2023届河北省衡水市第十三中学高三上学期1月月考数学试题(解析版).pdf

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1、第 1 页 共 21 页 2023 届河北省衡水市第十三中学高三上学期 1 月月考数学试题 一、单选题 1设全集U是实数集R，已知集合2|2 Ax xx，2|log(1)0Bxx，则()UC AB A|12xx B|12xx C|12xx D|12xx【答案】C【详解】22|02,|02,UAx xxx xxC Axx或 2|log10|12,|12.UBxxxxC ABxx 本题选择 C 选项.2已知 i为虚数单位，则3(1)1iii A1 B1 C1 i D1 i【答案】B【分析】先计算3i，然后再计算3(1)ii，最后可以计算出3(1)1iii的结果.【详解】3(1)(11)()1111

2、iiiiiiii，故本题选 B.【点睛】本题考查了复数的乘法运算法则、复数单位i的幂运算，考查了除法运算，考查了数学运算能力.3在下列给出的四个结论中，正确的结论是 A已知函数()f x在区间(,)a b内有零点，则()()0f a f b B6是3与9的等比中项 C若12,e e是不共线的向量，且122,mee1236nee，则mn D已知角终边经过点(3,4)，则4cos5 【答案】C【分析】逐一判断每一个命题的真假得解.【详解】A.已知函数 f x在区间,a b内有零点，不一定有 0f a f b，还有可能 0f a f b，所以该选项错误.B.6是3与9的等比中项是错误的，因为3与9的

3、等比中项是3 3；C.若12,e e是不共线的向量，且122,mee 1236nee，所以3nm，所以mn，所以该选项是正确的；D.已知角终边经过第 2 页 共 21 页 点3,4，则3cos5，所以该选项是错误的.故答案为：C【点睛】本题主要考查零点定理和等比中项，考查向量共线和任意角的三角函数，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.4 为调查某地区中学生每天睡眠时间，采用样本量比例分配的分层随机抽样，现抽取初中生 800 人，其每天睡眠时间均值为 9 小时，方差为 1，抽取高中生 1200 人，其每天睡眠时间均值为 8 小时，方差为0.5，则估计该地区中学生每天睡眠时间的方差为（

4、）A0.96 B0.94 C0.79 D0.75【答案】B【分析】根据方差的计算公式求得正确答案.【详解】该地区中学生每天睡眠时间的平均数为：8001200988.412008001200800（小时），该地区中学生每天睡眠时间的方差为：228001200198.40.588.40.9412008001200800.故选：B 5新能源汽车是指采用非常规的车用燃料作为动力来源（或使用常规的车用燃料、采用新型车载动力装置），综合车辆的动力控制和驱动方面的先进技术，形成的技术原理先进、具有新技术、新结构的汽车新能源汽车包括混合动力电动汽车（HEV）、纯电动汽车（BEV，包括太阳能汽车）、燃料电池电动

5、汽车（FCEV）、其他新能源（如超级电容器、飞轮等高效储能器）汽车等非常规的车用燃料指除汽油、柴油之外的燃料下表是 2021 年我国某地区新能源汽车的前 5 个月销售量与月份的统计表：月份代码 x 1 2 3 4 5 销售量 y（万辆）0.5 0.6 1 1.4 1.5 由上表可知其线性回归方程为0.16ybx，则b的值是（）A0.28 B0.32 C0.56 D 0.64【答案】A【分析】先计算x，y，再根据样本中心点,x y适合方程0.16ybx解得b的值即可.【详解】由表中数据可得1234535x，0.50.61 1.41.515y，将3,1代入0.16ybx，即130.16b，解得0.

6、28b 故选:A 第 3 页 共 21 页 6已知数列na是公比为 q的等比数列，则“2564a aa”是“01q”的 A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【答案】B【分析】先根据等比数列的性质，结合不等式2564a aa，可以确定 q的取值范围，然后根据充分性、必要性的定义选出正确答案.【详解】222356444411a aaaq aqaqq .显然由2564a aa不一定能推出01q，但由01q一定能推出2564a aa，因此“2564a aa”是“01q”的必要不充分条件，故本题选 B.【点睛】本题考查了必要不充分条件的判断，利用等比数列的性质是解题

7、的关键.7一个袋中有 m个红球，n 个白球，p个黑球（15mn，4p），从中任取 1 个球（每球取到的机会均等），设1表示取出的红球个数，2表示取出的白球个数，则 A 1212,EEDD B 1212,EEDD C 1212,EEDD D 1212,EEDD【答案】D【分析】列出随机变量1和2的分布列，分别计算出 1212,EEDD的值，结合15mn，可以判断出 12,EE和 12,DD大小关系，选出正确答案.【详解】由题意可知：随机变量1的分布列如下图所示：1 0 1 P npmnp mmnp 所以有1()01npmmEmnpmnpmnp,2212()(0)(1)()mnpmmmnmpDmn

8、pmnpmnpmnpmnp，随机变量2的分布列如下图所示：第 4 页 共 21 页 1 0 1 P mpmnp nmnp 2()01mpnnEmnpmnpmnp，2212()(0)(1)()nmpnnmnnpDmnpmnpmnpmnpmnp，因为15mn，所以mpnp，因此有 1212,EEDD，故本题选 D.【点睛】本题考查了随机变量的分布列、数学期望和方差的计算，考查了数学运算能力.8已知 ABC 中，22BCBA BC，点 P 为 BC 边上的动点，则PCPAPBPC的最小值为（）A2 B34 C2 D2512【答案】D【分析】以 BC 的中点为坐标原点，建立直角坐标系，可得1 01 0

9、BC，设0P aA x y，运用向量的坐标表示，求得点 A 的轨迹，进而得到关于 a 的二次函数，可得最小值【详解】以 BC 的中点为坐标原点，建立如图的直角坐标系，可得1 01 0BC，设0P aA x y，由2BA BC，可得 12 0222xyx，即20 xy，则 101100PCPAPBPCaxaaa y ，21312 332axaaaaa 21253612a，当16a 时，PCPAPBPC的最小值为2512 故选 D 第 5 页 共 21 页 【点睛】本题考查向量数量积的坐标表示，考查转化思想和二次函数的值域解法，考查运算能力，属于中档题 二、多选题 9已知,A B分别为随机事件,A

10、 B的对立事件，0,0P AP B，则下列结论正确的是（）A 1P AP A B1P A BP A B C若,A B互斥，则 P ABP A P B D若,A B独立，则 P A BP A【答案】ABD【分析】结合互斥事件、对立事件的定义，根据条件概率公式判断即可【详解】选项 A 中：由对立事件定义可知 1P AP A,选项A正确；选项B中：()()()1()()P ABP ABP BP A BP A BP BP B，选项 B 正确；选项 C 中：A，B 互斥，()0P AB，0,0P AP B,P ABP A P B，故选项 C 错误；选项 D 中：A，B独立，则()()()P ABP A

11、P B，则()()()P ABP A BP AP B,故选项 D 正确.故选：ABD.10已知 fx是 f x的导函数，sincos0f xaxbx ab，则下列结论正确的是（）A将 fx图象上所有的点向右平移2个单位长度可得 f x的图象 B f x与 fx的图象关于直线34x对称 C f xfx与 f xfx有相同的最大值 D当ab时，f xfx与 f xfx都在区间0,2上单调递增 第 6 页 共 21 页【答案】AC【分析】首先求得 f x的导函数 cossinfxaxbx，然后根据三角函数图像平移验证 A 选项的正误，根据函数的对称性验证 B 选项的正误，根据求三角函数的值域验证 C

12、 选项的正误，根据求解三角函数的单调性验证 D 选项的正误.【详解】sincos0f xaxbx ab，cossinfxaxbx.将 fx的图像向右平移2个单位得 cossinsincos22yaxbxaxbxf x的图像，故 A 选项正确；已知 f x的图像与32fx的图像关于直线34x对称，333sincoscossin222fxaxbxaxbxfx，故 B 选项错误；22sincossinf xfxabxabxababx，其中tanabab，f xfx最大值为22222ababab，22sincossinf xfxabxabxababx，其中tanabab，f xfx最大值为22222a

13、babab，故 C 选项正确；当ab时，2 sinf xfxax，2 cosf xfxax，当0a 时，f xfx在0,2上单调递增，f xfx在0,2上单调递增，当a0时，f xfx在0,2上单调递减，f xfx在0,2上单调递减，综上可知 f xfx和 f xfx在0,2上单调性相同，但可能递增也可能递减，故 D 选项错误.故选：AC 11在矩形ABCD中，2,3ABBC，将ADC沿对角线AC进行翻折，点D翻折至点D，连接D B，得到三棱锥DABC，则在翻折过程中，下列结论正确的是（）A三棱锥DABC的外接球表面积不变 B三棱锥DABC的体积最大值为22 C异面直线AD与BC所成的角可能是

14、90 D直线AD与平面ABC所成角不可能是60【答案】AD【分析】当平面D AC平面ABC时，点D到平面ABC的距离最大，此时三棱锥体积最大，AD与第 7 页 共 21 页 平面ABC所成角最大，利用等面积求得D E后，即可确定 BD 的正误；取AC中点为M,可得AMMCD MBM，所以M为棱锥DABC的外接球球心，故球的表面积不变，可判断 A 的正误；设异面直线AD与BC所成的角是90，由线面垂直的判断和性质，可判断 C 的正误.【详解】对于 A，记AC中点为M，如图所示 ADC和ABC均为直角三角形,M为AC中点,AMMCDMBM,M为棱锥DABC的外接球球心，半径为52AM,225445

15、2SR.三棱锥DABC的表面积不变，故 A 正确；对于 B，画图如下：由题知23,5ABDCD CBCADADAC，,当平面DAC平面ABC时,三棱锥DABC的体积最大,过点D向 AC做垂线，垂足为 E，3,2,D AD C在AD E中可得323055AD D CD EAC，平面DAC平面ABC,平面DAC平面,ABCAC D EAC,D E是三棱锥DABC的高,第 8 页 共 21 页 三棱锥DABC的体积最大值为111306 55233325305ABCSD E.故 B 不正确；对于 C，若异面直线AD与BC所成的角是90，则ADBC，又因为,ABBC ABADA,AB平面ABD,AD平面

16、ABD,BC平面ABD，则BCBD，在BCD中，23D CBC，不成立，所以异面直线AD与BC所成的角不可能是90，故 C 不正确；对于 D，设AD与平面ABC所成角为，点D到平面ABC距离为d，则sin2ddAD，当点D到平面ABC距离最大时，AD与平面ABC所成角最大，当平面D AC平面ABC时，点D到平面ABC距离最大，由 B 知，此时max305dD E，即max153sin52，max60，D 正确.故选：AD.12已知00eln10，aababb，则（）A1lnba B1eab Cln1ab D1ab 【答案】BCD【分析】对于 A 选项，尝试找反例.对于 B，C 选项，构造函数

17、exg xx帮助分析.对于 D 选项，设emb，再研究函数 1ex mh xxm零点所在范围.【详解】对于 A 选项，当1a 时，1010elnelnaabbbb.设 1elnfxxx，其中0 x.则 10efxx，故 f x在0,上单调递增.又110e-f，110ef，则11,eb，使 0f b.即存在1a，11,eb，使10elnaabb.第 9 页 共 21 页 但此时，1101lnlnba.故 A 错误.对于 B 选项，1111110elnelnelnaaaabbababbbbb 111lnelneababb.设 exg xx，其中0 x.则 1 e0 xgxx.得 g x在在0,上单

18、调递增.注意到 11111lnelnelnabag agbbbb.则 1110lnlng agabbb.又exy 在R上递增，则有11lneeeaabb.故 B 正确.对于 C 选项，由 B 选项可知1eab，则由10elnaabb，有10111elnlnlnaabbabbabb.故 C 正确.对于 D 选项，因00ab，10elnaabb，则101elnlneaabbbb.设emb，其中1m.则1010elneaamabbam.设 1ex mh xxm，其中0,x.则 10ex mhxx，得 h x在0,上单调递增.（1）若01m，注意到 11e 10hmm，010hm，则0 1,xm，使

19、0h x.即0 1,am，则1emabm，设 1exp xx，则 expxx，得 p x在0,1上单调递减，则 101emabmp mp.（2）当0m，e1xh xx，注意到 010110，ehh.则0,1a，此时1aba.（3）当0m，注意到 1 011e 10hmhmm，则1,amm，又由（1）分析可知 p x在,0上单调递增.则 101emabmp mp.第 10 页 共 21 页 综上，有1ab.故 D 正确.故选：BCD【点睛】关键点点睛：本题涉及双变量，构造函数，难度较大.对于 A 选项，直接证明较为复杂，故尝试找反例.对于 B，C 选项，在ln x与ex同时出现的题目中，常利用l

20、nln eexxx 使出现相同结构.对于 D 选项，将b看作参数，并设emb 简化运算.三、填空题 13有甲、乙、丙三项任务，甲、乙各需 1 人承担，丙需 2 人承担且至少 1 人是男生，现有 2 男 2女共 4 名学生承担这三项任务，不同的安排方法种数是_（用具体数字作答）【答案】10【分析】由题意分两类，丙选择一名男生和一名女生或丙选择两名男子，根据分类计算原理即可求出.【详解】丙选择一名男生和一名女生：1112228C C A.丙选择两名男子：22222C A.所以不同的安排方法种数是：10 种.故答案为：10.14已知5(1)axx的展开式中4x的系数是 20，则实数a_.【答案】2【

21、分析】根据二项展开式可得512233445555555(1)1 CCCCCaxxaxxxxxx，则可得展开式中4x的系数，列方程即可得实数a的值.【详解】解：因为512233445555555(1)1 CCCCCaxxaxxxxxx 则展开式中4x的系数是4355CC51020aa，求得2a.故答案为：2.15三棱锥PABC中，PA 平面ABC，23BAC，3AP，2 3AB，Q是BC边上的一个动点，且直线PQ与面ABC所成角的最大值为3，则该三棱锥外接球的表面积为_【答案】57【分析】根据题意画出图形，结合图形找出ABC的外接圆圆心与三棱锥PABC外接球的球心，第 11 页 共 21 页 求

22、出外接球的半径，再计算它的表面积.【详解】由题意，三棱锥PABC中，PA 平面ABC，直线PQ与平面ABC所成的角为，如图所示，则3sinPAPQPQ，且sin的最大值是32，所以min()2 3PQ，所以AQ的最小值是3，即A到BC的距离为3，所以AQBC，因为2 3AB，在Rt ABQ中可得6ABC，即可得6BC,取ABC的外接圆圆心为O，作/OOPA，所以062sin120r，解得2 3r，所以2 3O A,取H为PA的中点，所以32 3,2OHO APH，由勾股定理得22572OPRPHOH，所以三棱锥PABC的外接球的表面积是225744()572SR.【点睛】本题考查了有关球的组合

23、体问题，以及球的表面积的计算问题，解答时要认真审题，确定球的球心和半径，注意球的性质的合理运用是解答的关键，对于求解球的组合体问题常用方法有（1）三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；（2）利用球的截面的性质，根据勾股定理列出方程求解球的半径.着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及数形结合思想的应用.16 双曲线22:4C xy的左，右焦点分别为12,F F，过2F作垂直于x轴的直线交双曲线于,A B两点，12121,AFFBFFF AB的内切圆圆心分别为123,O O O，则123OO O的面积是_【答案】6 28【分析】根据题意可得12O

24、Ox轴，分别根据12121,AFFBFFF AB的边长利用等面积法求出内切圆各自的半径，然后即可求出123OO O的面积.【详解】如图，因为圆12,O O分别是1212,AF FBF F的内切圆，ABx轴，所以 第 12 页 共 21 页 12OOx轴，因为双曲线22:4C xy，所以2a，2b，222 2cab，1(2 2,0)F，2(22,0)F将2 2x 代入224xy，得2y ，即(2 2,2)A，(2 2,2)B，可以得2|2AF，2|2BF，再由双曲线的定义可知116AFBF，由12AF F和12BF F全等可得两内切圆的半径相等，12FF是1AF B的角平分线，所以1F AB内切

25、圆的圆心3O在x轴上，设圆12,O O的半径为r，圆3O的半径为R，由等面积法可得121221211()22AFAFFFrAFFF，即 11(624 2)2 4 222r，解得2 22r，同理111211()22AFBFABRABFF，即11(664)4 4 222R，解得2R，则123OO O的面积为1211()2(2 22)(4 24)22RrOO 6 28，故答案为：6 28 四、解答题 17已知等差数列 na的前n项和为nS，且*6324,21nnSS aanN.(1)求数列 na的通项公式；(2)设12nnnba，求数列 nb的前n项和nT.【答案】(1)21nan 第 13 页 共

26、 21 页(2)23 23nnTn 【分析】（1）根据已知条件求得数列 na的首项和公差，从而求得na.（2）利用错位相减求和法求得nT.【详解】（1）设等差数列的公差为d，依题意，*6324,21nnSS aanN，则2121aa 所以11116154 3321adadada，解得1a1,d 2，所以21nan.（2）11221 2nnnnban，所以0111 23 2212nnTn ，1221 23 2212nnTn ，两式相减得231 222212nnnTn 141 212121 2nnn 3223nn，所以23 23nnTn.18如图，在三棱柱 ABCA1B1C1中，B1C1平面 AA

27、1C1C，D 是 AA1的中点，ACD是边长为 1 的等边三角形.（1）求证：CDB1D；（2）若 BC=3，求二面角 BC1DB1的大小.【答案】（1）证明见解析；（2）6 第 14 页 共 21 页【分析】（1）根据计算，利用勾股定理逆定理得1CDDC;根据 B1C1平面 AA1C1C，得11CDBC,最后根据线面垂直判断定理以及性质定理证明结果；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量数量积求二面角大小.【详解】（1）因为ACD是边长为 1 的等边三角形，所以11111121,1,33CDADACDACC D 22211112CCCCC DCDCDDC 因为 B1C1平面 AA1C1C，C

28、D 平面 AA1C1C，所以11CDBC 因为111,DC BC为平面 B1C1D 内两相交直线，所以CD 平面 B1C1D 因为1B D 平面 B1C1D,所以 CDB1D；（2）以 D 为坐标原点，1,DC DC过D平行BC直线为,x y z轴建立如图所示空间直角坐标系，则11(0,0,0),(3,0,0),(3,0,3),(0,1,3),DCBB 设平面 BC1D 的一个法向量为1(,)nx y z，平面 C1DB1的一个法向量为2111(,)nx y z 由11100n DCn DB得300,30 xxyz令1,3zy 1(0,3,1)n 由212100nDCnDB得300,330 x

29、xzxz令1,y 2(0,1,0)n 12121212335cos,2 126|n nn nn nnn 因为二面角 BC1DB1为锐二面角，所以二面角 BC1DB1为6 【点睛】本题考查线面垂直判定与性质定理、利用空间向量求二面角，考查综合分析论证与求解能力，属中档题.19 世界卫生组织建议成人每周进行2.5至 5 小时的中等强度运动.已知A社区有56%的居民每周运动第 15 页 共 21 页 总时间超过 5 小时，B社区有65%的居民每周运动总时间超过 5 小时，C社区有70%的居民每周运动总时间超过 5 小时，且,A B C三个社区的居民人数之比为5:6:9.(1)从这三个社区中随机抽取

30、1 名居民，求该居民每周运动总时间超过 5 小时的概率；(2)假设这三个社区每名居民每周运动总时间为随机变量X（单位：小时），且25.5,XN.现从这三个社区中随机抽取 3 名居民，求至少有两名居民每周运动总时间为 5 至 6 小时的概率.【答案】(1)0.65(2)0.216 【分析】（1）设,A B C三个社区的居民人数为5,6,9aaa，分别求出三个社区每周运动总时间超过 5小时的人数为，再由概率公式即可求出答案.（2）由正态分布的性质求出560.3PX，再由独立事件的乘法公式即可得出答案.【详解】（1）因为,A B C三个社区的居民人数之比为5:6:9，设,A B C三个社区的居民人数

31、为5,6,9aaa，所以A社区每周运动总时间超过 5 小时的人数为：556%2.8aa，B社区每周运动总时间超过 5 小时的人数为：665%3.9aa，C社区每周运动总时间超过 5 小时的人数为：970%6.3aa，该居民每周运动总时间超过 5 小时的概率12.83.96.30.65569aaaPaaa.（2）因为这三个社区每名居民每周运动总时间为随机变量X（单位：小时），且25.5,XN，所以5.50.5P X，由（1）知，50.65P X，所以55.50.650.50.15PX，因为随机变量X服从正态分布，且关于5.5X 对称，所以56255.50.3PXPX，所以从这三个社区中随机抽取

32、3 名居民，求至少有两名居民每周运动总时间为 5 至 6 小时的概率为：2323233C0.30.7C0.30.216P.202020 年 1 月 15 日教育部制定出台了关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见（也称“强基计划”），意见宣布：2020 年起不再组织开展高校自主招生工作，改为实行强基计划.强基计划主要选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生.据悉强基计划的校考由试点高校自主命题，校考过程中通过笔试后才能进入面试环节.已知甲、乙两所大第 16 页 共 21 页 学的笔试环节都设有三门考试科目且每门科目是否通过相互独立.若某考生报考甲大学，每门科

33、目通过的概率均为12，该考生报考乙大学，每门科目通过的概率依次为16，35，m，其中01m.（1）若35m，分别求出该考生报考甲、乙两所大学在笔试环节恰好通过一门科目的概率；（2）强基计划规定每名考生只能报考一所试点高校，若以笔试过程中通过科目数的数学期望为依据作出决策，则当该考生更希望通过甲大学的笔试时，求m的范围.【答案】（1）考生报考甲、乙两所大学恰好通过一门科目的概率分别为38，3275；（2）11015m.【分析】（1）利用相互独立事件乘法公式和互斥事件概率加法公式即可求解；（2）设该考生报考甲大学通过的科目数为X，根据题意可知，13,2XB，报考乙大学通过的科目数为Y，求得随机变量

34、Y的概率分布，分别求出X与Y的期望，比较即可得解.【详解】（1）设该考生报考甲大学恰好通过一门笔试科目为事件A，则 213113228P AC ；该考生报考乙大学恰好通过一门笔试科目为事件B，则 215326432266551507525P B.（2）设该考生报考甲大学通过的科目数为X，根据题意可知，13,2XB，则 13322E X ，报将乙大学通过的科目数为Y，随机变量Y的可能取值为：0，1，2，3.32551016mP Ym，02532551517711666351mP Ymmm，112533 1421656565303mP Ymmm，5103316PmYm，随机变量Y的分布列：Y 0

35、1 2 3 P 13m 17730m 3 1430m 10m 第 17 页 共 21 页 11773 14230123330301030mmmmE Ym ，因为该考生更希望通过甲大学的笔试，E YE X，则233302m，所以m的范围为：01115m.21已知抛物线2:2(0)C ypx p的焦点F到准线的距离为 2，圆M与y轴相切，且圆心M与抛物线C的焦点重合.(1)求抛物线C和圆M的方程；(2)设000,2P xyx 为圆M外一点，过点P作圆M的两条切线，分别交抛物线C于两个不同的点 1122,A x yB x y和点3344,Q xyR xy.且123416y y y y，证明：点P在一

36、条定曲线上.【答案】(1)抛物线C的方程为24yx，圆M的方程为2211xy(2)证明见解析 【分析】（1）根据抛物线的焦点F到准线的距离可得p的值，即可得抛物线方程；根据圆的性质确定圆心与半径，即可得圆M的方程；（2）根据直线与圆相切，切线与抛物线相交联立，结合韦达定理，即可得00,xy所满足的方程.【详解】（1）解：由题设得2p，所以抛物线C的方程为24yx.因此，抛物线的焦点为1,0F，即圆M的圆心为1,0M 由圆M与y轴相切，所以圆M半径为1，所以圆M的方程为2211xy.（2）证明：由于000,2P xyx，每条切线都与抛物线有两个不同的交点，则00 x.故设过点P且与圆M相切的切线

37、方程为00yyk xx，即000kxyykx.依题意得00211kykxk，整理得220000022110 xxkyxky；设直线,PA PQ的斜率分别为12,k k12,k k，则12,k k是方程的两个实根，故001200212yxkkxx，20120012ykkxx，第 18 页 共 21 页 由00204kxyykxyx得200440kyyykx，因为点 1122,A x yB x y，3344,Q xyR xy 则0101214 yk xy yk，0203424 yk xy yk 由，三式得：220120001 201002012341 21 21616ykkx yx k kyk x

38、yk xy y y yk kk k 002000201200002200201200211616216161612yxyx yykkx yxxxxyk kxx，即22200000000022111y xxyxx yxy，则22222222220000000000002221y xy xy xx yyx yx，即22001xy，所以点P在圆221xy.22已知函数 2e,0 xf xax a且1a.(1)设 efxg xxx，讨论 g x的单调性；(2)若1a 且 f x存在三个零点123,x xx.1）求实数a的取值范围；2）设123xxx，求证：1232e 13exxx.【答案】(1)答案见

39、解析(2)1）2e1ea；2)证明见解析 【分析】(1)先求 g x的导函数,再分类讨论即可.(2)1)根据 f x存在三个零点123,x xx，转化为两个函数有三个交点,再根据最值可求.2)根据三个零点所在区间，把要证明的式子分解为三个部分，分别求解后可得.【详解】（1）2eeexxf xaxag xxxxxx,22ln1lnxxxaa xaa xagxxx,第 19 页 共 21 页 因为20,0 xax,g x定义域为,00,当1a 时,ln0a,解 0gx,得1lnxa,解 0g x,得10,0lnxxa 当01a时,ln0a,解 0gx,得1lnxa,解 0g x,得10,0lnxx

40、a 综上,当1a 时,g x增区间为1,lna,g x减区间为1,0,0,lna,当01a时,g x增区间为1,lna,g x减区间为10+,0lna，,（2）1）因为 2e,1xf xax a且 f x存在三个零点123,x xx.所以2=0exax有 3 个根 当0 x 时,10e00,10fafa ln2e0 xafxax,f x在,0上是单调递增的,由零点存在定理,方程必有一个负根.当0 x,ln1 2lnx ax,即12lnlnxax有两个根,令 12lnxt xx,可转化为lnya与 12lnxt xx有两个交点 22212ln1 2lnxxtxxx,可得0,ex,0tx,t x是

41、单调递增的,可得e,x,0tx,t x是单调递减的,其中10et,当 e,0 xt x,max2eet xt 所以可得20lnea,即得2e1ea.2）因为 2e,1xf xax a且 f x存在三个零点123,x xx.设123xxx，312222123ee=,=,=exxxaxaxax,易知其中10 x ,230 xx,因为1212,xxxx aa,所以22221212,eexxxx12xx,故可知120 xx;由 1）可知ln,ya与 12lnxt xx有两个交点23xx,0,ex,t x是单调递增的,20,ex,2ln0t xa,10et,所以21ex;231e,eexx,第 20 页

42、 共 21 页 若32 ex,则232 exx 若3e2 ex,构造函数 2 eh xt xtx,e2 ex 22222212ln 2 e12ln2 e12ln2 e12ln 2 e2 exxh xxxxxxxxx 设 221 2ln2 e1 2ln 2 em xxxxx,222 2 e22 1 2ln2 e21 2ln 2 e2 exxm xxxxxxx 因为32333222 e2 2 e22 2 e22 e2 e2 exxxxxxxxxxxx 又因为332 ee,22 e,2 e,2 exxxx xx,所以222 2 e202 exxxx 因为2 1 2ln2 e21 2ln 2 e2 2

43、ln12 e21 2ln 2 exxxxxxxx 又因为11e,ln,2 ee,ln 2 e22xxxx 所以2ln10,2 e0;12ln 2 e0,e0 xxxx 即得2 2ln12 e212ln 2 e0 xxxx 由可知 0m x,m x在e,2 e上单调递增,ex 可得 e0m xm 222 em xh xxx,可知 m x与 h x同号 所以 0h x,h x在e,2 e上单调递增.eee0h xhtt 2 e0t xtx,332 et xtx,又由 1)可知 23t xt x 第 21 页 共 21 页 所以 2322 e,0,et xtxx,32 e0,ex 0,ex,0tx,t x是单调递增的,所以23232 e,2 exx xx 由可知1232e 13exxx【点睛】本题考查利用导数证明不等式,解决问题的关键点是极值点偏移问题,证明的方法总结:先构造 2 eh xt xtx,再确定 h x的单调性,结合特殊值 e0h得到 2 e0t xtx再利用单调性可得232 exx.