《结构力学》第七章力法.ppt

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1、172 超静定次数的确定73 力法的基本概念74 力法的典型方程76 对称性的利用75 力法的计算步骤和示例77 超静定结构的位移计算79 温度变化时超静定结构的计算710 支座移动时超静定结构的计算713 超静定结构的特性78 最后内力图的校核71 概述第七章第七章 力力 法法271 概 述 1.静定结构与超静定结构 静定结构：超静定结构：ABCPP 全部反力和内力只用平衡条件便可确 定的结构。仅用平衡条件不能确定全部反力和内力的结构。ABPHAVARBVAHARBRC外力超静定问题内力超静定问题返返返返 回回回回3PABCP 2.超静定结构在几何组成上的特征多余联系与多余未知力的选择。是几

2、何不变且具有“多余”联系（外部或内部）。多余联系：这些联系仅就保持结构的几何不变 性来说，是不必要的。多余未知力：多余联系中产生的力称为多余未 知力（也称赘余力）。此超静定结构有一个多余联此超静定结构有一个多余联系，既有一个多余未知力。系，既有一个多余未知力。此超静定结构有二个多余联此超静定结构有二个多余联系，既有二个多余未知力。系，既有二个多余未知力。返返返返 回回回回43.超静定结构的类型（1）超静定梁;（2）超静定桁架；（3）超静定拱；4.超静定结构的解法 求解超静定结构，必须 综合考虑三个方面的条件:（1）平衡条件；（2）几何条件；（3）物理条件。具体求解时，有两种基本(经典)方法力法

3、和位移法。（4）超静定刚架；（5）超静定组合结构。返返返返 回回回回572 超静定次数的确定 1.超静定次数：2.确定超静定次数的方法:解除多余联系的方式通 常有以下几种：（1）去掉或切断一根链杆，相当于去掉一个联系。（2）拆开一个单铰，相当于去掉两个联系。用力法解超静定结构时，首先必须确定多余联系 或多余未知力的数目。多余联系或多余未知力的个数。采用解除多余联系的 方法。返返返返 回回回回6 3.在刚结处作一切口，或去掉一个固定端，相当于去掉三个联系。4.将刚结改为单铰联结，相当于去掉一个联系。应用上述解除多余联系(约束)的方法，不难确定任何 超静定结构的超静定次数。X X2 2X X2 2

4、返返返返 回回回回73.例题:确定图示结构的超静定次数（n）。n=6n=37=21 对于具有较多框格的结构，可按 框格的数目确定，因为一个封闭框格，其 超 静定次数等于三。当结构的框格数目为 f,则 n=3f。返返返返 回回回回873 力法的基本概念 首先以一个简单的例子，说明力法的思路和基本概 念。讨论如何在计算静定结构的基础上，进一步寻求计 算超静定结构的方法。ABEIL 1判断超静定次数：n=1qqAB原结构原结构 2.确定(选择)基本结构。3写出变形(位移)条件:(a)(a)(b)(b)q基本结构基本结构根据叠加原理，式（a）可写成返返返返 回回回回9L将代入(b)得4.建立力法基本方

5、程(71)5.计算系数和常数项6.将11、11代入力法方程式(7-1)，可求得ABEILq(b)(b)此方程便为一次超静定结构的力法方程。=EI12L232L11=11x1=EI12qL243L_(31L)多余未知力x1求出后，其余反力、内力的计算都是静定问题。利用已绘出的M1图和MP图按叠加法绘M图。q返返返返 回回回回10结结 论论 象上述这样解除超静定结构的多余联系而得到静定的基本结构，以多余未知力作为基本未知量，根据基本结构应与原结构变形相同而建立的位移条件，首先求出多余未知力，然后再由平衡条件计算其余反力、内力的方法，称为力法力法。力法整个计算过程自始至终都是在基本结构上进行的，这就

6、把超静定结构的计算问题，转化为已经熟悉的静定结构的内力和位移的计算问题。返返返返 回回回回1174 力法的典型方程 1.三次超静定问题的力法方程 用力法计算超静定结构的关键，是根据位移条件建立力法方程以求解多余未知力，下面首先以三次超静定结构为例进行推导。ABP P首先选取基本结构（见图b）X X1 1X X2 2ABP PX X3 3基本结构的位移条件为：1=02=03=0设当 和荷载 P 分别作用在结构上时，A点的位移沿X1方向：沿X2方向：沿X3方向：据叠加原理，上述位移条件可写成原结构基本结构1=（72）（a）（b）1121、22、23和2P；31、32、33和3P。2=21X1+22

7、X2+23X3+2P=03=31X1+32X2+33X3+3P=011X1+12X2+13X3+1P=0、12、13和1P；返返返返 回回回回122.n次超静定问题的力法典型(正则)方程 对于n次超静定结构,有n个多余未知力，相应也有 n个位移条件，可写出n个方程 11X1+12X2+1iXi+1nXn+1P=0 （73）这便是n次超静定结构的力法典型(正则)方程。式中Xi为多余未知力，i i为主系数，i j(ij)为副系数,iP 为常数项（又称自由项）。11X1+12X2+13X3+1P=0（72）21X1+22X2+23X3+2P=031X1+32X2+33X3+3P=0i 1X1+i 2

8、X2+i iXi+i nXn+iP=0 n1X1+n2X2+niXi+nnXn+nP=0 返返返返 回回回回133.力法方程及系数的物理意义 （1）力法方程的物理意义为：（2）系数及其物理意义：下标相同的系数 i i 称为主系数(主位移)，它是单位多余未知力 单独作用时所引起的沿其自身方向上的位移，其值恒为正。系数 i j(ij)称为副系数(副位移)，它是单位多余未知力 单独作用时所引起的沿 Xi方向上的位移，其值可能为正、为负或为零。据位移互等定理，有i j=j i i P称为常数项(自由项)它是荷载单独作用时所引起的沿Xi方向的位移。其值可能为正、为负或为零。上述方程的组成具有规律性，故称

9、为力法典型方程。基本结构在全部多余未知力和荷载共同作用下，基本结构沿多余未知力方向上的位移，应与原结构相应的位移相等。返返返返 回回回回144.力法典型(正则)方程系数和自由项的计算 典型方程中的各项系数和自由项，均是基本结构在已知力作用下的位移，可以用第七章的方法计算。对于平面结构，这些位移的计算公式为 对不同结构选取不同项计算。系数和自由项求得后，代入典型方程即可解出各多余未知力。返返返返 回回回回1575 力法的计算步骤和示例1.示例PABCI1I2=2I1an=2(二次超静定)原选择基本结构如图示PACB基X1X2力法典型方程为：11X1 计算系数和常数项，为此作aaa计算结果如下(a

10、)a21X1+22X2+2P=0+12X2+1P=02EI112a232a=6EI1a32EI112a2a=4EI1a3返返返返 回回回回16aaaP将以上各系数代入方程(a)并消去(a3/EI1)得解联立方程得多余未知力求得后其余反力、内力的计算便是静定问题。例如最后内力图的绘制用叠加法15/88PaM图13/88PaPABC3/88PaaMAC=a.114P+a(883P)2Pa返返返返 回回回回172.力法的计算步骤 （1）确定原结构的超静定次数。（2）选择静定的基本结构(去掉多余联系，以多余未知力代替)。（3）写出力法典型方程。（4）作基本结构的各单位内力图和荷载内力图，据此计算典型方

11、程中的系数和自由项。（5）解算典型方程，求出各多余未知力。（6）按叠加法作内力图。返返返返 回回回回18例 71 用力法分析两端固定的梁，绘弯矩图。EI=常数。ABLabP解：n=3选取简支梁为基本结构PX1X2X3基本结构典型方程为11X1+12X2+13X3+1P=021X1+22X2+23X3+2P=031X1+32X2+33X3+3P=011MP图P3=0,故13=31=23=32=3P=0则典型方程第三式为33X3=0330(因X3的解唯一)故作基本结构各和MP图由于X3=0M图11X1+12X2+1P=021X1+22X2+2P=0由图乘法求得代入典型方程(消去公因子)得解得代入典

12、型方程解得作弯矩图。按式返返返返 回回回回19 例 72 用力法计算图示桁架内力，设各杆EA相同。解：n=1(一次超静定)。01234PP2a2aa选择基本结构如图示。01234PPX1基本结构写出力法典型方程11X1+1P=0按下列公式计算系数和自由项为此，求出基本结构的和NP值 01234 X1=1-1/2对称01234PPNP+P/2对称0列表计算(见书137页)后得EA11=(3+)aEA1P=Pa返返返返 回回回回2001234 X1=1-1/2对称01234PPNP+P/2对称001234PPN对称代入典型方程，解得各杆内力按式叠加求得。0.586P0.828P+0.414P+0.

13、172P例如N03=0.7070.172P -0.707 =0.586P=0.172P返返返返 回回回回2176 对称性的利用 用力法分析超静定结构，结构的超静定次数愈高，计算工作量就愈大，主要工作量是组成(计算系数、常数项)和解算典型方程。利用结构的对称性可使计算得到简化。简化的原则是使尽可能多的副系数、自由项等于零。结构的对称性：例如：EI1EI1EI2aa对称对称EI1EI1对称对称 指结构的几何形状、约束、刚度和荷载具有对称性(正对称或反对称)。正对称简称对称。返返返返 回回回回221.选取对称的基本结构EI1EI1EI2对称轴 基本结构X1X2X3 多余未知力X1、X2是 正对称，X

14、3是反对称的。基本结构的各单位弯矩图(见图)。、是正对称，是反对称。则13=31=23=32=0于是，力法典型方程简化为11X1+12X2+1P=021X1+22X2+2P=0 33X3+3P=0下面就对称结构作进一步讨论。返返返返 回回回回23（1）对称结构作用对称荷载aaPPPPMP图图MP图是正对称的，故3P=0。11X1+12X2+1P=021X1+22X2+2P=0 33X3+3P=0则 X3=0。这表明：对称的超静定结构，在对称的荷载作用下，只有对称的多余未知力，反对称的多余未知力必为零。aaPPPPMP图图（2）对称结构作用反对称荷载MP图是反对称的，故1P=2P=0则得 X1=

15、X2=0 这表明：对称的超静定结构，在反对称的荷载作用下，只有反对称的多余未知力，对称的多余未知力必为零。返返返返 回回回回24例 74 分析图示刚架。10kN10kN6m6m6m解：这是一个对称结构，为四次超静定。选取对称的基本结构 如图示，X1只有反对称多余未知力X1基为计算系数和自由项分别作和MP图(见图)。EI=常数33图(m)10kN MP图(kNm)6060120由图乘法可得EI11=(1/2332)4 +（363）2 =144 EI1P=(3630+1/23 380)2=1800代入力法方程 11X1+1P=0X1=弯矩图由作出。解得返返返返 回回回回25这样，求解两个多余未知力

16、的问题就转变为求解新的两对多余未知力的问题。当选基本结构为时，2.未知力分组及荷载分组（1）未知力分组AB PX1X2 P为使副系数等于零，可采取未知力分组的方法。PY1Y1Y2Y2有X1=Y1+Y2，X2=Y1Y2作、M2图。图M2图正对称反对称故12=21=0典型方程化简为11Y1+1P=022Y2+2P=0 返返返返 回回回回26（2）荷载分组 当对称结构承受一般非对称荷载时，可以将荷载分解为正、反对称的两组，分别求解然后叠加。若取对称的基本结构计算，在正对称荷载作用下将只有对称的多余未知力。若取对称的基本结构计算，在反对称荷载作用下将只有反对称的多余未知力。PP2P2P2P2X1X1X

17、2X22P2P2P2P返返返返 回回回回273.取一半结构计算 当结构承受正对称或反对称荷载时，也可以只截取结构的一半进行计算，又称为半刚架法。下面分别就奇数跨和偶数跨两种对称刚架进行讨论。（1）奇数跨对称刚架pp对称p二次超静定对称荷载反对称荷载pp反对称p。一次超静定返返返返 回回回回28（2）偶数跨对称刚架对称荷载pp对称p三次超静定反对称荷载ppIpI/2三次超静定ppI/2 I/2ppI/2 I/2CQCQC返返返返 回回回回2977 超静定结构的位移计算 上一章所述位移计算的原理和公式，对超静定结构也是适用的，下面以75的例题予以说明。求CB杆中点K的竖向位移KYKP=1PABCI

18、1I2=2I1a原 虚拟状态如图为了作8/44a3/44a 需解算一个二次超静定问题，较为麻烦。K图中所示的M图就是实际状态。基本结构的内力和位移与原结构完全相同，则可以在基本结构上作。KP=1a/4图乘得6/44a()返返返返 回回回回30结 论综上所述，计算超静定结构位移的步骤是：（1）解算超静定结构，求出最后内力，此为实际状态。（2）任选一种基本结构，加上单位力求出虚拟状态的内力。（3）按位移计算公式或图乘法计算所求位移。返返返返 回回回回3178 最后内力图的校核 用力法计算超静定结构，因步骤多易出错，应注意检查。尤其是最后的内力图，是结构设计的依据，应加以校核。校核应从两个方面进行。

19、1.平衡条件校核 取结构的整体或任何部分为隔离体，其受力应满足平衡条件。（1）弯矩图：通常检查刚结点处是否满足M=0的平衡条件。例如取结点E为隔离体EMMEDEDMMEBEBMMEFEF应有 ME=MED+MEB+MEF=0MM图图返返返返 回回回回32（2）剪力图和轴力图 可取结点、杆件或结构的某一部分为隔离体，检查是否满足 X=0和 Y=0的平衡条件。2.位移条件校核 检查各多余联系处的位移是否与已知的实际位移相符。对于刚架，可取基本结构的单位弯矩图与原结构的最后弯矩图相乘，看所得位移是否与原结构的已知位移相符。例如P PA AB BC CI I1 1I I2 2=2I=2I1 1a a原

20、检查A支座的水平位移 1是否为零。将M图与相乘得=0返返返返 回回回回3379 温度变化时超静定结构的计算 对于超静定结构，温度变化时不但产生变形和位移，同时产生内力。用力法分析 超静定 结构在温度变化时产生的内力，其原理与荷载作用下的计算相同。例如图示刚架温度发生变化，选取基本结构（见图），t t1 1t t1 1t t2 2t t3 3t t1 1t t1 1t t2 2t t3 3X X1 1X X2 2X X3 3典型方程为11X1+12X2+13X3+1t=021X1+22X2+23X3+2t=031X1+32X2+33X3+3t=0其中系数的计算同前，自由项1t、2t、3t分别为基

21、本结构由于温度变化引起的沿X1、X2X3方向的位移。即返返返返 回回回回34 例76 刚架外侧温度升高25，内侧温度升高35，绘弯矩图并求横梁中点的竖向位移。刚架EI=常数，截面对称于形心轴，其高度h=L/10,材料的膨胀系数为。LL+2525+35+35解：n=1选取基本结构X X1 1基+2525+35+35典型方程为:11X1+1t=0计算并绘制图1 1图L LL L0 00 0-1-1求得系数和自由项为=故得=230230 L L返返返返 回回回回35按M图作弯矩图 求横梁中点K的位移K，作基本结构虚拟状态的 图 并求出，然后计算位移K K1 10 0图L/4L/4138138 EI/

22、LEI/L1/21/21/21/2返返返返 回回回回36710 支座位移时超静定结构的计算 超静定结构当支座移动时，位移的同时将产生内力。对于静定结构，支座移动时将使其产生位移，但并不产生内力。例如A AB BC CA AB BC C返返返返 回回回回37 用力法分析超静定结构在支座移动时的内力，其原理同前，唯一的区别仅在于典型方程中的自由项不同。例如图示刚架，A AB BhLab可建立典型方程如下：11X1+12X2+13X3+1=021X1+22X2+23X3+2=31X1+32X2+33X3+3=aA AB BX X1 1X X2 2X X3 3基 式中系数的计算同前，自由项按式(615

23、)计算。最后内力按下式计算 在求位移时，应加上支座移动的影响：返返返返 回回回回38 例：77 两端固定的等截面梁A端发生了转角，分析其内力。ABL解：n=3选取基本结构如图，X1X2X3基本结构 因X3=0,则典型方程为11X1+12X2+1=21X1+22X2+2=0绘出图，11图乘得，由题意知：1t=2t=0,将上述结果代入方程后解得按式作弯矩图。ABM图返返返返 回回回回39711 用弹性中心法计算无铰拱 拱是一种曲轴的推力结构，除三铰拱外均是超静定的，超静定拱有无铰拱和两铰拱两种形式。一般说无铰拱弯矩分布比较均匀，且构造简单，工程中应用较多，例如钢筋混凝土拱桥和石拱桥，无铰拱两铰拱拱

24、桥拱圈隧道的混凝土拱圈等。返返返返 回回回回40 因为超静定结构的内力与变形有关，所以计 算超静定拱之前，须事先确定拱轴线方程和截面 变化规律。在初步计算时，常采用相应三铰拱的合理拱 轴线作为超静定拱的轴线，然后根据计算结果加 以修正，以尽量减小弯矩。拱截面的变化规律，在拱桥设计中可采用下列经验公式（78）xyIcIxL1=L/2L1IK、K返返返返 回回回回41由式（78）有可见n愈小，Ic与IK之比愈小，拱厚变化愈剧烈。n的范围一般为0.251。当取 n=1时，为简化计算常近似取当拱高 fL/8时，因角较小，可近似取A=AC=常数返返返返 回回回回42 无铰拱是三次超静定结构。对称无铰拱在

25、计算时为简化计算取对称的基本结构。PPx1x2 x3故副系数13=31=023=32=0但仍有12=210 如果能设法使12=21=0，则典型方程中的全部副系数都为零，计算就更加简化。这可以用下述引用“刚臂”的办法来达到目的。返返返返 回回回回43EI=P x1x2 x3原结构 可以设想，对称无铰拱沿拱顶截面切开后，在切口两边沿竖向引出两个刚度无穷大的伸臂刚臂，然后在两刚臂下端将其刚结。选取基本结构，它是两个带刚臂的悬臂梁，利用对称性，并适当选取刚臂的长度，便可以使典型方程中全部副系数都等于零。选取坐标，写出各单位多余未知力作用下基本结构的内力表达式。x（79）yP返返返返 回回回回44 x1

26、x2x3xy（79）式中：弯矩内侧受拉为正，剪力以绕隔离体顺时针方向为正，轴力以压力为正。为拱轴的弦切角，右半拱取正，左半拱取负。由于多余未知力X1和X2是对称的，X3是反对称的，故有13=31=023=32=0返返返返 回回回回4512=21 x1x2x3xyysy1yK令 12=21=0，可得（710）设想沿拱轴作宽度等于1/EI的图形，则ds/EI 就代表此图形的微面积，式（710）就是计算这个图形面积的形心坐标的公式。xyyso1/EIy1ds 由于此图形的面积与结构的弹性性质EI有关,故称它为弹性面积图，它的形心则称为弹性中心弹性中心。返返返返 回回回回46 由此可知，把刚臂端点引到

27、弹性中心上，且将X1、X3置于 x、y 轴方向上，就可以使全部副系数都等于零。这一方法称为弹性中心法弹性中心法。此时典型方程简化为：11X1+1P=022X2+2P=033X3+3P=0计算系数和自由项时，仍可采用直杆的位移计算公式：返返返返 回回回回47712 两铰拱及系杆拱 两铰拱是一次超静定结构，PLf当其发生竖向位移时并不引起内力，故在地基可能发生较大的不均匀沉陷时易采用。两铰拱的弯矩在两拱趾处为零而逐渐向拱顶增大，所以其截面一般也相应设计为由拱趾向拱顶逐渐增大的形式。通常采用的变化规律为：（715）ABC为计算方便，当 fL/4时，可采用当跨度不大时，也常做成等截面。I=Iccos返

28、返返返 回回回回48PLfABCP 计算两铰拱时，通常采用简支曲梁为基本结构，以支座的水平推力X1为多余未知力。X1典型方程为11X1+1P=0 计算系数和自由项时，一般略去剪力的影响，而轴力影 响仅当fL/5 时才在11中予以考虑。因此有xyxy且（716）返返返返 回回回回49 有时为了避免支座承受推力，可采用带拉杆的两铰拱，也称系铰拱。拱的水平推力由系杆承受。计算时以系杆的内力X1为多余未知力。X1xy典型方程为：11X1+1P=0计算11时，要考虑系杆轴向变形的影响，即EI、AE1、A1将 代入得返返返返 回回回回50713 超静定结构的特性超静定结构与静定结构对比，具有以下一些重要特性：1.由于存在多余联系，当结构受到荷载外其他因素影响，如温度变化、支座移动时结构将产生内力。2.超静定结构的内力仅由平衡条件不能全部确定，必须考虑变形条件，因此内力与杆件的刚度有关。3.超静定结构的多余联系被破坏后，仍能维持几何不变，故有较强的防御能力。4.超静定结构由于存在多余联系，一般地说要比相应的静定结构刚度大些，内力分布也均匀些。返返返返 回回回回51