中考数学频考点突破--二次函数与一次函数综合.docx

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1、中考数学频考点突破-二次函数与一次函数综合1如图，在直角坐标平面内，直线y=x+5与 轴和 轴分别交于A、B两点，二次函数y= x2 +bx+c的图象经过点A、B，且顶点为C（1）求这个二次函数的解析式；（2）求sinOCA的值；（3）若P是这个二次函数图象上位于x轴下方的一点，且 ABP的面积为10，求点P的坐标2如图，已知二次函数y 12x2x 32 的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点 （1）求A、B、C三点的坐标； （2）求直线BC的函数表达式；（3）若D是线段OB上一个动点，过D作x轴的垂线交直线BC于E点，交抛物线于F点，求线段EF的最大值3如图二次函数 的图象经过A（1，0

2、）和B（3，0）两点，且交 y 轴于点C（1）试确定 、 的值；（2）若点M为此抛物线的顶点，求MBC的面积4设a，b是任意两个实数，用mina，b表示a，b两数中较小者，例如：min1，11，min1，21，min4，33，参照上面的材料，解答下列问题：（1）min3，2 ，min1，2 ； （2）若min3x+1，x+2x+2，求x的取值范围； （3）求函数yx22x+4与yx2的图象的交点坐标，函数yx22x+4的图象如图所示，请你在图中作出直线yx2，并根据图象直接写出minx22x+4，x2的最大值. 5已知，二次三项式x2+2x+3.（1）关于x的一元二次方程x2+2x+3mx2+

3、mx+2（m为整数）的根为有理数，求m的值； （2）在平面直角坐标系中，直线y2x+n分别交x，y轴于点A，B，若函数yx2+2|x|+3的图象与线段AB只有一个交点，求n的取值范围. 6如图，二次函数 y=ax2+bx+c(a0) 的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点 C(0,3) ，且二次函数图象的顶点坐标为 (1,4) ，点C，D是抛物线上的一对对称点，一次函数的图象过点B，D. （1）求A，B两点的坐标. （2）根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围. 7小明根据华师版八年级下册教材P37学习内容，对函数y= 12 x2的图象和性质进行了探究，试将如下尚不完整的过

4、程补充完整 （1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应数值如表： x4n2101234y84.520.500.524.58其中n= ；（2）如图，在平面直角三角形坐标系xOy中，已描出了以上表中的部分数值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的大致图象 （3）根据画出的函数图象，小明观察发现：该函数有最小值，没有最大值；当函数值取最小时，自变量x的值为 （4）进一步探究函数的图象发现： 若点A（xa，ya），点B（xb，yb）在函数y= 12x2 的图象上；当xaxb0时，ya与yb的大小关系是 ；当0xaxb时，ya与yb的大小关系是 ；直线y1恰好经过函数的图象上的点（2，2）与（

5、1，0.5）；当yy1时，x的取值范围是 8如图所示，将抛物线y 12 x2沿x轴向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到新的抛物线 （1）直接写出新抛物线的解析式为 ； （2）设新抛物线交x轴于A、B两点，交y轴于C，顶点为D，作CECD交抛物线于E，如图所示，探究如下问题：求点E的坐标；若一次函数ykx+1的图象与抛物线存在唯一交点且交对称轴交于点F，连接DE，猜测直线DE与对称轴的夹角和一次函数ykx+1的图象与对称轴的夹角之间的大小关系，并证明9某超市准备销售一种儿童玩具，进货价格为每件40元，并且每件的售价不低于进货价经过市场调查，每月的销售量y（件）与每件的售价x（元）之

6、间满足如图所示的函数关系（1）求每月的销售量y（件）与每件的售价x（元）之间的函数关系式；（不必写出自变量的取值范围）（2）物价部门规定，该儿童玩具每件的利润不允许高于进货价的60%设销售这种儿童玩具每月的总利润为w（元），那么每件售价定为多少元可获得最大利润？最大利润是多少？10已知二次函数yx22x3的图象为抛物线C（1）写出抛物线C的开口方向、对称轴和顶点坐标；（2）当2x4时，求该二次函数的函数值y的取值范围；（3）将抛物线C先向右平移2个单位长度，得到抛物线C1；再将抛物线C1向下平移1个单位长度，得到抛物线C2，请直接写出抛物线C1，C2对应的函数解析式11如图，在平面直角坐标系x

7、Oy中，直线y=x+3交x轴于A点，交y轴于B点，过A、B两点的抛物线y=-x2+bx+c交x轴于另一点C，点D是抛物线的顶点 （1）求此抛物线的解析式； （2）点P是直线AB上方的抛物线上一点，（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线交x轴于点H，交直线AB于点F，作PGAB于点G求出PFG的周长最大值； （3）在抛物线y=-x2+bx+c上是否存在除点D以外的点M，使得ABM与ABD的面积相等？若存在，请求出此时点M的坐标；若不存在，请说明理由 12如图，顶点M在y轴上的抛物线与直线y=x+1相交于A、B两点，且点A在x轴上，点B的横坐标为2.（1）求抛物线的函数关系式；（2）把抛物线与直

8、线y=x的交点称为抛物线的不动点.若将（1）中抛物线平移，使其顶点为（m，2m），当m满足什么条件时，平移后的抛物线总有不动点.13如图1，在平面直角坐标系中，直线l与x轴、y轴分别交于点B（4，0）、C（0，3），点A为x轴负半轴上一点，AMBC于点M交y轴于点N，满足4CN=5ON已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B、C（1）求抛物线的函数关系式；（2）连接AC，点D在线段BC上方的抛物线上，连接DC、DB，若BCD和ABC面积满足SBCD= 35 SABC，求点D的坐标；（3）如图2，E为OB中点，设F为线段BC上一点（不含端点），连接EF一动点P从E出发，沿线段EF以每秒1个单位

9、的速度运动到F，再沿着线段FC以每秒 53 个单位的速度运动到C后停止若点P在整个运动过程中用时最少，请直接写出最少时间和此时点F的坐标14如图，二次函数y=-x-2x+3的图象交x轴于点A，B（点A在点B的左侧），交y轴于点C。过图象上的一点D作x轴的垂线交x轴于点F，交直线AC于点E，连结OE。（1）当-1.5x0时，求y的取值范围。 （2）以原点O为旋转中心，将OEF绕点逆时针旋转90。当点E的对应点E落在二次函数图象的对称轴上时，求点D的坐标。15如图，二次函数 y=(x+2)2+m 的图象与y轴交于点C，点B在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称，已知一次函数y=kx+b的图象经

10、过该二次函数图象上的点A(1，0)及点B. （1）求二次函数与一次函数的解析式； （2）根据图象，写出满足 (x+2)2+mkx+b 的x的取值范围。 16在“我为祖国点赞”征文活动中，学校计划对获得一、二等奖的学生分别奖励一支钢笔，一本笔记本.已知购买2支钢笔和3个笔记本共38元，购买4支钢笔和5个笔记本共70元.（1）钢笔、笔记本的单价分别为多少元？ （2）经与商家协商，购买钢笔超过30支时，每增加一支，单价降低0.1元；超过50支，均按购买50支的单价销售.笔记本一律按原价销售.学校计划奖励一、二等奖学生共计100人，其中一等奖的人数不少于30人，且不超过60人，这次奖励一等学生多少人时

11、，购买奖品金额最少，最少为多少元？ 答案解析部分1【答案】（1）解：由直线y=x+5得点B（0，5），A（5，0），将A、B两点的坐标代入 ，得 ，解得 抛物线的解析式为 （2）解：过点C作CHx轴交x轴于点H把 配方得 点C（3，-4），CH=4，AH=2，AC= OC=5， OA=5 OA=OC OAC=OCAsinOCA=sinOAC= CHAC=425=255（3）解：过P点作PQ x轴并延长交直线y=x+5于Q设点P（m， m2 6m+5），Q（m，-m+5） PQ=m+5（ m2 6m+5）= m2 +5mP（1，0）（舍去），P（4，-3）【知识点】待定系数法求二次函数解析式；勾

12、股定理的应用；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数图象上点的坐标特征【解析】【分析】（1）根据直线y=x+5与 轴和 轴分别交于A、B两点，求出A,B两点的坐标，然后将A、B两点的坐标代入 ，得出关于c,b的方程组，解出方程组，求出c,b的值就能求出抛物线的解析式了；（2）过点C作CHx轴交x轴于点H 将抛物线配方成顶点式，得出顶点C的坐标，从而得出CH,AH,的长，根据勾股定理得出AC，OC的长，进而判断出OA=OC 根据等边对等角得出OAC=OCA，然后根据等角的同名三角函数值相等得出答案；（3）过P点作PQ x轴并延长交直线y=x+5于Q，设点P（m， m 2 6m+5），Q（m，-m

13、+5） PQ=m+5（ m 2 6m+5）= m 2 +5m，根据 列出方程求解就能得出m的值，从而得出P点的坐标。2【答案】（1）解：二次函数y 12 x2x 32 ， 令 y=0 ，即 12x2x32=0 ，x1=3 ， x2=1 ，由图可得，B在A的右边，B(3，0) ， A(1，0) ，令 x=0 ，则 y=32 ，即 C(0，32)（2）解：设直线BC解析式为 y=kx+b ， 把 B(3，0) ， C(0，2) 代入得，3k+b=0b=32 ，解得 k=12b=32 ，直线BC解析式为 y=12x32（3）解：设 D(x，0) ， 0x3 ， DFx 轴， xD=xE=xF=x ，

14、E在直线BC上，yE=12x32 ，即 E(x，12x32) ，F在抛物线上，yF=12x2x32 ，即 F(x，12x2x32) ，EF=|yEyF|=12x32(12x2x32)=12x2+32x ，x=b2a=32 ，0x32 ，y随x的增大而增大， 320，抛物线C的开口向上y=x22x3=(x1)24，抛物线C的对称轴为直线x=1，顶点坐标为(1，4)（2）解：当2x4时，y随x的增大而增大；当x=2时，y=3；当x=4时，y=5函数值y的取值范围是3y5（3）解：y=x26x+5，y=x26x+4【知识点】二次函数与一次函数的综合应用【解析】【解答】(3)解：抛物线C1对应的函数解

15、析式为y=(x12)24=x26x+5；抛物线C2对应的函数解析式为y=x26x+51=x26x+4【分析】（1）利用配方法将二次函数的一般式化为顶点式，再求解即可；（2）利用二次函数的性质求解即可；（3）根据函数解析式平移的特征：左加右减，上加下减求解即可。11【答案】（1）解：直线AB：y=x+3与坐标轴交于A（-3，0）、B（0，3）， 代入抛物线解析式y=-x2+bx+c中093b+c3c ，b2c3抛物线解析式为：y=-x2-2x+3；（2）解：由题意可知PFG是等腰直角三角形， 设P（m，-m2-2m+3），F（m，m+3），PF=-m2-2m+3-m-3=-m2-3m，PFG周长

16、为：-m2-3m+ 2 （-m2-3m），=-（ 2 +1）（m+ 32 ）2+ 9(2+1)4 ，PFG周长的最大值为： 9(2+1)4 （3）解：点M有三个位置，如图所示的M1、M2、M3，都能使ABM的面积等于ABD的面积 此时DM1AB，M3M2AB，且与AB距离相等，D（-1，4），E（-1，2）、则N（-1，0）y=x+3中，k=1，直线DM1解析式为：y=x+5，直线M3M2解析式为：y=x+1，x+5=-x2-2x+3或x+1=-x2-2x+3，x1=-1，x2=-2，x3= 3+172 ，x4= 3172 ，M1（-2，3），M2（ 3+172 ， 1+172 ），M3（ 3

17、172 ， 1172 ）【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用【解析】【分析】（1）将已知点的坐标代入二次函数的解析式利用待定系数法确定二次函数的解析式即可；（2）首先根据PFG是等腰直角三角形，设P（m，-m2-2m+3）得到F（m，m+3），进而得到PF=-m2-2m+3-m-3=-m2-3m，从而得到PFG周长为：-m2-3m+ 2 （-m2-3m），配方后即可确定其最大值；（3）当DM1AB，M3M2AB，且与AB距离相等时，根据同底等高可以确定ABM与ABD的面积相等，分别求得直线DM1解析式为：y=x+5和直线M3M2解析式为：y=x+1，联立之后求得交

18、点坐标即可12【答案】（1）解： A 点为直线 y=x+1 与 x 轴的交点， A(1，0) ，又 B 点横坐标为2，代入 y=x+1 可求得 y=3 ，B(2，3) ， 抛物线顶点在 y 轴上， 可设抛物线解析式为 y=ax2+c ，把 A 、 B 两点坐标代入可得 a+c=04a+c=3 ，解得 a=1c=1 ， 抛物线解析式为 y=x21 ；（2）解：当抛物线 y=x21 平移后顶点坐标为 (m，2m) 时，其解析式为 y=(xm)2+2m ，即 y=x22mx+m2+2m ， 联立 y=x ，可得 y=xy=x22mx+m2+2m ，消去 y 整理可得 x2(2m+1)x+m2+2m=

19、0 ， 平移后的抛物线总有不动点， 方程 x2(2m+1)x+m2+2m=0 有实数根， 0 ，即 (2m+1)24(m2+2m)0 ，解得 m14 ，即当 m14 时，平移后的抛物线总有两个不动点.【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数与一次函数的综合应用【解析】【分析】（1）易得A（-1，0）、B（2，3），根据抛物线的顶点在y轴上可设抛物线的解析式为y=ax2+c，将A、B代入求出a、c的值，据此可得抛物线的解析式；（2）平移后的抛物线的解析式为y=x2-2mx+m2+2m，联立y=x，结合判别式0可得m的范围.13【答案】（1）解：C（0，3），OC=3，4CN=5ON，ON= 4

20、3 ，OAN=NCM，AONCOB，OAOC = ONOB ，即 OA3 = 434 ，解得OA=1，A（1，0），设抛物线解析式为y=a（x+1）（x4），把C（0，3）代入得a1（4）=3，解得a= 34 ，抛物线解析式为y= 34 （x+1）（x4）= 34 x2+ 94 x+3；（2）解：设直线BC的解析式为y=mx+n，把C（0，3），B（4，0）代入得 n=34m+n=0 ，解得 m=34n=3 ，直线BC的解析式为y= 34 x+3，作PQy轴交BC于Q，如图1，设P（x， 34 x2+ 94 x+3），则Q（x， 34 x+3），DQ= 34 x2+ 94 x+3（ 34 x+

21、3）= 34 x2+3x，SBCD=SCDQ+SBDQ= 12 4（ 34 x2+3x）= 32 x2+6x，SBCD= 35 SABC， 32 x2+6x= 35 12 （4+1）3，整理得x24x+3=0，解得x1=1，x2=3，D点坐标为（1， 92 ）或（3，3）；（3）解：设F（m， 34 x+3），则EF= (x2)2+(34x+3)2 = 2516x2172x+13 ，CF= x2+(34x+33)2=54x ，点P在整个运动过程中所用时间t=EF+ CF53 =EF+ 35 CF2 EF35CF ，当EF= 35 CF时，取等号，此时t最小，即 2516 x2 172 x+13

22、=（ 35 54 x）2，整理得2x217x+26，解得x1=2，x2= 132 （舍去），点P在整个运动过程中所用的最少时间2 34 2=3秒，此时点F的坐标为（2， 32 ）【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数的实际应用-几何问题【解析】【分析】（1）先利用OC=3和4CN=5ON计算出ON= 43 ，再证明AONCOB，利用相似比计算出OA=1，得到A（1，0），然后利用交点式可求出抛物线解析式为y= 34 x2+ 94 x+3；（2）先利用待定系数法求出直线BC的解析式为y= 34 x+3，作PQy轴交BC于Q，如图1，设P（x， 34 x2+

23、94 x+3），则Q（x， 34 x+3），再计算出DQ= 34 x2+3x，根据三角形面积公式得SBCD=SCDQ+SBDQ= 32 x2+6x，然后根据SBCD= 35 SABC得到 32 x2+6x= 35 12 （4+1）3，然后解方程求出x即可得到D点坐标；（3）设F（m， 34 x+3）利用两点间的距离公式得到EF= 2516x2172x+13 ，CF= 54 x，则点P在整个运动过程中所用时间t=EF+ CF53 =EF+ 35 CF，根据不等式公式得到EF+ 35 CF2 EF35CF ，当EF= 35 CF时，取等号，此时t最小，解方程 2516 x2 172 x+13=（

24、35 54 x）2得x1=2，x2= 132 （舍去），于是得到点P在整个运动过程中所用的最少时间2 34 2=3秒，此时点F的坐标为（2， 32 ）14【答案】（1）解：由题意可得：对称轴为直线x= b2a =-1。 当x=-1时，y=4当x=0时，y=3由图象得，当-1.5x0时，y的取值范围是3y4（2）解：由题意得，A（-3，0），C（0，3） EF=1，EF= EF=1。设直线AC的解析式为y=kx+b。将A（-3，0），C（0，3）分别代入得3k+b=0b=3 解得 k=1b=3直线AC的解析式为y=x+3当y=1时，x=-2；E的坐标是（-2，1）将x=-2代入y=-x-2x+3

25、，得y=3，D的坐标是（-2，3）。【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数y=ax2+bx+c的性质【解析】【分析】（1）利用抛物线的对称轴直线公式求得其对称轴直线，分别计算出当x1时及当x0时的函数值，按照二次函数的性质可得y的取值范围；（2）先求得二次函数与坐标轴的交点坐标，再按照旋转的性质及点E落在二次函数图象的对称轴上可得EF1，则可知EF1，用待定系数法求得直线AC的解析式，得出点E的坐标，则可知点D的横坐标，从而根据二次函数的解析式可得点D的纵坐标15【答案】（1）解：抛物线 y=(x+2)2+m 经过点A(1，0)， 0=1+m，m=1，抛物线解析式为 y=（x+2）2

26、1=x2+4x+3点C坐标(0，3)， y=（x+2）21=x2+4x+3对称轴x=2，B. C关于对称轴对称，点B坐标(4，3)，y=kx+b经过点A. B，k+b=04k+b=3解得 k=1b=1 ，一次函数解析式为y=x1；（2）略 【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用【解析】【解答】解：（2）点A（-1，0），点B（-4，3）当x-4，和x-1，（x+2）2+mkx+b. 【分析】（1）将点A的坐标代入二次函数解析式，建立关于m的方程，解方程求出m的值，可得到二次函数解析式；再求出点C的坐标，利用轴对称的性质求出点B的坐标，然后利用待定系数法，将点A，B的

27、坐标分别代入一次函数解析式，建立关于k，b的方程组，解方程组求出k，b的值，就可得到一次函数解析式。 （2）利用两函数图象的交点A，B的横坐标，观察图像，要使（x+2）2+mkx+b，就是看二次函数图象高于一次函数图象时的x的取值范围。16【答案】（1）解：设钢笔、笔记本的单价分别为 x 、 y 元.根据题意可得 2x+3y=384x+5y=70解得： x=10y=6 .答：钢笔、笔记本的单价分别为10元，6元（2）解：设钢笔单价为 a 元，购买数量为b支，支付钢笔和笔记本总金额为W元. 当30b50时，a=100.1(b30)=0.1b+13w=b（-0.1b+13）+6（100-b）=0.

28、1b2+7b+600=0.1(b35)2+722.5当 b=30 时，W=720，当b=50时，W=700当30b50时，700W722.5当50b60时，a=8，W=8b+6(100b)=2b+600,700W720当30b60时，W的最小值为700元当一等奖人数为50时花费最少，最少为700元【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题【解析】【分析】（1）设钢笔、笔记本的单价分别为x、y元，根据题意列方程组，解之即可；（2）设钢笔的单价为a元，购买数量为b元，支付钢笔和笔记本的总金额w元。因为30b60，所以分当30b50时和当50b60时两种情况分别列出w关于b的解析式，然后根据b的取值范围求出w的取值范围，从而确定出哪种情形下w有最小值，于是得到结论学科网（北京）股份有限公司