2022-2023学年辽宁省葫芦岛市协作校高二上学期第二次考试数学试题(解析版).pdf

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1、第 1 页 共 15 页 2022-2023 学年辽宁省葫芦岛市协作校高二上学期第二次考试数学试题 一、单选题 1直线l的方程为360 xy，则（）Al的斜率为13 Bl在y轴上的截距为 6 Cl的截距式为026xy Dl的倾斜角为锐角【答案】D【分析】根据直线的一般式方程，把直线方程转化为斜截式和截距式，直接判断各个选项.【详解】整理成斜截式l：36yx，整理成截距式l：126xy，则l的斜率为 3，所以倾斜角为锐角l在y轴上的截距为6.故选：D 2某学校开设 4 门球类运动课程、5 门田径类运动课程和 2 门水上运动课程供学生学习，某位学生任选 1 门课程学习，则不同的选法共有（）A40

2、种 B20 种 C15 种 D11 种【答案】D【分析】根据分类加法计数原理，即可得到答案.【详解】根据分类加法计数原理，不同的选法共有45211 种 故选：D 3我国古代数学名著九章算术中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马已知四棱锥PABCD是阳马，PA上平面ABCD，且2ECPE，若ABa，ACb，APc，则DE（）A122333abc B122333abc 第 2 页 共 15 页 C2233abc D2233abc【答案】C【分析】运用空间向量的加减运算，把已知向量用空间中一组基底表示.【详解】1121()3333AEAPPEAPPCAPACAPAPAC，ADBCACAB

3、，所以22223333DEAEADABACAPabc 故选：C 4抛物线2:12C yx 的焦点为F，P为抛物线C上一动点，定点(5,2)A，则PAPF的最小值为（）A8 B6 C5 D9【答案】A【分析】根据抛物线的定义结合几何图形求解.【详解】如图，设抛物线C的准线为l，过P作PCl于C，过A作ABl于B，因为|PFPC，所以当A，P，C三点共线时，|PAPF取得最小值，故|PAPF的最小值为|5|82p 故选:A.5小陈准备将新买的尚书礼记、左传、孟子、论语、诗经五本书立起来放在书架上，若要求论语、诗经两本书相邻，且尚书礼记放在两端，则不同的摆放方法有（）第 3 页 共 15 页 A18

4、 种 B24 种 C36 种 D48 种【答案】B【分析】先将论语、诗经两书捆绑，然后排好尚书礼记，再排好剩余 3 个位置，最后排论语、诗经，根据分步乘法，即可求得结果.【详解】先将论语、诗经两书捆绑看作一个整体，则可以看作共 4 个位置.先排尚书礼记，排法种数为12A；然后剩余 3 个位置全排列，排法种数为33A；最后排好论语、诗经，两书的排法种类为22A.所以，不同的摆放方法有132232AAA26224 种.故选：B.6 几何原木是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，其第十一卷中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥如图，SAB、SCD是直角圆锥SO的两个轴截面，且1os3cBOC，则

5、异面直线SA与BC所成角的余弦值为（）A13 B66 C64 D63【答案】B【分析】设6AB，以点O为坐标原点，OB、OS所在直线分别为y、z轴，平面ABC内垂直于OB的直线为x轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得异面直线SA与BC所成角的余弦值.【详解】在圆锥SO中，SO 平面ABC，设6AB，以点O为坐标原点，OB、OS所在直线分 别为y、z轴，平面ABC内垂直于OB的直线为x轴建立空间直角坐标系，第 4 页 共 15 页 因为1os3cBOC，所以0,3,0A、0,3,0B、0,0,3S、2 2,1,0C，0,3,3SA，2 2,2,0BC ，所以66cos,63 22 3SA

6、BCSA BCSABC，所以异面直线SA与BC所成角的余弦值为66 故选：B.7双曲线22:12539yxC上的点P到上焦点的距离为 12，则P到下焦点的距离为（）A22 B2 C2 或 22 D24【答案】A【分析】设C的上、下焦点分别为12,F F，根据双曲线的定义12|210PFPFa求出2|2PF 或2|22PF，再根据1212|PFPFFF可得2|22PF.【详解】设C的上、下焦点分别为12,F F，则112PF 因为225a,239b,所以5a，2225398cab，则12|216FFc，由双曲线的定义可知，12|210PFPFa，即2|12|10PF，解得2|2PF 或2|22P

7、F，当2|2PF 时，1212|12214|16PFPFFF，不符合题意；当2|22PF 时，1212|122234|16PFPFFF，符合题意.综上所述：2|22PF.故选：A 8笛卡尔是世界上著名的数学家，他因将几何坐标体系公式化而被认为是解析几何之父据说在他生病卧床时，突然看见屋顶角上有一只蜘蛛正在拉丝织网，受其启发建立了笛卡尔坐标系的雏形 在第 5 页 共 15 页 如图所示的空间直角坐标系中，1111ABCDABC D为长方体，且1ABBC，12AA，点P是x轴上一动点，则APPD的最小值为（）A19 B2 5 C21 D26【答案】C【分析】点 A 关于 x轴对称的点A到 D的距离

8、即APPD的最小值.【详解】因为1ABBC，12AA，由图可知，(1,1,2)A，(0,1,2)D，A 关于x轴对称的点为(1,1,2)A，所以min()21APPDA D.故选：C.二、多选题 9若椭圆22116xym的离心率为33，则实数m的取值可能是（）A10 B8 C5 D4【答案】AC【分析】对椭圆焦点在x轴上和在y轴上两种情况进行分类讨论，根据离心率的定义即可计算得出实数m的取值.【详解】当焦点在x轴上时，由21 6313mm，得10m；当焦点在y轴上时，由26(1)363m，得5m 故选：AC.第 6 页 共 15 页 10已知双曲线22:196yxC，则（）AC的焦点坐标为0,

9、3 BC的渐近线方程为32yx CC的虚轴长为26 DC的离心率为153【答案】CD【分析】根据双曲线的标准方程，求出,a b c，然后对选项逐一判断即可.【详解】因为双曲线22:196yxC，则223,6,15abcab 则焦点坐标为0,15，故 A 错误；焦点在y轴的双曲线的渐近线方程为ayxb，即62yx，故 B 错误；双曲线虚轴长为22 6b，故 C 正确；离心率为153cea，故 D 正确.故选:CD.11在棱长为 2 的正方体1111ABCDABC D中，P是棱AB上一动点，则P到平面11AC D的距离可能是（）A33 B3 C4 23 D2 2【答案】BC【分析】建立空间直角坐标

10、系，利用空间向量写出P到平面11AC D的距离的表达式，然后求其范围即可.【详解】如图，以1D为坐标原点，以11D A，11DC，1DD的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，则1(2,0,0)A，(2,2,2)B，(2,2)(02)P，(0,0,2)D，1(0,2,0)C，故11(2,2,0)AC ，1(2,0,2)AD ，设平面11AC D的法向量(,)nx y z，由111220220n ACxyn ADxz ，取1x，第 7 页 共 15 页 则(1,1,1)n 为平面11AC D的法向量，1(0,2)AP，所以P到平面11AC D的距离123AP ndn 因为02，

11、所以2 3 4 3,33d，而224 382 2033，即 BC 选项的数值才符合.故选：BC 12已知动点P到原点O与(2,0)A的距离之比为 2，动点P的轨迹记为C，直线:3430lxy，则下列结论中正确的是（）AC的方程为2281639xy B动点P到直线l的距离的取值范围为1 7,3 3 C直线l被C截得的弦长为73 DC上存在三个点到直线l的距离为13【答案】AD【分析】根据两点之间距离公式和题意确定方程，结合圆心到直线的距离即可求解，圆的弦长公式求法即可进一步求解.【详解】设(,)P x y，因为|2|POPA，所以22222(2)xyxy，所以C的方程为2281639xy，故 A

12、 正确；因为圆心8,03C到直线:3430lxy的距离54153dr，所以直线l与圆C相交，且弦长为242 72133，故 C 错误；动点P到直线l的距离的取值范围为70,3，故 B 错误，D 正确 第 8 页 共 15 页 故选：AD.三、填空题 13双曲线22189xy的实轴长为_【答案】4 2【分析】根据双曲线标准方程，可得：28a，进而求解即可.【详解】因为28a，所以2 2a，所以实轴长为4 2 故答案为：4 2.14 若函数22yxxa的图象是半径为23rr的圆的一部分，则 a 的一个值可以是_ 【答案】4（答案不唯一）【分析】将函数的解析式化为圆的标准方程形式，得出圆的半径的表达

13、式，根据半径的范围从而可得出答案.【详解】由22yxxa，得2220yxxa y，即22110 xyay，依题意可得213a，解得38a 故答案为：4（答案不唯一，只要 a的值满足38a即可）15如图，提供 4 种不同的颜色给图中A，B，C，D四块区域涂色，若相邻的区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有_种 【答案】48【分析】先对B区域涂色，再对D区域涂色，再对A区域涂色，最后对C区域涂色，再根据分步乘法原理可得答案【详解】先对B区域涂色，共有 4 种不同的涂法，再对D区域涂色，共有 3 种不同的涂法，再对A区域涂色，共有 2 种不同的涂法，最后对C区域涂色，共有 2 种不同的涂法，根据分步

14、乘法计数原理，则不同的涂法共有4 3 2 248 种，故答案为：48.第 9 页 共 15 页 四、双空题 16设椭圆C的上顶点为(0,1)D，且长轴长为2 2，则椭圆C的标准方程为_；过D任作两条互相垂直的直线分别另交椭圆C于A，B两点，则直线AB过定点_【答案】2212xy 10,3【分析】设2222:1(0)xyCabab，根据(0,1)D是椭圆C的上顶点，得到1b，再根据长轴长为2 2，得到2a 求解；设直线AB的方程为ykxm，与椭圆方程联立，由0DA DB求解.【详解】解：设2222:1(0)xyCabab，因为(0,1)D是椭圆C的上顶点，所以1b 因为长轴长为2 2，所以2a，

15、所以椭圆C的标准方程为2212xy 易知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为ykxm，11,A x y，22,B xy，由22,22,ykxmxy可得222124210kxkmxm，所以122412kmxxk，21222112mx xk，因为11,1DAx y，22,1DBxy，所以121212121111DA DBx xyyx xkxmkxm，2212121(1)(1)kx xk mxxm，2222222211412(1)012mkkmmkmk，所以23210mm，解得13m 或1m 当1m 时，直线AB经过点D，不满足题意，所以直线AB的方程为13ykx，故直线AB过定点10,3 故答案

16、为：2212xy，10,3 第 10 页 共 15 页 五、解答题 17（1）求两条平行直线1:1250lxym与2:125130lxym间的距离；（2）求过点1,7且与直线350 xy垂直的直线方程.【答案】（1）1；（2）53160 xy【分析】（1）直接根据平行线间的距离公式即可得结果；（2）根据垂直关系设所求直线的方程为530 xyn，将点代入求出n值即可.【详解】（1）两条平行直线1:1250lxym与2:125130lxym间的距离22131125mmd.（2）依题可设所求直线的方程为530 xyn，将点1,7的坐标代入得5210n.则16n ，故所求直线的方程为53160 xy.

17、18将 4 个不同的小球放入 2 个不同的袋子中(1)若每个袋子中放 2 个小球，有多少种放法？(2)若每个袋子中至少放 1 个小球，有多少种放法？【答案】(1)6；(2)14.【分析】（1）每个袋子中放 2 个小球，有24C种放法.（2）先分三类在分组，所有情况加起来，即可求出答案.【详解】（1）若每个袋子中放 2 个小球，有24C=6种放法（2）若每个袋子中至少放 1 个小球，分三种情况讨论 第 1 个袋子中放 1 个小球，第 2 个袋子中放 3 个小球，有14C=4种放法 第 1 个袋子中放 2 个小球，第 2 个袋子中放 2 个小球，有24C=6种放法 第 1 个袋子中放 3 个小球，

18、第 2 个袋子中放 1 个小球，有14C=4种放法 故若每个袋子中至少放一个小球，有46414 种放法 第 11 页 共 15 页 19已知椭圆22:5xCym经过点5,1(1)求C的标准方程；(2)若直线l与C交于A、B两点，且弦AB的中点为 1,1P，求直线l的斜率【答案】(1)221306xy(2)15 【分析】（1）将点5,1的坐标代入椭圆C的方程，求出m的值，即可得出椭圆C的标准方程；（2）分析可知直线AB的斜率存在，设点11,A x y、22,B xy，由题意可得12122xxyy，利用点差法可求得直线l的斜率.【详解】（1）解：依题意可得 225165m，故椭圆C的标准方程为22

19、1306xy（2）解：22111306，所以，点 1,1P在椭圆C内，若直线ABx轴，则AB的中点在x轴上，不合乎题意，设点11,A x y、22,B xy，由题意可得12122xxyy，则2211222213061306xyxy，两式相减，得1212121250 xxxxyyyy 即12122100 xxyy，所以直线l的斜率121215yykxx 20已知ABC的顶点分别为(2,3)A，(4,5)B，(1,4)C(1)求ABC外接圆的方程；(2)直线:34280lxy上有一动点P，过点P作ABC外接圆的一条切线，切点为Q，求PQ的最小值，并求点P的坐标【答案】(1)2222230 xyxy

20、；(2)PQ的最小值为26，点P的坐标为16 23,55.【分析】（1）设出圆的一般方程，代入三个点的坐标得到方程组，解出即可；（2）设圆心为M，首先判断l与圆相离.根据已知条件，可得出2|25PQPM，则当|PM最第 12 页 共 15 页 小时，PQ最小.又min|PMd，即圆心到直线的距离，进而根据已知可求出PQ最小时P点的坐标.【详解】（1）设ABC外接圆的方程为220 xyDxEyF，代入(2,3)A，(4,5)B，(1,4)C，可得22222223230454501440DEFDEFDEF，即13230414501740DEFDEFDEF，解得2223DEF ，所以ABC外接圆的方

21、程为2222230 xyxy（2）由（1）知，ABC外接圆可化为22(1)(1)25xy，圆心设为(1,1)M，半径5R.设d为点M到直线:34280lxy的距离，则 223 1 41283575534dR ，所以l与圆相离.由已知，PQ是圆M的一条切线，切点为Q，则PQQM，在PQM中，有222|25PQPMRPM，所以要使|PQ最小，只需|PM最小 当PMl时，|PM最小，即min|7PMd，2minmin|252 6PQPM.设(,)P x y，因为PMl，可设直线PM方程为430 xym，又(1,1)M，所以 4 1 310m ，所以1m .所以，直线PM方程为4310 xy，又P在l

22、上，联立PM与l的方程431034280 xyxy，解得165235xy，即16 23,55P 21 如图，已知矩形11BBC C所在平面与平面1ABB N垂直，在直角梯形1ABB N中，1/AN BB，ABAN，112ABBCANBB 第 13 页 共 15 页 (1)证明：1B N 平面BCN；(2)求直线AC与平面1BC N所成角的正弦值【答案】(1)证明见解析(2)36 【分析】（1）由已知可得1BNB N，利用面面垂直的性质可得BC平面1ABB N，再由线面垂直可得1BCB N，根据线面垂直的判定即可证明1B N 平面BCN；（2）以B为坐标原点，BA，1BB，BC的方向分别为x，y

23、，z轴的正方向建立空间直角坐标系，求得平面1BC N的法向量为(1,1,2)m，利用公式即可求出直线AC与平面1BC N所成角的正弦值.【详解】（1）证明：在直角梯形1ABB N中，1/AN BB，ABAN，且112ABANBB，可得1BNB N 因为四边形11BBC C为矩形，所以1BCBB 因为平面11BBC C 平面1ABB N，且平面11BB C C平面11ABB NBB，所以BC平面1ABB N 因为1B N 平面1ABB N，所以1BCB N 因为BCBNB，且BC，BN 平面BCN，所以1B N 平面BCN（2）解：由（1）知BA，BC，1BB两两垂直，以B为坐标原点，BA，1B

24、B，BC的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系不妨设1AB，则(1,0,0)A，(0,0,1)C，(1,1,0)N，1(0,2,1)C，第 14 页 共 15 页 (1,1,0)BN，1(0,2,1)BC，(1,0,1)AC 设平面1BC N的法向量为(,)mx y z，则1020m BNxym BCyz，令1x，得(1,1,2)m 因为13cos,6|62m ACm ACmAC，所以直线AC与平面1BC N所成角的正弦值为36 22已知抛物线2:2(0)C xpy p上一点02,Py到焦点F的距离为 2(1)求抛物线C的方程；(2)抛物线C的准线与y轴交于点 A，过 A 的直线l

25、与抛物线C交于M，N两点，直线MF与抛物线C的准线交于点B，点B关于y轴的对称点为B，试判断F，N，B三点是否共线，并说明理由【答案】(1)24xy；(2)F，N，B三点共线，理由见解析.【分析】（1）点P的坐标代入抛物线方程，结合焦半径公式可求得p，得抛物线方程；（2）设直线方程为1ykx，11,M x y，22,N xy，直线方程代入抛物线方程整理后应用韦达定理得1212,xxx x，然后由直线方程求得B的坐标，再通过FN与FB斜率证得结论成立【详解】（1）由004222pypy得2p，所以抛物线C的方程为24xy（2）抛物线C的准线方程为1y ，所以(0,1)A 易知直线l的斜率存在，设

26、直线方程为1ykx，11,M x y，22,N xy，第 15 页 共 15 页 联立方程组214ykxxy得2440 xkx，则124xxk，124x x 由216160k，得1k 或1k 直线MF的方程为1111yyxx，令1y ，得1121xxy，即112,11xBy，所以112,11xBy 因为2212122212224FNykxxxxkkkxxx，112211111121 12241FBykxxxxkkxxxy ，所以FNFBkk，故F，N，B三点共线【点睛】方法点睛：直线与抛物线相交问题，设出直线方程为ykxm，设出交点坐标11(,)x y，22(,)xy，直线方程与抛物线方程联立方程组消元后应用韦达定理得12xx，12x x，然后用所设点的坐标计算题中需要求解的量（本题计算直线的斜率），代入韦达定理的结果化简可得