数学中考专题复习《几何图形变换综合压轴题》专题训练.docx

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1、九年级数学中考复习几何图形变换综合压轴题专题训练（附答案）1已知ADE和ABC都是等腰直角三角形，ADEBAC90，P为AE的中点，连接DP（1）如图1，点A，B，D在同一条直线上，直接写出DP与AE的位置关系；（2）将图1中的ADE绕点A逆时针旋转，当AD落在图2所示的位置时，点C，D，P恰好在同一条直线上在图2中，按要求补全图形，并证明BAEACP；连接BD，交AE于点F判断线段BF与DF的数量关系，并证明2如图，等边三角形ABC中，D为AB边上一点（点D不与点A，B重合），连接CD，将CD平移到BE（其中点B和C对应），连接AE将BCD绕着点B逆时针旋转至BAF，延长AF交BE于点G（1

2、）连接DF，求证：BDF是等边三角形；（2）求证：D，F，E三点共线；（3）当BG2EG时，求tanAEB的值3如图1，ABE是等腰三角形，ABAE，BAE45，过点B作BCAE于点C，在BC上截取CDCE，连接AD、DE，并延长AD交BE于点P；（1）求证：ADBE；（2）试说明ADBE；（3）如图2，将CDE绕着点C旋转一定的角度，那么AD与BE的位置关系是否发生变化，说明理由4如图，在平面直角坐标系中，已知ABC的三个顶点的坐标分别为A（3，5），B（2，1），C（1，3）（1）画出ABC关于x轴的对称图形A1B1C1；（2）画出A1B1C1向右平移4个单位长度后得到的A2B2C2；（3

3、）如果点M（a，b）是ABC内部的一点，则经过上述两次变换后，在A2B2C2内部的对应点M2的坐标是 ；（4）在y轴上存在一点P，使PA+PB的值最小，请在图中标出点P，并直接写出点P的坐标 5【问题背景】如图1，点P是菱形ABCD内一点，ABC60，PA1，PB2，PC，求APB的度数小明通过分析，思考，形成如下思路：思路一：将BPC绕点B逆时针旋转60，得到BPA，连接PP，从而求出APB的度数；思路二：将APB绕点B顺时针旋转60，得到CPB，连接PP，从而求出APB的度数请参考小明的思路，任选一种写出完整的解答过程【类比探究】如图2，若点P是正方形ABCD外一点，PA4，PB1，PC3

4、，求APB的度数6如图，在正方形ABCD中，EAF45，EAF绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB，DC（或它们的延长线）于点E、FAGEF于点G（1）当EAF绕点A旋转到BEDF时，请你写出线段AG与AB的数量关系，并证明（2）当EAF绕点A旋转到BEDF时，问（1）中线段AG与AB的数量关系还成立吗？若成立，给出证明，若不成立，说明理由7如图1，在ABC中，AEBC于E，AEBE，D是AE上的一点，且DECE，连接BD，CD（1）如图1，直接写出线段BD与AC的位置关系和数量关系（2）如图2，若将DCE绕点E旋转一定的角度后，上题结论是否发生变化，若变化，请写出新的结论；若不变，请说明理由

5、；8一节数学课上，张老师提出了这样一个问题：如图1，点P是正方形ABCD内一点，PA1，PB2，PC3你能求出APB的度数吗？（1）小明通过观察、分析、思考，形成了如下思路：思路一：将BPC绕点B逆时针旋转90，得到BPA，连接PP，求出APB的度数；思路二：将APB绕点B顺时针旋转90，得到CPB，连接PP，求出APB的度数请参考小明的思路，任选一种写出完整的解答过程（2）如图2，若点P是正方形ABCD外一点，PA，PB1，PC，求APB的度数9如图，在RtABC中，C90，AC6，BC8，动点P从A出发，沿AC以每秒3个单位长度的速度向终点C匀速运动，点D为AB的中点，当点P不与A、C重合

6、时，连结PD，以直线PD为对称轴作APD的轴对称图形PED，连结AE，动点P的运动时间为t秒（1）线段AB的长为 （2）当直线AE与BC垂直时，求t的值（3）当ADE是钝角三角形时，求t的取值范围10如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，且ADAE，连接BE，CD，点M，N，P分别是BE，CD，BC的中点（1）观察猜想：PMN的形状是 （2）探究证明：把ADE绕点A按逆时针方向旋转到图的位置，PMN的形状是否发生改变？请说明理由（3）拓展延伸：把ADE绕点A在平面内自由旋转，若AB3，AD1，请直接写出PMN周长的最大值11已知正方形ABCD，将线段BA绕点B旋转（090）

7、，得到线段BE，连接EA，EC（1）如图1，当点E在正方形ABCD的内部时，若BE平分ABC，AB4，则AEC ，四边形ABCE的面积为 ；（2）当点E在正方形ABCD的外部时，在图2中依题意补全图形，并求AEC的度数；作EBC的平分线BF交EC于点G，交EA的延长线于点F，连接CF用等式表示线段AE，FB，FC之间的数量关系，并证明12如图，把一块直角三角尺ABC的直角顶点C放置在水平直线MN上，在ABC中，C90，ACBC，试回答下列问题：（1）若把三角尺ABC绕着点C按顺时针方向旋转，当ABMN时，2 度；（2）在三角尺ABC绕着点C按顺时针方向旋转过程中，分别作AMMN于M，BNMN与

8、N，若AM6，BN2，求MN（3）三角尺ABC绕着点C按顺时针方向继续旋转到图3的位置，其他条件不变，则AM、BN与MN之间有什么关系？请说明理由13如图，在ABC中，D，E，F分别为AC，AB，BC的中点，连接DE，DF（1）如图1，求证：；（2）如图2，将EDF绕点D顺时针旋转一定角度，得到PDQ，当射线DP交AB于点G，射线DQ交BC于点N时，连接FE并延长交射线DP于点M，判断FN与EM的数量关系，并说明理由；（3）如图3，在（2）的条件下，当DPAB时，求DN的长14在ABC中，ABAC，ABC，点D是直线BC上一点，点C关于射线AD的对称点为点E作直线BE交射线AD于点F连接CF（

9、1）如图1，点D在线段BC上，补全图形，求AFB的大小（用含的代数式表示）；（2）如果60，如图2，当点D在线段BC上时，用等式表示线段AF，BF，CF之间的数量关系，并证明；如图3，当点D在线段CB的延长线上时，直接写出线段AF、BF、CF之间的数量关系15旋转变换是解决数学问题中一种重要的思想方法，通过旋转变换可以将分散的条件集中到一起，从而方便解决问题已知，ABC中，ABAC，BAC，点D、E在边BC上，且（1）如图a，当60时，将AEC绕点A顺时针旋转60到AFB的位置，连结DFDAF ；求证：DFDE；（2）如图b，当90时，猜想BD、DE、CE的数量关系，并说明理由16如图，ABC

10、和ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，BACDAE90，把ADE绕点A旋转，点P为射线BD与CE的交点（1）如图1，当点D在线段CE上时，求证：BDCD+AD；（2）若AB2，AD1，如图2，当点E在BA延长线上时，求PC的长；在旋转过程中，当四边形ADPE为正方形时，直接写出线段PB长度的值17如图，ABC与ACD为正三角形，点O为射线CA上的动点，作射线OM与射线BC相交于点E，将射线OM绕点O逆时针旋转60，得到射线ON，射线ON与射线CD相交于点F（1）如图1，点O与点A重合时，点E，F分别在线段BC，CD上，求证：OECOFD；（2）如图2，当点O在CA的延长线上时，E，F分别在线段

11、BC的延长线和线段CD的延长线上，请证明：OC+CECF；（3）点O在线段AC上，若AB6，BO2，当CF1时，请求出BE的长18综合与探究我们经常会遇到三角形中的“折叠”问题，在解答这种问题时，通常会考虑到折叠前与折叠后的图形全等，并利用全等图形的性质，即对应角相等，对应边相等来研究解决数学中的“折叠”问题，每个小组剪了一些如图1所示的RtABC纸片（B90，AB6，BC8）并进行探究：（1）如图2，“奋斗”小组将RtABC纸片沿DE折叠，使点C落在ABC外部的C处若140，C37，则2的度数为 1，2，C之间的数量关系为 （2）如图3，“勤奋”小组将ABC沿DE折叠，使点C与点A重合，求B

12、D的长；（3）如图4，“雄鹰”小组将ABC沿AD折叠，使点B落在点E处，连接CE，当CDE为直角三角形时，求BD的长19【操作发现】如图1，ABC和ADE是等边三角形，连接BD，CE交于点F的值为 ；BFC的度数为 ；【类比探究】如图2，在ABC和ADE中，ACBAED90，ACBC，AEDE，连接CE交BD的延长线于点F计算的值及BFC的度数；【实际应用】在（2）的条件下，将ADE绕点A在平面内旋转，CE，BD所在直线交于点F，若AE1，AC，请直接写出当点D与点F重合时BD的长20在ABC中，ABAC，点D为平面内一点，（1）观察猜想：如图1，当BAC90，点D在BC上时，探究BD2、DC

13、2与AD2之间的数量关系，我们可以把ABD绕着点A逆时针旋转90得ACE，根据图形，请你通过探究直接写出BD2、DC2与AD2之间的数量关系： ；（2）类比探究：如图2，当BAC60时，点D为ABC外一点，将ABD顺时针旋转后得到BCE，若D、E、C三点在一直线上，求ADB的度数；（3）拓展应用：如图3，已知BACBDA120，DC10，AD2，求BD的长参考答案1解：（1）ADE是等腰直角三角形，ADE90，ADED，P为AE的中点，DPAE；（2）补全图形如图2所示；证明：ADE和ABC都是等腰直角三角形，ADEBAC90，DAE45，ADED，P为AE的中点，ADPEDP45，BAE+C

14、ADBACDAE45，CAD+ACPADP45，BAEACP；BFDF证明：如图3，延长CP至G，使PGDP连接AG，BG，ADE是等腰直角三角形，ADE90，ADDE，DAE45，P为AE的中点，APDAPG90，APDPPG，ADP45，APGAPD（SAS），AGAD，PAGDAEAGP45，GADBAC90，BAG+BADCAD+BAD90，BAGCAD，AGAD，ABAC，BAGCAD（SAS），AGBADC180ADP135，BGCAGBAGP90，BGCAPG，PFBG，1，BFDF2证明：（1）连接DF，如图，ABC是等边三角形，BABC，ABC60，BCD绕点B逆时针旋转至B

15、AF，FBDABC60，BFBD，BDF是等边三角形，（2）连接DE，如图，BDF是等边三角形，BDF60，CD平移得到BE，（其中点B和C对应），DEBC，DEBC，BDEABC60，BDEBDF，点F在DE上，即D，E，F三点共线，解：（3）延长AG，CB交于点H，如图，EFBC，GEFGBH，GFEGHB，GEFGBH，BG2EG，BH2EF，EDBCAB，DFBD，EFAD，设ABa，BDb，EFADab，BH2a2bDFBH，ADFABH，即，解得a12b，b（舍去），AB2b，即D为AB中点，CDAB，CDB90，BECD，ABECDB90，在RtABE中，3解：（1）BCAE，B

16、AE45，CBACAB，BCCA，在BCE和ACD中，BCEACD（SAS），ADBE（2）BCEACD，EBCDAC，BDPADC，BPDDCA90，ADBE（3）ADBE不发生变化理由：如图（2），BCEACD，EBCDAC，BFPAFC，BPFACF90，ADBE4解：（1）ABC关于x轴的对称图形A1B1C1见下图；（2）A1B1C1沿x轴向右平移4个单位长度后得到的A2B2C2见上图；（3）关于x轴的对称的点横坐标不变，纵坐标变为相反数，沿x轴向右平移4个单位长度则横坐标增加4，AC上有一点M（a，b）经过上述两次变换，对应A2C2上的点M2的坐标是（a+4，b），故答案为：（a+4

17、，b）；（4）如下图：若使PA+PB的值最小，作A关于y轴对称点A，连接AB，与y轴交点即为所求的点P，A（3，5），A（3，5），又B（2，1），AB的解析式为：yx+，令x0得y，P（0，），故答案为：（0，）5【问题背景】解：思路一：如图1，将BPC绕点B逆时针旋转60，得到BPA，连接PP，ABPCBP，PBP60，BPBP2，APCP，BPP是等边三角形，BPP60，AP1，AP2+PP21+45，AP2+PP2AP2，APP90，APBAPP+BPP90+60150【类比探究】将BPC绕点B逆时针旋转90，得到BPA，连接PP，ABPCBP，PBP90，BPBP1，APCP3，在R

18、tPBP中，BPBP1，BPP45，根据勾股定理得，PPBP，AP4，AP2+PP216+218，AP2（3）218，AP2+PP2AP2，APP是直角三角形，且APP90，APBAPPBPP9045456解；（1）结论AGAB理由：如图中，ABAD，BD，BEDF，ABEADF（SAS），BAEDAF，AEAF，AGEF，EAF45，BAEEAG22.5，AEAE，BAGE90，ABEAGE（ASA），ABAG故答案为AGAB（2）成立证明：如图中，延长CB至M，使BMDFABAD，BMDF，ABMD90，ABMADF（SAS），AMAF，BAMDAF，EAF45，BAE+DAF45，BAE

19、+BAM45，即EAMEAF，又AEAE，AMAF，AMEAFE（SAS），MEEF，ABAG7解：（1）BDAC，BDAC，理由：延长BD交AC于FAEBC，AEBAEC90，在BED和AEC中，BEDAEC（SAS），BDAC，DBECAE，BED90，EBD+BDE90，BDEADF，ADF+CAE90，AFD1809090，BDAC；（2）结论不发生变化，理由是：设AC与DE相交于点O，BEADEC90，BEA+AEDDEC+AED，BEDAEC，在BED和AEC中，BEDAEC（SAS），BDAC，BDEACE，DEC90，ACE+EOC90，EOCDOF，BDE+DOF90，DFO

20、1809090，BDAC8解：（1）思路一，如图1，将BPC绕点B逆时针旋转90，得到BPA，连接PP，则ABPCBP，APCP3，BPBP2，PBP90，BPP45，根据勾股定理得，PPBP2，AP1，AP2+PP21+89，又PA2329，AP2+PP2PA2，APP是直角三角形，且APP90，APBAPP+BPP90+45135思路二，将PAB绕点B顺时针旋转90，得到PCB，连接PP，PBPB2，PCAP1，PBP90，APBBPC，BPP45，PP2，PC3，PC1，PC2+PP2PC2，PPC90，BPCBPP+PPC45+90135，APBBPC135；（2）如图3，将BPC绕点

21、B逆时针旋转90，得到BPA，连接PP则ABPCBP，APCP，BPBP1，PBP90，BPP45，根据勾股定理得，PPBP，AP，AP2+PP25+27，又7，AP2+PP2PA2，APP是直角三角形，且APP90，APBAPPBPP9045459解：（1）C90，AC6，BC8，AB10，故答案为：10；（2）当直线AE与BC垂直时，如图，AEBC，DPAE，DPBC，D为AB的中点，P为AC的中点，AP3，3t3，t1；（3）如图，以直线PD为对称轴作APD的轴对称图形PED，ADE为等腰三角形，且ADDE，则ADE是钝角三角形时，只能是ADE为钝角当ADE90时，则ADPPDE45，过

22、点P作PFAD于点F，则PFDF，sinA，PF，cosA，AFt，ADAF+DF5，5，t，故当t时，ADE是钝角三角形，但P在AC上，不与A，C重合，故P运动的时间t2（秒），即st2s10解：（1）如图1，ABC为等边三角形，ABAC，ABCACB60，ADAE，BDCE，点M、N、P分别是BE、CD、BC的中点PMCE，PMCE，PNAD，PNBD，PMPN，BPMBCA60，CPNCBA60，MPN60，PMN为等边三角形；故答案为：等边三角形；（2）PMN的形状不发生改变，仍然为等边三角形理由如下：连接CE、BD，如图2，ABAC，AEAD，BACDAE60，把ABD绕点A逆时针旋

23、转60可得到CAE，BDCE，ABDACE，与（1）一样可得PMCE，PMCE，PNAD，PNBD，PMPN，BPMBCE，CPNCBD，BPM+CPNBCE+CBDABCABD+ACB+ACE60+60120，MPN60，PMN为等边三角形（3）PNBD，当BD的值最大时，PN的值最大，ABADBDAB+AD（当且仅当点B、A、D共线时取等号），BD的最大值为1+34，PN的最大值为2，PMN的周长的最大值为611解：（1）将线段BA绕点B旋转（090），得到线段BE，ABBE，BAEBEA，四边形ABCD是正方形，ABBC，ABC90，BE平分ABC，ABECBE45，BEBE，ABECB

24、E（SAS），AEBCEB，AECAEB+CEB18045135；过点A作AFBE于点F，如图1，AB4，AFAB2，SABEBEAF4，四边形ABCE的面积2SABE8，故答案为：135，8；（2）补全图形如图2，将线段BA绕点B旋转（090），得到线段BE，BEBABC，ABC90，ABE，BEABAE90，BECBCE45，AECBEABEC45；FB2FCAE证明：过点B作BHEC交FC的延长线于点H，如图3，BEBC，BF平分EBC，BF垂直平分EC，FEFC，FECFCE，由知，AEC45，FECFCE45，GFC45，BHEC，FBHFGC90，HFCG45，BFBHtan45B

25、H，FHFB，ABF90FBC，CBH90FBC，ABFCBH，ABCB，ABFCBH（SAS），AFCH，FHFC+CHFC+AFFC+FEAE2CFAE，FB2FCAE12解：（1）在ABC中，ABAC，ACB90，BA45，ABMB，2B45，故答案为45；（2）AMMN于M，BNMN于N，AMC90，BNC901+CAM90，又1+290，2CAM，同理：1CBN，在AMC和CNB中，AMCCNB（ASA），AMCN，MCBN，MNMC+CNAM+BN2+68；（3）MNBNAM，理由：同（2）的方法得，AMCCNB（ASA），AMCN，MCBN，MNMCCNBNAM13（1）证明：如

26、图1，连接AF，D，E，F分别为AC，AB，BC的中点，AFBC，；（2）解：，理由如下：连接AF，如图2，D，E，F分别为AC，AB，BC的中点，四边形CDEF是平行四边形，DEFC，DFCC，DFCDEF，180DFC180DEF，DFNDEM，将EDF绕点D顺时针旋转一定角度，得到PDQ，EDFPDQ，FDN+NDEEDM+NDE，FDNEDM，DNFDME，；（3）解：如图，连接AF，过点C作CHAB于H，RtAFC中，DPAB，AGDAHC，RtGED中，RtAGD中，EFAD，EMGADG，DNFDME，14解：（1）补全图形如下，连接AE，CE，点E为点C关于AD的对称点，AEA

27、C，EFFC，EADCAD，设EADCADx，CAE2x，ABAC，ACBABCBAE1802x2，ABE+AEB2x+2，AEAB，ABEAEBx+，AFBAEBEAD；（2）AFBF+CF延长FB至点G，使FGFA，连接AG，ABAC，ABC60，ABC为等边三角形，BAC60，由（1）知AFB60，AFG为等边三角形，AGAF，GAF60，GABFAC，在ABG和ACF中，ABGACF（SAS），BGCF，CF+BFBG+BFGF，GFAF，AFBF+CF；结论为：CFAF+BF连接AE点E为点C关于AD的对称点，AEAC，EFFC，EADCAD，设EADCADx，CAE2x，ABACA

28、E，ACBABCBAC60DABx60，EABx+x602x60，AEAB，ABEAEB120x，AFEDAB+ABEx60+120x60，在BE上取点G，使得FGFA，连接AG，AFG为等边三角形，AGAF，GAF60，GAEFABx60，在AGE与AFB中，AGEAFB（SAS），BFEG，EFEG+FGBF+AF，CFEFBF+AF15（1）解：由旋转知，AFAE，BAFCAE，EAF60，DAE，BAC60，DAE6030，CAE+BADBACDAE30，DAFBAD+BAFBAD+CAE30，故答案为：30；证明：由知，AFAE，DAFDAE30，ABAC，DAFDAE（SAS），D

29、FDE；（2）解：DE2BD2+CE2，理由如下：如图，将AEC绕点A顺时针旋转90到AFB的位置，连结DF，AFAE，EAF90BAC，BAFCAE，BAFCAE（SAS），BFCE，ABFACE，在RtABC中，CABC45，ABF45，DBF90，根据勾股定理得，DF2BD2+BF2，DF2BD2+CE2，同（1）的方法得，DFDE，DE2BD2+CE216（1）证明：ABC和ADE是等腰直角三角形，BACDAE90，ABAC，ADAE，DABCAE，ABDACE（SAS），BDCE，BDCD+DE，又ADE是等腰直角三角形，EDAD，BDCD+AD；（2）解：ABC和ADE是等腰直角三

30、角形，BACDAE90，ABAC，ADAE，ABDACE（SAS），ABDACE，ADBPDC，ABDPCD，又AB2，AD1，BAC90，CDACADABAD1，BD，PC；当四边形ADPE为正方形时，点P在线段BD上，ADB90，AD1，AB2，BD，PB1；如图，当点P在线段BD的延长线上时，同理PBBD+PD+1综上所述可得PB的长为+1或117（1）证明：ABC与ACD为正三角形，ABACBCADCD，BACBCAADCDAC60，将射线OM绕点O逆时针旋转60，AEAF，EAF60，BACCADEAF60，EACDAF，且ACAD，AEAF，在AEC与AFD中，AECAFD（SAS

31、），（2）CE+COCF，如图，过点O作OHBC，交CF于H，HOCBCA60，OHCHCE60，COH是等边三角形，OCCHOH，EOFCOHCHOBCA60，COEFOH，OCEOHF120，OHOC，在OHF与OCE中，OHFOCE（ASA），CEFH，CFCH+FH，CFCO+CE；（3）作BHAC于H，AB6，AHCH3，BHAH3，当点O在线段AH上，点F在线段CD上时，OB2，OH1，OC3+14，过点O作ONAB，交BC于N，ONC是等边三角形，ONOCCN4，NOCEOF60ONCOCF，NOECOF，ONOC，ONCOCF， 在ONE与OCF中，ONEOCF（ASA），CF

32、NE，COCE+CF，OC4，CF1，CE3，BE633，当点O在线段CH上，点E在线段BC上时，同法可证：OCCE+CF，OCCHOH312，CF1，CE1，BE615，综上所述，满足条件的BE的值为：3或518解：（1）由折叠性质可得CC37，DFC1+C77，2DFC+C77+37114，故答案为：114；由折叠性质可得CC，DFC1+C，2DFC+C1+C+C1+2C，故答案为：21+2C；（2）B90，AB6，BC8，设BDx，则CDAD8x，在RtABD中，x2+62（8x）2，解得：，BD的长为；（3）在RtABC中，ABC90，AB6，BC8，AC10，AED是ABD以AD为折

33、痕翻折得到的，AEAB6，DEBD，AEDB90当DEC为直角三角形，如图，当DEC90时，AED+DEC180，点E在线段AC上，设BDDEx，则CD8x，CEACAE4，DE2+CE2CD2，即x2+42（8x）2，解得：x3，即BD3；如图，当EDC90，BDE90，BDAADE，BDAADE45，BAD45，ABBD6综上所述：当DEC为直角三角形时，BD的长为3或619解：【操作发现】ABC和ADE是等边三角形，ABAC，ADAE，BACDAE，CAEBAD，CAEBAD（SAS），BDCE，ABDACE，AOEBOC，CFBBAC60，BFC60，故答案为：1；60；【类比探究】A

34、BC和ADE都是等腰直角三角形，DAEBAC45，DABEAC，DABEAC，DBAACE，BOFAOC，BFCBAC45，的值为，BFC的度数为45；【实际应用】如图，当点D与F重合时，AECAED90，CE2，由【类比探究】知BDCE2；如图，当点D与F重合时，CE2，同理可得BDCE2综上：BD220解：（1）将ABD绕着点A逆时针旋转90得ACE，连接DE，则ADAE，DAEBAC90，BACE，BDCE，BAC90，ABAC，BACB45，DCE90，CD2+CE2DE22AD2，BD2+CD22AD2，故答案为：CD2+BD22AD2；（2）如图，连接DE，将ABD顺时针旋转后得到BCE，BDBE，DBEABC60，ADBBEC，BDE是等边三角形，BED60，BECADB120，ADB的度数为120；（3）将ADB绕点A逆时针旋转120得ACE，连接DE，作AHDE于H，AECADB，ADAE，DAEBAC120，AED30，DECAECAED90，AD2，AH，DH3，ADAE，AHDE，DE2DH6，在RtDEC中，由勾股定理得，CE8，BDCE8，BD的长为8学科网（北京）股份有限公司