2022-2023学年上海市闵行区高一上学期期末数学试题(解析版).pdf

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1、第 1 页 共 14 页 2022-2023 学年上海市闵行区高一上学期期末数学试题 一、填空题 1若集合13,AxxxBRZ，则AB _【答案】1,2,3【分析】根据交集的定义即可求解.【详解】因为集合13,AxxxBRZ，由交集的定义可得：1,2,3AB，故答案为：1,2,3.2观察函数(),0,2yf x x的图像，写出它的值域为_ 【答案】|02,yyyR【分析】根据函数图像和函数的值域的定义即可求解.【详解】根据函数图像，函数的y的最大值和最小值分别为 2 和 0，而且函数值取值不间断，所以它的值域为|02,yyyR.故答案为：|02,yyyR.3已知 a 是正实数，若3aa，则 a

2、的取值范围是_【答案】01a【分析】根据指数函数的单调性求解.【详解】若1a，则指数函数xya在定义域R上单调递增，则3aa不满足题意；若1a，则3aa，不满足题意；若01a，则指数函数xya在定义域R上单调递减，则3aa满足题意，所以01a.第 2 页 共 14 页 故答案为:01a.4历史上著名的狄利克雷函数 0,Q1,QxD xx，那么(2)D D_【答案】1【分析】根据分段函数的解析式代入即可得出答案.【详解】因为2Q，所以(2)=0D，(2)01D DD.故答案为：1.5若“0 x”是“xm”的充分条件，则实数 m 的取值范围是_【答案】0,【分析】由充分条件的定义可得实数m的取值范

3、围【详解】由“0 x”是“xm”的充分条件，知0m，故实数m的取值范围为0,故答案为：0,6已知一元二次方程250 xnx的两个实根分别为12xx、，且12111xx，则实数 n的值为_【答案】5【分析】利用一元二次方程根与系数的关系列出关于实数 n的方程，解之即可得出答案.【详解】一元二次方程250 xnx的两个实根分别为12xx、，所以1212,5xxn xx，所以1212121115xxnxxxx，解得5n.故答案为：5.7已知幂函数在区间(0,)上是严格减函数，且图象关于 y 轴对称，则满足条件的幂函数的表达式可以是y _（只需写出一个正确的答案）【答案】2yx【分析】根据幂函数的性质

4、即可求解.【详解】根据幂函数的性质，要使幂函数yx在(0,)上是严格减函数，则0，又因为图象关于 y轴对称，所以为偶函数，第 3 页 共 14 页 综上可知：为负偶数，所以满足条件的幂函数的表达式可以是2yx，故答案为：2yx.8已知35abm，且211ab，则实数 m的值为_【答案】45【分析】根据已知结合换底公式可得1lg3lgam，1lg5lgbm，代入整理可得log 451m，即可得出结果.【详解】由35abm可知，0m，显然1m.则3lgloglg3mam，5lgloglg5mbm，所以1lg3lgam，1lg5lgbm，则由211ab 可得，2lg3lg5lg45log 451lg

5、lgmmm，所以45m.故答案为：45.9已知bR，且0b，若不等式|xbxbk b对任意xR恒成立，则实数 k的最大值是_【答案】2【分析】根据绝对值三角不等式即可求解.【详解】|2xbxbxbxbb，当且仅当xb时取等号，因此若不等式|xbxbk b对任意xR恒成立，则2k，故k最大值为 2 故答案为：2 10已知函数()yf x的表达式为2()4logf xxx，用二分法计算此函数在区间1,3上零点的近似值，第一次计算 1f、3f的值，第二次计算 1f x的值，第三次计算 2f x的值，则2x _【答案】32#1.5【分析】由已知可得12x，求出 10f，30f，(2)0f，可知零点在1

6、,2内，即可得出结果.【详解】因为2(1)14log 110f ，22(3)34log4log33210f，根据二分法可得，12x，且2(2)24log 220f ，所以零点所在的区间为1,2.第 4 页 共 14 页 所以232x.故答案为：32.11已知函数222833xxmyxxm，的值域为,2m，则实数m的取值范围是_【答案】1,2【分析】分别讨论当xm时，2xf x 的值域和当xm时，22833g xx 的值域，根据分段函数的值域取二者的并集，结合集合的并集运算即可求解.【详解】当xm时，2xyf x在,m上单调递增，所以xm时，0,2myf x；当xm时，22833yg xx，若0

7、m，则 g x在0m,上单调递增，在0,上单调递减，则xm时，803g xg，即0m 时，8,3yg x，又0m 时，082213m，此时，函数222833xxmyxxm，的值域为8,3，不满足题意，舍去；当0m 时，函数22028033xxyxx，此时值域为8,3，不满足题意，舍去；当0m时，g x在,m 上单调递减，则xm时，22833g xg mm，即0m时，228,33yg xm ，因为函数222833xxmyxxm，的值域为,2m，又xm时，0,2myf x；则0m时，228033m且228233mm，不等式2028033mm解得：02m，第 5 页 共 14 页 不等式202823

8、3mmm等价于0m时，2282033mm，设 228233mh mm（0m），因为2xy 在0,上单调递增，223yx在0,上是增函数，所以 h m在0,上单调递增，又 10h，所以0m时，0h m 等价于 1h mh，即m1，则不等式2028233mmm解得：m1，所以0m时，222803328233mmm的解集为1,2，综上：实数m的取值范围是1,2，故答案为：1,2.12已知函数()yf x和()yg x的表达式分别为32(),()1f xxg xxax设 12121212,PxxfxfxQxxg xg x现有如下四个命题：对任意实数12axx、，且12xx，都有0Q；存在实数12axx

9、、，且12xx，使得PQ；存在实数12axx、，且12xx，使得PQ；对任意实数 a，存在12xx、，且12xx，使得PQ 其中的真命题有_（写出所有真命题的序号）【答案】【分析】根据,P Q的定义，可分别构造函数 32()()1h xf xg xxxax和 32()()1m xf xg xxxax，求导，利用单调性即可结合选项求解.【详解】对于，若 12120Qxxg xg x，则 g x在定义域内单调递增，由于2()1g xxax为二次函数，所以不可能在定义域上单调递增，故错误，对于，记 32()()1h xf xg xxxax，则232hxxxa，第 6 页 共 14 页 当13a 时，

10、此时4 120a，此时 0h x有两个不相等的实数根，不妨设为,m n且mn，此时当,xm n，0h x，故 h x在,xm n单调递减，故存在12,x xm n时，满足 1211221212=0PQxxf xg xf xg xxxh xh x，故正确，当13a ，此时4 120a，此时 0h x，故此时 h x在定义域内单调递增，故=0h x至多一个根，因此不存在12xx，使得0PQ，故错误，对于，记 32()()1m xf xg xxxax，则232mxxxa，当13a 时，此时4 120a，此时 0m x有两个不相等的实数根，不妨仍设为,m n且mn，此时当,xm n，0m x，故 m

11、x在,xm n单调递减，在,m,n,单调递增，故一定存在12,x x，使得 12=0m xm x，1211221212=0PQxxf xg xf xg xxxm xm x，故正确，故答案为：二、单选题 13如果0ab，那么下列不等式中成立的是（）A11ab B1ab C2aab D22ab【答案】C【分析】作差即可判断 A、B 项；根据不等式的性质可判断 C、D 项.【详解】对于 A 项，11baabab，因为0ab，所以0ab，0ba，所以110ab，所以11ab，故 A 项错误；对于 B，1aabbb，因为0ab，所以0ab，所以10ab，所以1ab，故 B 项错误；对于 C 项，因为0a

12、b，根据不等式的性质可得2aab，故 C 项正确；对于 D 项，因为0ab，所以0ab ，根据不等式的性质可得22ab，即22ab，故D 项错误.故选：C.第 7 页 共 14 页 14已知集合 Ax，2Bx，则“1x”是“AB”的（）A充分非必要条件 B必要非充分条件 C充要条件 D既非充分又非必要条件【答案】A【分析】由AB求得0 x 或1x，然后即可得出答案.【详解】由AB可得2xx，解得0 x 或1x.所以“1x”是“AB”的充分非必要条件.故选：A.15设函数|1|yx的定义域为,a b，值域为0,3，下列结论正确的是（）A当0a 时，b的值不唯一 B当1b 时，a的值不唯一 Cba

13、的最大值为 3 Dba的最小值为 3【答案】D【分析】代入0a，得出函数解析式，求出值域，结合已知即可得出 b 的值唯一，则 A 项错误；代入1b，得出函数解析式，求出值域，结合已知即可得出 a的值唯一，则 B 项错误；分1a、1b、1ab 三种情况，求出函数的解析式，得到函数的值域，分别求出ba的范围，即可判断 C、D 项.【详解】对于 A 项，当0a 时，显然1b，则1,0111,1xxyxxxb.函数在 0,1上的值域为 0,1，在1,b上的值域为0,1b，又函数在,a b上的值域为0,3，所以13b，4b，故 A 项错误；对于 B 项，当1b 时，函数|1|1yxx，则此时函数的值域为

14、0,1 a，由已知可得13a，所以2a，故 B 错误；对于 C、D 项，当1a 时，函数|1|1yxx，此时函数的值域为1,1ab，由已知可得1013ab ，解得14ab，所以3ba；当1b时，函数|1|1yxx，则此时函数的值域为1,1ba，由已知可得1013ba，解得21ab，所以3ba；当1ab 时，1,111,1x axyxxxb.此时函数在,1a上的值域为0,1 a，在1,b上的值域为第 8 页 共 14 页 0,1b.由已知可得，01313ba 或13013ba .当01313ba 时，即142ba，此时有36ba；当13013ba 时，即421ba，则12a ，此时有36ba.综

15、上所述，36ba.故 C 项错误，D 项正确.故选：D.16存在函数()yf x，满足对任意xR都有（）A(|1)|1|fxx B(|1|)|1|fxx C22|1|f xxx D21|1|f xx【答案】C【分析】根据函数的定义即可求解.【详解】根据函数的定义，对任意的xR，按照某种对应法则f，存在唯一的 yf x与之对应.对于选项 A：若取=1x，则有(0)0f，取1x，则有(0)2f，不满足函数定义，选项 A 错误；对于选项 B：若取0 x，则有(1)1f，取2x，则有(1)3f，不满足函数定义，选项 B 错误；对于选项 C：令10tx，22222221 111|1|11xxxxxxt

16、，所以22|1|f xxx，即2(1)f tt，令21tu，则有()1f uu，即()1f xx，所以存在这样的函数()yf x，C 选项正确；对于 D 选项：若取=1x，则有(0)0f，取1x，则有(0)2f，不满足函数定义，选项 D 错误；故选：C.三、解答题 第 9 页 共 14 页 17设集合1|301,Ax xaBxx(1)若2a，试用区间表示集合 A、B，并求AB；(2)若AB，求实数 a的取值范围【答案】(1)1,5A，,1B ，1,1AB (2),2 【分析】（1）解不等式求得集合,A B，进而求得AB.（2）根据AB列不等式，【详解】（1）当2a 时，由23x得323,15x

17、x ，所以1,5A.由101x得10,1xx，所以,1B ，所以1,1AB .（2）由3xa得33,33xaaxa ，所以3,3Aaa，由于AB，所以31,2aa，所以a的取值范围是,2.18已知指数函数()yf x在区间1,2上的最大值与最小值之和等于 12(1)求()yf x的表达式：(2)若函数(),Ryg x x是奇函数，当,()0 x时，()()5g xf x试求函数()yg x的表达式，并求此函数的零点【答案】(1)()3xf x (2)35,0()0,=035,0 xxxyg xxx；函数 3 个零点为33log 5,0,log 5 【分析】（1）根据函数表达式代入求值即可得解；

18、（2）根据函数的奇偶性即可求解表达式，根据指数对数互化即可求出零点.【详解】（1）设()xyf xa，01a或1a，第 10 页 共 14 页 所以2112aa，即有2120aa，所以(4)(3)0aa，所以3a 或4a（舍），所以()3xf x;（2）当,()0 x时，()()535xg xf x，当(,0)x 时，(0,)x，所以()()535xgxfx，又(),Ryg x x是奇函数，所以 所以()()()535xg xgxfx，所以()()()535xg xgxfx，再根据(),Ryg x x是奇函数，所以(0)0g，所以35,0()0,=035,0 xxxyg xxx，令350 x，

19、得3log 5x，此函数的零点为33log 5,0,log 5.19某网红食品店近日研发出一款糕点，为给糕点合理定价，食品店进行了市场调研调研发现，销售量()t x（单位：斤）与定价 x（单位：元/斤）满足如下函数关系：4500()10500,1550t xxxx (1)为使销售量不小于 150 斤，求定价 x的取值范围；(2)试写出总销售额）y（单位：元）关于定价 x的函数表达式；并求总销售额的最大值，及此时定价x 的值【答案】(1)|1545xx(2)定价为 25 元/斤时总销售额最大为 10750 元.第 11 页 共 14 页【分析】（1）由题意销售量不小于 150 斤，即()150t

20、 x 解不等式即得定价 x 的取值范围；（2）由总销售额=定价销售量可得函数关系式，化简利用二次函数求最值即可得到总销售额的最大值及此时定价 x的值.【详解】（1）因为量不小于 150 斤，所以4500()10500150t xxx，即21035045000 xx，解得1045x，又因为1550 x，则|1545xx，故定价 x的取值范围|1545xx.（2）总销售额=定价销售量 4500(10500),1550yxxxx 210(25)10750 x 当25x 时y取得最大值，此时210(2525)1075010750y 即定价为 25 元/斤时总销售额最大为 10750 元.20已知函数(

21、)yf x的表达式为1()ln1xf xxx，将函数()yf x的图像向右平移 1 个单位，再向上平移 2 个单位得到函数g()yx的图像，(1)判断函数()yf x的奇偶性，并说明理由；(2)求函数g()yx的表达式，并求()(2)g xgx的值；(3)若不等式 22214g agb恒成立，求 ab的最大值；并指出当 ab 取得最大值时，a、b的值分别是多少？【答案】(1)奇函数(2)4(3)ab 的最大值为24，此时12,22ba.【分析】（1）由奇偶函数的定义结合对数函数的运算性质即可得出答案.（2）由函数的平移变换求出g()yx的表达式，再有对数的运算性质即可求出()(2)g xgx的

22、值；（3）由（2）知，()(2)4g xgx，所以 g x关于1,2对称，由于 22214g agb恒成立，所以222112ab，再根据均值不等式即可得出答案.【详解】（1）因为函数()yf x的定义域为101xx，则110 xx，得：11x，第 12 页 共 14 页 所以函数()yf x的定义域为1,1，关于原点对称，1111()lnlnln111xxxfxxxxf xxxx ，所以函数()yf x为奇函数.（2）函数()yf x的图像向右平移 1 个单位，可得：111ln1ln112xxyxxxx ，再向上平移 2 个单位，则 1ln21ln22xxg xxxxx ，2()(2)1ln2

23、1ln42xxg xgxxxxx ，因此求()(2)g xgx的值为4.（3）由（2）知，()(2)4g xgx，所以 g x关于1,2对称，由于 22214g agb恒成立，故 22242112g agbgb，21ln1ln122xg xxxxx ，g x的定义域为0,2，所以由“复合函数”的单调性知，g x在0,2上单调递增，所以2221ab 即2221ab，因为2222 2abab，当且仅当“2ab”时取等，所以2221242 22 2abab，当且仅当“2ab”时取等，将2ab代入2221ab，解得：12,22ba 所以 ab的最大值为24，此时12,22ba.21已知函数 yF x的

24、定义域为D，t为大于0的常数，对任意xD，都满足 2F xtF xtF x，则称函数 yF x在D上具有“性质A”(1)试判断函数2xy 和函数2yx 是否具有“性质A”（无需证明）；(2)若函数 yf x具有“性质A”，且 102ff，求证：对任意nN，都有 1f nf n；(3)若函数 yg x的定义域为R，且具有“性质A”，试判断下列命题的真假，并说明理由，若 yg x在区间,0上是严格增函数，则此函数在R上也是严格增函数；第 13 页 共 14 页 若 yg x在区间,0上是严格减函数，则此函数在R上也是严格减函数【答案】(1)函数2xy 不具有“性质A”，函数2yx 具有“性质A”(

25、2)证明见解析(3)命题为假命题，命题为真命题，理由见解析 【分析】（1）利用作差法结合“性质A”的定义判断可得出结论；（2）利用“性质A”的定义结合不等式 102ff可推导出1102f nfn，102fnf n，利用不等式的基本性质可证得结论成立；（3）取 2g xx 可判断命题为假命题，对命题，对任意的1t、2t R且12xx，取210txx，根据“性质A”的定义结合基本不等式的性质、单调性的定义证得 12g xg x，即可证得结论成立.【详解】（1）解：函数2xy 不具有“性质A”，函数2yx 具有“性质A”，理由如下：设 2xp x，2q xx，对任意的0t，2222 22222x t

26、x txxttp xtp xtp x 22 2 220 xtt，所以，2p xtp xtp x，所以，函数2xy 不具有“性质A”，对任意的0t，22222220q xtq xtq xxxtxtt，所以，2q xtq xtq x，所以，函数2yx 具有“性质A”.（2）证明：因为函数 yf x具有“性质A”，对任意的0t，2f xtf xtf x，所以，f xf xtf xtf x，又因为 102ff，所以，1130011222ffffff 1111222f nfnfnf nf nfn，所以，1021102fnf nf nfn，由不等式的可加性可得 10f nf n，故对任意的Nn，1f nf

27、 n.第 14 页 共 14 页（3）解：命题是假命题，命题是真命题，理由如下：对于命题，取函数 2g xx，由（1）可知，函数 g x具有“性质A”，函数 2g xx 在区间,0上是严格增函数，但该函数在R上不单调；对于命题，对任意的0t，对任意的xR，2g xtg xtg x，所以，g xtg xg xg xt，对任意的1t、2t R且12xx，取210txx，必存在1k 且Nk，满足2201xktxkt，因为函数 yg x在区间,0上是严格减函数，所以，221g xktg xkt，即2210g xktg xkt，所以，222222011g xktg xktg xktg xktg xtg x，故 22120g xtg xg xg x，即 12g xg x，故函数 yg x在R上是严格减函数.所以，命题为真命题.【点睛】方法点睛:新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的:遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.