2022届云南省昆明市第三中学高三上学期第三次综合测试数学(文)试题(解析版).pdf

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1、第 1 页 共 18 页 2022 届云南省昆明市第三中学高三上学期第三次综合测试数学（文）试题 一、单选题 1设集合 A=2|230 x xx，B=|ln 2x yx，则 AB=（）Ax|1x2 Bx|1x3 Cx|3x2 Dx|1x2【答案】A【分析】分别求得|13Axx ，B=|2x x，求交集即可得解.【详解】由2230 xx可得=1x或3x，所以|13Axx，由20 x，可得2x，所以 B=|2x x，所以 AB=|12xx，故选：A 2已知2i12iz，则复数 z+5 的实部与虚部的和为（）A10 B10 C0 D5【答案】A【分析】首先根据复数的运算可得(12i)(2i)5iz，

2、由55 5iz 即可得解.【详解】由2i12iz可得(12i)(2i)5iz，55 5iz，所以5z的实部与虚部的和为5510，故选：A 3图二的程序框图所示的算法来自九章算术.若输入a的值为 16，b的值为 24，则执行该程序框图输出的结果为 第 2 页 共 18 页 A6 B7 C8 D9【答案】C【详解】由程序框图，得当输入16,24ab，则24168,16ba，16 88a ，输出a的值为 8；故选 C.4已知数据12,nx xx是某市*(3,)n nnN个普通职工的年收入，如果再加上世界首富的年收入1nx，则这1n个数据中，下列说法正确的是（）A年收入的平均数可能不变，中位数可能不变

3、，方差可能不变；B年收入的平均数大大增加，中位数可能不变，方差变大；C年收入的平均数大大增加，中位数可能不变，方差也不变；D年收入的平均数大大增加，中位数一定变大，方差可能不变.【答案】B【分析】根据平均数的意义，中位数的定义，及方差的意义，分析由于加入 xn+1后，数据的变化特征，易得年收入平均数会大大增大，中位数可能不变，方差会变大【详解】因为数据 x1，x2，x3，xn 是普通职工 n（n3，nN*）个人的年收入，而 xn+1为世界首富的年收入 则 xn+1会远大于 x1，x2，x3，xn，第 3 页 共 18 页 故这 n+1 个数据中，年收入平均数大大增大，中位数可能不变，也可能稍微

4、变大，由于数据的集中程度也受到 xn+1比较大的影响，而更加离散，则方差变大.故选：B 5设0.32a，20.3b，2log0.3mcm(1)m，则a，b，c的大小关系是（）Aabc Bbac Ccba Dbc2，排除 A、C；当 x时，y，排除 B.第 4 页 共 18 页 故选：D.【点睛】本题考查了函数图象的识别，抓住函数图象的差异是解题关键，属于基础题.8设等差数列 na满足81535aa，且10,naS为其前 n 项和，则数列 nS的最大项为()A23S B25S C24S D26S【答案】B【分析】设等差数列 na的公差为d，由81535aa，利用通项公式化为12490ad，由10

5、a 可得0d，21162525222nn ndSnadnd，利用二次函数的单调性即可得出答案【详解】设等差数列 na的公差为d，81535aa，1137514adad 即12490ad 10a，则0d 等差数列 na单调递减 21162525222nn ndSnadnd 当25n 时，数列 nS取得最大值 故选B【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式，二次函数的单调性，考查了推理能力与运算能力，属于中档题 9一个正三棱锥的四个顶点都在半径为 1 的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（）A3 34 B33 C34 D312【答案】D【分析】根据题

6、意和正三棱锥的性质，得到正三棱锥的底面面积和高，直接列棱锥的体积公式即可计算得到答案.【详解】第 5 页 共 18 页 由已知得，正三棱锥的底面是正三角形，且底面的三个顶点在该球的一个大圆上，所以，该底面的正三角形的外接圆的半径就是球的半径1R，且该正三棱锥的高也是球的半径，所以，1h，如图，120AOB，且1OAOBR，底面的面积为213sin12024OABSR，故13312OABVSh 故选：D 10已知函数sincosyxax的图像关于3x对称，则函数sincosyaxx的图像的一条对称轴是（）A56x B23x C3x D6x【答案】D【分析】先由函数sincosyxax的图像关于3

7、x 对称，求出33a，再对sincosyaxx化简即可求出.【详解】函数sincosyxax变为21sinyax，（令tana）.因为函数sincosyxax的图像关于3x 对称，所以Z,32kk,解得：Z6,kk.所以3tantan63ak.所以函数32 3sincossincossin33yaxxxxx，其中tan3,其对称轴方程,Z2xkk,所以,Z2xkk.因为tan3，所以11,Z3kk，所以126xkkk.当1kk时，6x 符合题意.对照四个选项，D 正确.故选：D.11 如图所示点F是抛物线28yx的焦点，点A、B分别在抛物线28yx及圆224120 xyx的实线部分上运动，且A

8、B总是平行于x轴，则FAB的周长的取值范围是（）第 6 页 共 18 页 A(6,10)B(8,12)C6,8 D8,12【答案】B【分析】根据抛物线方程求得焦点坐标和准线方程，结合定义表示出AF；根据抛物线与圆的位置关系和特点，求得B点横坐标的取值范围，即可由FAB的周长求得其范围.【详解】抛物线28yx，则焦点2,0F，准线方程为2x，根据抛物线定义可得2AAFx，圆22216xy，圆心为2,0，半径为4，点A、B分别在抛物线28yx及圆224120 xyx的实线部分上运动，解得交点横坐标为 2.点A、B分别在两个曲线上，AB总是平行于x轴，因而两点不能重合，不能在x轴上，则由圆心和半径可

9、知2,6Bx，则FAB的周长为246ABABAFABBFxxxx，所以68,12Bx，故选：B.【点睛】本题考查了抛物线定义、方程及几何性质的简单应用，圆的几何性质应用，属于中档题.12函数2ykx与函数1|yx的图像至少有两个公共点，关于k的不等式20kak有解，则实数a的取值范围是（）A1(,)3 B1(1,)3 C(,1)D1,)【答案】A【分析】根据导数的几何意义得出k的取值范围，再求出()2kg kk的最大值，进而得出实数a的取值范围.第 7 页 共 18 页【详解】令1(),0f xxx，设直线1l的方程为12yk x，且与1(),0f xxx切于001,A xx，21()fxx，

10、则1201kx，显然10k，则011xk，因为10012k xx，所以1111122kkkk ，解得11k ，由对称性可知，与1(),0f xxx 相切的直线2l的斜率21k，因为函数2ykx与函数1|yx的图像至少有两个公共点，所以11k，不等式20kak等价为2kak，令20(),()222kg kg kkk，即函数()g k在1,1上单调递减，即max1()(1)3g kg，即13a.故选：A 二、填空题 13已知向量3(,1),(1,3)3ab，则它们的夹角是_；【答案】3【分析】根据向量的夹角公式求得正确答案.【详解】3313cos,2111 33a ba bab，第 8 页 共 1

11、8 页 则,a b为锐角，所以,3a b.故答案为：3 14设直线过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，与C交于A、B两点，AB为C的实轴长的 2 倍，则C的离心率为_【答案】3【详解】设双曲线的标准方程为22221(0,0)xyabab，由题意，得224baa，即222ba，223ca，所以双曲线的离心率为3e.点睛：处理有关直线和圆锥曲线的位置关系问题时，记住一些结论可减少运算量、提高解题速度，如：过椭圆或双曲线的焦点且与焦点所在坐标轴垂直的弦长为22ba，过抛物线的焦点且与对称轴垂直的弦长为2p.15已知数列 na中，1=1a，nS为数列 na的前n项和，0nS，且当2n时，有2

12、21nn nnaa SS成立，则2017S_.【答案】11009【分析】根据2n时满足1nnnaSS，结合所给条件可证明2nS为等差数列.再由等差数列定义即可求得数列 na前n项和nS的通项公式，即可代入求解.【详解】当2n时，1nnnaSS，代入221nn nnaa SS，化简可得 11212nnnnnnn nSSSSSSS S，所以1221nnSS，又122S，所以2nS是以 2 为首项，1 为公差的等差数列，所以21nnS，故21nSn，则201711009S.故答案为：11009.第 9 页 共 18 页【点睛】本题考查了等差数列中1nnnaSS的简单应用，等差数列通项公式的求法，属于

13、基础题.16如图所示，正方体ABCDABCD 的棱长为1，E、F分别是棱AA、CC的中点，过直线EF的平面分别与棱BB、DD交于M、N，设 BMx，0,1x，给出以下四个命题：平面MENF平面BDD B；当且仅当12x 时，四边形MENF的面积最小；四边形MENF周长 Lf x，0,1x是单调函数；四棱锥CMENF的体积 Vh x为常函数；以上命题中真命题的序号为_.【答案】【分析】对于根据AC平面BDD B 以及/EF AC，即可由线面垂直证明面面垂直；对于，四边形MENF是菱形即可作出判断；对于，根据勾股定理可算菱形的边长，进而根据函数特征即可判断；对于，根据四棱锥分割成两个三棱锥，而三棱

14、锥的底面积和高都是定值即可判断.【详解】连接BD、AC，在正方体ABCDABCD 中，因为/AA CC且AACC，E、F分别是棱AA、CC的中点，则/AE CF且AECF，所以四边形EFCA是平行四边形，故/EF AC，因为四边形ABCD为正方形，则ACBD，则EFBD，因为BB平面ABCD，AC平面ABCD，所以ACBB，故EFBB，因为BDBBB，BD、BB平面BDD B，则EF平面BDD B，又因为EF 平面MENF，所以平面MENF平面BDD B，所以正确；第 10 页 共 18 页 连接MN，因为平面/AA B B 平面CDDC，平面MENF 平面AA BBME ，平面MENF 平面

15、CC DDNF，所以，/ME NF，同理可得/NE MF，所以，四边形MENF是平行四边形，由EF平面BDD B，MN平面BDD B，所以EFMN，故四边形MENF为菱形，且对角线EF是定值，要使四边形MENF面积最小，只需MN的长最小即可，在棱DD取DPBMx，所以 222221 221 22MNNPMPxx，故当12x 时，MN最小，因此当M为棱的中点时，即当且仅当12x 时，四边形MENF的面积最小，所以正确；因为EFMN，所以四边形MENF是菱形，在正方形BCC B 中，2112MFx，当10,2x时，BF的长度由大变小，当1,12x时，BF的长度由小变大，所以周长 4Lf xMF，0

16、,1x不是单调函数，所以错误；连接CE、C M、CN，把四棱锥CMENF分割成两个小三棱锥，它们以CEF为底，M、N为顶点，/BBC F，BB平面CEF，CF 平面CEF，则/BB平面CEF，因为MBB，则M到平面CEF的距离为定值，同理，N到平面CEF的距离也为定值，所以四棱锥CMENF的体积 Vh x为常函数，所以正确.命题中真命题的序号为 故答案为：第 11 页 共 18 页 三、解答题 17如图所示，在 ABC中，点 D 为 BC 边上一点，且 BD=1，E为 AC的中点，AE=32，cosB=2 77，ADB=23 (1)求 AD的长；(2)求 ADE的面积【答案】(1)2(2)33

17、 24 【分析】（1）首先利用同角三角函数可得221sin1 cos7BB，求得21sinsin()14BADBADB，在ABD中利用正弦定理即可得解；（2）在ACD 中，由余弦定理得 AC2=AD2+DC2-2ADCDcosADC，解得16DC 11sin24ADEADCSSAD DCADC，代入即可得解.【详解】（1）在ABD中，2 7cos7B，(0,)B，222 721sin1 cos1()27BB，2112 7321sinsin()()727214BADBADB，由正弦定理sinsinADBDBBAD，知211sin72sin2114BDBADBAD（2）由（1）知 AD=2，依题意

18、得 AC=2AE=3，在ACD中，由余弦定理得 AC2=AD2+DC2-2ADCDcosADC，第 12 页 共 18 页 即2942 2cos3DCCD ，DC2-2DC-5=0，解得16DC （负值舍去）11333 2sin2(16)2222ADCSAD DCADC，从而133 224ADEADCSS 18某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别到气象局与某医院抄录了 1 至 6 月份每月 10 号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下资料：日期 1 月 10日 2 月 10日 3 月 10日 4 月 10日 5 月 10日 6 月 10日 昼夜温差 x（C

19、）10 11 13 12 8 6 就诊人数 y（个）22 25 29 26 16 12 该兴趣小组确定的研究方案是：先从这六组数据中选取 2 组，用剩下的 4 组数据求线性回归方程，再用被选取的 2 组数据进行检验(1)求选取的 2 组数据恰好是相邻两个月的概率；(2)若选取的是1月与6月的两组数据，请根据2至5月份的数据，求出y关于x的线性回归方程y=bx+a；（附：1122211nniiiiiinniiiixxyyx ynxybxxxnx，aybx）【答案】(1)13(2)183077yx 【分析】（1）由题意知本题是一个古典概型，从 6 组数据中选取 2 组数据共有26C=15 种情况，

20、抽到相邻两个月的数据的情况有 5 种，代入公式即可得解；（2）先由数据求得11,24xy，再由41422144iiiiix yxybxx求b，再由由 aybx求得 a，即可.第 13 页 共 18 页【详解】（1）设抽到相邻两个月的数据为事件 A，试验发生包含的事件是从 6 组数据中选取 2 组数据共有26C=15 种情况，每种情况都是等可能出现的，其中满足条件的事件是抽到相邻两个月的数据的情况有 5 种，P（A）=51153，（2）由数据求得11 13 1282529261611,2444xy，由公式求得41422222221411 25 13 29 12 268 164 11 241811

21、131284 1174iiiiix yxybxx ，所以1824117aybx307，y关于 x 的线性回归方程为183077yx.19 如图，四棱锥 P-ABCD 中，平面 PAD平面 ABCD，底面 ABCD 为梯形，ABCD，AB=2CD=2 3，ACBD=F，且 PAD 与 ABD 均为正三角形，E为 AD 中点，G 为 PAD的重心.(1)求证：GF平面 PDC；(2)求三棱锥 G-PCD的体积.【答案】(1)证明见解析(2)32 【分析】（1）设 PD的中点为H，连接 AH，CH证明 GFCH，然后证明 GF平面 PDC（2）通过 VGPCDVFPCDVPCDF，转化求解即可 第

22、14 页 共 18 页【详解】（1）设 PD的中点为 H，连接 AH，CH ABCD，AB2DC2 3,ACBDF，2AFABFCCD，又G为PAD 的重心 G，2HAGG，GFCH，又GF面 PDC，CH面 PDC，GF平面 PDC，（2）由（1）知 GF平面 PDC，则 VGPCDVFPCDVPCDF，AB=2CD=2 3，则 CD=3，PAD与 ABD均为正三角形，且 AB=2 3，则 AD=AB=2 3，故 PE=3，ABD 的高为 3，12DFFB，133 122CDFS，1333322P CDFV.20已知椭圆22221(0)xyabab的焦距为2 3，离心率为32（1）求椭圆方程

23、；（2）设过椭圆顶点(0,)Bb，斜率为k的直线交椭圆于另一点D，交x轴于点E，且|BD，|BE，|DE成等比数列，求2k的值【答案】（1）2214xy；（2）2254k.【分析】（1）由焦距为2 3，离心率为32结合性质222abc ，列出关于,a b c的方程组，求出,a b从而求出椭圆方程；（2）设出直线方程，代入椭圆方程，求出点 D、E的坐标，然后利用|BD|，|BE|，|DE|成等比数列，即可求解 第 15 页 共 18 页【详解】（1）由已知22 3c，32ca，解得2a，3c 所以2221bac 椭圆的方程为2214xy（2）由（1）得过B点的直线为1ykx，由22141xyyk

24、x，得224180kxkx，所以2814Dkxk，所以221414Dkyk，依题意0k，12k 因为|BD，|BE，|DE成等比数列，所以2|BEBDDE，所以21DDbyy，即11DDyy，当0Dy 时，210DDyy，无解，当0Dy 时，210DDyy，解得152Dy，所以221415142kk，解得2254k，所以，当|BD，|BE，|DE成等比数列时，2254k【点睛】方法点睛（1）求椭圆方程的常用方法：待定系数法；定义法；相关点法（2）直线与圆锥曲线的综合问题，常将直线方程代入圆锥曲线方程，从而得到关于x（或y）的一元二次方程，设出交点坐标 1122,A x yB x y），利用韦达

25、定理得出坐标的关系,同时注意判别式大于零求出参数的范围（或者得到关于参数的不等关系），然后将所求转化到参数上来再求解如本题221414Dkyk及11DDyy，联立即可求解注意圆锥曲线问题中，常参数多、字母多、运算繁琐，应注意设而不求的思想、整体思想的应用属于中档题.21已知关于x的函数()(0)exaxaf xa(1)当1a 时，求函数()f x的极值；(2)若函数()()1F xf x没有零点，求实数a取值范围.【答案】(1)极小值为2e，无极大值；(2)2()e,0 第 16 页 共 18 页【分析】（1）由1a，求导可得2()exxfx，再根据导数的应用即可得解；（2）根据零点存在性定理

26、分a0和0a 两种情况讨论即可得解.【详解】（1）2e(2)(2)()(e)exxxaxa xfx，xR.当1a 时，()f x，()fx的情况如下表：x(,2)2(2,)()fx 0 ()f x 极小值 所以，当1a 时，函数()f x的极小值为 22ef，无极大值；（2）(2)()()exa xF xfx.当a0时，(),()F x F x的情况如下表：x(,2)2(2,)()fx 0 ()f x 极小值 因为(1)10F，若使函数()F x没有零点，需且仅需2(2)10eaF，解得2ea ，所以此时2e0a；当0a 时，(),()F x F x的情况如下表：x(,2)2(2,)()fx

27、0 ()f x 极大值 因为(2)(1)0FF，且10110101110e10e10(1)0eeaaaFa，第 17 页 共 18 页 所以此时函数()F x总存在零点.综上所述，所求实数a的取值范围是2()e,0.22在直角坐标系中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为2410cos，直线l的参数方程为：3x3t21y3t2(t为参数)，点A的极坐标为(2 3,)6，设直线l与曲线C相交于,P Q两点(1)写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；(2)求APAQ OP OQ的值【答案】（1）22(2)3xy，30 xy（2）1【分析】（）利用极坐标与直

28、角坐标互化直接写出曲线 C 的直角坐标方程，消去参数即可得到直线 l 的普通方程；（）点 A 的直角坐标为（3，3），设点 P，Q 对应的参数分别为 t1，t2，点 P，Q 的极坐标分别为（16，），（26，）将332132xtyt（t 为参数）与（x2）2+y2=3 联立，得：t1t2=1，|AP|AQ|=1，转化求解|AP|AQ|OP|OQ|的值【详解】()曲线 C 的直角坐标方程为：22410 xyx，即 22(2)3xy，直线 l 的普通方程为30 xy ()点 A 的直角坐标为3,3，设点 P，Q 对应的参数分别为1t，2t，点 P，Q 的极坐标分别为1,6，2,.6将332(132

29、xttyt为参数)与22(2)3xy联立得：22 310tt，由韦达定理得：1 21t t，1AP AQ 将直线的极坐标方程6R与圆的极坐标方程24 cos10 联立得：22 310，由韦达定理得：121，即1OP OQ 所以，1 2121AP AQ OP OQt t 【点睛】本题考查极坐标与参数方程与直角坐标方程的互化，考查转化思想以及计算能力 第 18 页 共 18 页 23（1）已知函数()|1|f xx，解不等式2()10f xx；（2）已知函数()|2|1|f xxx，解不等式()5f xx【答案】（1）x|x1 或 x0；（2）（-，13【分析】（1）分1x和1x两种情况讨论即可；（2）分2,21,1xxx 三种情况讨论即可得解.【详解】（1）已知函数 f（x）=|x-1|，故不等式 f（x）+x2-10，若1x，|x-1|1-x2，x-11-x2，若1x，x-1-（1-x2）解求得 x1，解求得 x0，综上可得，原不等式的解集为 x|x1 或 x0 （2）已知函数 f（x）=|x+2|-|x-1|，由不等式 f（x）5x 可得 235xx ，21215xxx ，135xx 解求得 x-2，解求得-2x13，解求得 x 综上可得，不等式的解集为（-，13.