《数学物理方法》第1讲.ppt

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1、2010.3.4主要内容主要内容三种方程、三种方程、四种求解方法、四种求解方法、二个特殊函数二个特殊函数分离变量法、行波法、积分变换法、格林函数法波动方程、波动方程、热传导、热传导、拉普拉斯方程拉普拉斯方程贝赛尔函数、勒让德函数回忆高数有关向量场内容回忆高数有关向量场内容哈密顿算子哈密顿算子设向量场设向量场 A=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k 高斯公式高斯公式斯托克斯公式斯托克斯公式建立数学物理方程就是建立数学物理方程就是将物理规律将物理规律“翻译翻译”成数成数学学 建建模方法模方法(1)(1)微元法微元法:语言。语言。析邻近部分与这一小部分的相互作用，析邻近部分与

2、这一小部分的相互作用，分分物理规律物理规律,通过对表达式的化简、整理，通过对表达式的化简、整理，足的数学物理方程；足的数学物理方程；(2)2)规律法规律法:组）用数学物理方程表示出来；组）用数学物理方程表示出来；根据根据用数学表达式来表示这个作用，用数学表达式来表示这个作用，得到问题所满得到问题所满 在整个系统中分出一个小部分，在整个系统中分出一个小部分，通常有三种方法：通常有三种方法：就是将物理规律（比如就是将物理规律（比如MaxwellMaxwell方程方程（3 3）统计法统计法:满足的（广义）数学物理方程，满足的（广义）数学物理方程，常用于经济、常用于经济、社会科学等领域。社会科学等领域

3、。就是通过统计规律建立所研究问题就是通过统计规律建立所研究问题几个基本的数学物理方程几个基本的数学物理方程的倾角都很小，的倾角都很小，一、均匀弦的微小横振动一、均匀弦的微小横振动设有一根均匀柔软的细弦，设有一根均匀柔软的细弦，平衡时沿直线拉紧，平衡时沿直线拉紧，且且除受不随时间变化的张力及弦本身的重力外，除受不随时间变化的张力及弦本身的重力外，不受不受其它外力的作用。其它外力的作用。考虑此弦作微小横振动的规律。考虑此弦作微小横振动的规律。所谓所谓“横振动横振动”是指全部运动出现在一个平面内，是指全部运动出现在一个平面内，且且弦上的点沿垂直于弦上的点沿垂直于 x 轴的方向运动（如图）。轴的方向运

4、动（如图）。所谓所谓“微小微小”是指运动的幅度及弦在任意位置处切线是指运动的幅度及弦在任意位置处切线略不计。略不计。以致它们的高于一次方的项可以忽以致它们的高于一次方的项可以忽TOT速度变化很快，即速度变化很快，即张力较大时弦振动的张力较大时弦振动的因此可忽略因此可忽略 g，得，得方程方程称为称为一维波动方程一维波动方程。如果在振动过程中，弦上还另受一个与弦的振动方如果在振动过程中，弦上还另受一个与弦的振动方向平行的外力，向平行的外力，且假定在时刻且假定在时刻 t 弦上弦上 x 点处的外力点处的外力密度为密度为 F(x,t),那么那么经类似的讨论可得经类似的讨论可得x 处所受的外力。处所受的外

5、力。自由项自由项称上方程为称上方程为一维强迫振动方程一维强迫振动方程。一维波动方程还可用于描述高频交流电传输过程中一维波动方程还可用于描述高频交流电传输过程中电流和电压的变化规律（高频传输线方程）。电流和电压的变化规律（高频传输线方程）。由于热量的传导过程总是表现为温度随时间和点的由于热量的传导过程总是表现为温度随时间和点的二、热传导方程二、热传导方程位置的变化。位置的变化。物体内温度的分布。物体内温度的分布。所以，解决热传导问题都要归结所以，解决热传导问题都要归结为求为求应用微元法，应用微元法，在在物体内物体内任取闭曲面任取闭曲面S，所包围的体积所包围的体积为为V。设设 t 时刻时刻物体内物

6、体内点点M(x,y,z)处处温度温度为为u(x,y,z,t),曲面元素曲面元素的法向量为的法向量为（由内指向外）。（由内指向外）。据热学据热学中的中的 FourierFourier 实验定律，有实验定律，有其中其中 k 是热传导系数。是热传导系数。即即负号是由于热量的流向和温度负号是由于热量的流向和温度梯度的正向，梯度的正向，的方向相反而产生的。的方向相反而产生的。二、热传导方程二、热传导方程据热学中的据热学中的 FourierFourier 实验定律，有实验定律，有从从到到时刻经曲面时刻经曲面 S 流入区域流入区域 V 的热量为的热量为温度从温度从变到变到所需热量为所需热量为热量守恒，因此热

7、量守恒，因此其中其中c 是物体的比热，是物体的比热，r r 是其密度。是其密度。因此因此即即而而且且于是于是方程方程称为称为三维热传导方程三维热传导方程。若物体内有热源，其强度为若物体内有热源，其强度为F(x,y,z,t),则对应的热则对应的热传导方程为传导方程为一维和二维热传导方程分别为一维和二维热传导方程分别为恒温场内温度满足恒温场内温度满足Laplace 方程。方程。在气体或液体的扩散过程中，在气体或液体的扩散过程中，则所得的扩散方程与热传导方程完全相同。则所得的扩散方程与热传导方程完全相同。若扩散系数是常数，若扩散系数是常数，三、其它方程三、其它方程Laplace 方程方程Poisson 方程方程Helmholtz 方程方程