19.2.1 菱形及其性质 课件华东师大版数学八年级下册.ppt

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1、华东师大版 数学 八年级（下）第第1919章章 矩形、菱形与正方形矩形、菱形与正方形19.2 19.2 菱形菱形第第1 1课时课时 菱形及其性质菱形及其性质1.1.探索掌握菱形的性质，会用菱形的性质进行有关的探索掌握菱形的性质，会用菱形的性质进行有关的计算。计算。2.2.了解计算菱形面积的一个特殊公式（两对角线乘积了解计算菱形面积的一个特殊公式（两对角线乘积的一半）。的一半）。学习目标学习目标1.1.什么是矩形？什么是矩形？2.2.矩形都有哪些性质？矩形都有哪些性质？复习导入复习导入做一做做一做将一将一张张矩形的矩形的纸对纸对折，再折，再对对折，折，然后沿着然后沿着图图中的虚中的虚线线剪下，打

2、开，剪下，打开，你你发现这发现这是一个什么是一个什么样样的的图图形？形？合作探究合作探究新知一新知一 菱形菱形的定义的定义定定义义：有一有一组邻边组邻边相等的平行四相等的平行四边边形叫做菱形形叫做菱形要点精析：要点精析：(1)菱形菱形必必须满须满足两个条件足两个条件：一是平行四：一是平行四边边形形;二是二是一一组邻边组邻边相等二者必相等二者必须须同同时时具具备备，缺一不可；，缺一不可；(2)菱形的定菱形的定义义既是菱形的基本性既是菱形的基本性质质，也是菱形的基，也是菱形的基本判定方法本判定方法例例1 已知：如已知：如图图，在，在ABC中，中，CD平分平分ACB交交AB于于D，DEAC交交BC于

3、于E，DFBC交交AC于于F.四四边边形形DECF是菱形是菱形吗吗？为为什么？什么？导引：导引：由由DEFC，DFEC，可，可推出四推出四边边形形DECF为为平行四平行四边边形，再根据有一形，再根据有一组邻边组邻边相相等的平行四等的平行四边边形是菱形可得形是菱形可得结论结论四四边边形形DECF是菱形是菱形理由如下：理由如下：DEFC，DFEC，四四边边形形DECF为为平行四平行四边边形形由由ACDE，知，知23.CD平分平分ACB，12，13，DEEC，平行四平行四边边形形DECF为为菱形菱形(有一有一组邻边组邻边相等的平相等的平行四行四边边形是菱形形是菱形)解：解：本本题题考考查查了菱形的定

4、了菱形的定义义，菱形的定，菱形的定义义也可以作也可以作为为菱形的判定方法菱形的判定方法归纳小结归纳小结1如如图图，若要使平行四，若要使平行四边边形形ABCD成成为为菱形，菱形，则则需需 要添加的条件是要添加的条件是()AABCD BADBCCABBC DACBD巩固新知巩固新知2如如图图，在在菱菱形形ABCD中中，E，F，G，H分分别别是是菱菱形形四四边边的的中中点点，连连结结EG，FH，交交于于点点O，则则图图中中的的菱形共有菱形共有()A4个个 B5个个C6个个 D7个个菱形有几条菱形有几条对对称称轴轴？对对称中心在哪里？称中心在哪里？合作探究合作探究新知二新知二 矩形的对称性矩形的对称性

5、 如如图图,我我们发现们发现，菱形既是中，菱形既是中心心对对称称图图形，也是形，也是轴对轴对称称图图形，形，对对称称轴为轴为它的它的对对角角线线所在的直所在的直线线.1如如图图，O是是菱菱形形ABCD的的对对角角线线AC，BD的的交交点点，E，F分分别别是是OA，OC的中点，下列的中点，下列结论结论：SADESEOD；四四边边形形BFDE是中心是中心对对称称图图形；形；DEF是是轴对轴对称称图图形；形；ADEEDO.其中正确的有其中正确的有()A1个个 B2个个 C3个个 D4个个巩固新知巩固新知2(中中考考青青林林)如如图图，在在菱菱形形ABCD中中，点点A在在x轴轴上上，点点B的坐的坐标为

6、标为(8，2)，点，点D的坐的坐标为标为(0，2)，则则点点C 的坐的坐标为标为_菱形的性菱形的性质质1 菱形的四条菱形的四条边边都相等都相等.合作探究合作探究新知三新知三 菱形的边的性质菱形的边的性质例例2 如如图图，在菱形，在菱形ABCD中，中，BAD2B.试试求出求出B的大小，并的大小，并说说明明ABC是等是等边边三角形三角形.解：解：在菱形在菱形ABCD中，中，BBAD180，BAD2B,B60.在菱形在菱形ABCD中，中，ABBC(菱形的四条菱形的四条边边都相等），都相等），B60,ABC是等是等边边三角形三角形.例例3 如如图图，菱形，菱形ABCD的的对对角角线线AC与与BD 相交

7、于点相交于点O，AE垂垂直且平分直且平分CD，垂足，垂足为为点点E.求求BCD的大小的大小.解：解：四四边边形形ABCD是菱形，是菱形，ADDCCBBA(菱形的菱形的四条四条边边都相等都相等).又又AE垂直平分垂直平分CD，ACAD，ACADDCCBBA，即即ADC与与ABC都都为为等等边边三角形，三角形，ACDACB60.BCD120.1边长为边长为3 cm的菱形的周的菱形的周长长是是()A6 cm B9 cm C12 cm D15 cm2如如图图，在在菱菱形形ABCD中中，AB5，BCD120，则则ABC的周的周长长等于等于()A20 B15 C10 D5巩固新知巩固新知1.性性质质(1)

8、菱形的两条菱形的两条对对角角线线互相垂直互相垂直；(2)菱形的每一条菱形的每一条对对角角线线平分平分一一组对组对角；角；(3)菱形具有平行四菱形具有平行四边边形的一切性形的一切性质质；2.菱形的面菱形的面积计积计算：算：菱形的面菱形的面积积等于底乘高等于底乘高菱形的面菱形的面积积等于等于对对角角线线乘乘积积的一半，的一半，对对于于对对角角线线互相互相垂直的四垂直的四边边形的面形的面积积都可以用两条都可以用两条对对角角线线乘乘积积的一半来的一半来进进行行计计算算合作探究合作探究新知四新知四 菱形的对角线的性质菱形的对角线的性质3.易易错错警示：警示：(1)菱形和矩形都是建立在平行四菱形和矩形都是

9、建立在平行四边边形的基形的基础础上；上；矩形是附加一直角；而菱形附加一矩形是附加一直角；而菱形附加一组邻边组邻边相等；相等；(2)矩形的两条矩形的两条对对角角线线把矩形分割成把矩形分割成四个面四个面积积相等的相等的等腰三角形等腰三角形而菱形的两条而菱形的两条对对角角线线把菱形分割成把菱形分割成四个全等的直角三角形四个全等的直角三角形；(3)菱形的菱形的对对称称轴轴是两条是两条对对角角线线所在的直所在的直线线，不要，不要误误认为认为两条两条对对角角线线是它的是它的对对称称轴轴例例4 如如图图，已知菱形，已知菱形ABCD的的边长为边长为 2 cm，BAD120，对对角角线线AC、BD相交于点相交于

10、点O.试试求求这这 个菱个菱形的两条形的两条对对角角线线AC与与BD的的长长.(结结果保留根号果保留根号)解：解：四四边边形形ABCD是菱形，是菱形，OBOD，ABAD(菱形的四条菱形的四条边边都相等都相等).在在ABO和和ADO中，中，ABAD，AOAO,OBOD,ABOADO,BAODAO BAD60.在在ABC中，中，ABBC，BAC60,ABC为为等等边边三角形，三角形，ACAB2.在菱形在菱形ABCD中，中，ACBD(菱形的菱形的对对角角线线互相垂直互相垂直)，AOB为为直角三角形，直角三角形，例例5 如如图图，在菱形，在菱形ABCD中，中，对对角角线线AC与与BD相交于相交于点点O

11、，BD6 cm，AC4 cm.求菱形的周求菱形的周长长导引：导引：由于菱形的四条由于菱形的四条边边都相等，都相等，所以要求其周所以要求其周长长就要先求就要先求出其出其边长边长由菱形的性由菱形的性质质可知，其可知，其对对角角线线互相垂直互相垂直平分，因此可以在直角三平分，因此可以在直角三角形中利用勾股定理来角形中利用勾股定理来进进行行计计算算解：解：四四边边形形ABCD是菱形，是菱形，ACBD，AO AC，BO BD.AC4 cm，BD6 cm，AO2 cm，BO3 cm.在在RtABO中，由勾股定理，得中，由勾股定理，得菱形的周菱形的周长长4AB 菱形的菱形的对对角角线线将菱形分成四个全等的直

12、角三角将菱形分成四个全等的直角三角形，我形，我们们通常将菱形通常将菱形问题问题中求相关中求相关线线段的段的长长转转化化为为求直角三角形求直角三角形问题问题中相关中相关线线段的段的长长，再利用勾股定，再利用勾股定理来理来计计算算归纳小结归纳小结1如如图图，在菱形，在菱形ABCD中，中，AB5，OA4.求菱形求菱形 的周的周长长与两条与两条对对角角线线的的长长度度.2试说试说明菱形的面明菱形的面积积等于它的等于它的两条两条对对角角线长线长的乘的乘积积的一半的一半.巩固新知巩固新知3(中考中考莆田莆田)菱形具有而一般平行四菱形具有而一般平行四边边形不具有的形不具有的 性性质质是是()A对边对边相等相

13、等 B对对角相等角相等C对对角角线线互相平分互相平分 D对对角角线线互相垂直互相垂直4(中中考考枣枣庄庄)如如图图，四四边边形形ABCD是是菱菱形形，AC8，DB6，DHAB于于H，则则DH等于等于()A.B.C5 D41(3分分)如如图图，菱菱形形ABCD中中，E，F，G，H分分别别是是菱菱形形四四边边的的中中点点，连结连结EG与与FH交于点交于点O，则图则图中的菱形共有中的菱形共有()A4个个B5个个C6个个D7个个B课堂练习课堂练习2(4分分)如如图图，在在 ABCD中中，12，BCDC，ABCD是是菱菱形形(_).(请请在在括括号号内内填填上上理理由由)有一组邻边相等的平行四边形是菱形

14、有一组邻边相等的平行四边形是菱形3(4分分)菱菱形形既既是是中中心心对对称称图图形形，又又是是轴轴对对称称图图形形，它它有有_条条对对称称轴轴，其其对对称称轴为轴为_2对角线所在的直线对角线所在的直线4(3分分)(贵贵阳阳中中考考)如如图图，菱菱形形ABCD的的周周长长是是4 cm，ABC60，那那么么这这个菱形的个菱形的对对角角线线AC的的长长是是()A1 cm B2 cm C3 cm D4 cmA5(3分分)(河河北北中中考考)如如图图所所示示，菱菱形形ABCD中中，D150，则则1()A30 B25 C20 D15D6(8分分)(衢州中考衢州中考)已知：如已知：如图图，在菱形，在菱形AB

15、CD中，点中，点E，F分分别别在在边边BC，CD上，且上，且BEDF，连结连结AE，AF.求求证证：AEAF.证证明：明：四四边边形形ABCD是菱形，是菱形，ABAD，BD，BEDF，ABEADF(SAS)，AEAF7(3分分)菱形具有而矩形不一定具有的性菱形具有而矩形不一定具有的性质质是是()A对对角相等且互角相等且互补补 B对对角角线线互相平分互相平分C一一组对边组对边平行且相等平行且相等 D对对角角线线互相垂直互相垂直D8(4分分)如如图图所所示示，在在菱菱形形ABCD中中，O为为对对角角线线AC与与BD的的交交点点，若若CAB62，则则ADO等于等于_289(8分分)(教教材材P112

16、练练习习T3变变式式)如如图图，菱菱形形ABCD的的周周长长为为8，两两个个相相邻邻内角内角BAD与与ADC的度数之比的度数之比为为1 2，求，求该该菱形的面菱形的面积积1.菱形具有平行四菱形具有平行四边边形的一切性形的一切性质质2.菱形的每一条菱形的每一条对对角角线线平分一平分一组对组对角角3.菱形面菱形面积积等于两等于两对对角角线线的的长长度乘度乘积积的一半的一半4.菱形是中心菱形是中心对对称称图图形，形，对对称中心是两条称中心是两条对对角角线线的交的交点，菱形也是点，菱形也是轴对轴对称称图图形形5.利用菱形的利用菱形的对对角角线计线计算算线线段的段的长长度度时时，通常要借助，通常要借助勾

17、股定理来勾股定理来进进行行注意：注意：菱形的菱形的对对角角线线互相垂直平分，但不一定相等互相垂直平分，但不一定相等归纳新知归纳新知1如如图图，在菱形，在菱形ABCD中，中，BAD80，AB的垂直平分的垂直平分线线交交对对角角线线AC于点于点F，垂足，垂足为为点点E，连结连结DF，则则CDF等于等于()A50 B60 C70 D80B课后练习课后练习C 3(无无锡锡中中考考)如如图图，在在菱菱形形ABCD中中，B50，点点E在在CD上上，若若AEAC，则则BAE_.1154(广广西西中中考考改改编编)如如图图，在在菱菱形形ABCD中中，对对角角线线AC，BD交交于于点点O，过过点点A作作AHBC

18、于点于点H，已知，已知BO4，OC3，则则AH_5如如图图所所示示，四四边边形形ABCD是是菱菱形形，过过AB的的中中点点E作作AC的的垂垂线线EF，交交AD于点于点M，交，交CD的延的延长线长线于点于点F.若若DF2，求菱形，求菱形ABCD的周的周长长解解：连连结结BD，则则ACBD.EFAC，EFBD.ABCF，四四边边形形EFDB是是平平行行四四边边形形，EBDF2.E是是AB的的中中点点，AB2EB4，菱形菱形ABCD的周的周长长4AB166如如图图，等腰三角形，等腰三角形CEF的两腰的两腰CE，CF的的长长与菱形与菱形ABCD的的边长边长相等相等(1)求求证证：BECDFC；(2)当

19、当ECF是等是等边边三角形三角形时时，求，求B的度数的度数解解：(1)证证 明明：四四 边边 形形 ABCD是是 菱菱 形形，CB CD，且且 BD.CEF是是等等腰腰三三角角形形，CECF.CECB，CFCD，BCEB，DCFD，CEBCFD，BECDFC(AAS)(2)设设Bx，CECB，CEBBx，BCE1802x，同同理理FCD1802x.CEF是是等等边边三三角角形形，ECF60.四四边边ABCD是是菱菱形形，BBCD180，x2(1802x)60180，x80，即，即B807(动动态态探探究究)如如图图，将将一一张张直直角角三三角角形形纸纸片片ABC沿沿斜斜边边AB上上的的中中线线

20、CD剪剪开开，得得到到ACD，再再将将ACD沿沿DB方方向向平平移移到到ACD的的位位置置，若若平平移移开开始始后后点点D未未到到达达点点B时时，AC交交CD于于点点E，DC交交CB于于点点F，连结连结EF.(1)试试探究探究ADE的形状，的形状，请说请说明理由；明理由；(2)当当四四边边形形EDDF为为菱菱形形时时，判判断断ADE与与EFC是是否否全全等等，请请说说明理由明理由解解：(1)ADE是是等等腰腰三三角角形形理理由由：ACB是是直直角角三三角角形形，ACB 90，CD是是 中中 线线，CD AD DB，DACDCA.ACAC，DAE DAC，DEA DCA，DAEDEA，ADE是等

21、腰三角形是等腰三角形(2)全全等等理理由由如如下下：四四边边形形EDDF是是菱菱形形，EFDEDA，EFDD，FECDAE，EFCADC，又又ECFDCADEA，ADEEFC(AAS)8如如图图，点点O是是菱菱形形ABCD对对角角线线的的交交点点，DEAC，CEBD，连连结结OE.求求证证：OEBC.证证明明：DEAC，CEBD，四四边边形形DOCE为为平平行行四四边边形形又又四四边边形形ABCD为为菱菱形形，ODOC，DCBC，四四边边形形DOCE为为矩矩形形，OEDC，OEBC9如如图图，在在边边长长为为4的的菱菱形形ABCD中中，BD4，E，F分分别别是是AD，CD上上的的动动点点(包含端点包含端点)，且，且AECF4，连结连结BE，EF，FB.(1)求求证证：BEBF；(2)求求EF的最大的最大值值与最小与最小值值解解：(1)证证明明：四四边边形形ABCD是是边边长长为为4的的菱菱形形，BD4，ABD，CBD都都是是边边长长为为4的的等等边边三三角角形形，AECF4，CF4AEADAEDE，又又BDBC4，BDEC60，BDEBCF(SAS)，BEBF再见再见