《概率统计教学资料》第2章随机变量及其分布.ppt

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1、随机变量的定义随机变量的定义设随机试验E的样本空间为若对于每若对于每一个样本点一个样本点变量变量X 都有确定实数值与之对应都有确定实数值与之对应,则X是定义在上的实值函数,即我们称这样的变量X为随机变量随机变量.定义:随机变量的分类随机变量的分类(1)离散随机变量离散随机变量:取值只有有限个或可列无穷多个取值只有有限个或可列无穷多个;连续随机变量连续随机变量:取值是在某个实数区间取值是在某个实数区间(2)非离散随机变量非离散随机变量2023/2/1212.离散随机变量的概率分布离散随机变量的概率分布或记为(1)定义定义则称 p(xi)(i=1,2,)为 X 的概率分布概率分布或概率函数概率函数

2、.其所有可能取值为且定义:设X为离散随机变量,2023/2/122注：注：当X取得有限个可能值时，(2)(2)性质性质显然，概率分布p(xi)有下面的性质:表示有限项的和;当X取得可列无穷多个可能值时,表示收敛级数和.2023/2/123超几何分布超几何分布 定义定义.设随机变量X的概率分布为随机变量X服从超几何分布超几何分布,其中n,M,N是分布的参数.其中n,M,N 都是正整数，且n N,MN;则称记作XH(n,M,N),2023/2/124一批产品共N件,其中M件次品,N-M件正品,实例：实例：产品检验模型产品检验模型随机抽取n件样品(0nM)按不放回抽样方式不放回抽样方式,(设随机变量

3、X表示取出的次品数k)此X的概率分布称为超几何分布H(n,M,N).求取出的n样品中恰有k件次品A的概率？2023/2/125设随机变量X只可能取0,1两个值,二项分布二项分布且概率分布为1.(01)1.(01)分布分布则称X服从(0-1)分布分布或两点分布两点分布.(0-1)分布的概率分布也可写成 X 0 1 pk 1-p p 2023/2/126定义定义.设随机变量X的概率分布为其中n,p为分布的参数.2.2.二项分布二项分布 B(n,p)其中n为正整数，则称随机变量X服从二项分布二项分布，记作XB(n,p),注：注：20 当n=1时，XB(1,p)，即为(0-1)分布.2023/2/12

4、7实例：实例：在n重伯努利概型重伯努利概型中则X服从二项分布B(n,p).例如例如设X表示事件A恰好出现的次数，X=k的概率为随机抽取n件样品(0nM).设一批产品共N件，其中有M件次品，按放回抽样方式放回抽样方式,设随机变量X表示取出的次品数(X=0,1,2,n),则故XB(n,M/N).2023/2/128是分布的参数.泊松分布泊松分布 定义定义.设随机变量X的概率分布为则称随机变量X服从泊松分布泊松分布，记作参数2023/2/129泊松分布的应用泊松分布的应用例如例如：3)汽车站台一天的侯客人数；5)某公路段上在单位时间内发生交通事故的次数;2)某电话交换台在单位时间内收到的呼唤次数；1

5、)某服务设施在一定时间内到达的人数；4)某医院在一天内的急诊病人数;有着广泛的应用.泊松分布在公共事业、生物、医学及工业等领域2023/2/1210概率函数近似等于二项分布B(n,p)的概率函数,当N充分大时，超几何分布H(n,M,N)的二项分布与超几何分布的关系二项分布与超几何分布的关系定理定理:即若XH(n,M,N)，则当N时，有注：注：2023/2/1211 当n充分大,p很小(p0.1),二项分布B(n,p)的概率函数近似等于泊松分布的概率函数:泊松分布与二项分布的关系泊松分布与二项分布的关系泊松定理：泊松定理：若当n时，则有注：注：即np比较适中时，2023/2/1212随机变量随机

6、变量X的分布函数的分布函数定义定义：设X为一随机变量，的概率P(Xx)称为随机变量X的分布函数分布函数,F(x)=)=P(Xx).).则事件“X x”记作注：注：2023/2/1213分布函数分布函数F(x)的性质的性质(1)(1)F(x)是非减函数,即若x1 x2,则(3)(3)离散随机变量X，F(x)是右连续函数,连续随机变量X，F(x)在(-,+)处处连续.即事件“Xx”当x-时是不可能事件;事件“Xx”当x+时是必然事件.2023/2/1214定义定义.若随机变量X的取值范围是某个实数区间I函数f(x)称为连续随机变量连续随机变量和概率密度连续随机变量和概率密度且存在非负函数f(x)，

7、使得对于任意有(有界或无界),区间则称X为连续随机变量;X的概率密度函数概率密度函数(probability density function),概率密度概率密度.简称2023/2/12151.连续随机变量X任取确定值x0的概率等于0,即2.若X是连续随机变量，则对任意x1,x2(x1x2)有注注:3.P(A)=0P(A)=12023/2/12162 20 0 规范性规范性概率密度的性质概率密度的性质1 10 0 非负性非负性O设X是连续随机变量,f(x)为X的概率密度，则2023/2/1217连续连续X的密度函数与分布函数的关系的密度函数与分布函数的关系设连续X的概率密度f(x)，则其分布函

8、数为且在f(x)的连续点x处，2023/2/1218定义定义：设随机变量X的概率密度为则称X在区间a,b上服从均匀分布均匀分布,其中a,b是分布的参数.均匀分布均匀分布 记作(1)(1)均匀分布的定义均匀分布的定义2023/2/1219注：注：均匀分布的均匀分布的等可能等可能特征特征其等可能性的意义是：X落在区间a,b中任意等长度的子区间内的可能性是相同的.或者说X落在a,b子区间内的概率仅依赖于子区间的长度而与子区间的位置无关.事实上，对a,b上的任子区间c,c+l,有2023/2/1220其中指数分布指数分布 定义定义:设随机变量X的概率密度为则称X服从指数分布指数分布，是分布的参数.记作

9、(1)(1)指数分布的定义指数分布的定义2023/2/1221 4.随机服务系统中的服务时间；1.它常用于动物、电力设备和电子元件使用寿命；2.电话的通话时间；3.排队时需要等待时间；（2 2）指数分布的应用）指数分布的应用 指数分布在生存分析、可靠性理论和排队论中指数分布在生存分析、可靠性理论和排队论中有广泛的应用有广泛的应用例如：例如：2023/2/1222二维随机变量的联合分布函数二维随机变量的联合分布函数1）定义定义2）几何意义）几何意义yo(x,y)(X,Y)2023/2/1223定义定义 若若X,Y均均为离散随机变量，则为离散随机变量，则(X,Y)为二为二维离散随机变量维离散随机变

10、量,且且二维离散随机变量的联合概率分布二维离散随机变量的联合概率分布2023/2/1224XY其中其中2023/2/1225二维连续随机变量二维连续随机变量 定义定义 设设X,Y均均为连续随机变量，为连续随机变量，2023/2/1226 联合概率密度联合概率密度的的性质：性质：设设 G 是平面上的一个区域，点是平面上的一个区域，点(X,Y)落在落在 G 内内 的概率为：的概率为：这个公式非常重要！这个公式非常重要！2023/2/1227边缘分布边缘分布则随机变量则随机变量X的边缘概率函数为的边缘概率函数为二维随机变量（二维随机变量（X,Y）的联合概率函数为的联合概率函数为同理随机变量同理随机变

11、量Y的边缘概率函数为的边缘概率函数为离散随机变量的边缘分布离散随机变量的边缘分布2023/2/12282023/2/1229连续随机变量的边缘分布连续随机变量的边缘分布的边缘密度函数：的边缘密度函数：随机变量随机变量X的边缘密度函数：的边缘密度函数：随机变量随机变量Y注：边缘分布可由联合分布唯一确定，但不能由边注：边缘分布可由联合分布唯一确定，但不能由边 缘分布确定联合分布。缘分布确定联合分布。求边缘分布时如何确定积分区域及边缘密度不求边缘分布时如何确定积分区域及边缘密度不为零的范围。为零的范围。2023/2/1230 条件分布条件分布1.二维离散型随机变量二维离散型随机变量(X,Y)的条件分

12、布的条件分布（1）在）在Y=yj 条件下条件下X 的条件的条件概率函数概率函数（2）在）在 X=xi 条件下条件下Y 的条件的条件概率函数概率函数2023/2/1231随机变量随机变量X在在Y=y的条件下的条件密度函数的条件下的条件密度函数注：条件密度函数的性质与普通密度函数类似：条件密度函数的性质与普通密度函数类似随机变量随机变量Y在在X=x的条件下的条件密度函数的条件下的条件密度函数2.连续随机变量的条件分布连续随机变量的条件分布：2023/2/1232定义定义定义定义 设设X,Y是两个随机变量，若对于任意实数是两个随机变量，若对于任意实数x,y有有P(Xx,Y y)=P(Xx)P(Y y)即即 F(x,y)=FX(x)FY(y)，则称则称X，Y相互独立。相互独立。随机变量的独立性随机变量的独立性2023/2/1233解题步骤：解题步骤：随机变量函数的分布随机变量函数的分布 已知二维随机变量（已知二维随机变量（X,Y）的联合密度为）的联合密度为 f(x,y),g(x,y)是二元连续函数，欲求随机变量是二元连续函数，欲求随机变量 Z=g(X,Y)的概率密度。的概率密度。2023/2/1234连续随机变量和连续随机变量和Z=X+YZ=X+Y的分布的分布2023/2/1235极值分布极值分布解：2023/2/1236