《概率统计教学资料》第3章随机变量的数字特征2-4节.ppt

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1、2023/2/121 它反映随机变量取值的平均水平，是随机变量的它反映随机变量取值的平均水平，是随机变量的一个重要的数字特征一个重要的数字特征.复复习:数学期望数学期望2023/2/122基本内容：基本内容：一、方差的定义一、方差的定义 二、方差的性质二、方差的性质第二第二节 方差方差2023/2/123一、方差一、方差(Variance)1.问题的导入问题的导入X 8 9 10P 0.1 0.8 0.1 Y 8 9 10 P 0.4 0.2 0.4引例引例 比较甲乙两个射手的射击水平分析分析乙甲但是乙射手的波动性较大,不够稳定.2023/2/124为了数学上的方便，如何描述如何描述这种差异呢

2、？种差异呢？P(X=xi)=pi(i=1,2,)其平均射击水平为E(X)，则他每次射击的波动性为或|xi-E(X)|以 xi-E(X)2 代替|xi-E(X)|则该射手的平均射击波动为xi-E(X)设某射手击中的环数为随机变量X，其分布律为2023/2/125 称为 X 的均方差均方差或标准差标准差。2.方差方差(Variance 或或 Dispersion)定义定义.设X是一随机变量，则称EX-E(X)2称为X的方差方差,记作D(X)即方差的算术平方根若EXE(X)2存在，2023/2/126注注:(2)方差D(X)用来体现随机变量X取值分散的程度,反映了X偏离其数学期望E(X)的程度.(3

3、)如果D(X)值越大(小小)，表示X取值越分散(集中集中),以E(X)作为随机变量X的代表性越差（好好）.0;(1)由定义知，D(X)=EX-E(X)22023/2/1273.方差的方差的计算算(1)利用随机变量函数的数学期望公式离散随机变量的方差连续随机变量的方差2023/2/128(2)利用方差公式利用方差公式且且E(X2)也存在也存在,则则由于由于定理：设随机变量定理：设随机变量X的数学期望的数学期望E(X)存在，存在，2023/2/129解解:例例1.若若求求D(X).已求得已求得=E(X),其中其中X()2023/2/1210已求得例例2.若XU(a,b),求D(X).解:2023/

4、2/1211解解:例例3.若求D(X).已求得=E(X),其中Xe(1)2023/2/1212补充：例例求D(X).2023/2/1213二、方差的性二、方差的性质(设下列随机变量的方差都存在)证证:证证:2023/2/1214证证:2023/2/1215证证:2023/2/1216故故 DXi=EXi 2 -(-(EXi)2 EXi=1p+0(1-p)=p,且且 EXi2=p,则则 是是n 次试验中次试验中A出现的次数出现的次数，=p p 2 =p(1-p)=p q，i=1,2,n因因 X1,Xn 相互相互独立，独立，=np q.显然显然 P(Xi=1)=p,P(Xi=0)=1-p,=n p

5、;求求E(X)、D(X).解解:例例4.设设X服从二项分布服从二项分布B(n,p),设设Xi为第为第i次试验中事件次试验中事件A出现的次数，即出现的次数，即2023/2/1217U(a,b)exp(exp()()B(n,p)(01)p pq np npq 常用随机变量的期望与方差常用随机变量的期望与方差分布分布分布列或密度函数分布列或密度函数期望期望方差方差 22023/2/1218例例5.设随机变量X有期望E(X)=,方差令随机变量试求解：解：(标准化变量标准化变量)一一 、协方差及其性质、协方差及其性质 第三节第三节第三节第三节协方差、相关系数协方差、相关系数二、相关系数及其性质二、相关系

6、数及其性质我们先看一个例子。我们先看一个例子。在研究子女与父母的相象程度时，有一项是关于在研究子女与父母的相象程度时，有一项是关于父亲的身高和其成年儿子身高的关系父亲的身高和其成年儿子身高的关系.收集了收集了10781078个父亲及其成年儿子身高的数据个父亲及其成年儿子身高的数据,画出了画出了这里有两个变量：这里有两个变量：一个是父亲的身高，一个是父亲的身高，一个是成一个是成年儿子身高年儿子身高.为了研究二者关系为了研究二者关系.英国统计学家皮尔逊英国统计学家皮尔逊一张散点图一张散点图.从图上看出从图上看出:父亲及其父亲及其成年儿子身高有关系成年儿子身高有关系,但没有明确的函数关系但没有明确的

7、函数关系.特征中，最重要的就是本讲要讨论的特征中，最重要的就是本讲要讨论的 协方差和相关系数协方差和相关系数前面我们介绍了随机变量的数学期望和方差，前面我们介绍了随机变量的数学期望和方差，数学期望反映了随机变量在概率意义下的数学期望反映了随机变量在概率意义下的平均值平均值，方差则反映了随机变量相对于其均值的方差则反映了随机变量相对于其均值的离散程度，离散程度，这对我们了解随机变量有一定的帮助，这对我们了解随机变量有一定的帮助，随机变量随机变量 ，但对于二维但对于二维我们除了关心我们除了关心 的期望和方差外，的期望和方差外，还希望知道他们的关系，还希望知道他们的关系，在反映分量之间关系的数字在反

8、映分量之间关系的数字2023/2/1223定义定义.随机变量随机变量X与与Y的函数的函数X-E(X)Y-E(Y)的数学期望存在，的数学期望存在，则称其为则称其为X与与Y的的协方差协方差,cov(X,Y),即即记作记作若两个随机变量若两个随机变量X和和Y是相互独立的，则是相互独立的，则意味着当意味着当 时时,X和和Y不独立。不独立。24 若若X取值比较大取值比较大(XE(X),Y也较大也较大(YE(Y),若若X取值比较小取值比较小(XE(X),Y也较小也较小(Y0;这时这时Cov(X,Y)0;则则Cov(X,Y)0.协方差协方差cov(X,Y)=EX-E(X)(Y-E(Y)可了解两个变量之间变化

9、的关系可了解两个变量之间变化的关系(变化趋势在平均意变化趋势在平均意义上而言义上而言):正的协方差表示两个随机变量倾向于同时取较正的协方差表示两个随机变量倾向于同时取较大值或同时取较小值大值或同时取较小值,负的协方差反映两个随机变量负的协方差反映两个随机变量有相反方向变化的趋势有相反方向变化的趋势.2023/2/1225协方差的方差的简便便计算方法：算方法：2023/2/1226协方差的性质（1）cov(X,Y)=cov(Y,X);（2）cov(X,c)=0;cov(X,X)=D(X);（3）cov(aX,bY)=abcov(X,Y)，a，b为常数（4）cov(X+Y,Z)=cov(X,Z)+

10、cov(Y,Z);（5）但它还受但它还受X X 与与Y Y 本身度量单位的影响本身度量单位的影响.CovCov(kXkX,kYkY)=)=k k2 2CovCov(X X,Y Y)为了克服这一缺点，为了克服这一缺点，将将X与与Y标准化标准化:即：即：协方差的大小在一定程度上反映了协方差的大小在一定程度上反映了X X 和和Y Y 相互相互间的关系，间的关系，例如：例如：协方差协方差cov(X*,Y*)称为称为X与与Y的的相关系数相关系数，记作，记作R(X,Y)，2023/2/1228相关系数相关系数 Correlation coefficientu定义定义 u不相关不相关 假若假若 XY=0，则

11、称，则称X,Y不相关。不相关。u性质性质 设设XY是随机变量是随机变量X,Y的相关系数，则有的相关系数，则有 即即Cov(X,Y)=029 当且仅当当且仅当X与与Y之间有线性关系时之间有线性关系时,等号成立等号成立即即|=1a,b,使使PY=aX+b=1说明说明:XY刻划刻划X,Y之间的线性相关程度之间的线性相关程度|XY|1,则则X,Y越接近线性关系越接近线性关系|XY|=1,则则X,Y存在线性关系存在线性关系 当当XY=0时时,称称X与与Y不相关不相关,则则X,Y没没有线性关系有线性关系2023/2/1230若若X与与Y相互独立，则相互独立，则X与与Y一定不相关一定不相关;分析分析:若若X

12、与与Y相互相互独立独立两个随机变量独立与不相关的关系两个随机变量独立与不相关的关系不一定成立不一定成立.X与与Y不相关不相关.反之反之,X与与Y不相关不相关 cov(X,Y)=0.若若X与与Y不相关，则不相关，则例例将一枚硬币重复掷 n 次，以 分别表示正面向上和反面向上的次数，求的相关系数。解解:满足故2023/2/1232若若 存在，称它为存在，称它为X的的k阶阶中心矩中心矩.第第4 4节节 随机变量的另几个数字特征随机变量的另几个数字特征定义定义.设设X是随机变量，若是随机变量，若 存在，存在，称它为称它为X的的k阶原点矩阶原点矩.k=2,EX-E(X)2为方差.特别地，k=1,EX-E

13、(X)=0.特别地，k=1,E(X)为数学期望.k=2,E(X2)为2阶原点矩,其计算公式分位数：设连续随机变量分位数：设连续随机变量X的分布函数为的分布函数为F(x),概率密度为概率密度为f(x),对于任意正数(0 1)，若2023/2/1233则称则称x为此分布的为此分布的下下分位数分位数，记为若则称则称x为此分布的为此分布的上上分位数分位数，记为特别地，当=0.5时，变异系数变异系数2023/2/12342023/2/12351.理解方差的定义：2.熟悉方差的性质:内容小内容小结2023/2/1236(5)若E(X)与 D(X)存在，对于任意的正数(4)对于任意实数CR，有E(X-C)2

14、D(X)当且仅当C=E(X)时,E(X-C)2取得最小值D(X).有2023/2/12373.熟悉一些常见分布的方差 若XB(n,p),D(X)=npq;若 若XU(a,b),若2023/2/12384.方差的计算方法 利用方差的定义:利用方差的简化公式：利用方差的性质；利用常见分布的方差.相关系数的意义相关系数的意义2023/2/1240习题三习题三(P96):16、18、19（1）、22、23、25 作作业2023/2/1241备用用题1.判断正误：判断正误：(1)任何随机变量X都能其计算期望和方差.()(2)期望反映的是随机变量取值的集中位置，方差反映的是随机变量取值的分散程度。()(3

15、)随机变量X的方差越小，X取值越集中，方差越大，X取值越分散。()答案:(1)X;(2);(3).2023/2/12422.选择题 A.4,0.6；B.6,0.4；C.8,0.3；D.24,0.1 A.-1；B.2；C.1；D.32023/2/1243(4)2023/2/1244分析分析(1)由 XB(n,p)得：解方程组得 n=6,p=0.4,故选B.2023/2/1245故选 C.2023/2/1246（3）故选 C.2023/2/1247(4)由题（3）知：且根据切比雪夫不等式，应选D2023/2/1248 3.假设有十只同种电器元件,其中只有两只废品,装配仪器时，从这批元件中任取一只，

16、如是废品,则扔掉重新任取一只;如仍然是废品,则扔掉再取一只.试求在取到正品之前,已取出的废品只数的解解：设X表示在取到正品前已取出的废品数,则X的概率分布为方差（续续）.X 0 1 2 P 0.8 8/45 1/452023/2/1249E(X)=00.8+1(8/45)+2(1/45)=2/9.根据定义,随机变量X的数学期望为故X的方差为2023/2/1250分布函数F(x)在(-,+)处处连续，故4.设X的分布函数为 试确定常数a,b,并求 E(X)与D(X).解：解：F(x)在x=-1和x=1处连续,有2023/2/1251即解方程组得X的概率密度函数为=02023/2/1252D(X)原式=2023/2/12535.设随机变量X的分布函数为解：解：2023/2/12546.设每次试验中，事件A发生的概率为0.5,共进行了1000次试验，用切比雪夫不等式估计：A发生次数在400到600之间的概率.解：设事件发生的次数为随机变量，则(,)，=,.，且 E(X)=np=500,D(X)=np(1-p)=250.由切比雪夫不等式得