2023届广东省五校高三上学期期末联考数学试题(解析版).pdf

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1、第 1 页 共 22 页 2023 届广东省五校高三上学期期末联考数学试题 一、单选题 1在复数范围内，方程210 x 的两根在复平面内对应的点关于（）A直线yx对称 B直线yx对称 Cy 轴对称 Dx 轴对称【答案】D【分析】求出方程的根，得到对应复平面内的点，据此求解即可.【详解】由210 x 可得ix 或ix ，两根在复平面内对应的点分别为(0,1)和(01)，所以两点关于x轴对称，故选：D 2已知集合2N log2Axx，327xBx，则集合AB的子集个数为（）A1 B2 C3 D4【答案】B【分析】由题意可得1,2,3,4A，|3Bx x，从而可得4AB，写出AB的子集即可得答案.【

2、详解】解：因为2N log21,2,3,4Axx，3273xBxx x，所以4AB，所以AB的子集为,4，共 2 个.故选：B.3已知31ba，37ab，则5ab的取值范围为（）A15,31 B14,35 C12,30 D11,27【答案】D【分析】根据不等式的同向可加性，结合待定系数法可得523ababab，即可得5ab的取值范围.【详解】解：设 5abm abn abmn anm b，所以5213mnmnmn，则523ababab，又31ba，37ab 所以226ab，9321ab，由不等式的性质得：112327abab，第 2 页 共 22 页 则5ab的取值范围为11,27.故选：D.

3、4有 5 人参加某会议，现将参会人安排到酒店住宿，要在 a、b、c 三家酒店选择一家，且每家酒店至少有一个参会人入住，则这样的安排方法共有（）A96 种 B124 种 C150 种 D130 种【答案】C【分析】根据题意，分 2 步进行分析：把 5 人分层三组，一种按照 1,1,3；另一种按照 1,2,2；由组合数公式可得分组的方法数目，将分好的三组对应三家酒店；由分步计数原理计算可得答案.【详解】根据题意：分 2 步进行：5 人在 a、b、c三家酒店选择一家，且每家酒店至少有一个参会人入住，可以把 5 人分成三组，一种是按照 1,1,3；另一种是按照 1,2,2；当按照 1,1,3 来分时共

4、有35C10种分组方法；当按照 1,2,2 来分时共有225322C C15A种分组方法；则一共有10 1525种分组方法；将分好的三组对应三家酒店，有33A6种对应方法；则安排方法共有25 6150种，故选：C.5已知数列 na的前 n项和组成的数列 nS满足11S，25S，21320nnnSSS，则数列 na的通项公式为（）A12nna B11,122,2nnnan C1,12,2nnnan D2nna 【答案】C【分析】首先计算得11a，24a，故可排除 A，D；由21320nnnSSS，得212nnaa，从而得数列 na从第 2 项起成等比数列，首项为 4，公比为 2 的等比数列，根据

5、等比数列的通项公式求解即可.【详解】解：因为11S，25S，第 3 页 共 22 页 所以111aS，2214aSS，故可排除 A，D；又因为21320nnnSSS，所以2112()nnnnSSSS，即212nnaa，又因为21441aa，所以当2n时，数列 na是首项为 4，公比为 2 的等比数列，所以2422nnna，所以1,12,2nnnan.故选：C.6函数 cosf xAx（0，22）的部分图象如图中实线所示，图中圆 C与 f x的图象交于 M，N两点，且 M在 y轴上，则下列说法中正确的是（）A函数 f x的最小正周期是32 B函数 f x在7,12 12单调递减 C函数 f x的

6、图象关于点5,03成中心对称 D将函数 f x的图象向左平移3后得到关于 y轴对称【答案】B【分析】根据函数图象的对称性确定点C的坐标，进而可确定函数的周期，从而求解，再根据最高点的坐标满足函数解析式，求出的大小，进而确定函数的解析式，根据三角函数的性质一一判断求解.【详解】由对称性可知C的横坐标等于20323，所以12362T，所以2T，解得2，故 A 错误；第 4 页 共 22 页 图中函数图象的最高点为362A，即12A，所以cos126fAA，即cos16，因为22，所以6，所以 cos 26fxAx，令2 22 6kxk解得7,Z1212kxk k，当0k 时12127x，所以函数

7、f x在7,12 12单调递减，故 B 正确；令262xk解得,Z32kxk，所以函数的对称中心为,0,Z32kk，令5323k得8Z3k，故C 错误；cos 26fxAx的图象向左平移3个单位得到cos 2cos 2sin2362yAxAxAx 不关于 y轴对称，故 D 错误；故选:B.7设1F，2F分别为双曲线2222:1xyCab（0a，0b）的左、右焦点，A 为双曲线的左顶点，以12FF为直径的圆交双曲线的某条渐近线于 M，N两点，且120MAN，（如图），则该双曲线的离心率为（）A213 B3 C72 D2 33【答案】A 第 5 页 共 22 页【分析】先求出 M，N 两点的坐标，

8、再利用余弦定理，求出 a,c 之间的关系，即可得了双曲线的离心率.【详解】解：不妨设圆与byxa相交，且点M的坐标为000(,),0 xyx，则点N的坐标为00(,)xy，联立2220000,byxxyca，得(,),(,)M a b Nab，又(,0)Aa且120MAN，所以22|(),|AMaabANb，所以由余弦定理得：2222224()2()cos120caabbaabb，化简得2273ac，所以22273cea，所以213e.故选：A 8 已知函数 f x，x，yR，有 f xyf xf ayfyf ax，其中0a，0f a，则下列说法一定正确的是（）A4a是 f x的一个周期 B

9、f x是奇函数 C f x是偶函数 D 1f a 【答案】A【分析】利用特殊函数即可判断 BCD，利用赋值法可证明4a是 f x的一个周期，从而可得正确的选项.【详解】取 12f x，1a，则 102f a，12fxy，11242f xf ayfyf ax 因此 f xyf xf ayfyf ax成立，此时 112f，12fxf x，故 f x为偶函数，故 B 错误，D 错误；取 sinf xx，2a，则 10f a ，sinf xyxy，sin coscos sinsin()f xf ayfyf axxyxyxy，第 6 页 共 22 页 因此 f xyf xf ayfyf ax成立，此时

10、f x为奇函数，故 C 错误；令0 xy，则 020fff a，令xa，0y，则 220f afaf，若 00f，则 2f afa，又 0f a，故 1f a，令ya，则 0f xaf xff af ax，所以f xaf ax，令xya，则 2200faf a f，令2xa，则 22fayfaf ayfyfafyfa，又2yffay，故 fyfyfa，此时令ya，则 1f afafa，故1fa或1fa.若1fa，则 fyfy，故 f x为偶函数，故afaxxxf af，即 2f xfax，所以 f x为周期函数且周期为2a.若1fa，则 fyfy，故 f x为奇函数，故afaxxxf af，即

11、 2xfaxf，故 24xffaxfxa，所以 f x为周期函数且周期为4a.若 00f，则 12f a，此时 21110244f，故 102f或 102f，若 102f，令xya，则11111222222fa，令xa，ya，则 002ffa ff a fa，所以12fa，令ya，则 11022fxafx ff a f axfxf ax，令ya，则 11222fxafx fafa f axfxf ax，故()faaf xx即()2faf xx，第 7 页 共 22 页 故 f x为周期函数且周期为2a.若 102f，令xya，则11111222222fa ，令xa，ya，则 002ffa ff

12、 a fa，所以12fa，令ya，则 11022f xaf x ff a f axf xf ax，令ya，则 11222fxafx fafa f axfxf ax，故()faaf xx即()2faf xx，故 f x为周期函数且周期为2a 综上，4a是 f x的一个周期，故 A 正确 故选：A【点睛】抽象函数的性质问题，可以根据抽象函数的运算性质寻找具体的函数来辅助考虑，此处需要对基本初等函数的性质非常熟悉.另外，在研究抽象函数的性质时，注意通过合理赋值来研究抽象函数的对称性、周期性 二、多选题 9已知数据1x，2x，3x，nx的众数、平均数、方差、第 80 百分位数分别是1a，1b，1c，1

13、d，数据1y，2y，3y，ny的众数、平均数、方差、第 80 百分位数分别是2a，2b，2c，2d，且满足311,2,3,iiyxin，则下列结论正确的是（）A2131bb B21aa C219cc D2131dd【答案】ACD【分析】由众数的计算方法可判断 B；根据平均数的概念可判断 A；根据方差的性质可判断 C；根据百分数的计算可判断 D【详解】由题意可知，两组数据满足311,2,3,iiyxin，第 8 页 共 22 页 由平均数计算公式得1212(31)(31)(31)nnyyyxxxnn1231nxxxn，所以2131bb，故A 正确；由它们的众数也满足311,2,3,iiyxin，

14、则有2131aa，故 B 错误；由方差的性质得219cc，故 C 正确；对于数据1x，2x，3x，nx，假设其第 80 百分位数为1d，当0.8nk是整数时，112kkxxd，当0.8n不是整数时，设其整数部分为k，则11kdx，所以对于数据131x，231x，331x，31nx，假设其第 80 百分位数为2d，当0.8nk是整数时，12131 31312kkxxdd，当0.8n不是整数时，设其整数部分为k，则2113131kdxd，所以2131dd，故 D 正确 故选：ACD 10向量,a b c满足2ab，2a b，,60ac bc，则c的值可以是（）A3 B6 C4 D2 5【答案】AC

15、【分析】设OAa，OBb，OCc，由题意可知120AOB，60ACB，即有180ACBAOB,从而得,A O C B四点共圆，然后结合正弦定理及余弦定理求解即可.【详解】解：设OAa，OBb，OCc，由向量,a b c满足2ab，2a b，,60ac bc，所以21cos,42|a ba bab，所以120AOB.当120AOB时，60ACB，第 9 页 共 22 页 即180ACBAOB,即,A O C B四点共圆，由余弦定理可得：221|2|()2 32ABAOBOAOBO ，设四边形AOBC的外接圆的半径为R，由正弦定理可得|2 324sin32ABRAOB，又点C在优弧AB上（不含端点

16、），则|2OCOB，则有2|4OC，则|(2,4c；当120AOB时，60ACB，则,A B C在以O为圆心的圆上运动，其中点C在优弧AB上（不含端点），则|2OC，综合可得|2,4c，故选：AC.11已知球 O的半径为 4，球心 O 在大小为45的二面角l 内，二面角l 的两个半平面所在的平面分别截球面得两个圆1O，2O，若两圆1O，2O的公共弦 AB 的长为 4，E为 AB 的中点，四面体12OAOO得体积为 V，则一定正确的是（）AO，E，1O，2O四点共圆 B3OE C126OO DV的最大值为21 第 10 页 共 22 页【答案】ACD【分析】连结1212,OE O E O E O

17、O OA，判断出4,2OAAE，利用勾股定理求OE，判断 B，证明11OOO E,22OOO E，12,O O E O四点共面，即可判断12,O E O O四点共圆，判断 A，利用正弦定理求出12OO，由此判断 C；设1122,OOd OOd，求出12OO OS的最大值，结合体积公式判断 D.【详解】因为公共弦 AB在棱 l上，连结1212,OE O E O E OO OA，则4,2OAAE，则2222422 3OEOAAE，故 B 错误；因为二面角l 的两个半平面分别截球面得两个圆 O1，O2，O为球心，所以 OO1,OO2，又1,O E AB 平面,，2,O E AB 平面，所以11OOO

18、 E,22OOO E，1OOAB,2OOAB，因为12,OO OO 平面12OO O，所以AB平面12OO O，同理可证AB平面12O EO，所以12,O O E O四点共面，又1290OO EOO E，所以1212180O EOOOO，对角互补的四边形为圆内接四边形，所以12,O E O O四点共圆，故选项 A 正确；因为 E为弦 AB 的中点,故1O EAB，2O EAB，故12O EO为二面角l 的平面角，所以1245O EO，由正弦定理得12sin456OOOE，故选项 C 正确；设1122,OOd OOd，在12OO O中,由余弦定理可得，222121212126222OOddd d

19、d d，所以123 22d d，故121232112222OO OSd d，所以1232111221332OO OVAE S，当且仅当以1263 2dd时取等号，故选项 D 正确，故选：ACD 第 11 页 共 22 页 12 已知函数 1elnxf xx，则过点,a b恰能作曲线 yf x的两条切线的充分条件可以是（）A21 1ba B bf a C 21abf a D211ba 【答案】ABD【分析】设切点坐标为0100(,eln)xxx，则有00110001eln(e)()xxxbxax，所以问题转化为方程010000e(1)ln10(0)xaxaxbxx 恰有两个解，令1()e(1)l

20、n1(0)xag xxaxbxx，然后利用导数求解其零点即可.【详解】由 1elnxf xx，得11()e(0)xfxxx，设切点为0100(,eln)xxx，则切线的斜率为0101exkx，所以有00110001eln(e)()xxxbxax，整理可得：010000e(1)ln10(0)xaxaxbxx，由题意可知：此方程有且恰有两个解，令1()e(1)ln1(0)xag xxaxbxx，1 1(1)e(11)ln111 21agabba ，112211()e()()(e)(0)xxag xxaxaxxxx，令121()e(0)xF xxx，则132()e0(0)xF xxx，所以()F x

21、在(0,)上单调递增，因为1 1(1)e10F，所以当01x时，()0F x；当1x 时，()0F x，当121 1a ，即01a时，当0 xa时，()0g x，则函数()g x单调递增，当1ax时，()0g x，则函数()g x单调递减，当1x 时，()0g x，则函数()g x单调递增，所以只要()0g a 或(1)0g，即 1elnabaf a或21(1,1)ba ；当211a ，即0a 时，当01x时，()0g x，则函数()g x单调递减，当1x 时，()0g x，则函数()g x单调递增，所以只要(1)0g，即21ba，而211a ；第 12 页 共 22 页 当21 1a，即1a

22、 时，当01x时，()0g x，则函数()g x单调递增，当1xa时，()0g x，则函数()g x单调递减，当xa时，()0g x，则函数()g x单调递增，当xa时，1()elnag aba，所以只要(1)0g或()0g a，由(1)0g可得：21 1ba，由()0g a 得1eln()abaf a；当1a 时，121()(1)(e)0 xg xxx，所以函数()g x在(0,)上单调递增，所以函数至多有一个零点，不合题意；综上：当0a 时，211ba ；当01a时，1elnabaf a或21(1,1)ba ；当1a 时，21 1ba 或1eln()abaf a，所以选项A正确，B正确，C

23、错误，D正确，故选：ABD.【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题(4)考查数形结合思想的应用 三、填空题 13若抛物线2ymx的准线与直线1x 间的距离为 3，则抛物线的方程为_.【答案】216yx 或28yx【分析】先求出抛物线的准线，再根据距离列方程求解即可.【详解】抛物线2ymx的准线为4mx ，则134m，解得16m或8m

24、，故抛物线的方程为216yx 或28yx.故答案为：216yx 或28yx.第 13 页 共 22 页 14若1010021iiixax，则9a _【答案】30【分析】求得1010(2)(1)3xx展开式的通项公式，令 k=1，可得99230(1)30(1)Txx，由题意得，9a即为9(1)x的系数，即可得答案.【详解】1010(2)(1)3xx展开式的通项公式为：10110C(1)3kkkkTx，令 k=1，得1999210C3(1)30(1)30(1)Txxx ，又1291012910010(1)(1)(1)(1)(1)iiiaxxaxxaaax，则9a即为9(1)x的系数，即为30.故答

25、案为：30.15已知 a，b 都是正数，则552332ababab的最小值是_【答案】2【分析】设23abx，32aby，解出1(32)5ayx，1(32)5bxy，代入化简得 455233233ababaxybyx，利用基本不等式即可求出最值.【详解】因为,a b均为正实数，故设23abx，32aby，则0,0 xy 联立解得1(32)5ayx，1(32)5bxy，5532322332abyxxyababxy 33334242yxyxxyxy，当且仅当33yxxy，即xy，即2332abab，即ab时取等号，故答案为：2.16如图正方体1111ABCDABC D的棱长是 3，E 是1DD上的

26、动点，P、F是上、下两底面上的动点，Q是 EF中点，2EF，则1PBPQ的最小值是_ 第 14 页 共 22 页 【答案】3 61#1 3 6 【分析】以ABCD、为顶点构造棱长为 2 的正方体ABCDABCD ，利用对称性将1PBPQ转化为PBPQ，由图形得到1DQPB、四点共线时取最小值，进而求解.【详解】以ABCD、为顶点构造棱长为 2 的正方体ABCDABCD ，由对称得1PBPB，1PBPQPBPQ，因为E是1DD上的动点，F是下两底面上的动点，则1D EF是直角三角形，Q是EF中点，且2EF，故11QD，所以PBPQ取最小值时，1DQPB、四点共线，则13 6D B，此时13 61

27、PBPQ 故答案为：3 61.【点睛】在平面解析几何中求直线上一动点到两定点（在直线同一侧）的距离之和的最小值时，通常将其中一定点对称到直线的另一边，利用三点共线时距离之和最小，在立体几何中也有类似的方程，此题中作正方体ABCDABCD 的目的就是为了找出1B 关于平面ABCD的对称点B，从而将1PBPQ转化为PBPQ求最小值.第 15 页 共 22 页 四、解答题 17已知sin,cosmt，1,sinnt (1)0t时，求m n的取值范围；(2)若存在 t，使得1m n，求 t的取值范围【答案】(1)1 12 2m n，(2)t的取值范围为22,44 【分析】（1）化简sincosm n，

28、结合二倍角公式的逆用转化求解函数的解析式，推出范围即可 （2）存在t，使得(sincos)sincos1m nt，令sincosx，根据三角函数恒等变换确定x的范围，再利用平方公式得21sincos2x，通过当0 x 时，当0 x 时，解方程21122xm ntx，转化为函数问题，结合函数的单调性求解函数的值域，即可得到结果【详解】（1）解：0t时，1sincossin22m n，由于R，所以sin 21,1 所以1 12 2m n，（2）解：由题意得，存在t，使得sincossincos1m nt，令22sincos2sincos2sin224x，因为xR，所以2sin2,24，即2,2x，

29、则22sincos11sincos22x，所以21122xm ntx，当0 x 时，方程为2010122t ，此时不存在t使得方程有解，当0 x 时，21132222xxtxx，2,00,2x 则2,0 x 时，函数322xtx 在2,0 x 上单调递减，此时32,224xtx ，0,2x时，函数322xtx 在0,2x上单调递减，此时32,224xtx，第 16 页 共 22 页 综上，t的取值范围为22,44.18已知数列1:A a，2a，na，满足10a，11iiaa（1,2,in），数列 A 的前 n 项和记为nS(1)写出3S的最大值和最小值；(2)是否存在数列 A，使得202210

30、11S如果存在，写出此时2023a的值；如果不存在，说明理由【答案】(1)3S的最大值为 3，最小值为-1(2)不存在，理由见解析 【分析】（1）利用10a 与递推公式求出23,a a的可能值，从而求出3S的可能值，得到最大值与最小值；（2）11iiaa两边平方后，根据2222221212112121nnnaaaaaaaaan推出2121nnaSn，从而求出220220232220224044aS，结合na为整数，方程无解，故不存在数列 A，使得20221011S.【详解】（1）因为10a，11iiaa（1,2,in），所以2111aa，解得21a 或-1，取21a，则3212aa，解得32a

31、 或-2，取21a ，则3210aa，解得：30a，所以30 123S 或30 121S 或30 101S 故3S最大值为 3，最小值为1；（2）因为10a，11iiaa（1,2,in），所以na为整数，两边平方得：22121iiiaaa，故 222222121122110212121nnnaaaaaaaaa 22212112121nnaaaaaan，所以2121nnaSn，第 17 页 共 22 页 若存在数列 A，使得20221011S，则220220232220224044aS，又2023a为整数，所以方程无解，故不存在数列 A，使得20221011S.19已知两个四棱锥1PABCD与2

32、PABCD的公共底面是边长为 2 的正方形，顶点1P、2P在底面的同侧，棱锥的高11223POPO，1O、2O分别为 AB、CD的中点，1PD与2P A交于点 E，1PC与2P B交于点 F (1)求1PE的长；(2)求这两个棱锥的公共部分的体积【答案】(1)2(2)5 36 【分析】(1)连接12121,PP OO O D，证明四边形12PP DA是平行四边形，根据平行四边形的性质得出E为1PD的中点，进而求解即可；(2)公共部分的体积可以看作四棱锥1PABCD与四棱锥1PABFE的体积差，根据棱锥体积公式求解即可.【详解】（1）连接12121,PP OO O D，如图所示：因为11PO 平

33、面ABCD，22PO 平面ABCD，所以1122/POPO，又1122POPO，第 18 页 共 22 页 所以四边形1122POO P是矩形，所以1212/PPOO，且1212PPOO，又12,O O分别为,AB CD的中点，所以12/OOAD，且12OOAD，所以12/PPAD，且12PPAD，所以四边形12PP DA为平行四边形，又对角线21P ADPE，所以E为1PD的中点，由题意可知：在11Rt PO D中，221111352 2PEPOO D，所以11122PEPD.（2）连接21PO，交EF于点N，过点1P作121PMPO于M，由题意知22P AP B，故21POAB，又11PO

34、AB，21111POPOO，2111POPO，平面211P PO，所以AB平面211P PO，因为1PM 平面211P PO，故1ABPM，又211POABO，21,PO AB 平面2P AB，所以1PM 平面2P AB，即1PM是四棱锥1PABFE的高，由（1）同理可得点F为线段1PC的中点，所以/EFCD，且112EFCD，在221RtPO O中，21347PO，则1211722NOPO，所以173 712224AEFBS，因为1111121222 21sin3377PMPOPO MPOO，所以11113 72 215 34333476PABCDPABEFVVV.20某次射击比赛过关规定：

35、每位参赛者最多有两次射击机会，第一次射击击中靶标，立即停止射击，比赛过关，得 4 分；第一次未击中靶标，继续进行第二次射击，若击中靶标，立即停止射击，比赛过关，得 3 分；若未击中靶标，比赛未能过关，得 2 分现有 12 人参加该射击比赛，假设每人两次射击击中靶标的概率分别为 m，0.5，每人过关的概率为 p 第 19 页 共 22 页(1)求 p（用 m表示）；(2)设这 12 人中恰有 9 人通过射击比赛过关的概率为 fp，求 fp取最大时 p 和 m的值；(3)在（2）的结果下，求这 12 人通过射击比赛过关所得总分的平均数【答案】(1)0.50.5pm(2)0.75,0.5pm(3)3

36、9 【分析】(1)利用对立事件概率的计算公式，用相互独立事件概率的计算公式能求出每位大学生射击测试过关的概率.(2)求出99312()C(1),(01)f pppp，通过求导可求得取到最大值时的,p m的值.(3)利用第二问的结论，设一位大学生射击测试过关所得分数为随机变量X，X的可能取值为4,3,2，分别求出每一个随机变量的概率，由此可求得 12 个人通过射击过关所得分数的平均分.【详解】（1）每位大学生射击过关的概率为：1(1)(10.5)0.50.5pmm.（2）99312()C(1),(01)f pppp，983929821212()C9(1)3(1)3C(1)(34)fppppppp

37、p，令()0fp，则1p 或0.75p，因为01p，所以0.75p.令()0,00.75fpp，令()0,0.751fpp，所以()f p在(0,0.75)上单调递增，在(0.75,1)上单调递减.所以当0.75p 时，max()(0.75)f pf，此时0.50.50.75m，解得0.5m.所以当 fp取最大时p和m的值分别为0.75，0.5.（3）设一位大学生射击过关测试所得分数为随机变量X，则X的可能取值为4,3,2，则(4)0.5p X，(3)1 0.50.50.25p X，(2)1 0.51 0.50.25p X，所以每位大学生测试过关所得分数的平均分为：()4 0.53 0.252

38、 0.253.25E X .所以这 12 人通过射击过关测试所得分数的平均分为：12 3.2539.21已知平面内两点0,2A，0,2B，动点P满足43APBPkk (1)求动点 P 的轨迹方程；(2)过定点0,6Q的直线 l交动点 P 的轨迹于不同的两点 M，N（M在 N 的上方），点 M 关于 y轴对称点为M，求证直线MN 过定点，并求出定点坐标【答案】(1)22134xy0 x 第 20 页 共 22 页(2)直线MN 恒过定点20,3.【分析】（1）直接由斜率关系计算得到；（2）设出直线MN，联立椭圆方程，韦达定理求出1212,xxx x，再结合,M N Q三点共线，求出参数，得到过定

39、点.【详解】（1）设动点,P x y，由已知有2243yyxx 0 x，整理得22134xy0 x，所以动点P的轨迹方程为22134xy0 x；（2）由已知条件可知直线MN 和直线l斜率一定存在，设直线MN 方程为ykxt，11,Mx y，22,N xy，则11,Mx y，由22134ykxtxy，可得22234631200kxktxtx，则22264 343120ktkt，即为2234tk，122634ktxxk，212231234txxk，因为直线l过定点0,6Q，所以,M N Q三点共线，即QMQNkk，即121266yyxx，即2112660 xyxy，即2112660 xkxtx k

40、xt ，即1212260kx xtxx得22231262603434tktktkk，整理2460ttt，得23t，满足0，则直线MN 方程为23ykx，恒过定点20,3.【点睛】椭圆对称轴上一点M，椭圆的一条弦AB与此对称轴交与N，夹在MN，之间的椭圆的顶点为Q，则AMB被对称轴平分OMOQON，成等比数列.第 21 页 共 22 页 22已知函数 lnexxfxax(1)若1x 是 f x的极值点，求 a；(2)若0 x，1x分别是 f x的零点和极值点，当0a 时，证明：2100ln1xxx【答案】(1)ea (2)证明见解析 【分析】（1）由题意，()01f，由方程求a的值；（2）由已知

41、得 0()0f x，1()0fx，通过构造函数，利用导数判断单调性，证明不等式.【详解】（1）因为 ln()exxf xax 所以 21 ln()exxfxax 若1x 是函数 f x的极值点，则121 ln1(1)e01fa ，即ea，此时2 121eln()xxxfxx 设 2 11elnxg xxx，则121()2 e1exxg xxxx，(1)2g，所以存在1mn，使得当(,)xm n时，0g x，g x单调递减，当)1(xm，时，22()(1)()0g xgfxxx，()f x单调递增，当(1,)xn时 22()(1)()0g xgfxxx，()f x单调递减，所以当ea 时，1x

42、是()f x的极值点.（2）因为若0 x，1x分别是 f x的零点和极值点，所以 0000ln()e0 xxf xax，000e lnxxax，111211ln()e0 xxfxax，1121e(1 ln)xxax，所以 0101210e lne(ln1).xxxxaxx 当0a 时，0101210e lne(ln1)0 xxxxxx，则0ln0 x，1ln1x，即001x，10ex，因为220001331244xxx 所以当 13ln4x 即 3410ex 时，2100ln1xxx成立，当 341eex 时，若10exx，则只需证明2000ln xxx，设2e(ln1)()xxk xx，则

43、3e(ln2ln3)()xxxxxk xx，设1()ln2ln3k xxxxx，第 22 页 共 22 页 则 12()lnkxxx 为增函数，且10)(12k ，12(e)10,ek 所以存在唯一21,ex，使得12222()ln0kxxx，当2(1,)xx时，10kx，1kx单调递减，当2()xx，时，10kx，1kx单调递增，故112224()()50k xk xxx，所以 0kx，k x单调递增，所以10exx，001e001222100e lnelne(ln1),exxxxxxxxx 等价于021 e0e10 xx .设 2(1 e)()e1xm xx，则 2(1 e)()(1 e)1 e,xm xx 当 3410eeexx 时，若 14e1x 时，1 e10 x，0m x，()m x单调递减，所以当 14e1x，3 e1e10m xm，所以当 341eex 时10eexx成立，设2()lnn xxxx，则 1()21n xxx，当01x时，0n x，n x单调递增，所以当01x时，10n xn，即 2000ln xxx，2100ln1xxx成立.综上，若0 x，1x分别是 f x的零点和极值点，当0a 时，有2100ln1xxx.