数学中考复习 最值与存在性问题 专题提升训练 .docx

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1、九年级数学中考复习最值与存在性问题专题提升训练（附答案）一选择题1如图，在ABC中，点A、B、C的坐标分别为（m，0）、（0，1）和（3，2），则当ABC的周长最小时，m的值为（）A0B1C2D32如图，在四边形ABCD中，BD90，BAD105，在BC，CD上分别找一点M、N，使得AMN周长最小，则AMN+ANM的度数为（）A100B105C120D1503如图，在ABC中，ACB90，将ABC绕点C顺时针旋转90得到DEC，使点A的对应点D恰好落在BC边的延长线上，点B的对应点为点E，延长DE交AB于点F，则下列结论一定正确的是（）AACDEBAEFDCDFABDABBC+CD4如图，在正

2、ABC中，D为AC上一点，E为AB上一点，BD，CE交于P，若AECD，则BPE的度数为（）A60B45C75D505如图，已知直线l：yx，过点A（0，1）作y轴的垂线交直线l于点B，过点B作直线l的垂线交y轴于点A1；过点A1作y轴的垂线交直线l于点B1，过点B1作直线l的垂线交y轴于点A2；按此作法继续下去，则点A4的坐标为（）A（0，64）B（0，128）C（0，256）D（0，512）二填空题6将10cm长的线段分成两部分，一部分作为正方形的一边，另一部分作为一个等腰直角三角形的斜边，求这个正方形和等腰直角三角形面积之和的最小值为 7若点（m，n）在函数y2x4的图象上，则m2+n2

3、的最小值是 8二次函数yx2+bx+c经过（5，3）和（2，3），则当x 时，函数取到最小值9在直角坐标系xOy中，点A1，A2，A3，和B1，B2，B3，分别在直线ykx+b和x轴上OA1B1，B1A2B2，B2A3B3，都是等腰直角三角形，如果A1（1，1），A2（），那么点A3的横坐标是 ，点An的横坐标是 10如图，在直角坐标系中，直线yx+4交矩形OACB于F与G，交x轴于D，交y轴于E（1）OED的面积为 ；（2）若FOG45，则矩形OACB的面积是 11如图，在等腰ABC中，ABAC，BDCE，BE、CD交于点O，BCx轴已知A（3，5），B（1，1），D（2，3），则点O坐标为

4、 12如图，边长为1的正方形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，将正方形OABC绕顶点O顺时针旋转75，使点B落在抛物线yax2（a0）的图象上，则该抛物线的解析式为 13如图1所示，E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P、Q同时从点B出发，点P以1cm/秒的速度沿折线BEEDDC运动到点C时停止，点Q以2cm/秒的速度沿BC运动到点C时停止设P、Q同时出发t秒时，BPQ的面积为ycm2已知y与t的函数关系图象如图2（其中曲线OG为抛物线的一部分，其余各部分均为线段），则下列结论：ADBE5；当0t5时，yt2；cosABE；当t秒时，ABEQBP；当BPQ的面积为4cm2时，时间t的值是或；其

5、中正确的结论是 三解答题14如图，四边形ABCD是边长为的正方形，ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将线段BM绕点B逆时针旋转60得到BN，连接EN、AM、CM（1）求证：AMBENB；（2）当M点在何处时，AM+BM+CM的值最小，说明理由；并求出AM、BM、CM的值15如图，已知ABC为等边三角形，M为三角形外任意一点（1）请你借助旋转知识说明AMBM+CM；（2）线段AM是否存在最大值？若存在，请指出存在的条件；若不存在，请说明理由16如图，ABC中，ACB70，将ABC绕点B按逆时针方向旋转得到BDE（点D与点A是对应点，点E与点C是对应点），且边DE恰好经过点

6、C，求ABD的度数17如图1所示抛物线与x轴交于O，A两点，OA6，其顶点与x轴的距离是6（1）求抛物线的解析式；（2）点P在抛物线上，过点P的直线yx+m与抛物线的对称轴交于点Q当POQ与PAQ的面积之比为1：3时，求m的值；如图2，当点P在x轴下方的抛物线上时，过点B（3，3）的直线AB与直线PQ交于点C，求PC+CQ的最大值18如图，O经过原点O，并且与x轴、y轴分别交于A、B两点，线段OA、OB（OAOB）的长分别是方程x27x+120的两根（1）如图（1）求O的直径；（2）如图（2）已知点C在劣弧OA上，连接BC交OA于D，当OC2CDCB时请找出图中的一对相似并给予证明；求C点的坐

7、标19如图1，以矩形OABC的顶点O为原点，OA所在直线为x轴，OC所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，顶点为点D的抛物线yx2+2x+1经过点B，点C（1）写出抛物线的对称轴及点B的坐标；（2）将矩形OABC绕点O顺时针旋转（0180）得到矩形OABC，当点B恰好落在BA的延长线上时，如图2，求点B的坐标；在旋转过程中，直线BC与直线OA分别与抛物线的对称轴相交于点M，点N若MNDM，求点M的坐标20如图，在平面直角坐标系中，抛物线yx2+mx+n与x轴正半轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C（1）利用直尺和圆规，作出抛物线yx2+mx+n的对称轴（尺规作图，保留作图痕迹，不写

8、作法）；（2）若OBC是等腰直角三角形，且其腰长为3，求抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，点P为抛物线对称轴上的一点，则PA+PC的最小值为 参考答案一选择题1解：如图所示，做出B关于x轴对称点为B，连接BC，交x轴于点A，此时ABC周长最小过点C作CHx轴，过点B作BHy轴，交CH于H，B（0，1），B（0，1），C（3，2），CHBH3，CBH45，BBA45，OBAOAB45，OBOA1，则此时A坐标为（1，0）m的值为1故选：B2解：如图，作点A关于BC的对称点A，关于CD的对称点A，连接AA与BC、CD的交点即为所求的点M、N，BAD105，BD90，A+A18010575，由

9、轴对称的性质得：AAAM，AAAN，AMN+ANM2（A+A）275150故选：D3解：由旋转可得，ABCDEC，ACDC，故A选项错误，ABDEBC+CD，故D选项错误，AEFDECB，故B选项错误，AD，又ACB90，A+B90，D+B90，BFD90，即DFAB，故C选项正确，故选：C4解：ABC是正三角形，ACBC，ABCD60，在AEC和CDB中，AECCDB（SAS），ACEDBC，BPEDBC+ECBACE+ECB60，故选：A5解：点A的坐标是（0，1），OA1，点B在直线yx上，OB2，OA14，OA216，得出OA364，OA4256，A4的坐标是（0，256）故选：C二填

10、空题6解：设等腰直角三角形的斜边为xcm，则正方形的边长为（10x）cm若等腰直角三角形的面积为S1，正方形面积为S2，则S1xxx2，S2（10x）2，面积之和Sx2+（10x）2x220x+1000，函数有最小值即S最小值20（cm2）故答案为20平方厘米7解：点（m，n）在函数y2x4的图象上，n2m4，m2+n2m2+（2m4）2，5m216m+16，a50，m2+n2的最小值故答案为：8解：二次函数yx2+bx+c中，a10，函数有最小值，二次函数yx2+bx+c经过（5，3）和（2，3），两点的函数值相等，当x时，y有最小值，故答案为9解：A1（1，1），A2（，）在直线ykx+b

11、上，解得，直线解析式为yx+；设直线与x轴、y轴的交点坐标分别为N、M，当x0时，y，当y0时，x+0，解得x4，点M、N的坐标分别为M（0，），N（4，0），tanMNO，作A1C1x轴与点C1，A2C2x轴与点C2，A3C3x轴与点C3，A1（1，1），A2（，），OB2OB1+B1B221+22+35，tanMNO，B2A3B3是等腰直角三角形，A3C3B2C3，A3C3（）2，即x+，解得：x，A3的坐标为；A1（1，1），A2（，），A3的坐标为：（，），点An的横坐标是5（）n14故答案为：5（）n1410解：（1）直线yx+4与x轴，y轴分别交于点D，点E，D（4，0），E（0，

12、4），ODOE4，ODE的面积ODOE448；故答案为：8；（2）ODOE，ODEOED45；OGEODF+DOG45+DOG，EOF45，DOFEOF+DOG45+DOG，DOFOGE，DOFEGO，DFEGOEOD16，过点F作FMx轴于点M，过点G作GNy轴于点NDMF和ENG是等腰直角三角形，设NGACa，FMBCb，DFb，GEa，DFGE2ab，2ab16，ab8，矩形OACB的面积ab8故答案为：811解：A0所在直线的解析式是x3，则E的坐标是（4，3），C的坐标是（5，1）设直线BE的解析式是ykx+b，则，解得：，则直线BE的解析式是：yx+，同理，CD的解析式是：yx+，

13、解方程组，解得：则O的坐标是（3，）故答案是：（3，）12解：如图，作BEx轴于点E，连接OB，正方形OABC绕顶点O顺时针旋转75，AOE75，AOB45，BOE30，OA1，OB，OEB90，BEOB，OE，点B坐标为（，），代入yax2（a0）得a，yx2故答案是：yx213解：根据图1可得，当点P到达点E时，点Q也到达点C，点P、Q的运动的速度分别是1cm/秒、2cm/秒BCBE10，ADBC10错误；又从M到N的变化是4，ED4，AEADED1046ADBC，EBQAEB，cosEBQcosAEB，故错误；如图2，过点P作PFBC于点F，ADBC，EBQAEB，sinEBQsinAE

14、B，PFPBsinEBQt，当0t5时，yBQPF2ttt2，故正确，如图4，当t时，点P在CD上，PDBEED104，PQCDPD8，AQ90，ABEQBP，故正确由知，yt2当y4时，t24，从而，故错误综上所述，正确的结论是三解答题14解：（1）由旋转的性质可知：BNBM，BABEBAE为等边三角形，EBA60又MBN60，NBEMBA在AMB和ENB中，BNBM，NBEMBA，BABE，AMBENB（2）如图所示：连接CE，当M点位于BD与CE的交点处时，AM+BM+CM的值最小，过点E作EFBC，垂足为FABE为等边三角形，四边形ABCD为正方形，EBA60，ABC90，EBC150

15、EBF30EF，FBFC+由（1）可知：AMBENB，ENAM又BNBM，NBM60，BNM为等边三角形BMMNAM+BM+MCEN+NM+MCECAM+BM+MC的最小值EC+1过点M作MGBC垂足为G，设BGMGx，则NBx，ENAMMC（+）x，x+2（+）x+1，x，BM，AMCM15解：（1）将BMC绕B点逆时针方向旋转，使C点与A点重合，得BMA，MBM60，BMBM，AMMCBMM为正三角形MMBM若M在AM上，则AMAM+MMBM+MC，若M不在AM上，连接AM、MM，在AMM中，根据三角形三边关系可知：AMAM+MM，AMBM+MC，综上所述：AMBM+CM；（2）线段AM有

16、最大值当且仅当M在AM上时，AMBM+MC；存在的条件是：BMC12016解：ABC绕点B按逆时针方向旋转得到BDE（点D与点A是对应点，点E与点C是对应点），ABDCBE，EACB70，BCBE，BCEE70，CBE180707040，ABD40故ABD的度数为4017解：（1）OA6，抛物线的对称轴为直线x3，设抛物线的解析式为ya（x3）2+k，顶点与x轴的距离是6，顶点为（3，6），ya（x3）26，抛物线经过原点，9a60，a，y（x3）26；（2）设直线yx+m与y轴的交点为E，与x轴的交点为F，E（0，m），F（m，0），OE|m|，AF|6+m|，直线yx+m与坐标轴的夹角为4

17、5，OM|m|，AN|6+m|，SPOQ：SPAQ1：3，OM：AN1：3，|m|：|6+m|1：3，解得m或m3；设P（t，t24t），过P作PEy轴交AB于点E，过P作PFBQ交于F，设直线AB的解析式为ykx+b，解得，yx+6，E（t，t+6），PEt+6（t24t）t2+3t+6，设直线AB与y轴交点为G，令x0，则y6，G（0，6），OGOA6，OGA45，设直线PQ与x轴交点为K，与y轴交点为L，直线PQ的解析式为yx+m，令x0，则ymL（0，m），令y0，则xm，K（m，0），OLOK，OLK45，GCL90，PFFQ3t，设BF与x轴交点为H，FHt2+4t，HQt2+4t

18、3+tt2+5t3，BQ3t2+5t3t2+5t，CQBQ（t2+5t），CPPE（t2+3t+6），PC+CQ（t2+3t+6）+（t2+5t）（t2+8t+6）（t3）2+9，当t3时，PC+CQ的最大值为918解：（1）x27x+120x13，x24，OAOB，OA4，OB3，由勾股定理得，AB5，AOB90，AB为O的直径，即O的直径为5；（2）OCDBCO，理由如下：OC2CDCB，又OCDBCO，OCDBCO；连接OA，OC，OC交OA于H，OCDBCO，COACBO，OCOA，AHOA2，则OH1.5，HC1，C点的坐标为（2，1）19解：（1）yx2+2x+1（x1）2+2抛物

19、线对称轴为直线x1四边形OABC是矩形CBOA，即CBx轴点C、B关于对称轴对称x0时，y1，即C（0，1）点B坐标为（2，1）（2）如图1，连接OB、OB矩形OABC绕点O顺时针旋转（0180）得到矩形OABCOBOB四边形OABC是矩形OAB90，即OABBABAB1点B坐标为（2，1）i）当090时，如图2，设抛物线对称轴交x轴于点E，过点D作DFBC于点F，交OA于点GOE1，DFM90四边形OABC是矩形OABC，AOCOCB90COGOCFCFG90四边形OCFG是矩形FGOCOC1FMGN，DMMNDMFONE，1DFFG1在DMF与ONE中DMFONE（AAS）DMON设M（1

20、，m）抛物线顶点D（1，2）MNDM2myNyMMNm（2m）2m2ON2m解得：m1，m21（此时点M在BC上即旋转角度0，舍去）M（1，）ii）当90180时，如图3，MNDM则点D、N重合设抛物线对称轴交x轴于点E，过点D作DFBC于点F，同理可证：DMFONE，DMON设M（1，m），则DM2mN（1，2），ON2mm2M（1，2）综上所述，点M坐标为（1，）或（1，2）20解：（1）如图，直线l为所作；（2）OBC是等腰直角三角形，且其腰长为3，即OBOC3，C（0，3），B（3，0），把C（0，3），B（3，0）分别代入yx2+mx+n得，解得，抛物线解析式为yx24x+3；（3）连接BC交直线l于P，如图，则PAPB，PC+PAPC+PBBC，此时PC+PA的值最小，而BCOB3，PA+PC的最小值为3故答案为3学科网（北京）股份有限公司