2023年九年级数学中考专题训练圆的计算和证明含答案解析.pdf
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1、中考专题训练圆的计算和证明 1如图,在ABC中,ABAC,以 AB为直径作O,交 BC 于点 D,交 AC 于点 E,过点 B 作O的切线交 OD的延长线于点 F (1)求证:ABOF;(2)若4AB,1DF,求 AE 的长 2如图,AB 是O的直径,点 C 在O上,ABC的平分线与 AC相交于点 D,与O过点 A的切线相交于点 E (1)猜想EAD的形状,并证明你的猜想;(2)若8AB,6AD,求 BD 的长 3 如图所示,RtABC中ACB90,斜边 AB 与O相切于 D,直线 AC过点 O并于O相交于 E、F 两点,BC 与 DF 交于点 G,DHAC 于 H (1)求证:B2F;(2)
2、若 HE4,cosB35,求 DF 的长 4如图,O的直径2 3AB,点C为O上一点,CF为O的切线,OEAB于点O,分别交AC,CF于D,E两点 (1)求证:EDEC;(2)若30A,求图中两处(点C左侧与点C右侧)阴影部分的面积之和 5已知PA,PB分别与O相切于点A,B,C为O上一点,连接AC,BC (1)如图,若70APB,求ACB的大小;(2)如图,AE为O的直径交BC于点D,若四边形PACB是平行四边形,求EAC的大小 6如图,AB是O的直径,点 C在AB的延长线上,BDCA,CEAD,交AD的延长线于点 E (1)求证:CD与O相切:(2)若4CE,2DE,求AD的长,7如图,四
3、边形 ABCD 为平行四边形,边 AD是O的直径,O交 AB 于 F点,DE为O的切线交 BC于 E,且BEBF,BD和O交于 G点 (1)求证:四边形 ABCD 为菱形(2)若O半径52r,5BG,求 BF 长 8如图,O为ABC的外接圆,AB为直径,ABC的角平分线BD交O于点D,过点D作O的切线DE,交BC的延长线于点E (1)求证:DEBC;(2)若1CE,3DE,求O的半径 9如图,AB 是O的直径,CA 与O相切于点 A,且ABAC连接 OC,过点 A 作ADOC于点 E,交O于点 D,连接 DB (1)求证:ACEBAD;(2)连接BC交O于点F若6AD,求BF的长 10在Rt
4、ABC中,90C,以 AC为直径的O与 AB相交点 D、E是 BC的中点 (1)判断 ED 与O的位置关系,并说明理由;(2)若O的半径为 3,DECA,求DC的长 11如图,在ABC中,以ABC的边AB为直径作O,交AC于点D,DE是O的切线,且DEBC,垂足为点E (1)求证ABBC;(2)若3DE,6 10AC,求O的半径 12如图,O是ABC的外接圆,O在 AC上,过点 C 作O的切线,与 AB延长线交于点 D,过点 O作OEBC,交O 于点 E,连接 CE交 AB于点 F (1)求证:CE平分ACB;(2)连接 OD,若 CF=CD=6,求 OD的长 13如图,ABC中,AB=AC,
5、以 AB 为直径O的交 BC于点 D,过点 D 作O的切线 DE,交 BA 延长线于点 E,延长 CA 交O于点 F,交 DE于点 G,连接 DF (1)求证:点 E为线段 CF垂直平分线上一点;(2)若 sinE=35,BE=8,求 AF 的长 14如图,四边形 ABCD内接于O,AB是O 的直径,点 D 是AC的中点,连接 OD,交 AC于点 E,作BFCD,交 DO的延长线于点 F (1)求证:四边形 BCDF 是平行四边形(2)若 AC=8,连接 BD,tanDBF=34,求直径 AB的长及四边形 ABCD的周长 15如图,在ABC中,ABAC,以 AB 为直径作O,交 AC于点 F,
6、交 BC于点 D,过点 D作O的切线DE,交 AC于点 E (1)求证:DEAC;(2)若O 的直径为 5,2 5sin5B,求 EF的长 16如图,AB是O 的直径,点 E 为线段 OB上一点(不与 O,B 重合),作 CEOB,交O 于点 C,垂足为点 E,作直径 CD,过点 C 的切线交 DB 的延长线于点 P,作 AFPC 于点 F,连接 CB (1)求证:CBECPB;(2)当4 3AB 且34CFCP时,求扇形 COB 的面积 17如图,AB为O的直径,ACB的角平分线交O于点D,交AB于点E,CAB的角平分线交CD于点F (1)求证:ADB为等腰直角三角形;(2)求证:2DFDE
7、 DC 18如图,AB 是圆O的直径,C,D 是圆上的点(在 AB 同侧),过点 D的圆的切线交直线 AB 于点E (1)若2AB,1BC,求 AC 的长;(2)若四边形 ACDE是平行四边形,证明:BD平分ABC 19如图,AB与O相切于点B,BC为O的弦,OCOA,OA与BC相交于点P (1)求证:APAB;(2)若4OB,3AB,求线段BP的长 20如图,ABC为O的内接三角形,ADBC,垂足为D,直径AE平分BAD,交BC于点F,连接BE (1)求证:AEBAFD;(2)若10AB,5BF,求DF的长;(3)若点G为AB的中点,连接DG,若点O在DG上,求:BF FC的值 参考答案 1
8、(1)见解析(2)83AE 【分析】(1)首先根据等边对等角可证得CODB,再根据平行线的判定与性质,即可证得结论;(2)首先根据圆周角定理及切线的性质,可证得AEBOBF,即可证得ABEOFB,再根据相似三角形的性质即可求得(1)证明:ABAC CABC OBOD ODBOBD CODB ACOD ABOF (2)解:如图:连接 BE AB是O的直径,AB=4 90AEB,122OBODAB BF是O的切线 90OBF AEBOBF 又ABOF ABEOFB AEABOBOF 又2 13OFODDF 423AE,解得83AE 【点评】本题考查了等腰三角形的性质,平行线的判定与性质,圆周角定理
9、,切线的性质,相似三角形的判定与性质,作出辅助线,证得ABEOFB是解决本题的关键 2(1)等腰三角形,证明见解析;(2)145.【分析】(1)利用角平分线和C=BAE=90,得出E=4,从而得到 AD=AE 可得三角形的形状;(2)先证明BCDBAE,利用相似比得到得出即34AEDCABBC,若设 CD=3x,则 BC=4x,BD=5x,再利用勾股定理得到(4x)2+(6+3x)2=82,然后解方程求出 x后计算 5x 即可(1)猜想:EAD是等腰三角形,证明:BE 平分ABC,1=2,AB为直径,C=90,2+3=90,AE为切线,AEAB,E+1=90,E=3,而4=3,E=4,AE=A
10、D,EAD是等腰三角形;(2)2=1,RtBCDRtBAE,CD:AE=BC:AB,即34AEDCABBC,设 CD=3x,BC=4x,则 BD=5x,在 RtABC 中,AC=AD+CD=3x+6,(4x)2+(6+3x)2=82,解得 x1=1425,x2=-1(舍去),BD=5x=145【点评】本题考查了切线的性质:圆的切线垂直于经过切点的半径;也考查了利用勾股定理和相似比进行几何计算 3(1)见解析;(2)8 5 【分析】(1)连接 OD,由题意可得:90ODA,再根据ACB90,可得BAOD,由圆周角定理可得2AODF,即可求解;(2)由(1)可得BAOD,则3cos5OHAODOD
11、,设ODOEr,求得半径r,由勾股定理求得DH,再由勾股定理即可求得DF(1)解:连接 OD,如下图:AB与O相切于 D,ODAB,即90ODA,90AAOD,又ACB90,AB+90,BAOD,由圆周角定理可得:2AODF,2BF;(2)解:DHAC 90DHO,由(1)得BAOD,3coscos5OHBAODOD,设ODOEOFr,则4OHr,则435rr,解得10r,则6OH,16HFOHOF 由勾股定理可得:228DHODOH,由勾股定理可得:228 5DFDHHF【点评】此题考查了圆的综合应用,涉及了切线的性质定理,圆周角定理,三角形内角和的性质,解直角三角形,勾股定理,解题的关键是
12、灵活运用相关性质进行求解 4(1)见解析(2)34 【分析】(1)连接OC,则OCCF,故90ACEACO,又90ADOA,且AACO,可得ACEADOEDC ,故EDEC;(2)过点C作CGAB于G,结合三角函数的知识求得CG与CE的长,从而利用COEBOCCOBCOHSSSSS阴影扇形扇形求得阴影部分的面积之和(1)证明:连接OC,CF是O的切线,OCCF,90ACOACE,OEAB,90ADOA,OAOC,AACO,ACEADO,又ADOCDE,ACECDE,EDEC(2)解:过点C作CGAB于G,30AACO,260BOCA,33sin60322CGOC,9030COEBOC,90OC
13、E,3tan30313CEOC 1133 1222COESOCCE,260(3)3602COBS扇形,230(3)3604COHS扇形,1133 332224BOCSOB CG,33 3322444COEBOCCOBCOHSSSSS阴影扇形扇形【点评】本题属于圆的综合题,涉及到了圆的切线的性质,扇形面积的计算方法,以及三角函数相关知识,解题的关键是学会常用辅助线的作法 5(1)55(2)30 【分析】(1)连接 OA、OB,根据切线的性质可得OAP=OBP=90,再根据四边形内角和等于 360 度求出AOB,再由圆周角定理即可求出结果;(2)连接 AB,EC,由切线长定理以及平行四边形的性质可
14、证明四边形PACB是菱形,进而证明ABC是等边三角形,进一步可得结论(1)如图,连接 OA、OB,PA,PB是O 的切线,OAP=OBP=90,APB=70,AOB=360-90-90-70=110 ACB=12AOB=11102=55;(2)如图,连接 AB,EC,,BAEBCE PA,PB分别与O相切于点A,B,,PAPB 四边形PACB是平行四边形,四边形PACB是菱形,,ACBC PA是O的切线,且AE是O的直径,,AEPA 四边形APBC是平行四边形,PA/BC,AEBC即90,ADB 90,BADABD AE是O的直径,90,ACE即90,ACDBCE,BADBCE ,ABDACB
15、 ,ABAC,ABACBC即ABC是等边三角形,60,ABCBACACB ,AEBC 116030.22EACBAC【点评】本题考查的是切线的性质、圆周角定理、等腰三角形的判定与性质,平行四边形的性质,菱形的判定与性质等知识,掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键 6(1)见解析(2)6 【分析】(1)连接OD,然后根据圆的性质和已知可以得到90ODC,即可证得CD与O相切;(2)由已知可以得到AECCED,再根据三角形相似的性质和已知条件即可求出 AD 的值(1)证明:连接OD,AB为O的直径,90ADB,即90ODBADO,OAOD,ADOA,又BDCA;90ODBBDC,即90OD
16、C CD是O切线.(2)CEAE,90EADB,DB/EC,DCEBDC,BDCA,ADCE,EE,AECCED,CEAEDECE,2CEDE AE,162(2)AD,6AD 【点评】本题考查圆的综合应用,熟练掌握圆切线的判定方法、三角形相似的判定和性质是解题关键 7(1)证明过程见解析(2)2 【分析】(1)连接 DF,通过证明 RtDFBRtDEB(HL)得到 DF=DE,证明ADFCDE(ASA)得到AF=CE,即可证明四边形 ABCD 是菱形;(2)连接 AG,根据等腰三角形三线合一的性质得到 DG=GB,设 BF=x,则 AF=5-x,利用勾股定理可得2222ADAFDBBF,列出方
17、程求解即可得到 BF 的长(1)证明:连接 DF,如图所示 DE 是切线,AD是直径 ADE=90,DFA=90 四边形 ABCD是平行四边形 DEB=90,CDF=90 DFB=DEB=90 又BF=BE,DB=DB RtDFBRtDEB(HL)DF=DE 四边形 ABCD是平行四边形 A=C 又AFD=DEC ADFCDE(AAS)AF=CE AB=CB 四边形 ABCD是菱形(2)解:连接 AG,如图所示 AD 是直径 AGD=90,即 AGBD 四边形 ABCD是菱形 AB=AD DG=GB=5 DB=25 设 BF=x,则 AF=5-x 2222ADAFDBBF 2222552 5x
18、x,解得 x=2 BF的长为 2【点评】本题考查了菱形的判定、平行四边形的性质、直径所对圆周角是直角、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识,正确作出辅助线,掌握这些知识点是解答本题的关键 8(1)见解析(2)2 【分析】(1)根据切线性质得90ODE,再根据圆及角平分线的性质,证得/ODBC,最后根据平行线的性质,证得结论(2)连接OD交 AC于点 F,证明四边形CEDF是矩形,再设O的半径 r,在Rt AOF中运用勾股定理,建立关于 r的方程,求解即可(1)证明:如图,连接OD,DE与O相切于点D,DEOD,90ODE,ODOB,ODBOBD,BD平分ABC,OBDDBC,ODBDBC,/
19、ODBC,18090EODE,DEBC(2)解:如图,连接OD交 AC 于点 F,AB是O的直径,90ACB,18090ECFACB,90ECFEEDF ,四边形CEDF是矩形 90AFOCFD,1DFCE,FOAC,3AFCFDE,设O的半径为r,则OAODr,222OAOFAF,1OFr,22213rr,解得2r,O的半径为2【点评】本题考查了与圆有关的综合问题,灵活运用切线性质,勾股定理进行推理求值是解题的关键 9(1)证明见解析(2)3 102 【分析】(1)根据切线的性质可得90BADCAE,根据圆周角定理的推论可得90BADABD,即得出CAEABD 结合题意即可利用“AAS”证明
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