《平面的法向量与平面的向量表示》.ppt
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1、平面的法向量与平面的法向量与 平面的向量表示平面的向量表示高中数学选修高中数学选修2 21 1 提问:提问:A,B,C,三点不线,四点,三点不线,四点A,B,C,M 共面的充要条件是:共面的充要条件是:BACM图示:平面的向量方程1.直线与平面垂直的定义直线与平面垂直的定义 2.平面的法向量:平面的法向量:如果向量如果向量 的基线与平面的基线与平面 垂直垂直,则向量,则向量 叫平面叫平面 的法向量的法向量。几点注意:几点注意:1.法向量一定是非零向量法向量一定是非零向量;2.一个平面的所有法向量都互一个平面的所有法向量都互相平行相平行;3.向量向量 是平面的法向量,向是平面的法向量,向量量 与
2、平面平行或在平面内,与平面平行或在平面内,则有则有A给定一点给定一点A和一个向量和一个向量 ,那么过点那么过点A,以向量以向量 为法向量的平面是完全为法向量的平面是完全确定的确定的.l3.平面的向量表示:平面的向量表示:因为方向向量与法向量可以确定直线和因为方向向量与法向量可以确定直线和平面的位置,上节我们用直线的方向向量表平面的位置,上节我们用直线的方向向量表示了空间直线、平面间的示了空间直线、平面间的平行平行 如何用平面的法向量表示空间两平面平如何用平面的法向量表示空间两平面平行、垂直的位置关系呢?行、垂直的位置关系呢?4.两平面平行或重合、垂直的充要条件两平面平行或重合、垂直的充要条件
3、l1教材未提l教材未提待定系数法待定系数法例例 如如图图,已知矩形,已知矩形和矩形和矩形所在平面互相垂直,点所在平面互相垂直,点分分别别在在对对角角线线上,且上,且求求证证:ABCDEFxyzMN简证:因为矩形简证:因为矩形ABCD和矩形和矩形ADEF所在平面互相垂直,所以所在平面互相垂直,所以AB,AD,AF互相垂直。以互相垂直。以 为正交为正交基底,建立如图所示空间坐标系,基底,建立如图所示空间坐标系,设设AB,AD,AF长分别为长分别为3a,3b,3c,则可得各点坐标,从而有则可得各点坐标,从而有又平面又平面CDECDE的一个法向量是的一个法向量是因为因为MN不在平面不在平面CDE内内所
4、以所以MN/平面平面CDE分析:要证明一条直线与一个平面分析:要证明一条直线与一个平面垂直垂直,由直线与平面垂直的定义可由直线与平面垂直的定义可知知,就是要证明这条直线与平面内就是要证明这条直线与平面内的的任意一条直线任意一条直线都垂直都垂直.例例:(试用试用向量方法证明直线与平面垂直的判定定理向量方法证明直线与平面垂直的判定定理)已知直线已知直线m,n是平面是平面 内的两条相交直线内的两条相交直线,如果如果 m,n,求证求证:.mng 取已知平面内的任一条直线取已知平面内的任一条直线 g ,拿相关直线的方拿相关直线的方向向量来分析向向量来分析,看条件可以转化为向量的什么条件看条件可以转化为向
5、量的什么条件?要要证的目标可以转化为向量的什么目标证的目标可以转化为向量的什么目标?怎样建立向量怎样建立向量的条件与向量的目标的联系的条件与向量的目标的联系?mng解解:在在 内作不与内作不与m,n重合的任一直线重合的任一直线g,在在 上取非零向量上取非零向量 因因m与与n相交相交,故向量故向量m,n不平行不平行,由共面向量定理由共面向量定理,存在唯一实数存在唯一实数 ,使使 例例:已知直线已知直线m,n是平面是平面 内的两条相交直线内的两条相交直线,如果如果 m,n,求证求证:.6.6.有关平面的斜线概念,有关平面的斜线概念,三垂线定理及其逆定理三垂线定理及其逆定理 P104P104什么叫平
6、面的斜线、垂线、射影?什么叫平面的斜线、垂线、射影?如果如果a ,aAO,思考思考a与与PO的位置关的位置关系如何?系如何?aAPo PO是平面是平面的斜线的斜线,O为斜足为斜足;PA是平面是平面的垂线的垂线,A为垂足为垂足;AO是是PO在平面在平面内的射内的射影影.例题分析:例题分析:1 1、判定下列命题是否正确、判定下列命题是否正确 (1)(1)若若a a是平面是平面的斜线、直线的斜线、直线b b垂直于垂直于a a在平面在平面内的射影,则内的射影,则abab。()()(2)(2)若若a a是平面是平面的斜线,的斜线,b b是平面是平面内的直线,内的直线,且且b b垂直于垂直于a a在在内的
7、射影,则内的射影,则abab。()()三垂线定理三垂线定理三垂线定理三垂线定理PO 平面PAOaPO答:答:答:答:a aPOPO 三垂线定理:三垂线定理:三垂线定理:三垂线定理:在平面内的一条直线,如果和这个平面的在平面内的一条直线,如果和这个平面的在平面内的一条直线,如果和这个平面的在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直。一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直。一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直。一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直。为什么呢?为什么呢?为什么呢?为什么呢?PAa PAaAOaa平面PAO三垂线定理三垂线定理三垂线定
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