2023届北京市东城区高三上学期期末考试数学试题(解析版).pdf

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1、第 1 页 共 21 页 2023 届北京市东城区高三上学期期末考试数学试题 一、单选题 1已知集合12Axx，1Bx x，则AB（）A,2 B1,C1,1 D1,2【答案】A【分析】直接利用并集的概念运算即可【详解】因为集合12Axx，1Bx x，所以|2ABx x.故选：A.2在下列函数中，为偶函数的是（）A cosf xxx B cosf xxx C lnf xx D f xx【答案】C【分析】利用函数的奇偶性定义判断各个选项即可.【详解】对于 A，函数 cosf xxx的定义域为R，且cosfxxx ，所以 fxf x，故函数不为偶函数；对于 B，函数 cosf xxx的定义域为R，且

2、cosfxxx，所以 fxf x，故函数不为偶函数；对于 C，函数 lnf xx的定义域为,00,，且lnfxx，所以 fxf x，故函数为偶函数；对于 D，函数 f xx的定义域为0,，不关于原点对称，所以函数不为偶函数.故选：C.3在1nxx的展开式中，若第 3 项的系数为 10，则n（）A4 B5 C6 D7【答案】B 第 2 页 共 21 页【分析】直接利用二项式定理计算得到答案.【详解】1nxx展开式的通项为22231CnnTxx，故21C102nn n，5n.故选：B 4在等比数列 na中，11a，238a a，则7a（）A8 B16 C32 D64【答案】D【分析】根据238a

3、a 及等比数列的通项公式求出公比，再利用等比数列的通项公式即可求解.【详解】设等比数列 na的公比为q,因为238a a，11a，所以38q，解得2q.所以6671264aa q.故选:D.5北京中轴线是世界城市建设历史上最杰出的城市设计范例之一.其中钟鼓楼、万宁桥、景山、故宫、端门、天安门、外金水桥、天安门广场及建筑群、正阳门、中轴线南段道路遗存、永定门，依次是自北向南位列轴线中央相邻的 11 个重要建筑及遗存.某同学欲从这 11 个重要建筑及遗存中随机选取相邻的 3 个游览，则选取的 3 个中一定有故宫的概率为（）A111 B19 C311 D13【答案】D【分析】分别求出这 11 个重要

4、建筑及遗存中随机选取相邻的 3 个的种数和选取的 3 个中一定有故宫的种数，再由古典概率代入即可得出答案.【详解】设 11 个重要建筑依次为,a b c d e f g h i j k，其中故宫为d，从这 11 个重要建筑及遗存中随机选取相邻的 3 个有：,a b cb c dc d ed e f，,e f gf g hg h ih i j，,i j k共 9 种情况，第 3 页 共 21 页 其中选取的 3 个中一定有故宫的有：,b c dc d ed e f，共 3 种，所以其概率为：3193.故选：D.6 在平面直角坐标系xOy中，角以Ox为始边，终边位于第一象限，且与单位圆O交于点P，

5、PMx轴，垂足为M.若OMP的面积为625，则sin2（）A625 B1225 C1825 D2425【答案】D【分析】由三角函数的定义结合三角形面积列出方程，再由倍角公式求出答案.【详解】由三角函数的定义可知：cos,sinOMPM，故511coss62in22OM PM，故51sin2462，解得：sin22425.故选：D 7已知双曲线2222:10,0 xyCabab的左、右焦点分别为1F，2F，其渐近线方程为2yx，P是C上一点，且12PFPF.若12PFF的面积为 4，则C的焦距为（）A3 B2 3 C2 5 D4 5【答案】C【分析】由双曲线C的渐近线方程为2yx，所以2ba.再

6、结合题意可得到12222222121212244142PFPFaPFPFFFcabPFPF，解出2c，即可求得C的焦距.【详解】由题意，双曲线C的渐近线方程为2yx，所以2ba，因为12PFPF，12PFF的面积为 4，所以12222222121212244142PFPFaPFPFFFcabPFPF，解得21a，24b，第 4 页 共 21 页 所以2225cab，即C的焦距为22 5c.故选：C.8在ABC中，“对于任意1t，BAtBCAC”是“ABC为直角三角形”的（）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【答案】A【分析】设BDtBC，根据平面向量

7、的运算可得DAAC，从而可得2C；若ABC为直角三角形，不一定有2C，根据充分条件与必要条件的定义判断即可.【详解】设BDtBC，则BAtBCBABDDA，所以BAtBCAC即为DAAC，所以AC是边BC上的高，即CACB,即2C,故ABC为直角三角形.若ABC为直角三角形，不一定有2C，故不一定有BAtBCAC.所以“对于任意1t，BAtBCAC”是“ABC为直角三角形”的充分而不必要条件.故选:A.9在平面直角坐标系xOy中，若点,P a b在直线430axbya 上，则当a，b变化时，直线OP的斜率的取值范围是（）A33,33 B33,33 C55,22 D55,22【答案】B【分析】将

8、点P代入直线方程中得出点P为圆上的动点，结合图像分析即可求出直线OP的斜率的取值范围.【详解】因为点,P a b在直线430axbya 上，所以430a ab ba ，即222243021abaab，则,P a b表示圆心为2,0，半径为 1 的圆上的点，第 5 页 共 21 页 如图：由图可知当直线OP与圆相切时，直线OP的斜率得到最值，设:OPlykx，由圆与直线相切，故有圆心2,0到直线OPl的距离为半径 1，即22011kdk，解得：33k ，由图分析得：直线OP的斜率的取值范围是33,33.故选：B.10如图，在正方体1111ABCDABC D中，点Q是棱1DD上的动点，下列说法中正

9、确的是（）存在点Q，使得11/C QAC；存在点Q，使得11C QAC；对于任意点Q，Q到1AC的距离为定值；对于任意点Q，1ACQ都不是锐角三角形.A B C D【答案】C 第 6 页 共 21 页【分析】建立以A为原点，分别以1,AB AD AA的方向为x轴，y轴，z轴正方向得空间直角坐标系Axyz，设正方体边长为 1，运用空间向量法逐个判断解决即可.【详解】由题知，在正方体1111ABCDABC D中，点Q是棱1DD上的动点，建立以A为原点，分别以1,AB AD AA的方向为x轴，y轴，z轴正方向得空间直角坐标系Axyz，设正方体边长为 1，所以11(0,0,1),(1,1,0),(1,

10、1,1)ACC，设(0,1,)Qa，其中01a，所以11(1,0,1),(1,1,1)CQaAC，当11CQAC时，无解，故错误；当111 0 10CQ ACa 时，解得0a，故正确；因为1(0,1,1)AQa，其中01a，所以Q到1AC的距离为 222221111132226221(1),3323aaAQ ACAQaAC，不是定值，故错误；因为1(1,0,),(0,1,1)QCa QAa，其中01a，所以2112211cos,00511(1)QC QAaaQC QAQC QAaa，所以三角形为直角三角形或钝角三角形，不可能为锐角三角形，故正确；故选：C 第 7 页 共 21 页 二、填空题

11、11若复数z满足i i3z，则z _.【答案】2【分析】根据复数运算解决即可.【详解】由题知，i i3z，所以33ii=i=2ii1z，所以2z.故答案为：2 12经过抛物线220ypx p焦点F的直线与抛物线交于不同的两点A，B，经过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D，则点B的纵坐标By与点D的纵坐标Dy的大小关系为By_Dy.（填“”“”或“”）【答案】【分析】设 1122,A x yB x y，求出直线OA的方程，与准线方程联立可得21Dpyy.设直线AB的方程为2pmyx，与抛物线方程联立可得212y yp，从而可求2y与Dy的关系，即By与Dy的关系.【详解】设 1122,A

12、 x yB x y，则直线OA的方程为11211122yypyxxxyxyp，令2px ，可得21Dpyy.设直线AB的方程为2pmyx，联立222pmyxypx，可得2220ypmyp，所以212y yp，即221pyy.所以2Dyy，即DByy.故答案为:.第 8 页 共 21 页 13对于数列 na，令 112341nnnTaaaaa，给出下列四个结论：若nan，则20231012T；若nTn，则20221a；存在各项均为整数的数列 na，使得1nnTT对任意的*nN都成立；若对任意的*nN，都有nTM，则有12nnaaM.其中所有正确结论的序号是_.【答案】【分析】逐项代入分析求解即可

13、.【详解】对于：因为 112341nnnTaaaaa，且因为nan，所以 11 2341nnTn ，所以20231234202120222023101120231012T ，故选项正确；对于：若nTn，则 112341nnnTaaaaan 所以 12112341111nnnnnTaaaaaan ，所以两式相减得 2111nna，所以 2021 2202211a，所以20221a，所以20221a，故选项正确；对于：11234.(1)nnnTaaaaa，12112341.(1)(1)nnnnnTaaaaaa ，所以若1nnTT对任意的*nN都成立，第 9 页 共 21 页 则有123456.nT

14、TTTTTT，所以112123123412345aaaaaaaaaaaaaaa 121234561234561234561.(1).(1)nnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa ，因为各项为整数，则不等式串中绝对值只能从1a越来越小，之后甚至会出现0大于某数绝对值的情况，例如：10003001002053210.，后续还会有绝对值，但是会有矛盾，故选项错误；对于：若对任意的*nN，都有nTM，则有1nnaa.11122211.nnnnnaaaaaaaaa 112211221.(.)nnnnnnaaaaaaaaaa 112211221.nnnnnnaaaaaaaaaa 112nnTTM

15、MM.故选项正确；故答案为：.三、双空题 14已知函数 3sincosf xxx，则3f_；若将 f x的图象向左平行移动6个单位长度得到 g x的图象，则 g x的一个对称中心为_.【答案】1 0,0(答案不唯一)【分析】化简 2sin6fxx，代入即可求出3f；由三角函数的平移变换求出 g x，再由三角函数的性质求出 g x的对称中心，即可得出答案.【详解】3sincos2sin6fxxxx，所以2sin1336f，第 10 页 共 21 页 将 f x的图象向左平行移动6个单位长度得到 g x的图象，则 2sin2sin66g xxx，所以 g x的对称中心为,0k.故 g x的一个对称

16、中心为0,0.故答案为：1；0,0(答案不唯一).15设函数 21,1,xxaf xxaxa，当0a 时，f x的值域为_；若 f x的最小值为 1，则a的取值范围是_.【答案】1,;2,.【分析】当0a 时，根据单调性分段求值域，再取并集即可求值域；讨论可得0a 与a0不符合题意；当0a 时，1 1a,画出图象，设21yx与1yxa在1,上的交点横坐标为0 x，讨论可得0ax时，f x的最小值为 1，求出0 x，解不等式即可求a的取值范围.【详解】若0a，则 21,01,0 xxfxxx，当0 x,21f xx单调递增，所以 01f xf；当0 x,11f xxx 单调递减，所以 01f x

17、f.故 f x的值域为1,.当0a 时，f x的值域为1,，不符合题意；当a0时，21f xx在,a 上的最小值为1，不符合题意；当0a 时，1 1a,画出21,1yxyx的图象，如图所示：第 11 页 共 21 页 设21yx与1yxa在1,上的交点横坐标为0 x，又 11f aaa，当00ax时，由图象可得 f x无最小值；当0ax时，由图象可得 f x有最小值 1f a，由211xxa ，可得220 xxa，故可得011422ax，所以11422aa，即2211 42aa，化简得22a,解得2a.故答案为:1,;2,.【点睛】方法点睛：(1)分段函数问题中参数值影响变形时，往往要分类讨论

18、，需有明确的标准、全面的考虑；(2)求解过程中，求出的参数的值或范围并不一定符合题意，因此要检验结果是否符合要求 四、解答题 16如图，在锐角ABC中，4B，3 6AB，6AC，点D在BC边的延长线上，且10CD.(1)求ACB；(2)求ACD的周长.【答案】(1)3；(2)30.【分析】（1）在ABC中，利用正弦定理即可求解；（2）由（1）可求得23ACD，在ACD中，利用余弦定理可求CD，从而可求ACD的周长.第 12 页 共 21 页【详解】（1）在ABC中，4B，3 6AB，6AC，由正弦定理可得sinsinABACACBB，故23 6sin32sin62ABBACBAC，因为ABC是

19、锐角三角形，所以 3ACB.（2）由（1）得3ACB，所以23ACD.在ACD中，6AC，10CD，23ACD，所以222212cos6102 6 10142ADACCDAC CDACD .所以ACD的周长为6 10 1430.17如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为 2 的正方形，2PA，PAAB，E为BC的中点，F为PD上一点，/EF平面PAB.(1)求证：F为PD的中点；(2)再从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知，求直线AD与平面AEF所成角的正弦值.条件：ADPB；条件：2 3PC.注：如果选择条件和条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】(1)证明见解析；(2)23

20、.【分析】（1）取AD的中点M，可证明平面EFM/平面PAB，故/MF平面EFM，从而可证明/MF PA，可得F为PD的中点；（2）选择条件，可得,PA AB AD两两垂直，以A为坐标原点，分别以,AB AD AP为,x y z轴建立空第 13 页 共 21 页 间直角坐标系，利用空间向量法即可求直线与平面所成角的正弦值；选择条件，利用勾股定理的逆定理可得ADPB，可得,PA AB AD两两垂直，以A为坐标原点，分别以,AB AD AP为,x y z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法即可求直线与平面所成角的正弦值.【详解】（1）取AD的中点M，易知/EM AB.因为EM 平面PAB,AB平面

21、PAB,所以/EM平面PAB.因为/EF平面PAB，,EMEFE EM EF平面EFM，所以平面EFM/平面PAB.因为MF 平面EFM，所以/MF平面EFM.因为MF 平面PAD，且平面PAD平面PABPA，所以/MF PA.因为M为AD的中点，所以F为PD的中点.（2）选择条件：ADPB，因为底面ABCD是边长为 2 的正方形，所以ADAB.因为,PBABB PB AB平面PAB，所以AD 平面PAB.因为PA 平面PAB，所以ADPA.因为PAAB，所以,PA AB AD两两垂直，以A为坐标原点，分别以,AB AD AP为,x y z轴建立空间直角坐标系，第 14 页 共 21 页 则0

22、,0,0,0,2,0,2,1,0,0,1,1ADEF，所以0,2,0,2,1,0,0,1,1ADAEAF，设平面AEF的法向量为,nx y z，则200n AExyn AFyz，令1x，得1,2,2n，设直线AD与平面AEF所成角为，则42sincos,2 33AD nAD nAD n.故直线AD与平面AEF所成角的正弦值为23.选择条件：2 3PC，因为PAAB，2PAAB,所以22PB222 2.因为2 3PC，2BC,所以222PCBCPB,所以BCPB，即ADPB.因为底面ABCD是边长为 2 的正方形，所以ADAB.因为,PBABB PB AB平面PAB，所以AD 平面PAB.因为P

23、A 平面PAB，所以ADPA.因为PAAB，所以,PA AB AD两两垂直，以A为坐标原点，分别以,AB AD AP为,x y z轴建立空间直角坐标系，第 15 页 共 21 页 则0,0,0,0,2,0,2,1,0,0,1,1ADEF，所以0,2,0,2,1,0,0,1,1ADAEAF，设平面AEF的法向量为,nx y z，则200n AExyn AFyz，令1x，得1,2,2n，设直线AD与平面AEF所成角为，则42sincos,2 33AD nAD nAD n.故直线AD与平面AEF所成角的正弦值为23.18“双减”政策执行以来，中学生有更多的时间参加志愿服务和体育锻炼等课后活动.某校为

24、了解学生课后活动的情况，从全校学生中随机选取 100 人，统计了他们一周参加课后活动的时间（单位：小时），分别位于区间7,9，9,11，11,13，13,15，15,17，17,19，用频率分布直方图表示如下，假设用频率估计概率，且每个学生参加课后活动的时间相互独立.(1)估计全校学生一周参加课后活动的时间位于区间13,17的概率；(2)从全校学生中随机选取 3 人，记表示这 3 人一周参加课后活动的时间在区间15,17的人数，求第 16 页 共 21 页 的分布列和数学期望 E；(3)设全校学生一周参加课后活动的时间的众数、中位数、平均数的估计值分别为a，b，c，请直接写出这三个数的大小关系

25、.（样本中同组数据用区间的中点值替代）【答案】(1)0.65(2)答案见解析(3)cba 【分析】（1）直接计算得到答案.（2）概率10.20020.4p，的可能取值为0,1,2,3，计算概率得到分布列，再计算数学期望得到答案.（3）根据公式计算众数，平均数和中位数，再比较大小即可.【详解】（1）参加课后活动的时间位于区间13,17的概率0.1250.20020.65p.（2）活动的时间在区间15,17的概率10.20020.4p，的可能取值为0,1,2,3，31 0.40.2160p，213C0.41 0.40.2143p，223C0.41 0.40.2882p，330.40.064p.故分

26、布列为：0 1 2 3 p 0.216 0.432 0.288 0.064 00.2161 0.43220.28830.0641.2E （3）众数为：16a；0.0250.0500.07520.30.5，0.0250.0500.0750.12520.550.5，则130.1250.50.30.2b，14.6b；8 0.0252 10 0.0502 12 0.0752 14 0.1252 16 0.2002c 18 0.025 214，第 17 页 共 21 页 故cba 19已知椭圆C：22221xyab（0ab）的离心率为32，长轴长与短轴长的和为 6，1F，2F分别为椭圆C的左、右焦点.(

27、1)求椭圆C的方程；(2)设P为椭圆C上一点，1,0M.若1PF，PM，2PF成等差数列，求实数的范围.【答案】(1)2214xy(2)2,63 【分析】（1）由离心率，长轴长与短轴长的和列出方程组求解即可；（2）由等差关系推导出2PM，进而化简为22,342433x结合椭圆有界性可求出范围.【详解】（1）由题意22232226cacbaba2241ab 2214xy，故椭圆C的方程为2214xy.（2）设,y,2,2P xx 1PF，PM，2PF成等差数列 2PM=1PF 224PFa 22222221114PMxxyx 22,2,2342433xx 23422,94333x，2,63 第

28、18 页 共 21 页 20已知函数 exf xx.(1)求曲线 yf x在点 0,0f处的切线方程；(2)求 f x的极值；(3)证明：当1m时，曲线1C：yf x与曲线2C：lnyxxm至多存在一个交点.【答案】(1)0 xy(2)极小值为1e，无极大值；(3)证明过程见解析 【分析】（1）求导，得到 00e1f，并得到 00f，从而写出曲线的切线方程；（2）求导后得到1x 时，0fx，当1x时，0fx，从而得到函数单调性，求出 f x的极小值为1e，无极大值；（3）令 lnexxxmg xx，求出定义域和导数，对导函数变形得到 11exgxxx，令 1exh xx，得到其单调性，结合零点

29、存在性定理得到01,12x，即001exx，此时 g x取得极小值 01g xm，从而得到当1m时，曲线1C：yf x与曲线2C：lnyxxm至多存在一个交点.【详解】（1）00f，1 exfxx，则 00e1f，故曲线 yf x在点 0,0f处的切线方程为：yx，即0 xy；（2）1 exfxx，当1x 时，0fx，当1x时，0fx，故 f x在1x 上单调递增，在1x上单调递减，f x在=1x处取得极小值，11ef ，故 f x的极小值为1e，无极大值；（3）令 lnexxxmg xx，定义域为0,，第 19 页 共 21 页 111 e11exxgxxxxx，其中10 x，令 1exh

30、xx，则 21e0 xh xx在0,上恒成立，1exh xx在0,上单调递增，因为 1e 10h ，121e202h，由零点存在性定理可知：01,12x，当00,xx时，0h x，即 0g x，g x单调递减，当0,xx时，0h x，即 0gx，g x单调递增，当0 xx时，0h x，即001exx，此时 g x取得极小值 0g x，00000lenxgmxxxx，因为001exx，所以00001,lenxxxx，故 01g xm，当1m时，010mg x，此时在0,x上，0g x，则曲线1C：yf x与曲线2C：lnyxxm无交点，当1m 时，010mg x，此时，有且仅有一个01,12x，

31、使得 0g x，当0,x且0 xx时，都有 0g x，即 lnxxmf x，故当1m 时，曲线1C：yf x与曲线2C：lnyxxm存在一个交点，故当1m时，曲线1C：yf x与曲线2C：lnyxxm至多存在一个交点.【点睛】隐零点的处理思路：第一步：用零点存在性定理判定导函数零点的存在性，其中难点是通过合理赋值，敏锐捕捉零点存在的区间，有时还需结合函数单调性明确零点的个数；第二步：虚设零点并确定取范围，抓住零点方程实施代换，如指数与对数互换，超越函数与简单函数的替换，利用同构思想等解决，需要注意的是，代换可能不止一次.21已知数列A：1a，2a，na满足：0,1ia（1i，2，n，2n），从

32、A中选取第1i项、第2i项、第mi项（12miii，2m）称数列1ia，2ia，mia为A的长度为m的子列.记 T A第 20 页 共 21 页 为A所有子列的个数.例如A：0，0，1，其 3T A.(1)设数列A：1，1，0，0，写出A的长度为 3 的全部子列，并求 T A；(2)设数列A：1a，2a，na，A：na，1na，1a，A：11a，21a，1na，判断 T A，T A，T A的大小，并说明理由；(3)对于给定的正整数n，k（11kn），若数列A：1a，2a，na满足：12naaak，求 T A的最小值.【答案】(1)6(2)()()().T AT AT A(3)22nknk 【分

33、析】（1）由题得A的长度为 3 的子列有 2 个，长度为 2 的子列有 1 个，长度为 4 的子列有 1 个；（2）若121kkmmmm，是12nAaaa：，的一个子列，则121kkmmmm，为11nnAaaa：，的一个子列.若121kkmmmm，与121kknnnn，是12nAaaa：，的两个不同子列，则121kkmmmm，与121kknnnn，也是11nnAaaa：，的两个不同子列，得()()T AT A，同理()()T AT A，得()()T AT A，同理()()T AT A；（3）令0001 11n kkA 个个：，得数列A中不含有 0 的子列有1k 个，含有 1 个 0 的子列有

34、k 个，含有 2 个 0 的子列有1k 个，含有nk个 0 的子列有1k 个，即可解决.【详解】（1）由()T A的定义以及1 1 0 0A：，可得：A的长度为 3 的子列为：1 0 0 1 1 0，；，有 2 个，A的长度为2的子列有3个，A的长度为4的子列有1个，所以()6T A.（2）()()().T AT AT A 理由如下：若121kkmmmm，是12nAaaa：，的一个子列，则121kkmmmm，为11nnAaaa：，的一个子列.若121kkmmmm，与121kknnnn，是12nAaaa：，的两个不同子列，则121kkmmmm，与121kknnnn，也是11nnAaaa：，的两个

35、不同子列.所以()()T AT A.同理()()T AT A，第 21 页 共 21 页 所以()()T AT A.同理()().T AT A 所以有()()().T AT AT A（3）由已知可得，数列12nAaaa：，中恰有k个 1，nk个 0.令0001 11n kkA 个个：，下证：()()T AT A.由于0001 11n kkA 个个：，所以A的子列中含有i个 0，j个 1(0101,2)inkjk ij，的子列有且仅有 1 个，设为：0001 11ij个个.因为数列12nAaaa：，的含有i个 0，j个 1 的子列至少有一个，所以()()T AT A.数列0001 11n kkA 个个：中，不含有 0 的子列有1k 个，含有 1 个 0 的子列有 k个，含有 2 个 0 的子列有1k 个，含有nk个 0 的子列有1k 个，所以2()()(1)22T Ank kknknk.所以()T A的最小值为22nknk.