《电磁场与电磁波》ppt教案-07时变电磁场.ppt
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1、第七章第七章 时变电磁场时变电磁场主主 要要 内内 容容 位移电流,麦克斯韦方程,边界条件,位函数,位移电流,麦克斯韦方程,边界条件,位函数,能流密度矢量,正弦电磁场,复能流密度矢量。能流密度矢量,正弦电磁场,复能流密度矢量。1.位移电流位移电流 位移电流位移电流不是电荷不是电荷的运动,而是一种的运动,而是一种人为定义人为定义的概念。的概念。对对于于静静态态场场,由由于于电电荷荷分分布布与与时时间间无无关关,因因此此获获得得电电流流连连续续性性原原理,即理,即电荷守恒原理表明电荷守恒原理表明 对于对于时变时变电磁场,因电荷随时间变化,不可能根据电荷守恒原理推电磁场,因电荷随时间变化,不可能根据
2、电荷守恒原理推出电流连续性原理。但是电流连续是出电流连续性原理。但是电流连续是客观存在客观存在的物理现象,为此必须扩的物理现象,为此必须扩充前述的电流概念。充前述的电流概念。静电场的高斯定律静电场的高斯定律 同样适用于时变电场。代入上述电同样适用于时变电场。代入上述电荷守恒定律,得荷守恒定律,得 相应的微分形式为相应的微分形式为 不是由电子运动形成的不是由电子运动形成的传导传导电流或电流或运流运流电流,而是人为定义的电流,而是人为定义的位移电流位移电流。真空真空电容器中通过的电容器中通过的时变时变电流是什么?电流是什么?显然,上式中显然,上式中 具有电流密度量纲。具有电流密度量纲。那么,求得那
3、么,求得 英围物理学家麦克斯韦将英围物理学家麦克斯韦将 称为称为位移电流密度位移电流密度,以,以 Jd 表示,即表示,即 引引入入位位移移电电流流以以后后,时时变变电电流流仍仍然然是是连连续续的的。由由于于此此时时包包括括了了传传导导电流,电流,运流运流电流及电流及位移位移电流,因此,上式称为电流,因此,上式称为全全电流连续性原理。电流连续性原理。由由定定义义可可见见,位位移移电电流流密密度度是是电电通通密密度度的的时时间间变变化化率率,或或者者说说是是电电场场的时间变化率。的时间变化率。在在静静电场中,由于电场中,由于 ,自然,自然不不存在位移电流。存在位移电流。在在时变时变电场中,电场变化
4、电场中,电场变化愈快愈快,产生的位移电流密度也,产生的位移电流密度也愈大愈大。在电导率较低的媒质中,在电导率较低的媒质中,在良导体中,在良导体中,在时变电场中,由于位移电流存在,麦克斯韦认为在时变电场中,由于位移电流存在,麦克斯韦认为位移电流位移电流也可产也可产生生磁场磁场,因此前述的安培环路定律变为,因此前述的安培环路定律变为 即即上两式称为上两式称为全电流定律全电流定律。它表明,时变磁场是由。它表明,时变磁场是由传导传导电流,电流,运流运流电流以电流以及及位移位移电流共同产生的。电流共同产生的。已知位移电流是由时变电场形成的,由此可见,已知位移电流是由时变电场形成的,由此可见,时变电场时变
5、电场可以产生可以产生时变磁场时变磁场。电磁感应定律表明,电磁感应定律表明,时变磁场时变磁场可以产生可以产生时变电场时变电场。因此,麦克斯韦。因此,麦克斯韦引入位移电流概念以后,预见引入位移电流概念以后,预见时变电场时变电场与与时变磁场时变磁场相互转化的特性可能相互转化的特性可能会在空间形成会在空间形成电磁波电磁波。2.麦克斯韦方程麦克斯韦方程 静态场中的静态场中的高斯定理高斯定理及及磁通连续性原理磁通连续性原理对于时变电磁场对于时变电磁场仍然成立。仍然成立。那么,对于时变电磁场,麦克斯韦归纳为那么,对于时变电磁场,麦克斯韦归纳为四四个方程,其积分形式和微个方程,其积分形式和微分形式分别如下:分
6、形式分别如下:积分形式积分形式微分形式微分形式全电流定律全电流定律电磁感应定律电磁感应定律磁通连续性原理磁通连续性原理高斯定律高斯定律 可见,时变可见,时变电场电场是是有旋有散的有旋有散的,时变,时变磁场磁场是是有旋无散的有旋无散的。但是,时。但是,时变电磁场中的电场与磁场是变电磁场中的电场与磁场是不可分割不可分割的,因此,时变电磁场的,因此,时变电磁场是有旋有散是有旋有散场场。积分形式积分形式微分形式微分形式 在电荷及电流均不存在的在电荷及电流均不存在的无源区无源区中,时变电磁场是有旋中,时变电磁场是有旋无无散的。散的。电场线与磁场线电场线与磁场线相互交链相互交链,自行闭合自行闭合,从而在空
7、间形成,从而在空间形成电磁波电磁波。时变时变电场电场的方向与时变的方向与时变磁场磁场的方向处处的方向处处相互垂直相互垂直。为为了了完完整整地地描描述述时时变变电电磁磁场场的的特特性性,麦麦克克斯斯韦韦方方程程还还应应包包括括电电荷荷守恒守恒方程以及说明方程以及说明场量场量与与媒质媒质特性关系的方程,即特性关系的方程,即 麦克斯韦方程组中各个方程麦克斯韦方程组中各个方程不是不是完全独立的。可以由第完全独立的。可以由第 1、2 方程方程导出第导出第 3、4 方程,或反之。方程,或反之。对于不随时间变化的静态场,则对于不随时间变化的静态场,则 那么,上述麦克斯韦方程变为前述的静电场方程和恒定磁场方程
8、,那么,上述麦克斯韦方程变为前述的静电场方程和恒定磁场方程,电电场场与与磁场磁场不再相关,不再相关,彼此独立彼此独立。式中式中 代表产生时变电磁场的代表产生时变电磁场的电流电流源或非电的源或非电的外外源。源。在在简简单单的的形形式式下下隐隐藏藏着着深深奥奥的的内内容容,这这些些内内容容只只有有仔仔细细的的研研究究才才能能显显示示出出来来,方方程程是是表表示示场场的的结结构构的的定定律律。它它不不像像牛牛顿顿定定律律那那样样,把把此此处处发发生生的的事事件件与与彼彼处处的的条条件件联联系系起起来来,而而是是把把此此处处的的现在现在的场只与最的场只与最邻近邻近的刚的刚过去过去的场发生联系。的场发生
9、联系。爱爱因因斯斯坦坦(1879-19551879-1955)在在他他所所著著的的“物物理理学学演演变变”一一书书中中关关于于麦麦克克斯斯韦韦方方程程的的一一段段评评述述:“这这个个方方程程的的提提出出是是牛牛顿顿时时代代以以来来物物理理学学上上的的一一个个重重要要事事件件,它它是是关关于于场场的的定定量量数数学学描描述述,方方程程所所包包含含的的意意义义比比我们指出的要丰富得多。我们指出的要丰富得多。假假使使我我们们已已知知此此处处的的现现在在所所发发生生的的事事件件,藉藉助助这这些些方方程程便便可可预预测测在在空空间间稍稍为为远远一一些些,在在时间时间上稍为迟一些所发生的事件上稍为迟一些所
10、发生的事件”。麦克斯韦方程除了对于麦克斯韦方程除了对于科学技术科学技术的发展具有的发展具有重大重大意义外,对于意义外,对于人类历史人类历史的进程也起了的进程也起了重要重要作用。作用。正如美国著名的物理学家弗曼在他所著的正如美国著名的物理学家弗曼在他所著的“弗曼物理学讲义弗曼物理学讲义 ”中写道中写道“从人类历史的漫长远景来看从人类历史的漫长远景来看即使过即使过一万年一万年之后回头来之后回头来看看毫无疑问,在十九世纪中发生的毫无疑问,在十九世纪中发生的最有意义最有意义的事件将判定是麦克的事件将判定是麦克斯韦对于电磁定律的发现,斯韦对于电磁定律的发现,与这一重大科学事件相比之下,与这一重大科学事件
11、相比之下,同同一个十年中发生的一个十年中发生的美国内战美国内战 (1861-18651861-1865)将会降低为一个)将会降低为一个地区性地区性琐事而黯然失色琐事而黯然失色”。处处于于信信息息时时代代的的今今天天,从从婴婴儿儿监监控控器器到到各各种种遥遥控控设设备备、从从雷雷达达到到微微波波炉炉、从从地地面面广广播播电电视视到到太太空空卫卫星星广广播播电电视视、从从地地面面移移动动通通信信到到宇宇宙宙星星际际通通信信、从从室室外外无无线线局局域域网网到到室室内内蓝蓝牙牙技技术术、以以及及全全球球卫卫星星定定位位导航系统导航系统等,无不利用等,无不利用电磁波电磁波作为作为传播媒体传播媒体。无无
12、线线信信息息高高速速公公路路更更使使人人们们能能在在任任何何地地点点、任任何何时时间间同同任任何何人人取取得得联联系系,发发送送所所需需的的文文本本、声声音音或或图图象象信信息息。电电磁磁波波的的传传播播还还能能制制造造一种身在远方的感觉,形成无线一种身在远方的感觉,形成无线虚拟现实虚拟现实。电电磁磁波波获获得得如如此此广广泛泛的的应应用用,更更使使我我们们深深刻刻地地体体会会到到19世世纪纪的的麦麦克斯韦和赫兹对于人类克斯韦和赫兹对于人类文明文明和和进步进步的伟大贡献。的伟大贡献。3.时变时变电磁场的边界条件电磁场的边界条件 适合适合静态静态场的各种边界条件场的各种边界条件原则上原则上可以直
13、接推广到可以直接推广到时变时变电磁场。电磁场。第一,第一,在在任何任何边界上边界上电场强度电场强度的的切向切向分量是连续的分量是连续的,即,即 因为只要因为只要磁感应强度磁感应强度的的时间变化率时间变化率是是有限有限的,那么由电磁感应定的,那么由电磁感应定律的积分形式律的积分形式或写成矢量形式或写成矢量形式 即可获得上面结果。即可获得上面结果。对于对于各向同性各向同性的的线性线性媒质,上式又可写为媒质,上式又可写为 en 第二第二,在在任何任何边界上,边界上,磁感应强度磁感应强度的的法向法向分量是连续的。分量是连续的。由磁通连续性原理,即可证明由磁通连续性原理,即可证明 或写成矢量形式或写成矢
14、量形式 第三,电通密度第三,电通密度的的法向法向分量边界条件与分量边界条件与媒质媒质特性有关。特性有关。在在一般一般情况下,由高斯定律求得情况下,由高斯定律求得 或写成矢量形式或写成矢量形式 式中式中 s 为边界表面上为边界表面上自由自由电荷的面密度。电荷的面密度。对于对于各向同性各向同性的的线性线性媒质,上式又可表示为媒质,上式又可表示为 对对于于两两种种理理想想介介质质形形成成的的边边界界,由由于于不不可可能能存存在在表表面面自自由由电电荷荷,因此因此可见,可见,两种两种理想理想介质形成的边界上介质形成的边界上,电通密度的法向分量是电通密度的法向分量是连续连续的的。第四,第四,磁场强度磁场
15、强度的的切向分量边界条件也与媒质切向分量边界条件也与媒质特性有关特性有关。在一般情况下,由于边界上不可能存在在一般情况下,由于边界上不可能存在表面电流表面电流,根据全电流定,根据全电流定律,只要电通密度的时间变化率是有限的,可得律,只要电通密度的时间变化率是有限的,可得或写成矢量形式或写成矢量形式 在在理想导电理想导电体表面上可以形成表面电流,此时磁场强度的切向分量体表面上可以形成表面电流,此时磁场强度的切向分量是不连续的。是不连续的。对于对于各向同性各向同性的的线性线性介质,上式又可写为介质,上式又可写为 在在理理想想导导电电体体内内部部不不可可能能存存在在时时变变电电磁磁场场及及时时变变的
16、的传传导导电电流流,它它们只可能分布在理想导电体的们只可能分布在理想导电体的表面表面。已知在已知在任何任何边界上,边界上,电场电场强度的强度的切向切向分量及分量及磁感应磁感应强度的强度的法向法向分分量是连续的,因此理想导体表面上不可能存在量是连续的,因此理想导体表面上不可能存在电场切向电场切向分量及分量及磁场法磁场法向向分量,即分量,即时变电场时变电场必须必须垂直垂直于理想导电体的表面,而时变于理想导电体的表面,而时变磁场磁场必须必须与其表面与其表面相切相切。E(t),B(t),J(t)=0E 0J=E H 0 E 0J 0 H 0因因 ,由前式得,由前式得 或或 由于理想导电体表面存在由于理
17、想导电体表面存在表面电流表面电流 Js,设表面电流密度的方向与,设表面电流密度的方向与积分回路构成积分回路构成右旋右旋关系,因关系,因 ,求得,求得 或或 E H,enet H1t H2t JS例例 已知内截面为已知内截面为a b 的的矩形矩形金属波导中的时变电磁场的各分量为金属波导中的时变电磁场的各分量为 其坐标如图示。试求其坐标如图示。试求波导中的波导中的位移电流位移电流分分布和波导布和波导内壁内壁上的上的电电荷荷及及电流电流分布。波导分布。波导内部为真空内部为真空。azyxbxzyxyzgba磁场线磁场线电场线电场线解解 由前式求得位移电流为由前式求得位移电流为 在在 y=0 的内壁上的
18、内壁上 在在 y=b 的内壁上的内壁上 在在 x=0 的侧壁上,的侧壁上,在在 x=a 的侧壁上,的侧壁上,在在 x=0 及及 x=a 的侧壁上,因的侧壁上,因 ,所以,所以 。zyx内壁电流内壁电流4.标量位与矢量位标量位与矢量位 设媒质是设媒质是线性均匀线性均匀且且各向同性各向同性的,那么由的,那么由 Maxwell 方程可得方程可得利用矢量恒等式利用矢量恒等式 ,同时考到,同时考到 及及 ,那么上述两式变为,那么上述两式变为 由此可见,时变电磁场的场强与场源的关系比较复杂。为了简化求解过由此可见,时变电磁场的场强与场源的关系比较复杂。为了简化求解过程,引入程,引入标量位标量位与与矢量位矢
19、量位作为作为求解求解时变电磁场的两个时变电磁场的两个辅助函数辅助函数将是行之将是行之有效的。有效的。式中式中 A 称为称为矢量位矢量位。将上式代入式。将上式代入式 中,得中,得 已知已知 ,因此,因此 B 可以表示为矢量场可以表示为矢量场 A 的旋度,即可令的旋度,即可令 上式又可改写为上式又可改写为 由由此此可可见见,矢矢量量场场 为为无无旋旋场场。因因此此它它可可以以用用一一个个标标量量场场 的的梯度梯度来表示,即可令来表示,即可令式中式中 称为称为标量位标量位。由此得。由此得 注意,这里的矢量位注意,这里的矢量位 A 及标量位及标量位 均是均是时间时间及及空间空间函数。函数。当它们与当它
20、们与时间无关时间无关时,矢量位时,矢量位 A 及标量位及标量位 与场量的关系和与场量的关系和静静态场态场完全相同。因此矢量位完全相同。因此矢量位 A 又称为又称为矢量磁位矢量磁位,标量位,标量位 又称为又称为标标量电位量电位。为了导出为了导出位函数位函数与与源源的关系,根据位函数定义式及的关系,根据位函数定义式及麦克斯韦方程麦克斯韦方程,求得求得 利用矢量恒等式利用矢量恒等式 ,上两式又可写为上两式又可写为 已经规定了矢量场已经规定了矢量场 A 的的旋度旋度,必须再规定其,必须再规定其散度散度。则前两式可以简化为则前两式可以简化为 罗伦兹条件罗伦兹条件由上可见,按照罗伦兹条件规定由上可见,按照
21、罗伦兹条件规定 A 的散度后,原来两个相互的散度后,原来两个相互关联关联的方的方程变为两个程变为两个独立独立方程。方程。矢量位矢量位 A 仅与电流仅与电流 J 有关,标量位有关,标量位 仅与电仅与电荷荷 有关。有关。原则上,其散度值可以原则上,其散度值可以任意任意给定,但是为了给定,但是为了简化简化计算,由上式可知,计算,由上式可知,若令若令 由上可见,已知电流及电荷分布,即可求出矢量位由上可见,已知电流及电荷分布,即可求出矢量位 A和标量位和标量位 。求出求出 A 及及 以后,即可求出电场与磁场。以后,即可求出电场与磁场。原原来来电电磁磁场场方方程程为为两两个个结结构构复复杂杂的的矢矢量量方
22、方程程,在在三三维维空空间间中中需需要要求解求解 6 个坐标分量个坐标分量位函数方程为一个矢量方程和一个标量方程位函数方程为一个矢量方程和一个标量方程 这样,这样,麦克斯韦方程麦克斯韦方程的求解归结为的求解归结为位函数方程位函数方程的求解,而且求解过的求解,而且求解过程显然得到了程显然得到了简化简化。在在三三维维空空间间中中仅仅需需求求解解 4 个个坐坐标标分分量量。在在直直角角坐坐标标系系中中,实实际际上上等等于于求解求解 1 个标量方程。个标量方程。根据静态场的结果,采用类比的方法,推出其解。根据静态场的结果,采用类比的方法,推出其解。5.位函数方程的求解位函数方程的求解 当当时时变变点点
23、电电荷荷位位于于坐坐标标原原点点时时,其其场场分分布布一一定定具具有有球球对对称称特特点点,即即场场量量仅仅为为变变量量 r 的的函函数数,与与球球坐坐标标变变量量 及及 无无关关。那那么么,在在除除坐坐标标原原点以外整个点以外整个无源无源(=0)空间,位函数满足的方程式为空间,位函数满足的方程式为 首先求解位于坐标原点的时变首先求解位于坐标原点的时变点电荷点电荷产生的矢量位,然后利用产生的矢量位,然后利用叠加叠加原理原理导出任意分布的时变导出任意分布的时变体电荷体电荷的解。的解。式中式中上式为函数(上式为函数(r)的齐次)的齐次波动波动方程,其通解为方程,其通解为 由由后后面面分分析析可可以
24、以获获知知,式式中中第第二二项项不不符符合合实实际际的的物物理理条条件件,应应该该舍舍去。因此,求得位于原点的时变点电荷产生的标量电位为去。因此,求得位于原点的时变点电荷产生的标量电位为已知位于原点的静止点电荷已知位于原点的静止点电荷 产生的电位为产生的电位为 将此式同上式比较,可见函数将此式同上式比较,可见函数 f1 为为因此,求得位于原点的时变点电荷产生的标量位为因此,求得位于原点的时变点电荷产生的标量位为式中式中r 为体元为体元 dV 至场点的距离。至场点的距离。对对于于位位于于V 中中的的任任意意体体分分布布电荷,如图示。电荷,如图示。rrzyx(r,t)V dVr-r0 在在 r 处
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