2022届安徽省合肥市第一中学高三下学期最后一卷理科数学试题.pdf

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1、安徽省合肥市第一中学 2022 届高三下学期最后一卷 理科数学试题 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1已知集合|21Ax x，2log1Bxx，则AB（）A(0,3)B(1,2)C(,3)D(0,2)2若31 2aii（i为虚数单位）是实数，则实数a的值为（）A6 B32 C6 D32 3已知a，b为正实数，则“2abab”是“16ab”的（）A充要条件 B必要不充分条件 C充分不必要条件 D既不充分也不必要条件 4黎曼函数是一个特殊的函数，由德国著名的数学家波恩哈德黎曼发现提出，在高等数学中有着广泛的应用，其定义

2、为：1,(,)()0,0,10,1pqxp qpqpR xx当都是正整数，是既约分数当或上的无理数，若函数()f x是定义在 R上的偶函数，且对任意 x 都有(2)()0fxf x，当0,1x时，()()f xR x，则2022(lg2022)305ff（）A15 B25 C25 D15 5如图，圆锥的轴截面ABC为正三角形，其面积为4 3，D为弧AB的中点，E为母线BC的中点，则异而直线,AC DE所成角的余弦值为（）A24 B22 C63 D33 6某校有 5 名大学生打算前往观看冰球，速滑，花滑三场比赛，每场比赛至少有 1 名学生且至多 2 名学生前往，则甲同学不去观看冰球比赛的方案种数

3、有（）A48 B54 C60 D72 7已知数列an的前 n 项和为 Sn，且 an+1=an+2n1，a1=2，若 Sn128，则 n的最小值为（）A5 B6 C7 D8 8已知点 P 在直线4xy上，过点 P 作圆22:4O xy的两条切线，切点分别为 A，B，则点(3,2)M到直线 AB 距离的最大值为（）A2 B3 C2 D5 9足球场上有句顺口溜：冲向球门跑，越近就越好；歪着球门跑，射点要选好在足球比赛中，球员在对方球门前的不同的位置起脚射门对球门的威胁是不同的，射点对球门的张角越大，射门的命中率就越高.如图为标准对称的足球场示意图，设球场长ABa，宽BCb，球门长PQm.在某场比赛

4、中有一位左边锋球员欲在边线 AB上点 M 处射门，为使得张角PMQ最大，则AM（）A2abm B222bm C2bm D222abm 10设函数32|()e1xf xxx（44x），若(21)(2)(1 2)fxffx，则 x的取值范围是（）A31,22 B3 1,2 2 C1,2 D3,2 11过抛物线E：220ypx p焦点F的直线交抛物线于A，B两点，过A，B分别向E的准线作垂线，垂足分别为C，D，若ACF与BDF的面积之比为 4，则直线AB的斜率为（）A B3 C2 D22 12双曲函数在实际生活中有着非常重要的应用，比如悬链桥在数学中，双曲函数是一类与三角函数类似的函数，最基础的是双

5、曲正弦函数sinh2xxx 和双曲余弦函数cosh2xxx 下列结论错误的是（）Acoshsinh1xxx Bsinh()sinhcoshcoshsinhxyxyxy C 若ym与双曲余弦函数1C和双曲正弦函数2C共有三个交点，分别为123,x xx，则123xxxln(12)D已知函数2()1coshf xxax，aR，则函数()f x零点的个数所有可能值构成的集合为0,1,2 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13已知双曲线 C：22214xyb（0b），以 C 的焦点为圆心，3 为半径的圆与 C 的渐近线相交，则双曲线 C 的离心率的取值范围是_ 14已知0a，

6、0b，向量(2,9)mab，(8,)nab，若mn，则2ab的最小值为_ 15“中国剩余定理”又称“孙子定理”，讲的是一个关于整除的问题现有这样一个整除问题：将 1 到 2 021这 2 021 个数中，能被 3 除余 2 且被 5 除余 2 的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列an，则此数列所有项中，中间项的值为_ 16如图，将正四面体每条棱三等分，截去顶角所在的小正四面体，余下的多面体就成为一个半正多面体，亦称“阿基米德体”点A，B，M是该多面体的三个顶点，点N是该多面体表面上的动点，且总满足MNAB，若4AB，则该多面体的表面积为_，点 N 轨迹的长度为_ 三、解答题：共 70 分解答

7、应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 17在3(cos)3sinbcAaC，1tan12tanaCbB，sincos6cBbC这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题 在ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且满足_(1)求C；(2)若ABC的面积为10 3，D为AC的中点，求BD的最小值 18已知四棱锥 EABCD中，四边形 ABCD 为等腰梯形，ABDC，ADDC2，AB4，ADE为等边三角形，且平面 ADE平面 ABCD （1）求证：AEBD；（2）是否存在一点 F，满足EFE

8、B(01)，且使平面 ADF 与平面 BCE 所成的锐二面角的余弦值为6513若存在，求出的值，否则请说明理由 19北京 2022 年冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”一亮相，好评不断，这是一次中国文化与奥林匹克精神的完美结合，是一次现代设计理念的传承与突破 为了宣传 2022 年北京冬奥会和冬残奥会，合肥一中决定安排 5 名志愿者将两个吉祥物安装在合一广场，活动共分 3 批次进行每次活动需要同时派送2 名志愿者，且每次派送人员均从 5 人中随机抽选已知这 5 名志愿者中，2 人有安装经验，3 人没有安装经验(1)求 5 名志愿者中的“小明”，在这 3 批次安装活动中有且只有一次

9、被抽选到的概率；(2)求第二次抽选时，选到没有安装经验志愿者的人数最有可能是几人？请说明理由；(3)现在需要 2 名志愿者完成某项特殊教学任务，每次只能派一个人，且每个人只派一次，如果前一位志愿者一定时间内不能完成教学任务，则再派另一位志愿者若有 A、B 两个志愿者可派，他们各自完成任务的概率分别为1P，2P，假设121PP，且假定各人能否完成任务的事件相互独立若按某种指定顺序派人，这两个人各自能完成任务的概率依次为1q，2q，其中1q，2q是1P、2P的一个排列，试分析以怎样的顺序派出志愿者，可使所需派出志愿者的人员数目的数学期望达到最小 20在平面直角坐标系中，1A，2A两点的坐标分别为(

10、2,0)，(2,0)，直线1AM，2A M相交于点 M且它们的斜率之积是34，记动点 M 的轨迹为曲线 E过点(1,0)F作直线 l交曲线 E于 P，Q两点，且点 P 位于x 轴上方记直线1AQ，2A P的斜率分别为1k，2k(1)证明：12kk为定值：(2)设点 Q关于 x 轴的对称点为1Q，求1PFQ面积的最大值 21已知()2esinxf xxx(1)求()f x在0,x上的最小值；(2)设2(cossin)e0.51xm xxxxx，在0,x上有两个实根，求 m 的取值范围 （二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分 22选修 4

11、4：坐标系与参数方程（10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知曲线 E经过点31,2P，其参数方程为cos3sinxay(为参数)，以原点 O为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.(1)求曲线 E 的极坐标方程；(2)若直线 l交曲线 E于点 A，B，且 OAOB，求2211|OAOB 的值 23选修 45：不等式选讲（10 分）已知函数()|21|1|f xxx(1)解不等式()2f x；(2)记函数()f x的最小值为m，若,a b为正实数，且24abm，求2a b的最大值 1页 参考答案：1B 2B 3B 4D 5B 6C 7C 8D 9B 10A 11D 12D 13131,

12、2 148 151007 16 112 3 88 3 17(1)选时，3(cos)3sinbcAaC，利用正弦定理得：3sinsincossinsin3BCAAC，由于()BAC，所以sinsin()BAC，故3sincossinsin3ACAC，又0,A，sin0A，整理得tan3C，0C，故3C 选时，1tan12tanaCbB，利用正弦定理得：sin1 sincossin()1sin2 cossin2cossinACBBCBCBCB，由于A CB，所以sin()sinBCA，即2sincossinsinsinACBBA，又0,A，sin0A，0,B，sin0B，故1cos2C，0C，故3

13、C 选时，sincos6cBbC，利用正弦定理得：sinsinsincos6CBBC，2页 又0,B，sin0B，整理得31sincoscossin622CCCC 所以sin3cosCC，整理得tan3C，0C，故3C(2)由于ABC的面积为10 3，所以，113sin10 3222abCab，解得40ab 在BCD中，由余弦定理得：22222111cos220442222bbbBDaabCaabaabab，故2 5BD，当且仅当12ab，即2 5a，4 5b，BD的最小值为2 5 18（1）取AB的中点G，连接DG,1,/2BGABCD BGCD,四边形BCDG是平行四边形，2DGBCAGA

14、D,ADG为等边三角形，1,2DGABABD是直角三角形，ADBD，平面ADE 平面ABCD,BD 平面ABCD，AD 平面ADE平面ABCD,BD平面ADE,AE 平面ADE,AEBD （2）F为 EB 中点即可满足条件.取AD的中点H,连接EH，则EHAD，取AD的中点H,连接EH,平面ADE 平面ABCD，EH 平面EAD，所以EH 平面ABCD，3,2 3,EHBD如图建立空间直角坐标系Dxyz,则 0,0,0,2,0,0,0,2 3,0,1,3,0,1,03DABCE，,则 2,0,0,1,3,0,1,2 3,3,2 3,3,CBEBEFEDBA 1,2 3,33,DF 设平面ADF

15、的法向量为111(,)mx y z，平面BCE的法向量为222(,)nxyz 3页 由00DF mDA m，得111112 333020 xyzx，取0,12m，；由00CB nEB n，得22222302 330 xyxyz，取3,1,3n 于是，216|65|cos,|1313521m nm nmn 解得1=2或1=-3（舍去）19(1)5 名志愿者的“小明”在每轮抽取中，被抽取到概率为25，则三次抽取中，“小明”恰有一次被抽取到的概率12132354C55125P ；(2)第二次抽取到的没有安装经验志愿者人数最有可能是 1 人 设表示第一次抽取到的没有安装经验志愿者人数，可能的取值有 0

16、，1，2，则2225C1(0)C10P；112325C C6(1)C10P；2325C3(2)C10P 设表示第二次抽取到的没有安装经验志愿者的人数，可能的取值有 0，1，2，则 11222222333224222222555555C CCCCCC37(0)CCCCCC100p 11111122112323233241222222555555C CC CC CCCC C54(1)CCCCCC100P 2112223233222222255555CC CCCC9(2)0CCCCC100P 因为(1)(0)(2)PPP，故第二次抽取到的没有安装经验志愿者人数最有可能是 1 人(3)按照先 A 后

17、B的顺序所需人数期望最小：设 X表示先 A 后 B完成任务所需人员数目，则 X 1 2 4页 P 1P 11P 111()2 12E XPPP，设 Y 表示 B 先后 A完成任务所需人员数目，则 X 1 2 P 2P 21P 222()2 12E YPPP，12()()0E YE XPP，故按照先 A后 B 的顺序所需人数期望最小 20(1)设(,)M x y，由题可知3224yyxx，所以22143xy（2x ）设直线 l的方程为1xmy，11,Q x y，22,P xy，联立221143xmyxy，得2234690mymy，所以122634myym，122934y ym，所以1112ykx

18、，2222ykx，所以121111212212122222232yxykxmy yyykxymy yyx 22222222296334134349393 34334mmymmymmmmmyym，所以12kk为定值(2)设111,Q xy，由椭圆的对称性，不妨设0m，11211121122PQQSyxxx yx y，1111111122QQ FSxyx yy，而 1111121111PFQPQQQQ FSSSx yx yx yy 5页 1211229134mymyymy ym 993 3442 123mm，当243m，即2 33m 时，等号成立，此时1PFQ的面积最大值为3 34 21(1)依题

19、意，()2esinxf xxx，()2esin2ecossinxxfxxxxxx，记()()F xfx，则()2esin2cosxF xxxx 因为0,x，所以e1x，sin0 xx，因此()22cos0F xx，所以()F x即()fx在0,上单调递增，于是()(0)20fxf，故函数()f x在0,上单调递增，()(0)2f xf，()f x的最小值为 2(2)2()e0.51(cossin)xg xxxm xxx，2()e0.51(cossin)e1sinxxg xxxm xxxmxxx 令()e1sinxh xmxxx，()e(sincos)1xh xmxxx，当12m 时，1()e1

20、sin2xh xxxx 由（1）可知，当(0,x时，1esin102xxxx，当(0,x时，()0h x 而(0)0h，当0,x时，()0h x，()g x在0,上递增，又(0)0g 而(0)0g，当0,x时，()g x仅有 1 个零点，舍去 6页 当12m 时，()e(sincos)1xh xmxxx，设()()H xh x，()H xe(sin2cos)xm xxx 当,2x时，()0H x，所以()h x单调递增 当0,2x时，()()G xH x，()e(3sincos)xG xmxxx 因为e0 x，(3sincos)0mxxx，所以()0G x，所以()H x单调递增 又(0)12

21、0Hm，()e(sin2cos)xH xm xxx，2022mHe 因此()H x在0,上存在唯一的零点0 x，且00,2x 当00,xx时，()0H x，所以()h x单调递减；当0,2xx时，()0H x，所以()h x单调递增 又(0)0h，0(0)0h xh，()e10hm，因此()h x在(0,上存在唯一的零点1x，且10,xx 当10,xx时，()0h x，所以()h x单调递减；当1,xx时，()0h x，所以()h x单调递增 又(0)0h，1(0)0h xh，()e10h，所以()h x在1,x上存在唯一零点，因此()h x）在0,上有两个零点()g x在10,x递减，1,x

22、递增，又(0)0g 10g x，又2()e 102gm，()g x在(0,上存在唯一的零点2x，且21,xx 因此()g x在0,上有两个零点 综上所述，实数 m 的取值范围是1,2 22(1)将点31,2P代入曲线 E的方程，7页 得1cos,33sin,2a解得24a，所以曲线E的普通方程为22143xy，极坐标方程为22211(cossin)143.(2)不妨设点,A B的极坐标分别为 1212()()00,2AB，则22221122222211cossin1,4311cossin1,4232 即22212222111cossin43111sincos43，2212111174312，即

23、22117|12OAOB.23(1)2,0,3 (2)8【解析】【分析】（1）根据 3,112,(1)213,2xxf xxxxx ，分1x，112x，12x 求解；（2）先求得函数的最小值，进而得到26ab，利用基本不等式求解.(1)解：3,112,(1)213,2xxf xxxxx ，8页 则()2f x 等价于132xx 或11222xx 或1232xx，解得1x或10 x或23x，所以不等式的解集为2(,0,)3；(2)由 3,112,(1)213,2xxf xxxxx ，得min13()()22f xfm，26ab，且,a b为正实数，23()83aaba ba a b，当且仅当ab，又26ab，即2ab时等号成立，2a b的最大值为8