《电磁场与电磁波》ppt教案-09导行电磁波.ppt

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1、第九章第九章 导行电磁波导行电磁波主主 要要 内内 容容 几种常用的导波系统，矩形波导中的电磁波，几种常用的导波系统，矩形波导中的电磁波，圆波导中的电磁波，同轴线，谐振腔。圆波导中的电磁波，同轴线，谐振腔。沿一定的途径传播的电磁波称为沿一定的途径传播的电磁波称为导行电磁波导行电磁波，传输导行波的系统，传输导行波的系统称为称为导波系统导波系统。常用的导波系统有常用的导波系统有双导线双导线、同轴线同轴线、带状线带状线、微带微带、金属波导金属波导等。等。这些导波系统的结构如下图示。这些导波系统的结构如下图示。本章本章仅仅介绍介绍同轴线同轴线和和金属波导金属波导。尤其是。尤其是矩形矩形金属波导的传播特

2、性。金属波导的传播特性。带状线带状线双导线双导线矩形波导矩形波导微微 带带介质波导介质波导光光 纤纤同轴线同轴线圆波导圆波导1.TEM波、波、TE波及波及TM波波 TEM波、波、TE波及波及TM波的电场方向及磁场方向与传播方向的关系波的电场方向及磁场方向与传播方向的关系如下图示。如下图示。TEM波波EHesTE波波EHesTM波波EHes可以证明，能够建立可以证明，能够建立静电场静电场的导波系统的导波系统必然必然能够传输能够传输TEM波。波。根据麦克斯韦方程也可说明金属波导不能传输根据麦克斯韦方程也可说明金属波导不能传输TEM波。波。名名 称称 波波 形形 电磁屏蔽电磁屏蔽 使用波段使用波段

3、双导线双导线 TEM波波 差差 3m 同轴线同轴线 TEM波波 好好 10cm 带状线带状线 TEM波波 差差厘米波厘米波 微微 带带 准准TEM波波 差差厘米波厘米波矩形波导矩形波导 TE或或TM波波 好好厘米波、毫米波厘米波、毫米波 圆波导圆波导 TE或或TM波波 好好厘米波、毫米波厘米波、毫米波 光光 纤纤 TE或或TM波波 差差光波光波几种常用导波系统的主要特性几种常用导波系统的主要特性导波系统传播特性的研究方法导波系统传播特性的研究方法 首首先先设设导导波波系系统统是是无无限限长长的的，根根据据导导波波系系统统横横截截面面的的形形状状选选取取直直角角坐坐标标系系或或者者圆圆柱柱坐坐标

4、标系系，令令其其沿沿 z 轴轴放放置置，且且传传播播方方向向为为正正 z 方方向向。以以直角坐标为例，则该导波系统中的电场与磁场可以分别表示为直角坐标为例，则该导波系统中的电场与磁场可以分别表示为而且应该满足下列矢量而且应该满足下列矢量亥姆霍兹方程亥姆霍兹方程 由前获知，上式包含了由前获知，上式包含了6 6 个直角坐标分量个直角坐标分量 及及 ，它们分别满足齐次标量亥姆霍兹方程。根据导波系统的边界条件，利用它们分别满足齐次标量亥姆霍兹方程。根据导波系统的边界条件，利用分离变量法即可求解这些方程。分离变量法即可求解这些方程。但是实际上并不需要求解但是实际上并不需要求解 6 个坐标分量，因为它们不

5、是完全独立的。个坐标分量，因为它们不是完全独立的。根据麦克斯韦方程，可以求出根据麦克斯韦方程，可以求出 x 分量及分量及 y 分量和分量和 z 分量的关系为分量的关系为 式中式中 这样，只要求出这样，只要求出 z 分量，其余分量即可根据上述关系求出。分量，其余分量即可根据上述关系求出。z 分量分量为为纵向纵向分量，因此这种方法又称为分量，因此这种方法又称为纵向场法纵向场法。在圆柱坐标系中，同样可用在圆柱坐标系中，同样可用 z 分量表示分量表示 r 分量和分量和 分量。其关系分量。其关系式为式为2.矩形波导中的电磁波方程式矩形波导中的电磁波方程式 矩形波导形状如下图示，矩形波导形状如下图示，宽宽

6、壁的壁的内内尺寸为尺寸为 a，窄窄壁的壁的内内尺寸为尺寸为 b。azyxb,已知金属波导中只能传输已知金属波导中只能传输 TE 波波及及TM 波，现在分别讨论他们在矩形波，现在分别讨论他们在矩形波导中的传播特性。波导中的传播特性。若仅传输若仅传输 TM 波，则波，则 Hz=0。按。按照纵向场法，此时仅需求出照纵向场法，此时仅需求出 Ez 分量，分量，然后即可计算其余各个分量。然后即可计算其余各个分量。已知电场强度的已知电场强度的 z 分量可以表示为分量可以表示为 它应满足齐次标量亥姆霍兹方程，即它应满足齐次标量亥姆霍兹方程，即其振辐也满足同样的齐次标量亥姆霍兹方程，即其振辐也满足同样的齐次标量

7、亥姆霍兹方程，即为了求解上述方程，采用分离变量法。令为了求解上述方程，采用分离变量法。令代入上式，得代入上式，得式中式中X 表示表示 X 对对 x 的二阶导数，的二阶导数，Y 表示表示 Y 对对 y 的二阶导数。的二阶导数。由于上式中的第二项由于上式中的第二项仅仅为为 y 函数，而右端为常数，因此，若将此式函数，而右端为常数，因此，若将此式对对 x 求导，得知左端第一项应为常数。若对求导，得知左端第一项应为常数。若对 y 求导，得知第二项应为常求导，得知第二项应为常数。数。现分别令现分别令 这里，这里，k x 和和 k y 称为称为分离常数分离常数。利用边界条件即可求解这些分离常数。利用边界条

8、件即可求解这些分离常数。显然显然 由上可见，原来的二阶由上可见，原来的二阶偏偏微分方程，经过变量分离后变为两个微分方程，经过变量分离后变为两个常常微微分方程，因此求解简便。分方程，因此求解简便。两个两个常微分方程的常微分方程的通解通解分别为分别为式中常数式中常数C1，C2，C3，C4 取决于导波系统的边界条件。取决于导波系统的边界条件。已知已知 Ez 分量与波导四壁平行，因此在分量与波导四壁平行，因此在 x=0,a 及及 y=0,b 的边界上的边界上 Ez=0。由此决定上述常数，再根据这些结果求出分离常数为。由此决定上述常数，再根据这些结果求出分离常数为代入前式即可求出矩形波导中代入前式即可求

9、出矩形波导中TM 波的各个分量为波的各个分量为 1，电电磁磁波波的的相相位位仅仅与与变变量量 z 有有关关，而而振振幅幅与与 x,y 有有关关。因因此此，在在Z方方向上为向上为行波行波，在，在 X 及及 Y 方向上形成方向上形成驻波驻波。2，z 等于常数的平面为波面。但振辐与等于常数的平面为波面。但振辐与 x,y 有关，因此上述有关，因此上述TM波为波为非均匀非均匀的平面波；的平面波；3，当，当 m 或或 n 为零时，上述各个分量均为零，因此为零时，上述各个分量均为零，因此 m 及及 n 应为应为非零非零的的整数。整数。m 及及 n 具有明显的物理意义，具有明显的物理意义，m 为宽壁上的为宽壁

10、上的半个驻波半个驻波的数目，的数目，n 为窄壁上为窄壁上半个驻波半个驻波的数目。的数目。4，由于，由于m 及及 n 为多值，因此场结构均具有为多值，因此场结构均具有多种模式多种模式。m 及及 n 的每一的每一种组合构成一种模式，以种组合构成一种模式，以TMmn表示。表示。例如例如 TM11表示表示 m=1,n=1 的场结的场结构，具有这种场结构的波称为构，具有这种场结构的波称为TM11波。波。5，数值大的，数值大的 m 及及 n 模式称为模式称为高次模高次模，数值小的称为，数值小的称为低次模低次模。由于。由于 m 及及 n 均不为零，故矩形波导中均不为零，故矩形波导中TM波的波的最低模式最低模

11、式是是TM11波。波。类似地可以导出矩形波导中类似地可以导出矩形波导中TE波的各个分量为波的各个分量为式中式中 ，但两者，但两者不能同时不能同时为零。由上式可见，与为零。由上式可见，与TM波一样，波一样，TE波也具有前述波也具有前述多模特性多模特性，但此时，但此时m 及及 n不能同时为零。因此，不能同时为零。因此，TE波的波的最低模式最低模式为为TE01波或波或TE10波。波。3.矩形波导中电磁波的传播特性矩形波导中电磁波的传播特性 已已知知 ，即即 。可可见见，当当时时 ，这这就就意意味味着着波波的传播被截止，因此，的传播被截止，因此，称为称为截止传播常数截止传播常数。截止传播常数和截止频率

12、截止传播常数和截止频率 利用传播常数与频率的关系利用传播常数与频率的关系 ，可以求出对应于截止传播常数，可以求出对应于截止传播常数 的的截止频率截止频率 ，即，即根据前面结果，获知根据前面结果，获知截止传播常数为截止传播常数为那么，传播常数那么，传播常数 kz 可以表示为可以表示为 当当 时，时，为实数，因子为实数，因子 代表向正代表向正 z 方向传播的波。方向传播的波。当当 时，时，为虚数，因子为虚数，因子 因此，对于一定的模式和波导尺寸来说，因此，对于一定的模式和波导尺寸来说，f c 是能够传输该模式的是能够传输该模式的最最低频率低频率。可见，波导相当于一个。可见，波导相当于一个高通滤波器

13、高通滤波器。此式表明时变电磁场没有传播，而是沿正此式表明时变电磁场没有传播，而是沿正 Z 方向不断衰减的方向不断衰减的凋落场凋落场。利用关系式利用关系式 ，即可求得对应于截止传播常数，即可求得对应于截止传播常数 的的截止波长截止波长 为为截止波长截止波长 上上述述结结果果表表明明，无无论论截截止止频频率率或或截截止止波波长长均均与与与与波波导导尺尺寸寸 a,b 及及模模式式m,n 有有关关。对对于于一一定定的的波波导导尺尺寸寸来来说说，每每一一种种模模式式具具有有一一定定的的截截止止频频率率或或截截止止波波长长。高高次次模模式式具具有有较较高高的的截截止止频频率率，或或者者说说具具有有较较短短

14、的的截截止止波长波长。例如，例如，TE10波的截止波长为波的截止波长为 2a，TE20波的截止波长为波的截止波长为a。左图给出了当。左图给出了当波导尺寸波导尺寸 时，各种模式截止波长的时，各种模式截止波长的分布图。分布图。TM11TE01TE20TE100a2acTE10波为矩形波导中的波为矩形波导中的常用模式常用模式或称为或称为主模主模。截 止 区TM11TE01TE20TE100a2ac 已知当已知当 时，相应的模式波均被截止。那么由图可见，当时，相应的模式波均被截止。那么由图可见，当 时，时，全部模式被截止。全部模式被截止。当当 时，只有时，只有TE10波存在，波存在，其它模式被截止。当

15、其它模式被截止。当 时，才有其时，才有其它模式出现。它模式出现。由此可见，由此可见，如果工作波长满足如果工作波长满足 实现单模传输是实际应用所需要的。实现单模传输是实际应用所需要的。即可实现即可实现单模传输单模传输，而且实现单模传，而且实现单模传输的输的惟一惟一模式就是模式就是TE10波。波。窄壁尺寸的窄壁尺寸的下限下限取决于传输取决于传输功率功率，容许的波导，容许的波导衰减衰减以及以及重量重量等。等。国际上对于各波段通常使用的波导尺寸已有统一规定。国际上对于各波段通常使用的波导尺寸已有统一规定。可见，当工作波长增加时，为保证单模传输，波导的尺寸必须相应可见，当工作波长增加时，为保证单模传输，

16、波导的尺寸必须相应地加大。若频率过低，因而工作波长过长，以致波导尺寸过大，无法采地加大。若频率过低，因而工作波长过长，以致波导尺寸过大，无法采用。因此，实际中金属波导适用于用。因此，实际中金属波导适用于3000MHz以上的微波波段。以上的微波波段。实际中，通常取实际中，通常取 ，以便在，以便在 波段内实现波段内实现TE10波单模传输。波单模传输。工程上常取工程上常取 左右，左右，或或 。为了保证仅传输为了保证仅传输TE10波，矩形波导的尺寸应该满足波，矩形波导的尺寸应该满足 将可获知，窄壁减小会使传输衰减增大。将可获知，窄壁减小会使传输衰减增大。根据相速与相位常数的关系，求得矩形波导中的相速根

17、据相速与相位常数的关系，求得矩形波导中的相速 为为 式中式中 。当波导中为真空时，。当波导中为真空时，。不同波导不同波导尺寸尺寸及及模式模式，其相速也不同。，其相速也不同。波波导导中中的的相相速速与与频频率率有有关关。因因此此，电电磁磁波波在在波波导导中中传传播播时时会会出出现现色色散现象散现象。波波导导中中的的相相速速不不代代表表能能速速。已已知知 ，由由上上式式可可见见，真真空空波波导中导中 。根据波长与相位常数的关系，求得波导中电磁波的波长根据波长与相位常数的关系，求得波导中电磁波的波长 为为 式中式中 为为工作波长工作波长。称为称为波导波长波导波长。已知已知 ，故，故 。波波导导中中的

18、的横横向向电电场场与与磁磁场场之之比比称称为为波波导导的的波波阻阻抗抗，那那么么对对于于TM波波，其波阻抗为其波阻抗为 将前面结果代入，求得将前面结果代入，求得同理可得同理可得TE波的波阻抗为波的波阻抗为由上两式可见，当由上两式可见，当 ，时，时，及及 均为均为虚数虚数，表明横向电场与横，表明横向电场与横向磁场相位相差向磁场相位相差 ，因此，沿，因此，沿 z 方向没有能量单向流动，这就意味着电方向没有能量单向流动，这就意味着电磁波的传播被磁波的传播被截止截止。例例 某一内部为真空的矩形金属波导，其截面尺寸为某一内部为真空的矩形金属波导，其截面尺寸为 25mm10mm ，当频率当频率 的电磁波进

19、入波导中以后，该波导能够传输的模式是的电磁波进入波导中以后，该波导能够传输的模式是什么？当波导中填充介电常数什么？当波导中填充介电常数 的理想介质后，能够传输的模式有的理想介质后，能够传输的模式有无改变？无改变？解解 当内部为真空时，工作波长为当内部为真空时，工作波长为波导的截止波长为波导的截止波长为因为，因为，TE10波的波的 ，TE20波的波的 ，更高次模的截止波长更，更高次模的截止波长更短，可见，当该波导中为短，可见，当该波导中为真空真空时，时，仅仅能传输的模式为能传输的模式为TE10波波。若填充若填充 的的理想介质理想介质，则工作波长为，则工作波长为因此，可以传输因此，可以传输TE10

20、波及波及TE20波，而且还可能存在其它模式。详细计算波，而且还可能存在其它模式。详细计算表明，表明，TE01，TE30，TE11，TM11，TE21，TM21等模式均可传输。等模式均可传输。矩形波导矩形波导仅仅可传输可传输TM波和波和TE波。波。矩形波导中的电磁波具有矩形波导中的电磁波具有多模多模特性：特性：TMmn 和和TEmn。不同不同模式模式具有不同具有不同截止波长截止波长：为了实现为了实现TE10波的波的单一单一模式传播，波导模式传播，波导尺寸尺寸应该满足：应该满足：TE10波的截止波长波的截止波长最长最长（），适当地设计波导尺寸即可实），适当地设计波导尺寸即可实现现TE10波的波的单

21、一单一模式传播。模式传播。TE10波为波为矩形矩形波导中的波导中的常用模式常用模式或称为或称为主模主模。4.矩形波导中的矩形波导中的TE10波波 令令 ，求得矩形波导中的常用模式，求得矩形波导中的常用模式TE10波方程为波方程为其余分量为零。其余分量为零。对应的瞬时值为对应的瞬时值为gHzHxEyzyyHxEyHzxa t=0 时刻，时刻，TE10波沿波沿 z 方向及方向及 x 方方向的场分布如左图。向的场分布如左图。沿沿 x 方向为方向为驻波驻波，沿，沿 z 方向为方向为行波行波。Hz 的振辐沿的振辐沿 x 按按余弦余弦分布，分布，Hx 及及 Ez 的振幅沿的振幅沿 x 按按正弦正弦分布，但

22、是分布，但是其振幅均与其振幅均与 y 无关无关。上式简化为上式简化为式中式中A，B，C为正实数。为正实数。？xzyxyzgba磁场线磁场线电场线电场线zyx内壁电流内壁电流 TE10波的波的电场线电场线及及磁场线磁场线。几种高次模的场分布几种高次模的场分布TE10TE11TE20TE21TM21TM11电场线电场线磁场线磁场线TE10波的波的截止波长截止波长、相速相速、波导波长波导波长及及能速能速。令令 m=1,n=0，求得，求得TE10波的截止波长为波的截止波长为此式表明，此式表明，TE10波的截止波长波的截止波长与窄壁尺寸无关与窄壁尺寸无关。根据根据截止波长，利用前式即可截止波长，利用前式

23、即可分别求得相速及波导波长为分别求得相速及波导波长为 为了说明为了说明TE10波的相速、波导波长及能速的波的相速、波导波长及能速的物理意义物理意义以及它们之间以及它们之间关系关系，将电场分量，将电场分量 Ey 改写为改写为 再利用一些三角公式，可将上式改写为再利用一些三角公式，可将上式改写为上式可看成是传播常数为上式可看成是传播常数为 k，但传播方向不同的但传播方向不同的两个均匀平面波两个均匀平面波。xza两个平面波的传播途径如左图示。两个平面波的传播途径如左图示。可见，两个平面波的传播方向位可见，两个平面波的传播方向位于于 xz 平面，平面，而且而且两个两个均匀平面波又均匀平面波又可合并为在

24、两个可合并为在两个窄壁窄壁之间来回反射的之间来回反射的一个一个均匀平面波。均匀平面波。当当 时，时，。那么，该均匀平面波在两个窄壁之间垂直来回。那么，该均匀平面波在两个窄壁之间垂直来回反射。因此，无法传播而被截止。反射。因此，无法传播而被截止。两两个个均均匀匀平平面面波波的的波波峰峰相相遇遇处处形形成成合合成成波波的的波波峰峰，而而两两个个均均匀匀平平面波的面波的波谷相遇波谷相遇处形成合成波的处形成合成波的波谷波谷。左左图图中中以以实实线线表表示示均均匀匀平平面面波波的的波峰，以波峰，以虚线虚线表示均匀平面波表示均匀平面波波峰。波峰。xzaABCD若波导为真空，则若波导为真空，则AC长度等于真

25、空中波长。由图可得长度等于真空中波长。由图可得 显然，线段显然，线段AB长度等于波导波长，长度等于波导波长，AC长度等于工作波长。长度等于工作波长。同前同前 另外，由图可见，平面波另外，由图可见，平面波由由 A 点至点至 C 点的点的相位相位变化为变化为 2，而合，而合成波的空间相位变化时经过距离为成波的空间相位变化时经过距离为 AB。可见，合成波的相速大于均匀。可见，合成波的相速大于均匀平面波的相速，由图求出平面波的相速，由图求出xzaABCD 再再从从能能量量传传播播的的观观点点来来看看，当当平平面面波波的的能能量量由由 A 传传播播到到C时时，就就传传播播方方向向 Z 而而言言，此此能能

26、量量传传输输的的距距离离仅仅为为AD长长度度，可可见见波波导导中中能能速速小小于均匀平面波的能速，由图求出于均匀平面波的能速，由图求出TE10波的能速为波的能速为例例 若若内内充充空空气气的的矩矩形形波波导导尺尺寸寸为为 ，工工作作频频率率为为3GHz。如如果果要要求求工工作作频频率率至至少少高高于于主主模模TE10波波的的截截止止频频率率的的20%，且且至至少少低低于于TE01波波的的截截止止频频率率的的20%。试试求求：波波导导尺尺寸寸a及及b；根根据据所所设设计计的的波波导导，计计算算工作波长，相速，波导波长及波阻抗。工作波长，相速，波导波长及波阻抗。解解 TE10波波的的截截止止波波长

27、长 ，对对应应的的截截止止频频率率 。TE01波波的的截截止波长止波长 ，对应的截止频率，对应的截止频率 ，按题意要求，应该满足，按题意要求，应该满足 由此求得由此求得 ，取，取 ，。工作波长，相速，波导波长及波阻抗分别为工作波长，相速，波导波长及波阻抗分别为5.电磁波的群速电磁波的群速 电磁波在色散媒质中传播时，各个频率分量以不同的相速进行传播，电磁波在色散媒质中传播时，各个频率分量以不同的相速进行传播，因此，相速无法描述含有多种频率分量的电磁波在色散媒质中的传播速因此，相速无法描述含有多种频率分量的电磁波在色散媒质中的传播速度。本节介绍的度。本节介绍的群速群速，可以用来描述，可以用来描述窄

28、带信号窄带信号在色散媒质中的传播特性。在色散媒质中的传播特性。设设 z 向传播的电磁波信号仅具有两个频率向传播的电磁波信号仅具有两个频率非常接近非常接近的频率分量如下：的频率分量如下：其合成信号为其合成信号为式中式中 由由于于 ，因因而而在在一一个个足足够够小小的的时时间间间间隔隔内内，上上式式中中的的第第一一个个余余弦弦项项尚尚未未发发生生明明显显变变化化时时，第第二二个个余余弦弦项项已已经经历历了了几几个个周周期期的的变变化，所以化，所以 代表载频，代表载频，代表调制频率。代表调制频率。若若媒媒质质是是非非色色散散的的，振振幅幅形形成成的的波波包包随随载载波波一一起起运运动动，在在运运动动

29、过过程程中中，载载波波及及波波包包都都保保持持正正弦弦波波形形。因因此此可可以以根根据据波波包包上上的的等等相相位位点点求求出出波波包包的的移移动动速速度度，该该速速度度称称为为群群速速，以以 表表示示。由由 ，求求得得群群速速 为为这是一个幅度变化缓慢的这是一个幅度变化缓慢的调幅信号调幅信号。对对于于非非色色散散媒媒质质，k 与与 的的关关系系是是线线性性的的，因因此此 ，求求得得群群速速为为 再由再由 =常数，求得常数，求得载波载波相速相速 为为 已知非色散媒质中，传播常数已知非色散媒质中，传播常数 ，求得，求得由此可见，由此可见，非非色散媒质中群速色散媒质中群速等于等于相速相速。对对于于

30、色色散散媒媒质质，由由前前式式可可见见，k 与与 的的关关系系为为非非线线性性。此此时时，对对于于给给定的定的工作频率工作频率 ，可将，可将k 作为频率作为频率 的函数在的函数在 附近展开为泰勒级数，即附近展开为泰勒级数，即对于对于窄带窄带信号，可仅取前两项，即信号，可仅取前两项，即同时由于频带很窄，可以认为同时由于频带很窄，可以认为 ，将上式代入，得，将上式代入，得 由于色散媒质的传播常数由于色散媒质的传播常数 k 与频率与频率 的关系是的关系是非线性非线性的，不同的载的，不同的载波频率，其群速不同。群速波频率，其群速不同。群速不再不再等于相速。等于相速。上图给出了当上图给出了当 时，上述窄

31、带信号在三个时，上述窄带信号在三个不同时刻不同时刻的波形。的波形。载载波波以以相速相速传播，传播，波包波包以以群速群速传播。传播。为波包等相位点，为波包等相位点，P 为载波等相位为载波等相位点。当点。当P 点点 位移为位移为d 时，由于波包速度较慢，时，由于波包速度较慢，点仅位移点仅位移 。因此，经过一段时间传播后，因此，经过一段时间传播后，波包变形波包变形，导致信号失真。，导致信号失真。对于色散媒质中的对于色散媒质中的窄带窄带信号，上式应为信号，上式应为若相速若相速 与频率与频率 无关，无关，则，则 ，即，即无无色散时相速色散时相速等于等于群速。群速。若若 ，则，则 ，这种情况称为，这种情况

32、称为正常色散正常色散。若若 ，则，则 ，这种情况称为，这种情况称为非正常色散非正常色散。根据上述关系，求得根据上述关系，求得 矩矩形形波波导导中中的的相相速速 ，可可见见电电磁磁波波发发生生正正常常色色散散。而而且群速且群速 即即矩矩形形波波导导中中电电磁磁波波的的群群速速等等于于能能速速，这这也也是是正正常常色色散散媒媒质质的的共共性。性。根据上面结果，求得波导中的相速根据上面结果，求得波导中的相速 vp 与群速与群速 vg 满足下列方满足下列方程程 当电磁波在当电磁波在导电导电媒质中传播时，电磁波发生媒质中传播时，电磁波发生非非正常色散。正常色散。此时，群速不再等于能速，上述关系也不再成立

33、。此时，群速不再等于能速，上述关系也不再成立。6.圆波导圆波导 圆波导的圆波导的惟一惟一尺寸是内半径尺寸是内半径 a。选用。选用圆柱圆柱坐标系，令圆波导的轴线坐标系，令圆波导的轴线为为 z 轴，如左图示。轴，如左图示。与矩形波导类似，采用与矩形波导类似，采用纵向场法纵向场法，即先求出纵向分量即先求出纵向分量 Ez 或或 Hz，然后再导，然后再导出其余分量：出其余分量：Er,E,Hr,H。xyza,圆波导中电场和磁场可分别表示为圆波导中电场和磁场可分别表示为对应的纵向分量为对应的纵向分量为 对对于于TM波波，Hz=0，先先求求出出 Ez 分分量量，然然后后再再计计算算各各个个横横向向分分量量。在

34、无源区中，在无源区中，Ez 分量满足下列标量齐次亥姆霍兹方程分量满足下列标量齐次亥姆霍兹方程将其在圆柱坐标系中展开，再将将其在圆柱坐标系中展开，再将Ez 分量分量的表示式代入，得的表示式代入，得采用采用分离变量法分离变量法，令，令代入上式，得代入上式，得式中式中 及及 分别为分别为R 对对 r 的二阶和一阶导数，的二阶和一阶导数，为为 对对 的二阶导数。的二阶导数。类似以前步骤，首先求出函数满足的方程为类似以前步骤，首先求出函数满足的方程为此方程的通解为此方程的通解为 由于波导中的场分布随角度由于波导中的场分布随角度 的变化应以的变化应以2 为周期，因此上式中为周期，因此上式中m 一定为一定为

35、整数整数，即，即 圆圆波波导导具具有有轴轴对对称称性性，的的坐坐标标平平面面可可以以任任意意确确定定。那那么么，总总可可以以适适当当地地选选择择坐坐标标平平面面，使使上上式式中中的的第第一一项项或或第第二二项项消消失失，因因此此，的解可以表示为的解可以表示为那么求得那么求得令令 ，则上式变为标准的柱贝塞尔方程，即，则上式变为标准的柱贝塞尔方程，即此式的通解为此式的通解为式式中中 为为第第一一类类 m 阶阶柱柱贝贝塞塞尔尔函函数数，为为第第二二类类 m 阶阶柱柱贝贝塞塞尔尔函函数数。当当 时时，。但但是是波波导导中中的的场场总总是是有有限限的的，因因此此，常常数数 ，上式的解应为，上式的解应为将

36、上述结果代入，求得纵向分量将上述结果代入，求得纵向分量 Ez 的通解为的通解为各个横向分量分别为各个横向分量分别为式中式中 为柱贝塞尔函数为柱贝塞尔函数 的一阶导数。常数的一阶导数。常数 决定于边界条决定于边界条件。件。已知分量已知分量Ez 及及 与圆波导内壁平行，因此，当与圆波导内壁平行，因此，当 时，时，。根据这个边界条件，求得常数根据这个边界条件，求得常数 为为 为第一类为第一类 m 阶贝塞尔函数的第阶贝塞尔函数的第 n 个根。个根。值值14.8011.628.4175.136213.3210.177.0163.832111.798.6545.5202.40504321mn每一组每一组

37、m，n 值对应于一个值对应于一个 值，从而形成一种场分布或称为一种模式。值，从而形成一种场分布或称为一种模式。可见，电磁波在圆波导中也具有可见，电磁波在圆波导中也具有多模特性多模特性。对对于于TE波波，Ez=0。采采用用上上述述同同样样方方法法，先先求求出出 Hz 分分量量，然然后后再再 计算各个横向分量，其结果为计算各个横向分量，其结果为 再根据边界条件，求得常数再根据边界条件，求得常数 kc 为为式中式中 为第一类柱贝塞尔函数的一阶导数根，其数值如下表。为第一类柱贝塞尔函数的一阶导数根，其数值如下表。13.179.9656.7053.054211.718.5265.3321.841113.

38、3210.177.0163.83204321mn 值值 和和矩矩形形波波导导一一样样，当当 时时，传传播播常常数数 表表示示传传播播被被截截止止。那那么么，由由 ，求求得得圆圆波波导导中中TM波波的的截截止止频频率率和和截截止止波波长长 为为 TE波的截止频率和截止波长为波的截止频率和截止波长为 下图给出了圆波导中各种模式的截止波长分布图。下图给出了圆波导中各种模式的截止波长分布图。由图可见，由图可见，TE11波具有波具有最长的最长的截截止波长，其次是止波长，其次是TM01波。波。0a2aTE01TE21TM01TE113a4ac 截 止 区 根据前面结果，求得根据前面结果，求得TE11及及T

39、M01波的截止波长分分别为波的截止波长分分别为 由由此此可可见见，若若工工作作波波长长 满满足足 ，即即可可实实现现TE11波波的的单单模传输模传输。因此，因此，TE11波是圆波导中的波是圆波导中的常用模式常用模式或称为或称为主模主模。反反之之，若若工工作作波波长长 给给定定，为为了了实实现现TE11波波单单模模传传输输，圆圆波波导导半半径径 a 必须满足必须满足 根根据据截截止止频频率率和和截截止止波波长长，即即可可求求出出相相速速、群群速速、波波导导波波长长及及波波阻阻抗抗，其公式与矩形波导的相应公式，其公式与矩形波导的相应公式完全相同完全相同。下图给出了圆波导中下图给出了圆波导中TE11

40、，TE01及及TM01波的波的电场线电场线及磁场线分布。及磁场线分布。TE01 TM01电场线电场线磁场线磁场线TE11解解 已知为了保证工作于已知为了保证工作于TE11主模，其工作波长必须满足主模，其工作波长必须满足 例例 已知圆波导的半径已知圆波导的半径 a=5mm，内充，内充理想介质理想介质的相对介质常数的相对介质常数 r=9。若要求工作于若要求工作于TE11主模，试求最大允许的频率范围。主模，试求最大允许的频率范围。即即对应的频率范围为对应的频率范围为7.波导中的传输功率与传输损耗波导中的传输功率与传输损耗 根据波导中电场及磁场的根据波导中电场及磁场的横向横向分量，计算复能流密度矢量，

41、再将分量，计算复能流密度矢量，再将复复能流密度的能流密度的实部实部沿波导的沿波导的横横截面进行积分，即可求得波导中的截面进行积分，即可求得波导中的传输功率传输功率。以矩形波导为例。当其传输主模以矩形波导为例。当其传输主模TE10波时，求得的传输功率为波时，求得的传输功率为 若波导中介质的击穿场强为若波导中介质的击穿场强为 ，则矩形波导能够传输的最大功率为，则矩形波导能够传输的最大功率为实际中，为了安全起见，通常取传输功率实际中，为了安全起见，通常取传输功率 。波导中的损耗主要来自两个方面，其一是波导中的波导中的损耗主要来自两个方面，其一是波导中的填充介质填充介质引起的引起的损耗，其二是实际损耗

42、，其二是实际波导壁波导壁的有限电导率产生的损耗。的有限电导率产生的损耗。对于对于填充介质填充介质产生的损耗，仅以有耗介质的产生的损耗，仅以有耗介质的等效介电常数等效介电常数代替原来代替原来的介电常数即可，的介电常数即可，波导壁波导壁损耗的严格计算非常复杂，通常仍然利用损耗的严格计算非常复杂，通常仍然利用理想导电壁理想导电壁情况下情况下的场强公式计算波导壁的损耗。的场强公式计算波导壁的损耗。设衰减常数为设衰减常数为 ，则向正，则向正 z 方向传播的电场振幅可以表示方向传播的电场振幅可以表示因此，因此，传输功率传输功率可以表示为可以表示为将上式对将上式对 z 求导，得单位长度内的功率衰减为求导，得

43、单位长度内的功率衰减为显然，此功率衰减就是单位长度内的功率损耗，即显然，此功率衰减就是单位长度内的功率损耗，即即即zy111x因此，衰减常数因此，衰减常数 为为 为了计算波导壁损耗，在宽壁上取一小块导体，其长度及宽度均为为了计算波导壁损耗，在宽壁上取一小块导体，其长度及宽度均为单位长度单位长度，深度等于，深度等于集肤厚度集肤厚度，如下图示。，如下图示。当当电电流流为为z 方方向向时时，该该小小块块导导体体的的电阻为电阻为式中式中 为波导壁的电导率，为波导壁的电导率，RS 称为称为表面表面电阻率电阻率。铝铝铜铜银银RS金属金属左表给出了三种金属的表面电阻率。左表给出了三种金属的表面电阻率。已已知

44、知表表面面电电流流密密度度为为通通过过单单位位宽宽度度的的电电流流强强度度，因因此此单单位位宽宽度度且且单位单位长度长度波导壁内的损耗功率波导壁内的损耗功率 为为 式中表面电流式中表面电流 ，这里，这里 为波导壁表面的磁场强度。为波导壁表面的磁场强度。由左图可见，当矩形由左图可见，当矩形波导尺寸一定时，波导尺寸一定时，TE10 波波的的损耗最小损耗最小。当宽壁尺寸。当宽壁尺寸一定时，窄壁愈窄，衰减一定时，窄壁愈窄，衰减愈大。愈大。TM11 将将 沿单位长度波导内壁进行积分，即可求得单位长度内波导壁沿单位长度波导内壁进行积分，即可求得单位长度内波导壁引起的损耗功率引起的损耗功率 。由左图可见，在

45、高频端，由左图可见，在高频端，圆波导中圆波导中TE01波波损耗最小损耗最小。椭圆波导椭圆波导既可避免场型偏转，又可获既可避免场型偏转，又可获得较小的损耗。得较小的损耗。当横截面的面积相等时，矩形的周长当横截面的面积相等时，矩形的周长大于圆的周长，因此，大于圆的周长，因此，圆波导损耗较小圆波导损耗较小。但是圆波导传输但是圆波导传输TE11波时，其场分布波时，其场分布会发生横向会发生横向偏转偏转。但是但是 TE01 波的截止波长并不是最长。波的截止波长并不是最长。若要实现若要实现 TE01 波波单模单模传输，必须设法传输，必须设法抑制抑制TM01、TE21及及TE11波。波。例例 计算矩形波导中传

46、输计算矩形波导中传输TE10波时，波导壁产生的衰减。波时，波导壁产生的衰减。解解 已知当矩形波导传输已知当矩形波导传输 TE10 波时，波时，波导波导宽壁宽壁上的电流具有上的电流具有 x 分量及分量及 z 分量，而窄分量，而窄壁上只有壁上只有 y 分量。因此，单位长度内，宽分量。因此，单位长度内，宽壁上的损耗功率为壁上的损耗功率为式中式中 ，。单位长度内单位长度内窄壁窄壁上的损耗功率为上的损耗功率为式中式中 ，则单位长度内总损耗功率为，则单位长度内总损耗功率为 为了减少波导壁的损耗，应提高表面的为了减少波导壁的损耗，应提高表面的光洁度光洁度，可以镀，可以镀银银或或金金。还可在波导中充入干燥的还

47、可在波导中充入干燥的惰性惰性气体以防止表面氧化。气体以防止表面氧化。zyx再算出传输功率再算出传输功率P，然后考虑上述，然后考虑上述 ，即可求得，即可求得TE10波波衰减常数衰减常数为为8.谐振腔谐振腔 在米波以上的微波波段，在米波以上的微波波段，集中参数集中参数的的LC 谐振电路无法使用，经常谐振电路无法使用，经常使用相应波段的传输线形成谐振器件，这种谐振器件称为使用相应波段的传输线形成谐振器件，这种谐振器件称为谐振腔谐振腔。因为随着频率升高，必须减小电感量和电容量，但是当因为随着频率升高，必须减小电感量和电容量，但是当LC 很小时，很小时，分布参数分布参数的影响不可忽略。电容器的的影响不可

48、忽略。电容器的引线电感引线电感、线圈之间以及器件之间、线圈之间以及器件之间的的分布电容分布电容必须考虑。这就意味着，在米波以上波段，很难制造必须考虑。这就意味着，在米波以上波段，很难制造单纯单纯的的电容及电感元件。电容及电感元件。本节介绍由金属波导形成的谐振腔的原理及特性。本节介绍由金属波导形成的谐振腔的原理及特性。此外，随着频率升高，回路的此外，随着频率升高，回路的电磁辐射电磁辐射效应也较显著，电容器中的效应也较显著，电容器中的介质损耗介质损耗也随之增加，这些因素导致集中参数的谐振电路的品质因素也随之增加，这些因素导致集中参数的谐振电路的品质因素Q 值值显著下降。显著下降。当矩形波导终端当矩

49、形波导终端短路短路时，电磁波将被全部反射，在波导中形成时，电磁波将被全部反射，在波导中形成驻波驻波。若矩形波导工作于若矩形波导工作于主模主模，TE10波的电场仅有横向分量，波的电场仅有横向分量，短路端短路端形成形成电场驻电场驻波波的的波节波节。在离短路端半个。在离短路端半个波导波长波导波长处，又形成处，又形成第二个第二个电场驻波的波节。电场驻波的波节。若在此处放置一块横向短路片，仍然满足电场边界条件，如下图示。若在此处放置一块横向短路片，仍然满足电场边界条件，如下图示。dg/2baxyz 这这样样，电电磁磁波波在在短短路路端端及及短短路路片片之之间间来来回回反反射射形形成成驻驻波波。根根据据T

50、E10波波的的场场强强公公式式及及边边界界条条件件，求求得得该该金金属属腔中电磁场方程式为腔中电磁场方程式为利用三角公式，上式又可写为利用三角公式，上式又可写为 此式表明，金属腔中的电场及磁场在此式表明，金属腔中的电场及磁场在 x 及及 z 方向上均形成驻波，但电方向上均形成驻波，但电场驻波及磁场驻波的时间相位差为场驻波及磁场驻波的时间相位差为 。当电场能量达到最大值时，磁场能。当电场能量达到最大值时，磁场能量为零；反之，当磁场能量达到最大值时，电场能量为零。电磁能量在量为零；反之，当磁场能量达到最大值时，电场能量为零。电磁能量在电场与磁场之间不断地交换，而且无须外界输入能量一直存在，这种现电