2022-2023学年上海市延安中学高一上学期期末数学试题(解析版).pdf

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1、第 1 页 共 14 页 2022-2023 学年上海市延安中学高一上学期期末数学试题 一、填空题 1已知集合22430,1Ax xxBx x，则AB _【答案】1【分析】直接解出 1,3A ，1,1B，利用交集含义即可得到答案.【详解】2430 xx，解得=1x或3，21x，1x，故 1,3A ，1,1B 故 1AB.故答案为：1.2角2023是第_象限角【答案】三【分析】利用终边相同的角的表示判断出2023与223的终边相同，即可判断.【详解】因为20235 360223 ，所以2023与223的终边相同，为第三象限角.故答案为：三 3用有理数指数幂的形式表示2xx_【答案】52x【分析】

2、直接根据分数指数幂与根式的互化以及其运算法则即可得到答案.【详解】152222xxxxx，故答案为：52x.4不等式11x的解集为_.【答案】01xx【分析】将不等式变形为10 xx，利用分式不等式的解法解此不等式即可得解.【详解】原不等式即为1110 xxx，等价于100 x xx，解得01x，第 2 页 共 14 页 因此，原不等式的解集为01xx.故答案为：01xx.5幂函数22231mmymmx在区间,0上为严格减函数，则m _【答案】2【分析】根据幂函数的定义及其图像与性质，求m的值即可.【详解】因为函数是幂函数，所以211mm，解得：2m 或1m ，当2m 时，3yx，满足函数在区

3、间,0上严格减函数，当1m 时，0yx，不满足函数在区间,0上严格减函数，所以2m.故答案为：2.6已知2log 3m，用m表示6log 8_【答案】31m#31m【分析】根据换底公式，结合对数的运算性质进行求解即可.【详解】322262222log 8log 23log 23log 8log 6log(2 3)log 2log 31m，故答案为：31m 7函数 22f xxx在区间,1 上的反函数 1fx_【答案】111x x 【分析】根据反函数的定义求出 f x的反函数即可，要注意反函数的定义域.【详解】因为 22f xxx开口向上，对称轴为=1x，,1x ，所以 f x在,1 上单调递减

4、，故 211211f xf ，所以 1,f x ，由 22yf xxx得220 xxy，解得244112yxy ，因为,1x ，所以11xy ，第 3 页 共 14 页 所以 1111fxx x .故答案为：111x x .8若函数22log3yaxxa的定义域是 R，则 a的取值范围是_.【答案】3,2【分析】由二次不等式恒成立解0对应的不等式即可.【详解】当xR时，要满足230axxa恒成立，即20940aa，解得3,2a，故答案为：3,2 9当0 x 时，函数 1(21)0,2xf xaaa的函数值总大于 1，则函数2log2ayxx在区间_上是严格增函数【答案】0,1【分析】根据指数函

5、数的性质和复合函数的单调性求解.【详解】当0 x 时，函数 1(21)0,2xf xaaa的函数值总大于 1，且 01f，所以(21)xf xa单调递增，所以21 1a，所以1a，由220 xx解得02x，函数22yxx 在0,1单调递增，1,2单调递减，所以2log2ayxx在区间0,1上是严格增函数.故答案为：0,1.10函数1(0,1)xyaaa的图像恒过定点A，若点A的坐标满足方程210,0mxnymn，则11mn的最小值_【答案】32 2【分析】先判断出 1,1A，代入得到21mn，利用基本不等式“1”的妙用即可求得.【详解】令10 x，解得：1x.由01a 可得：函数1(0,1)x

6、yaaa的图像恒过定点 1,1A.因为点A的坐标满足方程210,0mxnymn，所以21mn.第 4 页 共 14 页 因为0mn，所以0,0mn.所以11112mnmnmn 122mmnn 223232nmnm 32 2（当且仅当212mnmnnm，即21222mn时等号成立）所以11mn的最小值为32 2.故答案为：32 2 11点 1122,A x yB xy是平面直角坐标系上的两点，定义A到B的曼哈顿距离1212,L A Bxxyy，已知点1,4A，点B在2yx上，则,L A B的最小值是_【答案】3【分析】根据定义列(,)L A B，再根据绝对值定义化简以及二次函数性质求最值即可.【

7、详解】2(,)1L A Bx24y22222222222222222223,15,11143,145,4yyyyyyyyyyyyyy ，当21y 时，22222111(,)324L A Byyy，此时函数单调递减，当21y 时，(,)3L A B，故此时(,)3L A B 当211y 时，22222121(,)524L A Byyy ，则21y 时，此时最小值为3，当212y 时，此时最大值为214，故此时213(,)4L A B.当214y时，22222111(,)324L A Byyy，此时函数单调递增，当21y，(,)3L A B，当24y，(,)15L A B 故此时(,)153L A

8、 B，第 5 页 共 14 页 当24y 时，22222121(,)524L A Byyy，函数单调递增，当24y 时，(,)15L A B，故此时(,)15L A B 综上(,)L A B最小值为 3.故答案为：3.12已知函数 22|log,0?2,0 x xf xxx x，关于x的方程 f xm mR有四个不同的实数解1234,x xx x，则1234x x x x的取值范围为_【答案】0,1【详解】作出 22|log,0?2,0 x xf xxx x的图象如下：结合图像可知，2324loglogxx，故34=1xx 令220 xx得：0 x 或2x，令221xx得：=1x，且122xx

9、 1212()22()()xxxx等号取不到，故，故填 0,1.点睛：一般讨论函数零点个数问题，都要转化为方程根的个数问题或两个函数图像交点的个数问题，本题由于涉及函数为初等函数，可以考虑函数图像来解决，转化为过定点的直线与抛物线变形图形的交点问题，对函数图像处理能力要求较高.二、单选题 13下列同组的两个函数是相同函数的是（）第 6 页 共 14 页 A2,yx yx Bln,exyx y C11,yx yx D1,1yxyt 【答案】D【分析】判断两函数是否为同一函数，只需要判断两者的定义域与对应法则是否相同即可.【详解】对于 A，2yxx，显然与yx的对应法则不同，故 A 错误；对于 B

10、，因为yx的定义域为R，lnexy 的定义域为0,，故 B 错误；对于 C，因为yx的定义域为R，11yx的定义域为0 x x，故 C 错误；对于 D，显然1,1yxyt 的解析式一样，则其定义域与对应法则相同，故 D 正确.故选：D.14下列函数在定义域内不是严格增函数的是（）A35yx B43xy C2logyx D1yxx【答案】D【分析】根据幂函数、指数函数、对数函数、对钩函数的单调性进行判断即可.【详解】因为35()()fxxf x ，所以函数35yx是奇函数，当0 x 时，函数35yx单调递增，且 00f，所以函数35yx是实数集上的严格增函数；指数函数43xy的底数大于1，所以函

11、数43xy是实数集上的严格增函数；对数函数2logyx的底数大于1，所以函数2logyx是正实数集上的严格增函数；因为函数1yxx在0,1上单调递减，在1,上单调递增，显然函数1yxx在定义域内不是严格增函数，故选：D 15某位喜欢思考的同学在学习函数的性质时提出了如下两个命题：已知函数 yf x的定义域为12,D x xD 第 7 页 共 14 页 若当 120f xf x时，都有120 xx，则函数 yf x是 D 上的奇函数 若当 12f xf x时，都有12xx，则函数 yf x是 D 上的增函数 下列判断正确的是（）A和都是真命题 B是真命题，是假命题 C和都是假命题 D是假命题，是

12、真命题【答案】C【分析】举出反例即可得解【详解】解：设函数,1,1yf xx x，满足若 120f xf x时，都有120 xx，但该函数不是奇函数，故错误；设函数 1,0,0 xyf xx x，满足若 12f xf x时，都有12xx，但该函数不单调递增，故错误 故选：C 16对于 R,xx表示不超过x的最大整数，定义在R上的函数 248f xxxx，若 1,02Ay yf xx，则A中所有元素的和为（）A12 B3 C14 D15【答案】D【分析】将 f x表示为分段函数的形式，由此求得A的元素，进而求得正确答案.【详解】当108x，1102,04,08142xxx，0f x；当1184x

13、，11 12,41,18242 2xxx，00 1 1f x ；当1348x，1332,14,283242xxx，0 123f x ；当3182x，3321,42,38442xxx，0 1 34f x ；当12x 时，21,42,84xxx，1 247f x ，所以0,1,3,4,7A，所以A中所有元素的和为0 1 34715 .故选：D 第 8 页 共 14 页 三、解答题 17（1）4220 xx；（2）222log5log60 xx【答案】（1）,1；（2）0,48,.【分析】（1）令2,0 xmm，原不等式可化为：220mm，解出m的范围，即可求出x的范围；（2）令2lognx，原不等

14、式可化为：2560nn，解出n的范围，即可求出x的范围.【详解】（1）令2,0 xmm，则原不等式可化为：220mm，解得：12m，所以02m.解不等式22x，解得：1x，所以原不等式的解集为,1（2）令2lognx，则原不等式可化为：2560nn，解得：2n 或3n，即2log2x 或2log3x，解得：04x或8x，所以原不等式的解集为 0,48,.18已知函数 2221,Rf xxaxaa (1)函数在区间1,1上为严格减函数，求a的取值范围；(2)函数在区间1,1上的最大值为 3，求a的值【答案】(1),1 (2)1a 或1a 【分析】（1）利用二次函数的单调性，结合数轴法即可得解；（

15、2）利用二次函数的性质，分类讨论对称轴的位置即可得解.【详解】（1）因为 2221,Rf xxaxaa，所以 f x开口向下，对称轴为xa，所以 f x在,a上单调递增，在,a 上单调递减，因为 f x在区间1,1上为严格减函数，则 1,1,a，第 9 页 共 14 页 所以1a，即a的取值范围为,1.（2）由（1）得 f x开口向下，对称轴为xa，当1a 时，f x在1,1上单调递减，所以 22max11 2123f xfaaaa ，即2230aa，解得1a 或3a（舍去），故1a；当11a 时，f x在1,a上单调递增，在,1a上单调递减，所以 2222max21213f xf aaaaa

16、 ，即21a，解得1a 或1a，因为11a，所以a；当1a 时，f x在1,1上单调递增，所以 22max11 2123f xfaaaa ，即2230aa，解得1a 或3a （舍去），故1a；综上：1a 或1a.19已知函数 11,00,0 xxxf xxxx(1)作出函数 yf x的大致图像；(2)结合图像讨论函数 Ryf xa a的零点个数情况（无需证明）【答案】(1)答案见解析(2)答案见解析 【分析】（1）先由函数奇偶性的定义证得 f x为偶函数，再分类讨论01x与1x两种情况，得到 f x的解析式，结合一次函数与反比例函数的性质即可作出 f x在0,上的图像，从而得到第 10 页 共

17、 14 页 f x的大致图像；（2）将问题转化为 yf x与ya的图像的交点个数，结合图像分类讨论即可.【详解】（1）因为 f x的定义域为R，关于原点对称，又当0 x 时，1111fxxxxxfxxxxx ，当0 x 时，0fxf x，所以 fxf x，故 f x在R上是偶函数，其图像关于y轴对称，故考虑 f x在0,上的图像即可，因为0 x，所以10 xx，而111xxxxx，所以当01x时，10 xx，所以 11112fxxxxxxxxxx，易得一次函数 2f xx在0,1上单调递增，且 01ff xf，即 02f x；当1x时，10 xx，所以 11112fxxxxxxxxxx，易得反

18、比例函数 2f xx在1,上单调递减，且 12f xf；由此可作出 f x在0,上的图像，而 f x在,0上的图像则由 f x在0,上的图像沿着y轴翻折而得，又 00f，所以 f x在R的图像如图 1，.（2）令 0yf xa，则 f xa，所以 yf x与ya的图像的交点个数即为 yf xa的零点个数，如图 2，第 11 页 共 14 页 当a0时，yf x与ya的图像没有交点，即 yf xa没有零点；当0a 时，yf x与ya的图像有 1 个交点，即 yf xa有 1 个零点；当02a时，yf x与ya的图像有 4 个交点，即 yf xa有 4 个零点；当2a 时，yf x与ya的图像有

19、2 个交点，即 yf xa有 2 个零点；当2a 时，yf x与ya的图像没有交点，即 yf xa没有零点；综上：当a0或2a 时，yf xa没有零点；当0a 时，yf xa有 1 个零点；当2a 时，yf xa有 2 个零点；当02a时，yf xa有 4 个零点.20新冠肺炎疫情发生以后，口罩供不应求，某口罩厂日夜加班生产，为抗击疫情做贡献.生产口罩的固定成本为 400 万元，每生产x 万箱，需另投入成本 p x万元，当产量不足 60 万箱时，21502p xxx;当产量不小于 60 万箱时,64001011860p xxx，若每箱口罩售价 100 元，通过市场分析，该口罩厂生产的口罩可以全

20、部销售完.(1)求口罩销售利润 y（万元）关于产量 x（万箱）的函数关系式；(2)当产量为多少万箱时，该口罩生产厂在生产中所获得利润最大？【答案】(1)2150400,060264001460,60 xxxyxxx(2)当产量为 80 万箱时，该口罩生产厂在生产中获得利润最大，最大利润为 1300 万元.【分析】(1)根据产量x的不同取值范围讨论利润 y关于产量 x的不同对应关系即可求解.(2)分别求出分段函数的最大值比较大小即可求出利润的最大值.第 12 页 共 14 页【详解】（1）当060 x时，2211100504005040022yxxxxx；当60 x时，6400640010010

21、118604001460yxxxxx.所以，2150400,060264001460,60 xxxyxxx；（2）当060 x时，2211504005085022yxxx ，当50 x 时，y取得最大值，最大值为 850 万元；当60 x时，640064001460146021300yxxxx，当且仅当6400 xx时，即80 x 时，y取得最大值，最大值为 1300 万元.综上，当产量为 80 万箱时，该口罩生产厂在生产中获得利润最大，最大利润为 1300 万元.21对于函数 12,fxfxh x，如果存在实数,a b，使得 12h xafxbfx，那么称 h x为 12,fxfx的生成函数

22、(1)下面给出两组函数，h x是否分别为 12,fxfx的生成函数？并说明理由 第一组：12lg,lg 10,lg10 xfxfxxh xx 第二组：22212,1,1fxxx fxxxh xxx；(2)设 12212log,log,2,1fxx fxx ab，生成函数 h x若不等式 2320hxh xt 在2,4x上有解，求实数t的取值范围；(3)设 121(0),(0)fxx xfxxx，取0,0ab，生成函数 h x的图像的最低点坐标为2,8 若对于任意正实数12,x x且121xx+，试问是否存在最大的常数m，使得 12h x h xm恒成立？如果存在，求出这个m的值；如果不存在，请

23、说明理由【答案】(1)答案见解析；(2),5；(3)289m.【分析】（1）利用“生成函数”的定义直接求解；第 13 页 共 14 页（2）先求出 2logh xx，令2log,2,4mx x，把题意转化为2max32,1,2tmmm.利用二次函数的单调性求出实数t的取值范围.（3）先求出 82,0h xxxx.设 12uh x h x，整理得 121280432ux xx x，设12tx x，801432,0,4uttt.利用对勾函数的性质求出289u.即可求出最大的常数m.【详解】（1）当 12lg,lg 10,lg10 xfxfxxh xx时.假设存在实数,a b，使得 12h xafx

24、bfx，所以lglg11 lgxaxbx，所以10abab，解得：12ab，即存在实数12ab，使得lglg11 lgxaxbx成立.当 22212,1,1fxxx fxxxh xxx时.假设存在实数,a b，使得 12h xafxbfx，所以 22211xxa xxb xx，所以111ababb，无解，即不存在实数,a b，使得 12h xafxbfx成立.（2）当 12212log,log,2,1fxx fxx ab时，有 21222logloglogh xxxx.令2log,2,4mx x，则 1,2m.不等式 2320hxh xt 在2,4x上有解可化为不等式2320mmt 在 1,2

25、m上有解.只需2max32,1,2tmmm.因为232ymm 的对称轴为13x，所以232ymm 在 1,2m上单调递减，所以当1m 时，5y 最大.所以5t .即实数t的取值范围为,5.（3）由题意得：,0bh xaxxx，则 2bh xaxabx.第 14 页 共 14 页 故28228baab，解得：28ab，所以 82,0h xxxx.假设存在最大的常数m，使得 12h x h xm恒成立.于是设 12uh x h x 1212444 xxxx 1212122164416xxx xx xxx 221212121264416xxx xx xx x 21212121212264416xxx xx xx xx x 121280432x xx x（其中121xx+）.设12tx x，则21212124xxtx x，即10,4t.所以801432,0,4uttt.由对勾函数的性质可知80432utt在10,4t上单调递减，所以11804322891444uu.故存在最大的常数289m.