福州第一中学2023学年高考数学全真模拟密押卷(含解析).pdf

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1、2023 学年高考数学模拟测试卷 注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知集合|lg Mx yx，2|40NxNx，则MN为()A1,2 B0,1,2 C1,2 D(1,2)2若复数211izi（i为虚数单位），则z的共轭复数的模为（）A5

2、2 B4 C2 D5 3将函数()sin(2)3f xx()xR的图象分别向右平移3个单位长度与向左平移n(n0)个单位长度，若所得到的两个图象重合，则n的最小值为()A3 B23 C2 D 4设全集U R，集合02Axx，1Bx x，则集合AB（）A2,B2,C,2 D,1 5某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A83 B3 C113 D4 6已知，都是偶函数，且在上单调递增，设函数，若，则（）A且 B且 C且 D且 7执行如图所示的程序框图，若输入的3t，则输出的i()A9 B31 C15 D63 8函数2()1 cos1xf xxe图象的大致形状是（）A B C D 9直线1

3、ykx与抛物线 C：24xy交于 A，B 两点，直线/lAB，且 l 与 C 相切，切点为 P，记PAB的面积为 S，则SAB的最小值为()A94 B274 C3227 D6427 10在平行六面体1111ABCDABC D中，M 为11AC与11B D的交点，若,ABa ADb,1AAc，则与BM相等的向量是（）A1122abc B1122abc C1122abc D1122abc 11已知数列 na满足12347324naaanan，则23342122a aa aa a（）A58 B34 C54 D52 12函数 y=2xsin2x 的图象可能是 A B C D 二、填空题：本题共 4 小

4、题，每小题 5 分，共 20 分。13已知，3,4，4cos5，5cos413，则sin4_.14函数()3sin()0,2f xx的图像如图所示，则该函数的最小正周期为_.15已知圆 C：22850 xyxay经过抛物线 E：24xy的焦点，则抛物线 E 的准线与圆 C 相交所得弦长是_.16某班星期一共八节课（上午、下午各四节，其中下午最后两节为社团活动），排课要求为：语文、数学、外语、物理、化学各排一节，从生物、历史、地理、政治四科中选排一节.若数学必须安排在上午且与外语不相邻（上午第四节和下午第一节不算相邻），则不同的排法有_种.三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或

5、演算步骤。17（12 分）如图，四棱锥PABCD中，PA 平面ABCD，2ABBC，7CDAD，120ABC.（）证明：BDPC；（）若M是PD中点，BM与平面PAB所成的角的正弦值为3 310，求PA的长.18（12 分）如图所示的几何体中，ADEFABCD面底面，四边形ADEF为正方形，四边形ABCD为梯形，/AB CD，2BAD，24ABADCD，G为BF中点.（1）证明：/CGADEF面；（2）求二面角ABFC的余弦值.19（12 分）己知点E，F分别是椭圆2222:10 xyCabab的上顶点和左焦点，若EF与圆2243xy相切于点T，且点T是线段EF靠近点E的三等分点.1求椭圆C的

6、标准方程；2直线:l ykxm与椭圆C只有一个公共点P，且点P在第二象限，过坐标原点O且与l垂直的直线l与圆228xy相交于A，B两点，求PAB面积的取值范围.20（12 分）在直角坐标系xOy中，曲线1C的参数方程为cos2sinxtyt （t为参数，0），点(0,2)M.以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为4 2cos4.（1）求曲线2C的直角坐标方程，并指出其形状；（2）曲线1C与曲线2C交于A，B两点，若1117|4MAMB，求sin的值.21（12 分）在直角坐标系xOy中，曲线1C的参数方程为3cossinxy（为参数），以原点O为极点，以x轴正

7、半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为sin()26.（1）求曲线1C的普通方程与曲线2C的直角坐标方程；（2）设,A B为曲线1C上位于第一，二象限的两个动点，且2AOB，射线,OA OB交曲线2C分别于,D C，求AOB面积的最小值，并求此时四边形ABCD的面积.22（10 分）已知函数()sinaxf xex.（1）若()f x在06,上单调递增，求实数a的取值范围；（2）若1a，对0,2x，恒有()f xbx成立，求实数b的最小值.2023 学年模拟测试卷参考答案（含详细解析）一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

8、合题目要求的。1、C【答案解析】分别求解出,M N集合的具体范围，由集合的交集运算即可求得答案.【题目详解】因为集合|1Mx x，220,1,2NxNx，所以 1,2MN 故选：C【答案点睛】本题考查对数函数的定义域求法、一元二次不等式的解法及集合的交集运算，考查基本运算能力.2、D【答案解析】由复数的综合运算求出z，再写出其共轭复数，然后由模的定义计算模【题目详解】2 12112111iiiziiii ，2,5ziz 故选：D【答案点睛】本题考查复数的运算，考查共轭复数与模的定义，属于基础题 3、B【答案解析】首先根据函数()f x的图象分别向左与向右平移 m,n 个单位长度后，所得的两个图

9、像重合，那么mnk T，利用()f x的最小正周期为，从而求得结果.【题目详解】()f x的最小正周期为，那么3nk(kZ)，于是3nk，于是当1k 时，n最小值为23，故选 B.【答案点睛】该题考查的是有关三角函数的周期与函数图象平移之间的关系，属于简单题目.4、C【答案解析】集合02Axx，1Bx x，AB,2 点睛：本题是道易错题，看清所问问题求并集而不是交集.5、C【答案解析】首先把三视图转换为几何体，该几何体为由一个三棱柱体，切去一个三棱锥体，由柱体、椎体的体积公式进一步求出几何体的体积.【题目详解】解：根据几何体的三视图转换为几何体为：该几何体为由一个三棱柱体，切去一个三棱锥体，如

10、图所示：故：111112 2 21 1 22323V .故选：C.【答案点睛】本题考查了由三视图求几何体的体积、需熟记柱体、椎体的体积公式，考查了空间想象能力，属于基础题.6、A【答案解析】试题分析：由题意得，若：，若：，若：，综上可知，同理可知，故选 A.考点：1.函数的性质；2.分类讨论的数学思想.【思路点睛】本题在在解题过程中抓住偶函数的性质，避免了由于单调性不同导致与大小不明确的讨论，从而使解题过程得以优化，另外，不要忘记定义域，如果要研究奇函数或者偶函数的值域、最值、单调性等问题，通常先在原点一侧的区间(对奇(偶)函数而言)或某一周期内(对周期函数而言)考虑，然后推广到整个定义域上.

11、7、B【答案解析】根据程序框图中的循环结构的运算，直至满足条件退出循环体，即可得出结果.【题目详解】执行程序框3,t 0i；8,t 1i；23,t 3i；68,t 7i；203,t 15i；608,t 31i，满足606t，退出循环，因此输出31i，故选:B.【答案点睛】本题考查循环结构输出结果，模拟程序运行是解题的关键，属于基础题.8、B【答案解析】判断函数 f x的奇偶性，可排除 A、C，再判断函数 f x在区间0,2上函数值与0的大小，即可得出答案.【题目详解】解：因为21()1 coscos11xxxef xxxee，所以 111()coscoscos111xxxxxxeeefxxxx

12、f xeee，所以函数 f x是奇函数，可排除 A、C；又当0,2x，0f x，可排除 D；故选：B.【答案点睛】本题考查函数表达式判断函数图像，属于中档题.9、D【答案解析】设出,A B坐标，联立直线方程与抛物线方程，利用弦长公式求得AB，再由点到直线的距离公式求得P到AB的距离，得到PAB的面积为S，作差后利用导数求最值【题目详解】设11,A x y，22,B x y，联立214ykxxy，得2440 xkx 则124xxk，21212242yyk xxk 则21244AByypk 由24xy，得24xy 12yx 设00,P x y，则012xk 02xk，20yk 则点P到直线1ykx

13、的距离211dk 从而2212112SAB dkk 2223221141241SABkkkddd 令 3224f xxx 2681fxxx x 当413x时，0fx；当43x 时，0fx 故 min464327fxf，即SAB的最小值为6427 本题正确选项：D【答案点睛】本题考查直线与抛物线位置关系的应用，考查利用导数求最值的问题解决圆锥曲线中的面积类最值问题，通常采用构造函数关系的方式，然后结合导数或者利用函数值域的方法来求解最值.10、D【答案解析】根据空间向量的线性运算，用,a b c作基底表示BM即可得解.【题目详解】根据空间向量的线性运算可知 11BMBBB M 11112AAB

14、D 1111112AAB AAD 112AAABAD 因为,ABa ADb,1AAc，则112AAABAD 1122abc 即1122BMabc，故选：D.【答案点睛】本题考查了空间向量的线性运算，用基底表示向量，属于基础题.11、C【答案解析】利用32nna的前n项和求出数列32nna的通项公式，可计算出na，然后利用裂项法可求出23342122a aa aa a的值.【题目详解】12347324naaanan.当1n 时，14a；当2n 时，由12347324naaanan，可得1231473541naaanan，两式相减，可得324nna，故432nan，因为14a 也适合上式，所以43

15、2nan.依题意，1216161131 3433134nnaannnn，故2334212216 1111111116 1153477101013616434644a aa aa a.故选：C.【答案点睛】本题考查利用nS求na，同时也考查了裂项求和法，考查计算能力，属于中等题.12、D【答案解析】分析:先研究函数的奇偶性，再研究函数在(,)2上的符号，即可判断选择.详解：令()2 sin 2xf xx，因为,()2sin 2()2 sin 2()xxxR fxxxf x ，所以()2 sin 2xf xx为奇函数，排除选项 A,B;因为(,)2x时，()0f x，所以排除选项 C，选 D.点睛

16、：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13、3365【答案解析】由已知利用同角三角函数的基本关系式可求得sin，sin4的值，由两角差的正弦公式即可计算得sin4的值.【题目详解】，3,4，4cos5，5cos413，3,22，3,424，23sin1 cos5 ，212sin1 cos4413，sinsin443541233

17、sincoscossin4451351365 .故答案为：3365【答案点睛】本题主要考查了同角三角函数的基本关系、两角差的正弦公式，需熟记公式，属于基础题.14、8【答案解析】根据图象利用6(0)2f，先求出的值，结合 10f求出，然后利用周期公式进行求解即可【题目详解】解：由6(0)3sin2f，得2sin2，2，34，则3()3sin()4f xx，313sin04f，34，即4，则函数的最小正周期2284T，故答案为：8【答案点睛】本题主要考查三角函数周期的求解，结合图象求出函数的解析式是解决本题的关键 15、4 6【答案解析】求出抛物线的焦点坐标，代入圆的方程，求出a的值，再求出准线

18、方程，利用点到直线的距离公式，求出弦心距，利用勾股定理可以求出弦长的一半，进而求出弦长【题目详解】抛物线 E:24xy的准线为1y ，焦点为（0，1），把焦点的坐标代入圆的方程中，得4a，所以圆心的坐标为(4,2)，半径为 5，则圆心到准线的距离为 1，所以弦长222 514 6【答案点睛】本题考查了抛物线的准线、圆的弦长公式 16、1344【答案解析】分四种情况讨论即可【题目详解】解：数学排在第一节时有：141444384CAC 数学排在第二节时有：141344288CAC 数学排在第三节时有：141344288CAC 数学排在第四节时有：141444384CAC 所以共有 1344 种 故

19、答案为：1344【答案点睛】考查排列、组合的应用，注意分类讨论，做到不重不漏；基础题.三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（）见解析；（）6【答案解析】（）取AC的中点O，连接,OB OD，由ABBC，ADCD，得,B O D三点共线，且ACBD，又BDPA，再利用线面垂直的判定定理证明.（）设PAx，则24PBx，27PDx，在底面ABCD中，3BD，在PBM中，由余弦定理得：2222cosPBBMPMBMPMPMB，在DBM中，由余弦定理得2222cosDBBMDMBMDMDMB，两式相加求得2194xBM，再过D作DHBA，则DH 平面PAB，即点D到

20、平面PAB的距离，由M是PD中点，得到M到平面PAB的距离2DH，然后根据BM与平面PAB所成的角的正弦值为3 310求解.【题目详解】（）取AC的中点O，连接,OB OD，由ABBC，ADCD，得,B O D三点共线，且ACBD，又BDPA，ACPAA，所以BD 平面PAC，所以BDPC.（）设PAx，24PBx，27PDx，在底面ABCD中，3BD，在PBM中，由余弦定理得：2222cosPBBMPMBMPMPMB，在DBM中，由余弦定理得2222cosDBBMDMBMDMDMB，两式相加得：222222DB PBBMDM，所以2222713 222xxBM，2194xBM，过D作DHBA

21、，则DH 平面PAB，即点D到平面PAB的距离3 3sin602DHBD，因为M是PD中点，所以为M到平面PAB的距离3 324 DHh，因为BM与平面PAB所成的角的正弦值为3 310，即233334sin10194hBMx，解得6x.【答案点睛】本题主要考查线面垂直的判定定理，线面角的应用，还考查了转化化归的思想和空间想象运算求解的能力，属于中档题.18、（1）见解析；（2）13【答案解析】(1)取AF的中点H，结合三角形中位线和长度关系，CDHG为平行四边形，进而得到/CG HD，根据线面平行判定定理可证得结论；(2)以AB，AD，AF为x，y，z轴建立空间直角坐标系,分别求得两面的法向

22、量，求得法向量夹角的余弦值；根据二面角为锐角确定最终二面角的余弦值；【题目详解】（1）取AF的中点H，连结GH，HD 因为G为BF中点，/AB CD，2ABCD，所以/GH CD，GHCD，CDHG为平行四边形，所以/CG HD，又因为HDADEF 面，CGADEF 面 所以/CGADEF面；（2）由题及（1）易知AB，AD，AF两两垂直，所以以AB，AD，AF为x，y，z轴建立空间直角坐标系,则0,0,0A，4,0,0B，0,4,0D，0,0,4F，2,4,0C，4,0,4BF ，2,4,4FC 易知面ABF的法向量为10,1,0n 设面ABF的法向量为2,nx y z 则224402440

23、nBFxznFCxyz 可得211,12n 所以12112cos,31124n n,如图可知二面角ABFC为锐角，所以余弦值为13 【答案点睛】本题考查立体几何中直线与平面平行关系的证明、空间向量法求解二面角,正确求解法向量是解题的关键，属于中档题.19、122162xy;20,4 34.【答案解析】1连接OT，由三角形相似得，243OTET TF，进而得出26a，22222bOEOTET，写出椭圆C的标准方程；2由22162ykxmxy得，222316360kxkmxm，因为直线:l ykxm与椭圆C相切于点P，0，解得2331kmxk，231myk，因为点P在第二象限，所以0k，0m，所以

24、262mk，设直线l与l垂直交于点Q，则PQ是点P到直线l的距离，设直线l的方程为1 yxk，则62PQ，求出PAB面积的取值范围.【题目详解】解：1连接OT，由EOTOFT可得2124333OTET TFaa，26a，22222bOEOTET，椭圆C的标准方程22162xy；2由22162ykxmxy得，222316360kxkmxm，因为直线:l ykxm与椭圆C相切于点P，所以2222264 31 3612 620kmkmkm，即2262mk，解得2331kmxk，231myk，即点P的坐标为223,31 31kmmkk，因为点P在第二象限，所以0k，0m，所以262mk，所以点P的坐标

25、为223 22,3131kkk，设直线l与l垂直交于点Q，则PQ是点P到直线l的距离，设直线l的方程为1 yxk，则22213 22313111kkkkPQk 42222 22 22 2134142 334kkkkk2 26231，当且仅当2213kk，即233k时，PQ有最大值62，所以14 24 342PABSPQ，即PAB面积的取值范围为0,4 34.【答案点睛】本题考查直线和椭圆位置关系的应用，利用基本不等式，属于难题.20、（1）22(2)(2)8xy，以(2,2)为圆心，2 2为半径的圆；（2）15sin4【答案解析】（1）根据极坐标与直角坐标的互化公式，直接得到2C的直角坐标方程

26、并判断形状；（2）联立直线参数方程与2C的直角坐标方程，根据直线参数方程中t的几何意义结合1117|4MAMB求解出sin的值.【题目详解】解：（1）由4 2cos4，得4cos4sin，所以24cos4 sin，即2244xyxy，22(2)(2)8xy.所以曲线2C是以(2,2)为圆心，2 2为半径的圆.（2）将cos2sinxtyt 代入22(2)(2)8xy，整理得24 cos40tt.设点A，B所对应的参数分别为1t，2t，则124costt，1 24t t .22121 212121 2411|16cos1617|4444ttt tttttMAMBMAMBMA MBt t，解得21

27、cos16，则215sin1 cos4.【答案点睛】本题考查极坐标与直角坐标的互化以及根据直线参数方程中t的几何意义求值，难度一般.（1）极坐标与直角坐标的互化公式：cos,sinxy；（2）若要使用直线参数方程中t的几何意义，要注意将直线的标准参数方程代入到对应曲线的直角坐标方程中，构成关于t的一元二次方程并结合韦达定理形式进行分析求解.21、（1）2213xy；340 xy（2）AOB面积的最小值为34；四边形的面积为294【答案解析】（1）将曲线1C消去参数即可得到1C的普通方程，将cosx，siny代入曲线2C的极坐标方程即可；（2）由（1）得曲线1C的极坐标方程，设1,()A，2(,

28、)2B，3(,)D，4(,)2C 利用方程可得22121143，再利用基本不等式得22121221143，即可得121324AOBS，根据题意知ABCDCODAOBSSS，进而可得四边形ABCD的面积.【题目详解】（1）由曲线1C的参数方程为3cossinxy（为参数）消去参数得2213xy 曲线2C的极坐标方程为sin()26，即sincoscossin266，所以，曲线2C的直角坐标方程340 xy.（2）依题意得1C的极坐标方程为2222cossin13 设1,()A，2(,)2B，3(,)D，4(,)2C 则222211cossin13，222222sincos13，故22121143

29、 22121221143，当且仅当12（即4）时取“=”，故121324AOBS，即AOB面积的最小值为34.此时34112222sin()cos()4646CODS 48cos3，故所求四边形的面积为329844ABCDCODAOBSSS.【答案点睛】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、点到直线的距离公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 22、（1）3,)（2）22e【答案解析】（1）求得 fx，根据已知条件得到()0fx在06,恒成立，由此得到sincos0axx在06,恒成立，利用分离常数法求得a的取值范围.（2）构造函数设()()g xf

30、 xbx，利用求二阶导数的方法，结合 0g x 恒成立，求得b的取值范围，由此求得b的最小值.【题目详解】（1）()sincos(sincos)axaxaxfxaexexeaxx 因为()f x在06,上单调递增，所以()0fx在06,恒成立，即sincos0axx在06,恒成立，当0 x 时，上式成立，aR 当0,6x，有cos1sintanxaxx ，需max1tanax，而06x，30tan3x，13tanx，13tanx，故3a 综上，实数a的取值范围是3,)（2）设()()sinxg xf xbxexbx，0,2x，则()(sincos)xg xexxb，令()(sincos)xh

31、xexxb，()(2cos)0 xh xex，()h x在0,2单调递增，也就是()g x在0,2单调递增，所以2()1,g xb eb.当10b即1b时，()(0)0g xg，不符合；当20eb即2be时，()(0)0g xg，符合 当210beb即21be时，根据零点存在定理，00,2x，使 00gx，有00,xx时，()0g x，()g x在00,x单调递减，0,2xx时，()0g x，()g x在0,2x单调递增，(0)0g成立，故只需02g即可，有202eb，得222ebe，符合 综上得，22be，实数b的最小值为22e【答案点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数研究不等式恒成立问题，考查化归与转化的数学思想方法，考查分类讨论的数学思想方法，属于难题.