xg，所以ln1ln122222mmmmd 所以PQ的最小值为2 故答案为：2 15 对于数列 na，若集合*,NnAx xa n为有限集，则称数列 na为“好数列”.若“好数列”na满足2122nnnaaa，则1a _【答案】1【分析】由题意可得2111nnaa，分110a ，110a 和110a 三种情况进行分类讨论，检验是否满足“好数列”即可【详解】由2122nnnaaa可得2111nnaa，当110a 即11a 时，所以210a ，310a

16、，,10na ，此时1na，满足*,N1nAx xa n，故此时数列 na为“好数列”；当11 0a 即11a，则210a ，310a ，,10na ，由2111nnaa 可得221ln1ln1ln12ln1nnnnaaaa，当110a 时，1ln12ln1nnaa，所以ln1na 是以1ln1a 为首项，公比为 2 的等比数列，第 9 页 共 17 页 所以11ln1ln12nnaa，所以此时ln1na 每项并不相同，由于lnyx在定义域内是递增函数，故na每项并不相同，则集合*,NnAx xa n为无限集，故数列 na不为“好数列”；当110a 时，则211ln12ln 1ln12ln1,

17、2nnaaaan，所以ln1na 是从第二项起公比为 2 的等比数列，所以122ln 1,1ln1ln12,2nnanaan，所以从第二项起，ln1na 每项并不相同，由于lnyx在定义域内是递增函数，故从第二项起，na每项并不相同，则集合*,NnAx xa n为无限集，故数列 na不为“好数列”；综上所述，11a 故答案为：1 16 已知,A B C是椭圆2222+1(0)xyabab上的三个点，O为坐标原点，,A B两点关于原点对称，AC经过右焦点F，若OAOF且2AFCF，则该椭圆的离心率是_【答案】53#153【分析】方法一：设椭圆的左焦点为F，由条件证明四边形AFBF 为矩形，设CF

18、m，结合椭圆的定义求AF，CF，利用勾股定理列方程可得,a c关系由此可求离心率.方法二：设,A s t，,C m n，由OAOF可得222stc，由2AFCF可得23,20mscnt，结合点,A C的坐标满足椭圆方程列方程，消元可得,a c关系由此可求离心率.【详解】方法一：设椭圆的半焦距为c，左焦点为F，则OFOFc 因为,A B两点关于原点对称，所以OAOB，又OAOF，所以OAOBc，所以四边形AFBF 为矩形，设CFm，因为2AFCF，所以2AFm，由椭圆的定义可得22AFam，2CFam，在Rt CAF，3CAm，2CFam，22AFam，第 10 页 共 17 页 所以22229

19、22ammam，所以3am，故23aAF，43aAF，在Rt FAF中，2FFc，所以222416499aac，所以22950ca，所以离心率53cea.方法二：设椭圆的半焦距为c，点A的坐标为,s t，点C的坐标为,m n，则点B的坐标为,st，点F的坐标为,0c，且2222+1stab，2222+1mnab，4可得，222222+3msmsntntab，因为AC经过右焦点F，2AFCF，所以2AFFC，所以,2,cstmc n，故23,20mscnt，所以22amsc，又23msc，所以22233222cacascc，因为OAOF，所以222stc，又2222+1stab，所以22222a

20、cbsc，所以22222234caacb，所以422491450ca ca，即2222950caca，又0ca，所以22950ca，所以离心率53cea.故答案为：53.【点睛】方法点睛：椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：求出 a，c，代入公式cea；只需要根据一个条件得到关于 a，b，c 的齐次式，结合222bac转化为 a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以 a或2a转化为关于 e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得 e(e 的取值范围)第 11 页 共 17 页 四、解答题 17已知等差数列 na和等比数列 nb满足3

21、121,8,lognnabab，*nN(1)求数列 na，nb的通项公式；(2)设数列 na中不在数列 nb中的项按从小到大的顺序构成数列 nc，记数列 nc的前 n 项和为nS，求50S【答案】(1)nan，2nnb，*nN(2)1478 【分析】（1）由题知33a，进而得等差数列 na的公差为1d，进而根据等差数列通项公式和指对互化即可得答案；（2）由题知数列 nc的前 50 项是由数列 na的前 55 项去掉数列 nb的前 5 项后构成的，进而根据等差数列，等比数列的求和公式求解即可.【详解】（1）解：因为等差数列 na和等比数列 nb满足3121,8,lognnabab，*nN，所以3

22、322log 83logab，所以等差数列 na的公差为313 1122aad，所以，nan，2lognnb 所以，nan，2nnb，*nN（2）解：由（1）222nnannba，即nb是数列 na中的第2n项 设数列 na的前 n项和为nP，数列 nb的前 n项和为nQ，因为656432652,2baba 所以数列 nc的前 50 项是由数列 na的前 55 项去掉数列 nb的前 5 项后构成的，所以5055552 1 2(1 55)55147821 2SPQ 18已知圆22:4640C xyxy 第 12 页 共 17 页(1)若一直线被圆 C所截得的弦的中点为(3,2)M，求该直线的方程

23、；(2)设不过圆心C的直线:l yxm与圆 C交于 A，B两点，把CAB的面积 S表示为 m的函数，并求 S的最大值【答案】(1)1yx；(2)421(1)18(1)2Smm，1 3 2,11,13 2m；92.【分析】（1）根据给定条件，求出圆心坐标，再利用圆的性质求解作答.（2）利用点到直线的距离公式，求出CAB边 AB 上的高，再求出弦 AB 长即可求解作答.【详解】（1）圆22:(2)(3)9Cxy圆心(2,3)C，半径3r，显然点(3,2)M在圆 C 内，由圆的性质知，当(3,2)M为圆 C弦的中点时，该弦所在直线垂直于直线CM，直线CM的斜率23132CMk，则有所求直线斜率为 1

24、，方程为：23yx，即1yx，所以该直线的方程为1yx.（2）直线:0l xym与圆C相交时，圆心 C 到直线 l的距离|23|32md，解得1 3 21 3 2m，又直线 l不过圆心(2,3)C，即1m，因此1 3 21 3 2m 且1m，222221|22 3()2(1)362mABrdm，CAB的面积24211|1|1|2(1)36(1)18(1)2222mSAB dmmm，因为1 3 21 3 2m 且1m，则20(1)18m，当2(1)9m，即2m 或4m 时，max92S，所以421(1)18(1)2Smm，1 3 2,11,13 2m，当2m 或4m 时，max92S.19设函数

25、 21ln221f xaxx（a 为非零常数）(1)若曲线 f x在点 0,0f处的切线经过点1,ln 2，求实数a的值；(2)讨论函数 yf x的单调性.【答案】(1)1；(2)分类讨论，答案见解析.【分析】（1）利用导数的几何意义，求出曲线 f x在点 0,0f处的切线方程，再代入计算作答.第 13 页 共 17 页（2）求出函数定义域，利用导数结合分类讨论求解单调区间作答.【详解】（1）函数 21ln221f xaxx，求导得：()2afxxx，则有(0)2af，而1(0)ln22fa，因此曲线 f x在点 0,0f处的切线方程为1(ln2)22ayax，则有1ln2(ln2)22aa，

26、即11(ln2)ln222a，而1ln202，则1a，所以实数a的值为 1.（2）函数 21ln221f xaxx的定义域为(2,)，222(1)1()22xxaxafxxx，当1a 时，恒有()0fx，当且仅当=1x且1a 取等号，则函数()f x在(2,)上单调递增，当1a时，由220 xxa解得111xa ，211xa ，当1112xa ，即01a时，当12xx 或2xx时，()0fx，当12xxx时，()0fx，因此函数()f x在(2,11)a，(11,)a 上单调递增，在(11,11)aa 上单调递减，当0a，即112a 时，当22xx 时，()0fx，当2xx时，()0fx，因此

27、函数()f x在(2,11)a 上单调递减，在(11,)a 上单调递增，所以当0a 时，()f x递减区间是(2,11)a，递增区间是(11,)a；当01a时，()f x递增区间是(2,11)a，(11,)a，递减区间是(11,11)aa ；当1a 时，()f x递增区间是(2,).20已知数列 na各项均不为0，且113a，nQ为数列 na的前n项的积，nS为数列 nQ的前n项的和，若*130N,2nnnQS Snn.(1)求证：数列1nS是等差数列；(2)求 na的通项公式.【答案】(1)证明见解析；第 14 页 共 17 页(2)1,131,222,3nnannnn，Nn.【分析】（1）

28、根据给定的递推公式，结合前 n 项和与第 n 项的关系，列式推理作答.（2）利用（1）的结论求出nQ，再利用前 n 项积的意义求出通项作答.【详解】（1）nS为数列 nQ的前n项的和，当*N,2nn时，130nnnQS S，又1nnnQSS，则有113nnnnSSS S，依题意，N,0nnS，因此1113nnSS，所以数列1nS是以11113Sa为首项，3 为公差的等差数列.（2）由（1）知，133(1)3nnnS，即13nSn，当*N,2nn时，11133(1)3(1)nQnnn n，而1113Qa不满足上式，因为nQ为数列 na的前n项的积，则当3n时，1123(1)13(1)(2)nnn

29、Qnn naQnnn，而221116123QaQ，113a 均不满足上式，所以 na的通项公式是1,131,222,3nnannnn，Nn.21在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知椭圆：22221(0 xya bab）的离心率为22，椭圆上的点与点 10P，的最大距离为2 21.(1)求椭圆的标准方程；(2)设椭圆的上、下顶点分别为A B、，过点P的直线与椭圆交于点CD、（异于点A B、），与y轴交于点M，直线AD与直线BC交于点N，试探究：OM ON是否为定值？若是定值，请求出该定值；若不是定值，请说明理由.第 15 页 共 17 页【答案】(1)椭圆的标准方程为22184xy；(2)4O

30、M ON，理由见解析.【分析】(1)表示椭圆上的点到点P的距离，求其最大值，解方程求a，根据离心率及,a b c关系可求,b c，由此可得椭圆方程；(2)由条件知可设直线CD的方程为1yk x，联立直线CD的方程和椭圆方程可得,C D的坐标关系，求点N的纵坐标并化简，由此证明OM ON为定值.【详解】（1）设椭圆的半焦距为c，设点,T m n为椭圆上一点，则22221mnab，ama，因为 10P，所以222222222221121bcTPmnmbmmmbaa，所以当ma 时，TP取最大值，最大值为1a，由已知2 211a，所以2 2a，又椭圆的离心率为22，所以22cea，所以2c，故222

31、4bac，所以椭圆的标准方程为22184xy；（2）若直线CD的斜率不存在，则/CD AB，与已知矛盾，故设直线CD的方程为1yk x，令0 x 可得yk，故点M的坐标为0,k，联立22184xyykxk，消y可得，2222214280kxk xk，方程2222214280kxk xk的判别式422164 21280kkk，设1122,C x yD xy，则21221222428,2121xxxkkkxk，因为A B、为椭圆的上、下顶点，所以0,2,0,2AB，所以直线AD的方程为2222yyxx，直线BC的方程为1122yyxx，设33,N x y，联立直线AD和直线BC的方程可得，点N的纵

32、坐标为12213124422422kx xk xkxykxk x，又212212284x xkxxk，即21212284kkx xxxk，所以2221221312284224422kxxkkxkk xykkkxk x，第 16 页 共 17 页 所以304OM ONky，【点睛】(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去 x(或 y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为 0 或不存在等特殊情形 22我们知道，如果1nnkkSa，那么11,1,2NkkkS kaSSkk且，

33、反之，如果11,1,2NkkkS kaSSkk且，那么1112nnkkknkkaSSSS.后者常称为求数列前n项和的“差分法”（或裂项法）.(1)请你用差分法证明：2311nnkkkk，其中112nkn nk；(2)证明：1111ln11nnkknkk【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【分析】（1）利用裂项法求出21nkk，再利用裂项法求出31nkk即可推理作答.（2）构造函数()ln(1)f xxx，利用导数探讨论单调性，证明111ln1kkkk，再求和即可作答.【详解】（1）Nk，332(1)331kkkk，则有23311(1)(31)33kkkk，因此233331111111

34、2(31)(1)(31)(0)33332nnnkkknkkkknn1(1)(21)6n nn，又Nk，4432(1)4641kkkkk，则3442131(1)(41)424kkkkk，因此34421111131(1)(41)424nnnnkkkkkkkkk 第 17 页 共 17 页 4413 11 3(41)(0)(1)(21)42 642nnn nnn 4422111111(1)(21)(21)(21)(1)444442nn nnnnnnnn n，而112nkn nk，所以2311nnkkkk.（2）令()ln(1)f xxx，求导得1()111xfxxx ，当10 x 时，()0fx，当

35、0 x 时，()0fx，因此函数()f x在(1,0)上单调递增，在(0,)上单调递减，(1,0)x ，()(0)0f xf，即ln(1)xx，Nk，取11xk，11ln111kk，即有1ln11kkk，即11ln1kkk，(0,)x，()(0)0f xf，即ln(1)xx，Nk，取1xk，11ln1kk，即11lnkkk，则111ln1kkkk，于是Nk，11ln(1)ln1kkkk，有11111ln(1)ln 1nnnkkkkkkk，即1111ln(1)ln11nnkknkk，所以1111ln11nnkknkk.【点睛】易错点睛：裂项法求和，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的