2022-2023学年天津外国语大学附属外国语学校高二上学期期末线上质量监测数学试题(解析版).pdf

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1、 1 天津外大附校20222023学年度第一学期高二年级期末线上质量监测数学试卷 本试卷共 150分，用时 120 分钟.一、选择题（共 18 小题，每小题 5 分，共 90 分.在每小题给出的四个选项中只有一个选项是正确的.）1.双曲线22194xy的离心率为（）A.32 B.132 C.23 D.133【答案】D【解析】【分析】根据给定的双曲线方程，直接求出离心率作答.【详解】双曲线22194xy的实半轴长3a，虚半轴长2b，因此半焦距2213cab，所以双曲线22194xy的离心率133cea.故选：D 2.抛物线224yx的准线方程为（）A.3x B.6x C.12x D.24x 【答

2、案】B【解析】【分析】由抛物线标准方程求准线方程，注意焦点所在位置【详解】由题意可知：抛物线224yx的焦点在 x 轴正半轴，且224p，即62p，故抛物线224yx的准线方程为62px .故选：B.3.若数列 na中，11a，131nnaa，*nN.则3a（）A.5 B.6 C.7 D.8【答案】A 2【解析】【分析】根据递推公式赋值运算求解.【详解】当1n 时，则21312aa，当2n 时，则32315aa.故选：A.4.直线 l：20 xy被圆 O：229xy截得的弦长为（）A.2 7 B.7 C.2 5 D.5【答案】A【解析】【分析】根据直线与圆相交的弦长公式计算.【详解】圆 O：2

3、29xy的圆心0,0O，半径3r，则圆心0,0O到直线 l：20 xy的距离 22002211d，弦长为2222 7rd.故选：A.5.已知 na是等差数列，nb是各项均为正数的等比数列，且111ab，2332aab，5237ba，则44ba（）A.7 B.4 C.1 D.2【答案】C【解析】【分析】根据题意结合等差、等比数列的通项公式列式可求,d q，进而可求结果.【详解】设等差数列 na的公差为d，等比数列 nb的公比为0q，由题意可得：23352237aabba，则 2411223 17ddqqd，即24232310dqqd，解得22dq或22dq（舍去），故3441 31baqd.故选

4、：C.6.如图，在三棱锥SABC中，SA底面ABC，ABAC，2SAAC，1AB，D为棱SA的中点，则异面直线SB与DC所成角的余弦值为（）3 A.45 B.35 C.215 D.25【答案】D【解析】【分析】建系，利用空间向量解决异面直线夹角的问题.【详解】如图，以 A为坐标原点建立空间直角坐标系，则0,0,2,1,0,0,0,0,1,0,2,0SBDC,1,0,2,0,2,1SBDC，则22cos,555SB DCSB DCSB DC，异面直线SB与DC所成角的余弦值为25.故选：D.7.设nS是等差数列 na的前 n项和，若660S，则34aa的值是（）A.10 B.20 C.30 D.

5、60【答案】B【解析】【分析】根据等差数列的求和公式结合等差数列的下标和性质运算求解.【详解】由题意可得：1663463602aaSaa，则3420aa.故选：B.4 8.已知双曲线22221xyab（0a，0b）的一条渐近线与圆22(2)1xy相切，则该双曲线的离心率为（）A.3 B.62 C.2 33 D.2【答案】C【解析】【分析】求出双曲线渐近线的方程，再利用圆的切线性质列式并求出离心率作答.【详解】双曲线22221xyab的渐近线方程为：byxa，即0bxay，双曲线半焦距为c，而圆22(2)1xy的圆心为(2,0)，半径为 1，依题意，2221bab，即有2cb，223acbb，所

6、以该双曲线的离心率2 33cea.故选：C 9.已知抛物线 C：28yx的焦点为 F，点 P 在抛物线上，|8PF，则点 P的横坐标为（）A.5 B.8 C.4 D.6【答案】D【解析】【分析】根据给定条件，利用抛物线定义求解作答.【详解】抛物线 C：28yx的焦点(2,0)F，准线:2l x ，令点 P 的横坐标为0 x，由抛物线定义得0|28PFx，解得06x，所以点 P 的横坐标为 6.故选：D 10.已知数列 na满足(1)nan n，则数列1na的前 2023项之和为（）A.20232024 B.20252024 C.20222023 D.20242023【答案】A【解析】【分析】根

7、据给定条件，利用裂项相消法求解作答.5【详解】数列 na中，(1)nan n，则1111(1)1nan nnn，数列1na的前 n 项和11111111(1)()()()122334111nnSnnnn，所以数列1na的前 2023 项之和202320232024S.故选：A 11.如图，在长方体1111ABCDABC D中，13ABAA，1AD，则直线1BC与平面1ABD所成角的正弦值为（）A.2 55 B.55 C.155 D.105【答案】C【解析】【分析】以点D为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.【详解】解：如图，以点D为原点建立空间直角坐标系，则 111,3,0,0,0,0

8、,1,0,3,0,3,3BDAC，111,3,0,1,0,3,1,0,3DBDABC，设平面1ABD的法向量,nx y z，则13030n DBxyn DAxz，可取3,1,1n ，则1112 315cos,525n BCn BCn BC，所以直线1BC与平面1ABD所成角的正弦值为155.故选：C.6 12.如图，在直三棱柱111ABCABC中，ACBC，2AC，14BCCC，点 D是棱AB的中点，则平面11ABB A与平面1BCD所成角的正弦值为（）A.3010 B.7010 C.306 D.66【答案】B【解析】【分析】建系，求两平面的法向量，利用空间向量解决面面夹角问题.【详解】如图，

9、以 C为坐标原点建立空间直角坐标系，则12,0,0,0,0,0,0,4,0,1,2,0,0,4,4ACBDB，设平面11ABB A的法向量,nx y z，12,4,0,0,0,4BABB，则124040n BAxyn BBz，令2x，则1,0yz，2,1,0n，7 同理可得：平面1BCD的法向量2,1,1m，故330cos,1056n mn mn m，设平面11ABB A与平面1BCD所成角为0,2，则30cos10，故平面11ABB A与平面1BCD所成角的正弦值270sin1 cos10.故选：B.13.已知等比数列 na的前 n项和为nS，若6398SS，则 na的公比q（）A.12 B

10、.12 C.12或 1 D.12或 1【答案】B【解析】【分析】根据等比数列的前 n项和公式运算求解，注意讨论公比q是否为 1.【详解】当1q 时，则613169238SaSa，不合题意，舍去；当1q 时，则61363311911811aqSqqSaqq，解得12q；综上所述：12q.故选：B.14.已知数列 na的通项公式为：121 2nnan，*Nn，则数列 na的前 100项之 8 和为（）A.10099992 B.100100992 C.10199982 D.101100982【答案】A【解析】分析】根据给定条件，利用分组求和法，结合等差数列、等比数列求和公式计算作答.【详解】数列 n

11、a的通项公式为：121 2nnan，数列 na的前 n项和为nS，则有1121121 35211242212nnnnnSn 221nn，所以数列 na的前 100项之和21001001002199992nS .故选：A 15.已知数列 na的通项公式为：1212nnna，*nN，则数列 na的前 100项之和为（）A.9920162 B.9920362 C.1001000021 D.1001010021【答案】B【解析】【分析】根据给定条件，利用错位相减法求和作答.【详解】令数列 na的前 n项和为nS，因为1212nnna，则2135211222nnnS，则有2311123212222523

12、2nnnnnS 两式相减得：12211111121212321 1131222222212nnnnnnnnnS ，因此12362nnnS，有1009920362S，所以数列 na的前 100项之和为9920362.9 故选：B 16.已知双曲线 H：22219xya（0a），以原点为圆心，双曲线的虚半轴长为半径的圆与双曲线的两条渐近线相交于 A、B、C、D四点，四边形ABCD的面积为4a，则双曲线的方程为（）A22199xy B.221189xy C.221279xy D.221369xy【答案】B【解析】【分析】根据给定条件，求出双曲线在第一三象限的渐近线倾斜角正切，再结合四边形面积求解作答

13、.【详解】双曲线 H：22219xya的渐近线方程为：3yxa，令直线3yxa的倾斜角为，则3tana，由对称性不妨令点,A B分别在第一、四象限，坐标原点为 O，则2AOB，于是得22222sincos2tan6sinsin 22sincossincostan19aAOBa，而双曲线的虚半轴长为 3，即|3OAOB，显然四边形ABCD为矩形，其面积22110844sin429AOBaSSOAAOBaa，解得218a 所以双曲线的方程为221189xy.故选：B 17.过抛物线 C：22ypx（0p）的焦点 F 的直线 l与抛物线 C交于两点 A，B，若35AFFB，则直线 l的斜率k（）A.

14、15 B.22 C.5 D.3【答案】A【解析】【分析】根据给定条件，设出直线 l的方程，与抛物线方程联立，借助韦达定理及向量关系求解作答.10【详解】抛物线 C：22ypx的焦点(,0)2pF，显然直线 l不垂直于 y轴，设直线 l的方程为2pxty，由222pxtyypx消去 x并整理得：2220yptyp，设1122(,),(,)A x yB xy，则212122,yypt y yp，1122(,),(,)22ppAFxyFBxy，由35AFFB得：1253yy，而122yypt，则有125,3ypt ypt，因此2 221215y yp tp ，解得115t ，则115kt，所以直线

15、l的斜率15k .故选：A 18.已知数列 na的通项公式为：1(1)3nnn na，数列 na的前 n 项和为nS，若对任意的正整数 n，不等式(1)nnSc 恒成立，则实数 c 的取值范围是（）A.(1,4)B.(2,4)C.271,4 D.272,4【答案】B【解析】【分析】根据题意可得数列 nS为递增数列，讨论 n的奇偶性结合恒成立问题分析求解.【详解】111203nnnnSnnSa，数列 nS为递增数列，若对任意的正整数 n，不等式(1)nnSc 恒成立，则有：当n为奇数时，则nSc，故112caS ，即2c ；当n为偶数时，则nSc，故2124aaSc，即4c；综上所述：实数 c的

16、取值范围是(2,4).故选：B.二、填空题 11 19.已知抛物线22ypx（0p）的焦点坐标为(4,0)，则 p 的值为_.【答案】8【解析】【分析】根据抛物线的焦点即可得解.【详解】解：因为抛物线22ypx（0p）的焦点坐标为(4,0)，所以42p，即8p.故答案为：8.20.已知等差数列 na的前 5项和5520,6Sa，则10a_【答案】11【解析】【分析】由等差数列的性质求解，【详解】由题意得1555()202aaS，得12a，故5144aad，1d，则101911aad，故答案为：11 21.设双曲线22154xy的左、右焦点分别为1F、2F，点 P 在双曲线的右支上，则12PFP

17、F_.【答案】2 5【解析】【分析】根据双曲线的定义与方程运算求解.【详解】由题意可得：5a，点 P在双曲线的右支上，则12PFPF，1222 5PFPFa.故答案为：2 5.22.已知过抛物线 C：28yx的焦点 F 且与 x轴垂直的直线与抛物线交于 A、B两点，则|AB _.【答案】8【解析】【分析】根据给定条件，求出直接 AB 的方程，即可计算作答.12【详解】抛物线 C：28yx的焦点(2,0)F，则直线:2AB x，由228xyx得：|4y，所以|8AB.故答案为：8 23.已知数列 na的通项公式为：2(1)nnann，*nN，前 n 项和为nS，则40S_.【答案】800【解析】

18、【分析】利用并项求和法求解即可.【详解】解：由2(1)(1)1nnnannn n ，得4012343940Saaaaaa 1 02 13 24 35 46 539 3840 39 120342564394038 22 32 52 39 2 1 3539 1 392028002.故答案为：800.24.已知互不相同的三点 M、N、P均在双曲线 H：2212xy上，PMPN，PDMN，垂足为 D，点 O 为坐标原点，若|5OP，则OP PD的最大值为_.【答案】2 102【解析】【分析】先利用|5OP 和双曲线方程求出P坐标，由于双曲线的对称线，取2,1P，接着讨论直线MN斜率不存在和存在时，利用

19、韦达定理，结合向量的数量积，推出k、m的关系，说明直线MN过点(6,3)H，即可得到点D的轨迹方程为22418xy，故设2 2cos4,2 2sin1D，利用数量积，辅助角公式和三角函数性质即可得到答案【详解】设,P a b，因为|5OP，故225ab，所以225ab，13 因为,P a b在双曲线2212xy上，所以2212ab，由可得224,1ab，由于双曲线的对称性，不妨设2,1P，直线MN斜率不存在时，可设(,)MMM xy，(,)NNN xy，2,1P，(2,1)MMPMxy，(2,1)NNPNxy，又MNMNxxyy，PMPN，222211012MMMMMPN PMxyyxy，解得

20、(6,17)M，(6,17)N，PDMN，D为垂足，(6,1)D，直线MN斜率存在时，设直线:MN ykxm，2212xyykxm 整理得222124220kxkmxm，设1(M x，1)y，2(N x，2)y，则122412kmxxk，21222212mx xk，因为PMPN，所以1212(2)(2)(1)(1)0PM PNxxyy，得221212(1)(2)()250kx xkmkxxmm，所以2222222(1)(21)()25041212mkmmkkkmmkk，得22128230kmkmm，即(63)(21)0kmkm，当210km 即21mk时，直线:21MNykxk过定点(2,1)

21、P，不符合题意；当630km即63mk 时，直线:63MNykxk过定点(6,3)H，综上，点D在以PH为直径的圆上，16 164 2PH，线段PH的中点为(4,)1，所以点D的轨迹方程为22418xy，故可设D的坐标为2 2cos4,2 2sin1，所以2(2,1)2 2cos2,2 2sinOP PD 14 4 2cos42 2sin22 10sin2（其中21sin,cos55）所以当sin1 时，OP PD取得最大值2 102 故答案为：2 102【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为 1122,x yxy；（2）联立直

22、线与圆锥曲线的方程，得到关于x（或y）的一元二次方程，必要时计算；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12xx、12x x（或12yy、12y y）的形式；（5）代入韦达定理求解.三、解答题（共 2 题，共 30 分.）25.设椭圆222210 xyabab的右焦点为 F，右顶点为 A，上顶点为 B，已知|2 5|5BFAB.（1）求椭圆的离心率 e；（2）设直线l与椭圆有唯一公共点 M（M 在第一象限中），与y轴交于 N，|OMON，其中 O为坐标原点.（i）求直线l的斜率；（ii）若|2 6MN，求椭圆的方程.【答案】（1）32（2）（i）22（ii）221246xy【解

23、析】【分析】（1）根据题意结合椭圆的性质运算求解；（2）先证椭圆22221xyab在点00,P x y处的切线为00221x xy yab.（i）设点 M及直线l，根据题意列式运算求00,xy，进而可得斜率；（ii）根据题意结合（i）中的坐标求,a b，即可得方程.【小问 1 详解】由题意可得：,0,0,0A aBbF c，则2222,ABabBFbca，15 22|2 5|5BFaABab，则22245aab，解得2ab，22312cbeaa，故椭圆的离心率32e.【小问 2 详解】先证：椭圆222210 xyabab在点00,P x y处的切线为00221x xy yab.证明：点00,P

24、 x y在椭圆22221xyab上，则2200221xyab，即2200221xyab，点00,P x y在直线00221x xy yab上，联立方程0022222211x xy yabxyab，消去y得222220000222210 xyyxx xaabb，22200020 xx xxxx，即方程组只有一个解，故椭圆222210 xyabab在点00,P x y处的切线为00221x xy yab.（i）设点0000,0,0M x yxy，则直线l为00221x xy yab，故200,bNy，|OMON，则222000bxyy，4220020bxyy，由题意可得22002222422002

25、000140,0 xyababbxyyxy，解得002 6333xbyb，故直线l：00221x xy yab的斜率202022b xka y .16（ii）由（i）可得：,2 63,333,0bbMNb，22|22 6303336MbNbb，解得6b，22 6ab，故椭圆方程为221246xy.26.已知 na是各项均为正数的等比数列，其前 n 项和为nS，11a，且33Sa，55Sa，44Sa成等差数列.（1）求数列 na的通项公式；（2）设,21,N(35),2(1)(1)nnna nkbnnanknn，求数列 nb的前2n项和2nT；（3）设1nncan，*Nn，证明：216nkkc.

26、【答案】（1）112nna；（2）21081033(21)4nnnTn；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据给定条件，利用等差中项列式求出公比 q，再求出通项公式作答.（2）由（1）的结论求出nb，再利用等比数列前 n项和公式、裂项相消法分组求和作答.（2）求出2nc，验证当3n时不等式成立，当4n 时，证得22nn，再利用放缩的方法结合裂项相消法求和推理作答.【小问 1 详解】设正项等比数列 na的公比为(0)q q，因为33Sa，55Sa，44Sa成等差数列，则5533442()SaSaSa，即有53545342SSSSaaa，即5455342aaaaaa，因此534aa，2531

27、4aqa，而0q，解得12q，又11a，17 所以数列 na的通项公式是112nna.小问 2 详解】由（1）知，112nna，当21,Nnkk时，21212212nkkkbba，当2,Nnk k时，2122212121(65)65(65)2(21)(21)(21)(21)2(21)2(21)2kknkkkkkakkbbkkkkkk 2121212121214(21)2(21)2114(21)2(21)2(21)2(21)2kkkkkkkkkkkk，123421213212224()()nnnnnTbbbbbbbbbbbb 24223352121111111111(1)4()()()2221

28、23 23 25 2(21)2(21)2nnnnn 2111114421081044212(21)233 4(21)433(21)414nnnnnnnnn，所以数列 nb的前2n项和21081033(21)4nnnTn.【小问 3 详解】由（1）知，1112nncn，则212211142nnncnn，有214c，221c，2231149()43144c，当1n 时，2146c，当2n 时，221256cc，当3n时，2221234956144ccc，即当3,Nnn时，不等式216nkkc成立，当4n 时，22012201222222222(1 1)CCCCCCCnnnnnnnnnn(2)(3)1213242nnnnnnn ，则2121211121814(21)(21)1114()44(2)4(21)(21)42121nnnnnnncnnnnnn，18 3222222211234511(1)4911644)()54()1144721(14nkknncccccccn 1149114423514556144483 47212523 421nnnn，综上得：Nn，216nkkc.【点睛】易错点睛：裂项相消法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的