甘肃省酒泉市重点中学2023学年高三第二次诊断性检测数学试卷(含解析).pdf

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1、2023 学年高考数学模拟测试卷 注意事项:1答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2答题时请按要求用笔。3请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1 中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线C的两条渐近线与圆22(2)1xy都相切，则双曲线C的离心率是（）

2、A2 或2 33 B2 或3 C3或62 D2 33或62 2将一块边长为cma的正方形薄铁皮按如图（1）所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，将该容器按如图（2）放置，若其正视图为等腰直角三角形，且该容器的容积为372 2cm，则a的值为（）A6 B8 C10 D12 3若20192019012019111xaaxax，xR，则22019122019333aaa 的值为（）A20191 2 B20191 2 C201912 D201912 4数列na满足：3111,25nnnnaaaa a，则数列1nna a前10项的和为 A1021 B2021 C9

3、19 D1819 5党的十九大报告明确提出：在共享经济等领域培育增长点、形成新动能.共享经济是公众将闲置资源通过社会化平台与他人共享，进而获得收入的经济现象.为考察共享经济对企业经济活跃度的影响，在四个不同的企业各取两个部门进行共享经济对比试验，根据四个企业得到的试验数据画出如下四个等高条形图，最能体现共享经济对该部门的发展有显著效果的图形是（）A B C D 6一个袋中放有大小、形状均相同的小球，其中红球 1 个、黑球 2 个，现随机等可能取出小球，当有放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为1；当无放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为2，则（）A12EE，12DD B12EE，12DD

4、 C12EE，12DD D12EE，12DD 7函数cos()cosxxf xxx在 2,2 的图象大致为 A B C D 8 在平面直角坐标系中，若不等式组44021005220 xyxyxy所表示的平面区域内存在点00,x y，使不等式0010 xmy 成立，则实数m的取值范围为（）A5(,2 B1(,2 C4,)D(,4 9若 f x是定义域为R的奇函数，且 2f xf x，则 A f x的值域为R B f x为周期函数，且 6 为其一个周期 C f x的图像关于2x 对称 D函数 f x的零点有无穷多个 10若函数32()2()f xxmxx mR在1x 处有极值，则()f x在区间0

5、,2上的最大值为（）A1427 B2 C1 D3 11若函数 2xf xemx有且只有 4 个不同的零点，则实数m的取值范围是（）A2,4e B2,4e C2,4e D2,4e 12框图与程序是解决数学问题的重要手段，实际生活中的一些问题在抽象为数学模型之后，可以制作框图，编写程序，得到解决，例如，为了计算一组数据的方差，设计了如图所示的程序框图，其中输入115x，216x，318x，420 x，522x，624x，725x，则图中空白框中应填入（）A6i，7SS B6i7SS C6i，7SS D6i，7SS 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13若1sin(),(0

6、,)63，则cos()12_.14已知平行于x轴的直线l与双曲线C：222210,0 xyabab的两条渐近线分别交于P，Q两点，O为坐标原点，若OPQ为等边三角形，则双曲线C的离心率为_.15已知(4,0),A(,4)P a a，圆220:4xy，直线 PM，PN 分别与圆 O 相切，切点为 M，N，若MRRN，则|AR的最小值为_.166312 xx的二项展开式中，含x项的系数为_ 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12 分）已知函数()ln()(0)x af xexa a.（1）证明：函数()fx在(0,)上存在唯一的零点；（2）若函数()f x在区

7、间(0,)上的最小值为 1，求a的值.18（12 分）已知等差数列an的各项均为正数，Sn为等差数列an的前 n 项和，1451,11aaa.（1）求数列 an的通项 an；（2）设 bnan 3n，求数列bn的前 n 项和 Tn.19（12 分）如图，四棱锥 PABCD 的底面是梯形 BCAD，ABBCCD1，AD2，132PB，3PAPC （）证明；ACBP；（）求直线 AD 与平面 APC 所成角的正弦值 20（12 分）如图，已知四棱锥PABCD的底面是等腰梯形，/AD BC，2AD，4BC，60ABC，PAD为等边三角形，且点 P 在底面ABCD上的射影为AD的中点 G，点 E 在线

8、段BC上，且:1:3CE EB.（1）求证：DE 平面PAD.（2）求二面角APCD的余弦值.21（12 分）已知在ABC中，内角ABC，所对的边分别为abc，若1a，6A，且321cb.（1）求cosC的值；（2）求ABC的面积.22（10 分）已知函数 f(x)|x1|x2|.若不等式|ab|ab|a|f(x)(a0，a、bR)恒成立，求实数 x 的取值范围 2023 学年模拟测试卷参考答案（含详细解析）一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【答案解析】根据题意，由圆的切线求得双曲线的渐近线的方程，再分焦点在

9、 x、y 轴上两种情况讨论，进而求得双曲线的离心率 【题目详解】设双曲线 C 的渐近线方程为 y=kx，是圆的切线得：223131kkk，得双曲线的一条渐近线的方程为 33y焦点在 x、y 轴上两种情况讨论：当焦点在 x 轴上时有：23332 3 333bceaa，；当焦点在 y 轴上时有：2333 233aceba，；求得双曲线的离心率 2 或2 33 故选：A【答案点睛】本小题主要考查直线与圆的位置关系、双曲线的简单性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想解题的关键是：由圆的切线求得直线 的方程，再由双曲线中渐近线的方程的关系建立等式，从而解出双曲线的离心率的值此题易忽视两解得出

10、错误答案 2、D【答案解析】推导出PMPNa，且PMPN，22MNa，2aPM，设MN中点为O，则PO平面ABCD，由此能表示出该容器的体积，从而求出参数的值【题目详解】解：如图（4），PMN为该四棱锥的正视图，由图（3）可知，PMPNa，且2aPMPN，由PMN为等腰直角三角形可知，22MNa，设MN中点为O，则PO平面ABCD，1224POMNa，23122272 232424P ABCDVaaa，解得12a.故选：D 【答案点睛】本题考查三视图和锥体的体积计算公式的应用，属于中档题.3、A【答案解析】取1x，得到201902a，取2x，则2201901220193331aaaa ，计算得

11、到答案.【题目详解】取1x，得到201902a；取2x，则2201901220193331aaaa .故22019201912201933312aaa .故选：A.【答案点睛】本题考查了二项式定理的应用，取1x 和2x 是解题的关键.4、A【答案解析】分析：通过对 anan+1=2anan+1变形可知1112nnaa，进而可知121nan，利用裂项相消法求和即可 详解：112nnnnaaa a，1112nnaa，又31a=5，3112 n32n1naa，即121nan，111111222121nnnna aaann，数列1nna a前10项的和为111111111011233519212212

12、1，故选 A 点睛：裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)11 11n nkknnk；（2）1nkn 1nknk；（3）111121 212 2121nnnn；（4）11122n nn 11112n nnn；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.5、D【答案解析】根据四个列联表中的等高条形图可知，图中 D 中共享与不共享的企业经济活跃度的差异最大，它最能体现共享经济对该部门的发展有显著效果，故选 D 6、B【答案解析】分别求出两个随机变量的分布列后求出它们的期望和方

13、差可得它们的大小关系.【题目详解】1可能的取值为0,1,2；2可能的取值为0,1，1409P，1129P，141411999P，故123E，22214144402199999D.22 1103 23P，22 1 2213 23P，故223E，2221242013399D,故12EE，12DD.故选 B.【答案点睛】离散型随机变量的分布列的计算，应先确定随机变量所有可能的取值，再利用排列组合知识求出随机变量每一种取值情况的概率，然后利用公式计算期望和方差，注意在取球模型中摸出的球有放回与无放回的区别.7、A【答案解析】因为(0)1f，所以排除 C、D当x从负方向趋近于 0 时，0coscosxx

14、xx，可得0()1f x.故选 A 8、B【答案解析】依据线性约束条件画出可行域，目标函数0010 xmy 恒过1,0D，再分别讨论m的正负进一步确定目标函数与可行域的基本关系，即可求解【题目详解】作出不等式对应的平面区域，如图所示：其中2,6A，直线10 xmy 过定点1,0D，当0m 时，不等式10 x 表示直线10 x 及其左边的区域，不满足题意；当0m 时，直线10 xmy 的斜率10m，不等式10 xmy 表示直线10 xmy 下方的区域，不满足题意；当0m时，直线10 xmy 的斜率10m，不等式10 xmy 表示直线10 xmy 上方的区域，要使不等式组所表示的平面区域内存在点0

15、0,x y，使不等式0010 xmy 成立，只需直线10 xmy 的斜率12ADkm，解得12m .综上可得实数m的取值范围为1(,2，故选：B.【答案点睛】本题考查由目标函数有解求解参数取值范围问题，分类讨论与数形结合思想，属于中档题 9、D【答案解析】运用函数的奇偶性定义，周期性定义，根据表达式判断即可.【题目详解】f x是定义域为R的奇函数，则()()fxf x，(0)0f，又(2)()f xf x，(4)(2)()f xf xf x，即 f x是以 4 为周期的函数，(4)(0)0()fkfkZ，所以函数 f x的零点有无穷多个；因为(2)()f xf x，(1)1()fxfx，令1t

16、x，则(1)(1)f tft，即(1)(1)f xfx，所以 f x的图象关于1x 对称，由题意无法求出 f x的值域，所以本题答案为 D.【答案点睛】本题综合考查了函数的性质，主要是抽象函数的性质，运用数学式子判断得出结论是关键.10、B【答案解析】根据极值点处的导数为零先求出m的值，然后再按照求函数在连续的闭区间上最值的求法计算即可.【题目详解】解：由已知得2()322fxxmx，(1)3220fm，52m，经检验满足题意.325()22f xxxx，2()352fxxx.由()0fx得213x；由()0fx得23x 或1x.所以函数()f x在20,3上递增，在2,13上递减，在1,2上

17、递增.则214()327f xf极大值，(2)2f，由于(2)()ff x极大值，所以()f x在区间0,2上的最大值为 2.故选：B.【答案点睛】本题考查了导数极值的性质以及利用导数求函数在连续的闭区间上的最值问题的基本思路，属于中档题 11、B【答案解析】由 2xf xemx是偶函数，则只需 2xf xemx在0,x上有且只有两个零点即可.【题目详解】解：显然 2xf xemx是偶函数 所以只需0,x时，22xxfexemxmx有且只有 2 个零点即可 令20 xemx，则2xemx 令 2xeg xx，32xexgxx 0,2,0,xgxg x递减，且 0,xg x 2,+,0,xgxg

18、 x递增，且,xg x 224eg xg 0,x时，22xxfexemxmx有且只有 2 个零点，只需24em 故选：B【答案点睛】考查函数性质的应用以及根据零点个数确定参数的取值范围，基础题.12、A【答案解析】依题意问题是22212712020207Sxxx，然后按直到型验证即可.【题目详解】根据题意为了计算 7 个数的方差，即输出的22212712020207Sxxx，观察程序框图可知，应填入6i，7SS，故选：A.【答案点睛】本题考查算法与程序框图，考查推理论证能力以及转化与化归思想，属于基础题.二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13、426 【答案解析】因为

19、()()6124，所以()1246.因为(0,)，所以 7(,)666，又1sin()063，所以7(,)66，所以212 2cos()1()633 .cos()cos()coscos()sinsin()1246464622 22142()()23236 .14、2【答案解析】根据OPQ为等边三角形建立,a b的关系式，从而可求离心率.【题目详解】据题设分析知，60POQ，所以tan60ba，得3ba，所以双曲线C的离心率222232cabaaeaaa.【答案点睛】本题主要考查双曲线的离心率的求解，根据条件建立,a b c之间的关系式是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.15、2 2【答案

20、解析】由MRRN可知 R 为中点,设00,P xy11,M x y22,N xy,由过切点的切线方程即可求得221111:4PM x xy yxy,22:4PN x xy y，00,P xy代入10104x xy y，20204x xy y，则11,M x y22,N xy在直线004xxyy上，即可得MN方程为004xxyy，将 0,xa04ya，代入化简可得()440a xyy，则直线MN过定点(1,1)Q,由ORMN则点R在以OQ为直径的圆22111:222Txy上，则min|ARATr.即可求得.【题目详解】如图，由MRRN可知 R 为 MN 的中点，所以ORMN，PRMN，设00,P

21、 xy11,M x y22,N xy，则切线 PM 的方程为1111xyyxxy，即221111:4PM x xy yxy，同理可得22:4PN x xy y，因为 PM，PN 都过00,P xy，所以10104x xy y，20204x xy y，所以11,M x y22,N xy在直线004xxyy上，从而直线 MN 方程为004xxyy，因为0,xa04ya，所以(4)4()440axaya xyy，即直线 MN 方程为()440a xyy，所以直线 MN 过定点(1,1)Q,所以 R 在以 OQ 为直径的圆22111:222Txy上，所以min5 22|2 222ARATr.故答案为:

22、2 2.【答案点睛】本题考查直线和圆的位置关系,考查圆的切线方程,定点和圆上动点距离的最值问题,考查学生的数形结合能力和计算能力,难度较难.16、160【答案解析】写出二项展开式的通项，然后取x的指数为12求得r的值，则x项的系数可求得.【题目详解】5636616631212rrrrrrrrTCxCxx ，由51362r，可得3r.含x项的系数为 36 33612160C.故答案为：160【答案点睛】本题考查了二项式定理展开式、需熟记二项式展开式的通项公式，属于基础题.三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析；（2）12【答案解析】（1）求解出导

23、函数，分析导函数的单调性，再结合零点的存在性定理说明()fx在(0,)上存在唯一的零点即可；（2）根据导函数零点0 x，判断出 f x的单调性，从而 minf x可确定，利用 min1f x以及1lnyxx的单调性，可确定出0,x a之间的关系，从而a的值可求.【题目详解】（1）证明：()ln()(0)x af xexa a，1()x afxexa.x ae在区间(0,)上单调递增，1xa在区间(0,)上单调递减，函数()fx在(0,)上单调递增.又1(0)aaaaefeaae，令()(0)ag aaea，()10ag ae，则()g a在(0,)上单调递减，()(0)1g ag，故(0)0f

24、.令1ma，则1()(1)021fmfaea 所以函数()fx在(0,)上存在唯一的零点.（2）解：由（1）可知存在唯一的0(0,)x，使得 00010 xafxexa，即001xaexa（*）.函数1()x afxexa在(0,)上单调递增.当00,xx时，()0fx，()f x单调递减；当0,xx时，()0fx，()f x单调递增.0min00()lnxaf xf xexa.由（*）式得 min0001()lnf xf xxaxa.001ln1xaxa，显然01xa是方程的解.又1lnyxx是单调递减函数，方程001ln1xaxa有且仅有唯一的解01xa，把01xa 代入（*）式，得1 2

25、1ae，12a，即所求实数a的值为12.【答案点睛】本题考查函数与导数的综合应用，其中涉及到判断函数在给定区间上的零点个数以及根据函数的最值求解参数，难度较难.（1）判断函数的零点个数时，可结合函数的单调性以及零点的存在性定理进行判断；（2）函数的“隐零点”问题，可通过“设而不求”的思想进行分析.18、（1）*21,3nnanN.（2）3nnTn【答案解析】（1）先设等差数列an的公差为 d（d0），然后根据等差数列的通项公式及已知条件可列出关于 d 的方程，解出 d 的值，即可得到数列an的通项 an；（2）先根据第（1）题的结果计算出数列bn的通项公式，然后运用错位相减法计算前 n 项和

26、Tn.【题目详解】（1）由题意，设等差数列an的公差为 d（d0），则 a4a5（1+3d）（1+4d）11，整理，得 12d2+7d100，解得 d54（舍去），或 d23，an123（n1）213n，nN*.（2）由（1）知，bnan 3n213n3n（2n+1）3n1，Tnb1+b2+b3+bn31+531+732+（2n+1）3n1，3Tn331+532+（2n1）3n1+（2n+1）3n，两式相减，可得：2Tn31+231+232+23n1（2n+1）3n 3+2（31+32+3n1）（2n+1）3n 3+2331 3n（2n+1）3n 2n3n，Tnn3n.【答案点睛】本题主要考查

27、等差数列基本量的计算，以及运用错位相减法计算前 n 项和.考查了转化与化归思想，方程思想，错位相减法的运用，以及逻辑思维能力和数学运算能力.属于中档题.19、（）见解析（）34【答案解析】(I)取AC的中点M,连接,PM BM,通过证明AC 平面PBM得出ACBP;(II)以M为原点建立坐标系，求出平面APC的法向量n，通过计算n与AD的夹角得出AD与平面APC所成角【题目详解】（I）证明：取 AC 的中点 M，连接 PM，BM，ABBC，PAPC，ACBM，ACPM，又 BMPMM，AC平面 PBM，BP平面 PBM，ACBP（II）解：底面 ABCD 是梯形BCAD，ABBCCD1，AD2

28、，ABC120，ABBC1，AC3，BM12，ACCD，又 ACBM，BMCD PAPC3，CM1322AC，PM32，PB132，cosBMP222122PMBMBPPM BM，PMB120，以 M 为原点，以 MB，MC 的方向为 x 轴，y 轴的正方向，以平面 ABCD 在 M 处的垂线为 z 轴建立坐标系 Mxyz，如图所示：则 A（0，32，0），C（0，32，0），P（34，0，3 34），D（1，32，0），AD（1，3，0），AC（0，3，0），AP（34，32，3 34），设平面 ACP 的法向量为n（x，y，z），则00n ACn AP，即30333 30424yxyz，令

29、 x3得n（3，0，1），cosn，34n ADADn AD，直线 AD 与平面 APC 所成角的正弦值为|cosn，AD|34 【答案点睛】本题考查异面直线垂直的证明,考查直线与平面所成角的正弦值的求法,解题时要认真审题,注意向量法的合理使用,难度一般.20、（1）证明见解析（2）6513【答案解析】（1）由等腰梯形的性质可证得DEAD,由射影可得PG 平面ABCD,进而求证；（2）取BC的中点 F,连接GF,以 G 为原点,GA所在直线为 x 轴,GF所在直线为 y 轴,GP所在直线为 z 轴,建立空间直角坐标系,分别求得平面APC与平面DPC的法向量,再利用数量积求解即可.【题目详解】（

30、1）在等腰梯形ABCD中,点 E 在线段BC上,且:1:3CE EB,点 E 为BC上靠近 C 点的四等分点,2AD,4BC,1CE,DEAD,点 P 在底面ABCD上的射影为AD的中点 G,连接PG,PG平面ABCD,DE 平面ABCD,PGDE.又ADPGG,AD平面PAD,PG 平面PAD,DE平面PAD.（2）取BC的中点 F,连接GF,以 G 为原点,GA所在直线为 x 轴,GF所在直线为 y 轴,GP所在直线为 z 轴,建立空间直角坐标系,如图所示,由（1）易知,DECB,1CE,又60ABCDCB,3DEGF,2AD,PAD为等边三角形,3PG,则(0,0,0)G,(1,0,0)

31、A,(1,0,0)D,(0,0,3)P,(2,3,0)C,(33)0AC ,(1,0,3)AP ,(1)3 0DC ,(1,0,3)DP,设平面APC的法向量为111(,)mx y z,则00m ACm AP，即111133030 xyxz,令13x,则13y,11z,3,)1(3,m,设平面DPC的法向量为222(,)nxyz,则00n DCn DP,即22223030 xyxz,令23x,则21y,21z ,3,1,()1n,设平面APC与平面DPC的夹角为,则 33165cos13135m nmn 二面角APCD的余弦值为6513.【答案点睛】本题考查线面垂直的证明,考查空间向量法求二面

32、角,考查运算能力与空间想象能力.21、（1）12；（2）34【答案解析】（1）将1a 代入等式，结合正弦定理将边化为角，再将6A及56BC代入，即可求得cosC的值；（2）根据（1）中cosC的值可求得C和B，进而可得1ba，由三角形面积公式即可求解.【题目详解】（1）由321cb，得32cba，由正弦定理将边化为角可得3sin2sinsinCBA，6A，56BC，513sin2sin62CC，化简可得1313sin2cos2sin222CCC ，解得1cos2C .（2）在ABC中，1cos2C ，23C，6BA C，1ba，1133sin1 12224ABCSabC .【答案点睛】本题考查了正弦定理在边角转化中的应用，正弦差角公式的应用，三角形面积公式求法，属于基础题.22、12x52【答案解析】由题知，|x1|x2|ababa 恒成立，故|x1|x2|不大于ababa 的最小值|ab|ab|abab|2|a|，当且仅当(ab)(ab)0 时取等号，ababa 的最小值等于 2.x 的范围即为不等式|x1|x2|2 的解，解不等式得12x52.