2023届四川省成都市第七中学高三上学期12月阶段性测试数学(文)试题(解析版).pdf

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1、第 1 页 共 21 页 2023 届四川省成都市第七中学高三上学期 12 月阶段性测试数学（文）试题 一、单选题 1已知集合13AxNx，2650Bx xx，则AB（）A B1,2,3 C1,3 D2,3【答案】D【分析】本题考查集合的交集，易错点在于集合 A元素是自然数，集合 B 的元素是实数【详解】131,2,3AxNx，265015Bx xxxx，2,3AB 故选：D 2在复平面内，复数212i(1 i)z（i为虚数单位），则复数z的共轭复数对应的点位于（）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【答案】A【分析】化简复数，求出z的共轭复数，即可得到答案.【详解】212i i12

2、i12i2i11i(1 i)2i2i i22z 则z的共轭复数为11i2 故选：A.3设函数 2log4,22,2xxxf xx，则 24log 5ff（）A5 B6 C7 D8【答案】D【分析】根据给定的分段函数，判断自变量取值区间，再代入计算作答.【详解】因23252，则22log 53，而 2log4,22,2xxxf xx，所以 2log 5224log 5log(44)23 58ff.故选：D 第 2 页 共 21 页 4若实数 xy满足21 01 0421 0 xyxyxy，则 z=x+3y 的最小值为（）A-9 B1 C32 D2【答案】B【分析】做出可行域，由目标函数的几何意义

3、求得最小值.【详解】有不等式组做出可行域，如图所示：由目标函数 z=x+3y 的几何意义知，其在10（，）处取得最小值，此 z=1+0=1.故选：B.5已知6log 2a，sin1b，12c，则 a，b，c的大小关系为（）Aacb Bbac Ccba Dabc【答案】A【分析】借助中间值12比较大小即可.【详解】661log 2log62a，1sin1sin62b，所以bca.故选：A.6某正方体被截去部分后得到的空间几何体的三视图如图所示，则该空间几何体的体积为（）第 3 页 共 21 页 A132 B223 C152 D233【答案】C【分析】根据几何体的三视图，可知该几何体是棱长为 2

4、的正方体截去两个小三棱锥，根据三棱锥的体积公式即可求解【详解】解：根据几何体的三视图，该空间几何体是棱长为 2 的正方体截去两个小三棱锥，由图示可知，该空间几何体体积为3221111152111232322V，故选：C.7将 3 个 1 和 2 个 0 随机排成一行，则 2 个 0 不相邻的概率为（）A0.3 B0.5 C0.6 D0.8【答案】C【分析】利用古典概型的概率公式可求概率.【详解】解：将 3 个 1 和 2 个 0 随机排成一行，可以是：00111,01011,01101,01110,10011,10101,10110,11001,11010,11100，共 10 种排法，其中

5、2 个 0 不相邻的排列方法为：01011,01101,01110,10101,10110,11010，共 6 种方法，故 2 个 0 不相邻的概率为6=0.610，故选：C.第 4 页 共 21 页 8函数 cosf xAx（0A，0，02）的部分图象如图所示，则（）A3，73 B2yf x是奇函数 C直线4x 是 fx的对称轴 D函数 fx在3,4上单调递减【答案】C【分析】根据已知函数图象求得 fx的解析式，再根据三角函数的奇偶性、对称性、以及单调性，对每个选项进行逐一判断，即可选择.【详解】根据 fx的函数图象可知，cosf xAx的最大值为 2，又0A，故2A；又 01f，即2cos

6、1，则1cos2，又0,2，故3；又102f，即1cos023，解得1,232kkZ，故可得2,3kkZ；又142T，则，又0，故当0k 时，3；故 2cos33fxx 对 A：由上述求解可知，3，3，故 A 错误；对 B：22cos2cos33fxxx，又2cos2cos33xx，故2f x是偶函数，故 B 错误；对 C：当4x 时，2cos2f x，即当4x 时，fx取得最小值，故4x 是 fx的对称轴，故 C 正确；对 D：当3,4x时，45,3333x，而2cosyx 在45,33不单调，故 D 错误.故选：C.第 5 页 共 21 页 9 在ABC中，221tan72:sin cos

7、cos21tan2BpBCABB，:qABC为直角三角形，则“p”是“q”的（）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件【答案】D【分析】利用三角恒等变换公式，把p中等式化为sin2sin 2BC，从而cossin0BCBC，得2BC或0BC，然后结合充分条件和必要条件的定义进行判断【详解】由221tan72sin coscos21tan2BBCABB，得2222212soincoscocs 22sinossic s12nBBBCCBB，即222222siincoscos 22cossincoss2nBBBCCBB，即sin2sin 2BC，即 sinsinBCB

8、CBCBC，sincoscossinBCBCBCBCsincoscossinBCBCBCBC 整理得cossin0BCBC，则cos0BC或sin0BC，因为0B，0C，0BC，BC，则2BC或0BC，即2A 或BC，所以由p不能推出q；当ABC为直角三角形时，A不一定为2，,B C也不一定相等，所以由q不能推出p，故“p”是“q”的既不充分也不必要条件 故选：D 第 6 页 共 21 页 10已知m是区间0,4内任取的一个数，那么函数3221()233f xxxm x在xR上是增函数的概率是（）A14 B13 C12 D23【答案】C【分析】首先得到220()4fxxxm恒成立，则解出m的范

9、围，再根据其在0,4内取数，利用几何概型公式得到答案.【详解】22()4fxxxm，3221()233f xxxm x在xR上是增函数 22()40fxxxm恒成立 21640m 解得2m或2m 又m是区间0,4内任取的一个数 24m 由几何概型概率公式得 函数3221()233f xxxm x在xR上是增函数的概率42142P 故选：C 11双曲线2222:1(0,0)xyCabab与抛物线28yx有共同的焦点2F，双曲线左焦点为1F，点P是双曲线右支一点，过1F向12FPF的角平分线做垂线，垂足为,1N ON，则双曲线的离心率是（）A2 B3 C43 D21【答案】A【分析】由抛物线的方程

10、得焦点2(2,0)F，延长1F N交2PF的延长线于点M，由角平分线的性质得1PFPM且1F NNM，由中位线的性质得22F M，根据双曲线的定义求得1a，由双曲线的离心率公式即可得到答案.【详解】由抛物线28yx的焦点2(2,0)F，故2c，延长1F N交2PF的延长线于点M 第 7 页 共 21 页 PN是12FPF的角平分线，1F NPN于点N，1PFPM且1F NNM 点O是12FF的中点，/ONPM 212ONF M 1ON 22F M 由双曲线的定义得122PFPFa,故12222PFPFaF M 1a 故双曲线的离心率为221cea 故选：A.12 已知函数 ,f xg x的定义

11、域均为 R,f x为偶函数，且 21f xgx，43g xf x，下列说法正确的有（）A函数 g x的图象关于1x 对称 B函数 f x的图象关于1,2 对称 C函数 f x是以 4 为周期的周期函数 D函数 g x是以 6 为周期的周期函数【答案】C【分析】根据题中所给条件可判断 g x关于2x 和4x 对称，进而得 g x的周期性，结合 g x的第 8 页 共 21 页 周期性和 f x的奇偶性即可判断 f x的周期性，结合选项即可逐一求解.【详解】由 21f xgx得21fxgx，又 f x 为偶函数，所以 =f xfx，进而可得22gxgx；因此可得 g x的图象关于2x 对称,又 4

12、3g xf x可得843gxfx，结合 f x 为偶函数，所以 8g xgx，故 g x的图象关于4x 对称，因此 44g xgxgx，所以 g x是以 4 为周期的周期，故 D 错误，由于 223231322f xg xgxf xf xf x ，所以22fxf x 且 224224f xf xf xf x ，因此 f x的图象关于1,1 对称，函数 f x是以 4 为周期的周期函数，故 C 正确，B 错误，根据 f x是以4为周期的周期函数，由 21f xgx，43g xf x得 24g xgx，所以数 g x的图象关于1,2对称，故 A 错误，故选：C 二、填空题 13已知1,2,3,2a

13、baba，则b _.【答案】5【分析】根据1,2,3,2ababa求出的值，然后再求b【详解】22 1,2,32,1ab 又2aba，220,4 224,3,435bb 故答案为：5 14已知抛物线22yx的焦点为F，准线为l，点A在抛物线上，点B在l上，若ABF为等边三角形，则ABF的面积为_.【答案】3【分析】先根据ABF为等边三角形得到AFAB，再设,2A aa，表示出B点坐标，再根据第 9 页 共 21 页 BFAB,列出关于a的方程，解出a，解出三角形边长，利用面积公式即可得到答案.【详解】ABF为等边三角形 AFAB 由题意得1,02F 设,2A aa，则1,22Ba 1212BF

14、aABa 解得32a 2AB ABF是边长为 2 的等边三角形，12 2 sin6032ABFS 故答案为：3.15ABC的内角,A B C的对边分别为,a b c.若6,2,3bac B，则ABC的面积为_.【答案】6 3【分析】本题首先应用余弦定理，建立关于c的方程，应用,a c的关系、三角形面积公式计算求解，本题属于常见题目，难度不大，注重了基础知识、基本方法、数学式子的变形及运算求解能力的考查【详解】由余弦定理得2222cosbacacB，所以2221(2)2 262ccc c ，即212c 解得2 3,2 3cc（舍去）所以24 3ac，113sin4 32 36 3.222ABCS

15、acB【点睛】本题涉及正数开平方运算，易错点往往是余弦定理应用有误或是开方导致错误解答此类问题，关键是在明确方法的基础上，准确记忆公式，细心计算 16已知正方体1111ABCDABC D的棱长为2,P是空间中任意一点.第 10 页 共 21 页 若点P是正方体表面上的点，则满足12AP 的动点轨迹长是；若点P是线段1AD上的点，则异面直线BP和1BC所成角的取值范围是,3 2；若点P是侧面11BCC B上的点，P到直线BC的距离与到点1C的距离之和为 2，则P的轨迹是椭圆；过点P的平面与正方体每条棱所成的角都相等，则平面截正方体所得截面的最大面积是3 3；设1BD交平面11AC D于点H，则1

16、23BHHD.以上说法正确的是_.（填序号）【答案】【分析】满足12AP 的动点P的轨迹是以A为圆心，以12为半径的 3 个14圆弧,求出动点轨迹长即可判断，证明1B C 面11ABC D，可得1BCBP，判断，若P到直线BC的距离与到点1C的距离之和为 2，则点P在线段1CC上可判断作出平面截正方体的正六边形求出其面积可判断，利用1111 1 1DA DCD D ACVV，求出1D H，再利用11BHBDD H在求出BH.【详解】对于，满足12AP 的动点P的轨迹是以A为圆心，以12为半径的 3 个14圆弧，因此动点轨迹为11332424.故正确；对于，连接1BC，则11BCBC,AB 面1

17、1BCC B,1B C 面11BCC B 1ABBC 1ABBCB，1,AB BC 面11ABC D 1BC面11ABC D 点P是线段1AD上的点，BP面11ABC D 第 11 页 共 21 页 可得1BCBP 故直线BP和1BC所成角恒为2.故不正确 对于，过点P作PMBC于点M，则P到直线BC的距离与到点1C的距离之和为，当点P在线段1CC上时，112PMPCPCPC 此时不满足P到直线BC的距离与到点1C的距离之和为 2，所以P的轨迹为线段1CC，故不正确.对于，过点P的平面与正方体每条棱所成的角都相等，只需过同一顶点的三条棱所成的角相等即可.111APARAQ,则平面PQR与正方体

18、过点1A的三条棱所成的角相等，若点,E F G H M N分别为相应棱的中点，则平面/EFGHMN面PQR，且六边形EFGHMN为正六边形，边长为2，故六边形的面积为 23623 34,故正确.对于 1111 1 111111112 32 2 23233DA DCD D ACA DCVVSD HD H 12 33D H 12 3BD 112 34 32 333BHBDD H 12BHHD 第 12 页 共 21 页 故错误 故答案为：.三、解答题 17已知等差数列 na的公差为0d d，前n项和为nS，现给出下列三个条件：1S，2S，4S成等比数列；416S；8841Sa请你从这三个条件中任选

19、两个解答下列问题(1)求na的通项公式；(2)若142nnnbban，且13b，设数列1nb的前n项和nT，求证1132nT【答案】(1)21nan(2)证明见详解 【分析】（1）选择，或，利用等比中项的性质，等差数列的通项公式和前n项和公式将已知条件转化为关于1a和d的关系式，求出1a和d的值即可得到na的通项公式；（2）由（1）知184nnbbn，利用累加法求出nb的通项，再由裂项求和即可证明12nT，再根据1nTT即可证明1132nT【详解】（1）解：由条件得，因为1S，2S，4S成等比数列，则2214SS S，即2111246adaad，又0d，则12da，由条件得414616Sad，

20、即1238ad，由条件得8841Sa，可得11828471adad，即11a 若选，则有112238daad，可得112ad，则1121naandn；若选，则122da，则1121naandn；若选，则123238add，可得2d，所以1121naandn（2）证明：由14842nnnbbann，且13b，所以当2n时，则有第 13 页 共 21 页 212132184 1213 1220843412nnnnnbbbbbbbbnn，又13b 也满足241nbn，故对任意的*nN，有241nbn，则1111121 212 2121nbnnnn，所以21111112111121233521121n

21、Tnnn，由于21nnTn单调递增，所以113nTT，综上：1132nT 18某省举办线上万人健步走活动，希望带动更多的人参与到全民健身中来，以更加强健的体魄更加优异的成绩，向中国共产党百年华诞献礼.为了解群众参与健步走活动的情况，随机从参与活动的某支队伍中抽取了60人，将他们的年龄分成7段：10,20)，20,30)，30,40)，40,50)，50,60)，60,70)，70,80后得到如图所示的频率分布直方图.（1）以各组的区间中点值代表各组取值的平均水平，求这60人年龄的平均数；（2）一支200人的队伍，男士占其中的38，40岁以下的男士和女士分别为30和70人，请补充完整22列联表，

22、并通过计算判断是否有95%的把握认为40岁以下的群众是否参与健步走活动与性别有关.40岁以下 40岁以上 合计 男士 30 女士 70 第 14 页 共 21 页 合计 200 附：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d 20P Kk 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0k 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）37；（2）列联表答案见解析，有95%的把握认为40岁以下的群众是否参与健步走活动与性别有关.【分析】（1）根据频率分布直方图及平均数的定义直接计算即可；（2）列出22列联表，计算2K与临界值

23、比较即可得出结论.【详解】（1）这60人年龄的平均数为 15 0.1525 0.235 0.345 0.1555 0.1 65 0.0575 0.0537（2）由题意队伍中男士共75人，女士125人，则22列联表如下：40岁以下 40岁以上 合计 男士 30 45 75 女士 70 55 125 合计100 100 100 200 22200(30 557045)4.8100 10075 125K 4.83.8 所以，有95%的把握认为40岁以下的群众是否参与健步走活动与性别有关.19如图，在梯形ABCD中，/ABCD，1ADDCCB，120BCD，四边形BFED为矩形，平面BFED 平面AB

24、CD，1BF.第 15 页 共 21 页 （1）求证：BD平面AED，AD 平面BDEF；（2）点P在线段EF上运动，求三棱锥CPBD的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）312.【分析】（1）根据已知条件转化垂直关系，利用线面垂直的判断定理，即可证明；（2）根据C PBDP BCDVV计算棱锥的体积即可.【详解】（1）证明，在梯形ABCD中，/ABCD，1ADDCCB，120BCD，30CDBCBD，120ADCDCB，90ADB，ADBD.又四边形BDEF是矩形，DEDB 又ADDED，BD平面ADE 平面BFED 平面ABCD，平面BFED 平面ABCDBD，DE平面BFED，又EDB

25、D，ED平面ABCD，EDAD EDBDD，AD平面BDEF.（2）/,EF DB EF 平面ABCD,DB平面ABCD，/EF平面ABCD，P 到平面ABCD的距离等于1BF,41sin1331 1222BCDBCSBCDCD 第 16 页 共 21 页 13313412C PBDP BCDVV.20已知椭圆2222:10 xyCabab的焦距为2，左、右焦点分别为12,F F，A为椭圆C上一点，且2AFx轴，1OMAF，M为垂足，O为坐标原点，且225OMAF(1)求椭圆C的标准方程；(2)过椭圆C的右焦点2F的直线l（斜率不为0）与椭圆交于,P Q两点，G为x轴正半轴上一点，且22PGF

26、QGF，求点G的坐标【答案】(1)22143xy(2)4,0G 【分析】（1）利用1F MO12FF A构造齐次方程，求出离心率，再利用焦距即可求出椭圆方程；（2）将直线方程与椭圆方程联立利用韦达定理求出12yy和12y y，利用几何关系可知0GPGQkk，即可得1201221my yxyy，将韦达定理代入化简即可求得点G的坐标.【详解】（1）椭圆的焦距为2，22c，即1c，2AFx轴，22bAFa，则22212222babAFaAFaaa,由212AFF F，1OMAF，则1F MO12FF A，121OMOFAFAF，即22225acab，整理得22522acac，即22520ee，解得1

27、2e 或2e（舍去）2a，2223bac，则椭圆C的标准方程为22143xy，（2）设直线l的方程为1xmy，且11220,0P x yQ xyG x，将直线方程与椭圆方程221431xyxmy联立得2234690mymy，22236493414410mmm ，则122634myym，122934y ym，第 17 页 共 21 页 22PGFQGF，0GPGQkk，1202101210201020GPGQyxxyxxyykkxxxxxxxx 0,121021200y xy xy xy x，1221122 10121211y myymyy xy xxyyyy 121221my yyy22921

28、8341146634mmmmmm ，即4,0G.21已知函数 e21,R,sinxf xaxa bg xxx.(1)当0,x对，求函数 g x的最小值；(2)若 0f x 对xR恒成立，求实数a取值集合；(3)求证：对*Nn，都有11111231sinsinsinsin1111e 1nnnnnnnnn【答案】(1)0(2)12 (3)证明见解析 【分析】（1）求导，得到函数单调性，从而求出最小值；（2）先根据 00f，00f 得到12a，再证明出充分性成立，而12a 与12a 均不合要求，从而得到答案；（3）由第一问结论得到11sin11nnkknn，只需证明111112311111e 1nn

29、nnnnnnn，由（2）可知，e10 xfxx，得到11e1,2,3,1enknkknn，结合等比数列求和公式证明出第 18 页 共 21 页 1111111231e1111e 1e 1nnnnnnnnnn.【详解】（1）1 cos0,gxxg x在0,x上单调递增，所以 min()00g xg.（2）e2xfxa，由于 00f，故 010e21202faaa，下证当12a 时，e10 xfxx 恒成立，此时令 e10 xfx，解得：0 x，令 e10 xfx，解得：0 x，故 e1xfxx在0 x 上单调递增，在0 x 上单调递减，故 e1xfxx在0 x 处取得极小值，也是最小值，且 0m

30、in0=e0 10ff x ，故 0f x 对xR恒成立；当12a 时，1e21exxf xaxx，则 0010e0f，显然不合要求，舍去 当12a 时，令 e20 xfxa，解得：ln2xa，令 e20 xfxa，解得：ln2xa，其中ln20a，则 e21xf xax在ln2xa上单调递减，在ln2xa上单调递增，又 00f，故当ln2,0 xa时，0f x，不合题意，舍去；综上：实数a取值集合为12 .（3）由（1）可知，11sin11nnkknn，*N,Nkn，所以1111123sinsinsinsin1111nnnnnnnnn 11111231111nnnnnnnnn 第 19 页

31、共 21 页 故只需证明：111112311111e 1nnnnnnnnn即可 由（2）可知，e10 xfxx，则1exx，11(1)enxnx，令11,2,3,1kxknn，则11e1,2,3,1enknkknn，11112311231eeee1111ennnnnnnnnnn 11111e 1 e1ee1ee1 eee 1e 1e 1nnnnn，11111231sinsinsinsin1111e 1nnnnnnnnn.【点睛】数学问题的转化要注意等价性，也就是充分性与必要性兼备，有时在探求参数的取值范围时，为了寻找解题突破口，从满足题意得自变量范围内选择一个数，代入求得参数的取值范围，从而得

32、到使得问题成立的一个必要条件，这个范围可能恰好就是所求范围，也可能比所求的范围大，需要验证其充分性，这就是所谓的必要性探路和充分性证明，对于特殊值的选取策略一般是某个常数，实际上时切线的横坐标，端点值或极值点等.22已知在直角坐标平面内，以坐标原点 O 为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C的极坐标方程为4cos1 cos2(1)求曲线 C 的直角坐标方程；(2)已知过点3,12M，倾斜角为的直线 l与曲线 C 交于 A，B两点，若 M 为线段 AB 的三等分点，求tan的值【答案】(1)22yx(2)tan2或2tan3 【分析】（1）利用二倍角公式化简已知式，两边同乘以，结合极

33、坐标与直角坐标的互化公式即可；（2）写出直线的参数方程，代入曲线C的方程，得到关于参数t的一元二次方程，由已知结合韦达定理以及参数t的几何意义，可得关于tan的方程，求解得答案.第 20 页 共 21 页【详解】（1）由4cos1 cos2，得2sin2cos，所以22sin2cos 所以曲线 C的直角坐标方程为22yx（2）设直线 l的参数方程为3,21xtcosytsin（t为参数，tR），代入22yx，得22sin2 cossin20tt，0 恒成立，所以22 cossinsinABtt，22sinA Bt t 由 M为线段 AB的三等分点，且0A Bt t，故2ABtt 将2ABtt

34、代入前式，得 24 cossinsinAt，22 cossinsinBt，所以2428 cossin2sinsin，224(cossin)sin，则23tan8tan40 解得：tan2或2tan3 23已知函数 21f xxx(1)求不等式 2f xx的解集；(2)若关于 x的不等式 1f xa xx恒成立，求 a的取值范围【答案】(1)13x xx或(2),3 【分析】(1)首先分类讨论去绝对值，再求解不等式；（2）首先讨论0 x 时，a的范围，当0 x 时，不等式化简为2212axx，利用含绝对值三角不等式求最值，即可求得a的取值范围.第 21 页 共 21 页【详解】（1）21,1,3,12,21,2,xxf xxxx 不等式 2f xx等价于1,212xxx 或12,32xx 或2,212,xxx 解得1x或3x 故原不等式的解集为13x xx或（2）当0 x 时，不等式 1f xa xx恒成立，即aR 当0 x 时，1f xa xx可化为2212axx，因为222212123xxxx，当且仅当22120 xx时等号成立 所以3a，即 a 的取值范围为,3