2023届北京市房山区高三上学期诊断性评价数学试题(解析版).pdf

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1、第 1 页 共 17 页 2023 届北京市房山区高三上学期诊断性评价数学试题 一、单选题 1已知集合2,0,1,2A ，21Bx x，则AB（）A1,0,1 B 0,1 C2,0,1 D2,0,1,2【答案】B【分析】解不等式求得集合B，进而求得AB.【详解】21,110 xxx，解得11x，所以|11Bxx，所以 0,1AB.故选：B 2若复数z满足1 i2iz，则在复平面内z对应的点位于（）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【答案】A【分析】根据给的等式求出z用i表示，然后运用复数的除法运算解决.【详解】2i 1 i2i22i1 i2i=1 i1 i1 i1 i2zz，所以复

2、数1 i2iz在复平面上的点为 1,1，所以点在第一象限 故选：A 3已知数列 na满足12nnaa，且12a，则数列 na的前四项和4S的值为（）A1516 B1516 C154 D154【答案】C【分析】由题意 na是首项为 2、公比为12的等比数列，利用等比数列前 n 项和公式求4S的值.【详解】由题设 na是首项为 2、公比为12的等比数列，即212nna，所以4412(1)1521412S.第 2 页 共 17 页 故选：C 4已知函数 142xxfx，则 f x（）A图象关于原点对称，且在0,上是增函数 B图象关于原点对称，且在0,上是减函数 C图象关于y轴对称，且在0,上是增函数

3、 D图象关于y轴对称，且在0,上是减函数【答案】B【分析】根据定义判断 f x奇偶性，由解析式1()22xxf x 判断单调性，即可得答案.【详解】由1441()()22xxxxfxf x 且定义域为 R，所以 f x为奇函数，即关于原点对称，又1()22xxf x 在 R 上递减，故在0,上是减函数.故选：B 5若角、是锐角三角形的两个内角，则下列各式中一定成立的是（）Acoscos Bsinsin Ccossin Dcossin【答案】D【分析】根据题设可得022，结合诱导公式判断内角、对应三角函数值的大小关系.【详解】由锐角三角形知：2且0,2，所以022，则sin()sin2，即cos

4、sin，且cos()cos2，即sincos.又已知角的大小不确定，故 A、B 不一定成立，而 C 错，D 对.故选：D 6设平面与平面相交于直线l，直线m在平面内，直线n在平面内，且ml.则“”是“mn”的（）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 第 3 页 共 17 页【答案】A【分析】根据线面、面面垂直的判定及性质判断题设条件间的推出关系，结合充分、必要性定义确定答案.【详解】已知,l mn且ml，当时，则m，而n，故mn，充分性成立；当mn时，若,l n相交，又ml，且 l、n在 内，则m，且m，故；若,l n平行，m不一定成立，即不能确定；所以必

5、要性不成立，故“”是“mn”的充分不必要条件.故选：A 7若抛物线22ypx（0p）上一点M到抛物线的准线和对称轴的距离分别为 5 和 3，则p的值为（）A1 B2 C1 或 9 D2 或 9【答案】C【分析】由题设抛物线准线为2px 且对称轴为 x轴，令(,2)M mpm且0m，结合已知列方程组求参数 p即可.【详解】由抛物线22ypx（0p）知：准线为2px 且对称轴为 x轴，不妨令(,2)M mpm且0m，则5223pmpm，可得9522pp，所以2109(1)(9)0pppp，解得1p 或9p，均满足题设.故选：C 8已知半径为 1 的动圆P经过坐标原点，则圆心P到直线20mxymR的

6、距离的最大值为（）A1 B2 C3 D4【答案】C【分析】利用圆上的点到直线的距离的最值可求解.【详解】由题设，半径为 1 的动圆P经过坐标原点，第 4 页 共 17 页 可知圆心P的轨迹为以原点为圆心，半径为 1 的圆，即221xy 则该圆上的点到直线20mxy的距离的最大值为2211dm 又20m，21 1m，22021m，即13d 故距离的最大值为 3 故选：C 9 某教学软件在刚发布时有 100 名教师用户，发布 5 天后有 1000 名教师用户.如果教师用户人数 R t与天数t之间满足关系式：0ektR tR，其中k为常数，0R是刚发布时的教师用户人数，则教师用户超过 20000 名

7、至少经过的天数为（）（参考数据：lg20.3010）A9 B10 C11 D12【答案】D【分析】根据已知条件求得 ln105e100tR t，结合()20000R t 及指对数关系、对数运算性质求解集，即可得结果.【详解】由题设0050(0)e100(5)e1000kRRRR，可得0100ln105Rk，所以 ln105e100tR t，则ln105e10020000t，故5ln2005lg2005(lg22)11.50511ln10t ，所以教师用户超过 20000 名至少经过 12 天.故选：D 10在ABC中，4BC，3ABAC，则BC BA的取值范围为（）A3,12 B3,12 C1

8、2,24 D12,24【答案】D【分析】设ACm，利用余弦定理可求得cosB，根据向量数量积定义可得248BC BAm，利用三角形三边关系可求得m的范围，结合二次函数性质可求得结果.【详解】设ACm，则3ABm，由余弦定理得：222221682cos2243BCABACmmBBC ABmm，2212cos4 248BC BAmBmm；3434mmmm，12m，24812,24m，第 5 页 共 17 页 即BC BA的取值范围为12,24.故选：D.二、填空题 11函数 1lg1f xxx的定义域是_.【答案】(0,1)(1,)【分析】根据分式、对数的性质列不等式组求定义域即可.【详解】由题设

9、100 xx，故(0,1)(1,)x，所以定义域为(0,1)(1,).故答案为：(0,1)(1,)12431xx的展开式中常数项是_.（用数字作答）【答案】4【分析】根据431xx的展开式的通项公式可求出结果.【详解】431xx的展开式的通项为43141CkkkkTxx 4441Ckkkx，令440k，得1k，所以431xx的展开式中常数项是14C4.故答案为：4.13若双曲线221xym的离心率为 2，则该双曲线的渐近线方程为_.【答案】3yx 【分析】根据离心率求得m，然后求得双曲线的渐近线方程.【详解】依题意，22222212ccabbeaaaa，2113,3bmam，第 6 页 共 1

10、7 页 则双曲线的渐近线方程为3yx.故答案为：3yx 14函数 0.03sin(1000 )0.02sin(2000)0.01sin(3000)f tttt的图象可以近似表示某音叉的声音图象.给出下列四个结论：1500是函数 f t的一个周期；f t的图象关于直线1500t 对称；f t的图象关于点1,0500对称；f t在11,6000 6000上单调递增.其中所有正确结论的序号是_.【答案】【分析】应用诱导公式判断判断1()500f t()f t是否成立即可；2()500ft、()f t的等量关系判断正误；判断 1000,6 6t，2000,3 3t，3000,2 2t 上sin(100

11、0)t，sin(2000)t，sin(3000)t对应单调性，即可判断.【详解】1()0.03sin 100020.02sin(20004)0.01sin 30006500f tttt0.03sin 10000.02sin(2000)0.01sin 3000ttt()f t，所以1500是函数 f t的一个周期，正确；2()0.03sin 4 10000.02sin 820000.01sin 123000500ftttt0.03sin 10000.02sin(2000)0.01sin 3000ttt()f t，所以 f t不关于直线1500t 对称，而关于点1,0500对称，错误，正确；11,

12、6000 6000t，则 1000,6 6t，2000,3 3t，3000,2 2t，而sinyx在,6 6、,3 3、,2 2均递增，故 f t在11,6000 6000上单调递增，正确.故答案为：三、双空题 第 7 页 共 17 页 15 若函数 2,24,x xmf xxmxm xm存在最小值，则m的一个取值为_；m的最大值为_.【答案】0（答案不唯一）4【分析】根据分段函数的性质，结合绝对值、二次函数的性质，讨论 m范围及()f x存在最小值确定m的范围，进而确定答案.【详解】对于|yx，在(,0)上递减，(0,)上递增，在 R 上的最小值为 0；对于22224()4yxmxmxmmm

13、，开口向上且对称轴为xm，所以，在(,)m上递减，(,)m 上递增，在 R 上的最小值为24mm；综上，对于 f(x)：当0m 时，()f x在(,m上递减，(,)m 上递增，此时222|244mmmmmmm 恒成立，所以()f x不存在最小值；当0m 时，()f x在(,0上递减，(0,)上递增，此时最小值为 0；当0m时，()f x在(,0)上递减，(0,m,(,)m 上递增，且(0)0f，又222|(24)3(3)mmmmmmm m，若03m时，20|4mmm，此时最小值为 0；若3m 时，20|43mmm，此时最小值为 0；若34m时，2|40mmm，此时最小值为 0；若4m 时，2|

14、440mmm，此时最小值为 0；若4m时，2|04mmm，此时()f x不存在最小值；综上，0,4m，故 m 的最大值为 4.故答案为：0（答案不唯一），4 四、解答题 16在ABC中，D是边AC上一点，1CD，2BD，3AB，1cos8BDC.第 8 页 共 17 页 (1)求AD的长；(2)求ABC的面积.【答案】(1)2(2)9 78 【分析】（1）ABD中，根据余弦定理求AD的长；（2）ABD中，根据余弦定理求cos A，即可求sin A，再根据三角形的面积公式求解.【详解】（1）因为1cos8BDC，则1coscos cos8ADBBDCBDC ，2BD，3AB，ABD中，2222c

15、osABADBDAD BDADB,即2194228ADAD ，解得：2AD 或52AD （舍），所以2AD；（2）2229443cos22 3 24ABADBDAAB AD，因为0,A 所以27sin1cos4AA，2 13ACADDC，所以1179 7sin3 32248ABCSABACA .17如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为 1 的正方形，PA 平面ABCD，Q为棱PD的中点.第 9 页 共 17 页(1)求证：/PB平面ACQ；(2)再从条件、条件、条件中选择一个作为已知，求：直线PC与平面ACQ所成角的正弦值，以及点P到平面ACQ的距离.条件：AQPC；条件：AQ 平

16、面PCD；条件：62CQ.【答案】(1)证明见解析(2)答案见解析 【分析】（1）连接BD，交AC于O，连接OQ，由中位线性质有/OQPB，再由线面平行的判定证结论；（2）根据所选的条件求得1PA，以A为原点，,AB AD AP为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系，应用空间向量夹角的坐标表示求线面角正弦值，点面距离的向量求法求P到平面ACQ的距离.【详解】（1）连接BD，交AC于O，连接OQ，底面ABCD是正方形，故O是BD的中点，又Q为棱PD的中点，所以，在PBD中/OQPB，而OQ 面ACQ，PB 面ACQ，所以/PB平面ACQ.（2）选：若,E F分别是,AB PC中点，连接,EF FQ

17、 PE EC，第 10 页 共 17 页 由Q为棱PD的中点且底面ABCD是正方形，易知：11/,22FQCDAB FQCDAB，又,AE AB共线且12AEAB，故/,FQAE FQAE，所以AEFQ为平行四边形，故/EFAQ，而AQPC，则EFPC，在PEC中，EF垂直平分PC，故PEEC，即2222PAAEBCBE，由AEBE，故1PABC，又PA 平面ABCD，,AB AD 平面ABCD，则,PAAB PAAD，又ABAD，以A为原点，,AB AD AP为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系，则1 1(0,0,0),(1,1,0),(0,1,0),(0,),(0,0,1)2 2ACDQP

18、，故1 1(0,),(1,1,0),(1,1,1)2 2AQACPC，令(,)mx y z为面ACQ的一个法向量，则110220m AQyzm ACxy，令1x，(1,1,1)m，所以11|cos,|3|33m PCm PCm PC，即直线PC与平面ACQ所成角的正弦值为13，所以点P到平面ACQ的距离13|33PC.选：AQ 平面PCD，PD 平面PCD，则AQPD，Q为棱PD的中点，在PAD中，AQ垂直平分PD，故1PAAD，又PA 平面ABCD，,AB AD 平面ABCD，则,PAAB PAAD，又ABAD，以A为原点，,AB AD AP为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系，则1 1(0

19、,0,0),(1,1,0),(0,1,0),(0,),(0,0,1)2 2ACDQP，故1 1(0,),(1,1,0),(1,1,1)2 2AQACPC，令(,)mx y z为面ACQ的一个法向量，则110220m AQyzm ACxy，令1x，(1,1,1)m，所以11|cos,|3|33m PCm PCm PC，即直线PC与平面ACQ所成角的正弦值为13，所以点P到平面ACQ的距离13|33PC.选：由PA 平面ABCD，CD 平面ABCD，则PACD，又ADCD，由PAADA，,PA AD 面PAD，故CD 面PAD，PD 面PAD，所以CDPD，在RtCDQ中，2222312CQCDD

20、QDQ，则22DQ，故22PDDQ，第 11 页 共 17 页 又AD 平面ABCD，则PAAD，在RtPAD中，2221PAPDAD，即1PA，又PA 平面ABCD，AB平面ABCD，则PAAB，又ABAD，以A为原点，,AB AD AP为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系，则1 1(0,0,0),(1,1,0),(0,1,0),(0,),(0,0,1)2 2ACDQP，故1 1(0,),(1,1,0),(1,1,1)2 2AQACPC，令(,)mx y z为面ACQ的一个法向量，则110220m AQyzm ACxy，令1x，(1,1,1)m，所以11|cos,|3|33m PCm PCm

21、 PC，即直线PC与平面ACQ所成角的正弦值为13，所以点P到平面ACQ的距离13|33PC.18为弘扬中华优秀传统文化，营造良好的文化氛围，增强文化自觉和文化自信，某区组织开展了中华优秀传统文化知识竞答活动，该活动有单人赛和 PK 赛，每人只能参加其中的一项.据统计，中小学生参与该项知识竞答活动的人数共计 4.8 万，其中获奖学生情况统计如下：奖项 组别 单人赛 PK 赛获奖 一等奖 二等奖 三等奖 中学组 40 40 120 100 小学组 32 58 210 100 (1)从获奖学生中随机抽取 1 人，若已知抽到的学生获得一等奖，求抽到的学生来自中学组的概率；(2)从中学组和小学组获奖者

22、中各随机抽取 1 人，以X表示这 2 人中 PK 赛获奖的人数，求X的分布列和数学期望；(3)从获奖学生中随机抽取 3 人，设这 3 人中来自中学组的人数为，来自小学组的人数为，试判断 D与 D的大小关系.（结论不要求证明）【答案】(1)59(2)分布列见解析，期望为712(3)()()DD，理由见解析 第 12 页 共 17 页【分析】（1）应用条件概率公式求概率即可；（2）由题设X可能值为0,1,2，结合表格数据及超几何分布概率公式求分布列，进而求期望；（3）由3，应用方差的性质判断()(3),()DDD的数量关系即可.【详解】（1）若事件A表示抽到的学生获得一等奖，事件B表示抽到的学生来

23、自中学组，所以抽到的 1 个学生获得一等奖，学生来自中学组的概率为()(|)()P ABP B AP A，由表格知：4072(),()700700P ABP A，则5(|)9P B A.（2）由题意，X可能值为0,1,2，1120030011300400CC1(0)CC2P X，111120010010030011300400CCCC5(1)CC12P X，1110010011300400CC1(2)CC12P X，X的分布列如下：X 0 1 2()P X 12 512 112 所以1517()0122121212E X .（3）由题设知3，所以2()(3)(3)(1)()()DDDDD.19

24、已知函数 21e2xf xa xx（aR）.(1)当0a 时，求曲线 yf x在点1x 处的切线方程；(2)求函数 f x的单调区间；(3)若函数 f x恰有一个零点，则a的取值范围为_.（只需写出结论）【答案】(1)ey (2)答案见解析(3)0a.【分析】（1）利用导数的几何意义求 yf x在点1x 处的切线方程；（2）由题设()(2e)(1xfxax，讨论参数 a，结合()fx不同区间上符号确定 f x的单调区间；（3）根据（2）所得的单调性，讨论参数 a，结合零点存在性定理判断 f x零点的个数，即可得参第 13 页 共 17 页 数范围.【详解】（1）由题设()e2xf xx，则()

25、e1xfxx，所以(1)fe，()01f，故曲线 yf x在点1x 处的切线方程为ey.（2）由()(2e)(1xfxax，当0a 时，2e0 xa，则(,1)x 时()0fx，(1,)x时()0fx，所以()f x在(,1)上递减，(1,)上递增；当a0时，令()0fx，可得ln(2)xa或1x，若ln(2)1a，即e02a时，(,ln(2)a、(1,)上()0fx，(ln(2),1)a上()0fx，所以()f x在(,ln(2)a、(1,)上递增，(ln(2),1)a上递减；若ln(2)1a，即e2a 时，0fx在 R 上恒成立，即()f x在 R 上递增；若ln(2)1a，即e2a 时，

26、(,1)、(ln(2),)a上()0fx，(1,ln(2)a上()0fx，所以()f x在(,1)、(ln(2),)a上递增，(1,ln(2)a上递减；综上，0a，()f x在(,1)上递减，(1,)上递增；e02a，()f x在(,ln(2)a、(1,)上递增，(ln(2),1)a上递减；e2a ，()f x在 R 上递增；e2a ，()f x在(,1)、(ln(2),)a上递增，(1,ln(2)a上递减；（3）由（2），当0a 时，min()(1)e0f xf ，而x趋向、时()f x趋向于，所以，()f x在(,1)、(1,)各有一个零点，共两个零点，不合题设；当0a 时()e2xf x

27、x，min()(1)e0f xf ，在x(,1)上()0f x，x趋向时()f x趋向于，所以，此时()f x在(1,)有一个零点，满足题设；当e02a时，极大值22(ln(2)ln(2)12 ln(2)2(ln(2)2)10faaaaaaa，极小值(1)e0f ，x趋向时()f x趋向于，所以，()f x在(1,)有一个零点，满足题设；当e2a 时，(1)e0f ，x趋向时()f x趋向于，所以，()f x在 R 上有一个零点，满足题设；第 14 页 共 17 页 当e2a 时，极大值(1)e0f ，极小值22(ln(2)ln(2)12 ln(2)2(ln(2)2)10faaaaaaa，x趋

28、向时()f x趋向于，所以，()f x在(ln(2),)a上有一个零点，满足题设；综上，函数 f x恰有一个零点，0a.20已知椭圆C：22221xyab(0)ab经过点2,3P，且点P到两个焦点的距离之和为 8.(1)求椭圆C的方程；(2)直线l：ykxm与椭圆C分别相交于,A B两点，直线PA，PB分别与y轴交于点M，N.试问是否存在直线l，使得线段MN的垂直平分线经过点P，如果存在，写出一条满足条件的直线l的方程，并证明；如果不存在，请说明理由.【答案】(1)2211612xy(2)1yx（答案不唯一）【分析】（1）根据椭圆的定义，得到4a，代入(2,3)P，可得b，计算得到椭圆C的方程

29、.（2）联立直线l与椭圆C，利用韦达定理，得到12xx和12x x，再分别利用,P A B，得到直线PA和直线PB，进而得到My与Ny，利用线段MN的垂直平分线经过点P，必有6MNyy，整理可得211212123()2()120 x yx yxxyy，此时，利用韦达定理进行换元，得到23km，然后，对k进行赋值，即可得到满足题意的直线方程.【详解】（1）点P到两个焦点的距离之和为 8，故28a，4a,椭圆C的方程为222116xyb，代入(2,3)P，可得249116b，解得2 3b，故椭圆C的方程为：2211612xy（2）由题意，设1122(,),(,)A x yB xy，联立直线l与椭圆

30、C的方程，可得，2211612xyykxm，整理得，222(1612)3216(12)0kxkmxm，化简得，2216120km，故221612km；122321612kmxxk，212216(12)1612mx xk，又)3(2,P，可设直线PA：1133(2)2yyxx，设直线PB：2233(2)2yyxx，故113(2)32Myyx，223(2)32Nyyx，第 15 页 共 17 页 若线段MN的垂直平分线经过点P，必有6MNyy，故有 121233(2)3(2)3622yyxx ，整理得，121233022yyxx，化简得，2121(2)(3)(3)(2)xyyx，得到，212112

31、21326236x yxyx yyx，211212123()2()120 x yx yxxyy，21121212()()3()2()120 x kxmx kxmxxyy，1212122(3)()2()120kx xmxxkxmkxm，1212122(3)()2()4120kx xmxxk xxm，12122(32)()4120kx xmkxxm，利用韦达定理，得 22232(12)(32)32412016121612k mmkkmmkk，2232(12)(32)32(124)(1612)0k mmkkmmk，222223238432966419214464480kmkkmkmk mkk mm，

32、238496192144480kkmkm，282430kkmkm，24832kkmkm，(23)(21)(12)kkmk，当12k 时，23km，此时，直线l为：32ykxk，故令1k，则必有1m，满足221612km，此时，满足题意的直线l为：1yx（答案不唯一）21若对m，Nn，当mnA 时，都有mnaaA，则称数列 na受集合A制约.(1)若2nna，判断 na是否受N制约，na是否受区间 0,1制约；(2)若11a，23,naa受集合2制约，求数列 na的通项公式；(3)若记p：“na受区间1,2制约”，q：“na受集合2制约”，判断p是否是q的充分条件，p是否是q的必要条件，并证明你

33、的结论.【答案】(1)na受N制约，不受 0,1制约，理由见解析 第 16 页 共 17 页(2),211,2nn nkannk且Nk.(3)p是q的充分不必要条件，证明见解析 【分析】（1）根据数列新定义，判断m、Nn且mnA 是否有mnaaA成立即可判断；（2）由题设可得22nnaa，利用等差数列的定义写出 na的通项公式；（3）由新定义判断p、q的推出关系，结合充分、必要性的定义得到结论.【详解】（1）由m、Nn且Nmn，则1m n，而222(21)mnmnnm naa，显然2,(21)nm nN，则Nmnaa，故 na受N制约，由m、Nn且0,1mn，当0mn，即mn，故00,1nna

34、a；当1mn，即1mn，故112022,1nnnnnaa.故 na不受 0,1制约.综上，na受N制约，不受 0,1制约.（2）由m、Nn且2mn，有2mnaa，所以22nnaa，又11a，23a，故 na的奇数项、偶数项分别为首项为 1、3，且公差均为 2 的等差数列，当21nk且Nk，则112(1)2nnaan，当2nk且Nk，则32(1)12nnaan，综上，,211,2nn nkannk且Nk.（3）结论：p是q的充分不必要条件，证明如下：p为真：na受集合1,2制约，由m、Nn且1,2mn，当1mn，有11,2nnaa成立，则211,2nnaa，进而可得：22,4nnaa；当2mn，有21,2nnaa成立，结合有222nnaa；第 17 页 共 17 页 此时，na受集合2制约；q为真：na受集合2制约，由m、Nn且21,2mn，有221,2nnaa；而1 1,2mn，不一定有11,2nnaa成立（反例：,212,2nn nkannk且Nk，显然2 1 1mn，有 214 131,2aa ），故 na不一定受区间1,2制约；所以，na受区间1,2制约，必受集合2制约，但受集合2制约，不一定受区间1,2制约；综上，p是q的充分不必要条件.