19.3.2 正方形的判定 课件华东师大版数学 八年级下册.ppt

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1、华东师大版 数学 八年级（下）第第1919章章 矩形、菱形与正方形矩形、菱形与正方形19.3 19.3 正方形正方形第第2 2课时课时 正方形的判定正方形的判定1.1.能进一步理解掌握正方形的判定定理能进一步理解掌握正方形的判定定理2 2进一步体会证明的必要性以及计算与证明在解决进一步体会证明的必要性以及计算与证明在解决问题中的作用问题中的作用.学习目标学习目标1.1.正方形是怎样的平行四边形？正方形是怎样的平行四边形？2.2.正方形是怎样的矩形？正方形是怎样的矩形？3.3.正方形是怎样的菱形？正方形是怎样的菱形？导入新知导入新知正方形面正方形面积积等于等于边长边长的平方或的平方或对对角角线线

2、平方的一半平方的一半.合作探究合作探究新知一新知一 正方形面积的性质正方形面积的性质例例1 山西山西如如图图，点，点E在正方形在正方形ABCD的的对对角角线线AC上，且上，且EC2AE，直角三角形，直角三角形FEG的两直角的两直角边边EF、EG分分别别交交BC、DC于点于点M、N.若正方形若正方形ABCD的的边长边长为为a，则则重叠部分四重叠部分四边边形形EMCN的面的面积为积为()A.B.C.D.D导引：导引：作作EPBC于点于点P，EQCD于点于点Q，EPMEQN,利利用四用四边边形形EMCN的面的面积积等于正方形等于正方形PCQE的面的面积积求解求解如如图图，过过E作作EPBC于点于点P

3、，EQCD于点于点Q，四四边边形形ABCD是正方形，是正方形，BCD90.又又EPMEQN90，PEQ90，PEMMEQ90.三角形三角形FEG是直角三角形，是直角三角形，NEFNEQMEQ90，PEMNEQ.CA是是BCD的平分的平分线线，EPCEQC90，EPEQ，四，四边边形形PCQE是正方形是正方形 在在EPM和和EQN中，中，EPMEQN(ASA)SEQNSEPM，四四边边形形EMCN的面的面积积等于正方形等于正方形PCQE的面的面积积正方形正方形ABCD的的边长为边长为a，AC EC2AE，EC EPPC 正方形正方形PCQE的面的面积积 四四边边形形EMCN的面的面积积 本例解法

4、在于巧用本例解法在于巧用割割补补法法，将分散的，将分散的图图形拼合形拼合在一起，将不在一起，将不规则规则的阴影面的阴影面积积集中到一个集中到一个规则规则的正的正方形中，再利用正方形的性方形中，再利用正方形的性质质求出，解答求出，解答过过程体程体现现了了割割补补法法及及转转化思想化思想归纳小结归纳小结1(中中考考南南京京)如如图图，菱菱形形ABCD的的面面积积为为120 cm2，正正方方形形AECF的的面面积积为为50 cm2，则则菱菱形形的的边边长长为为_巩固新知巩固新知2如如图图，正正方方形形ABCD的的边边长长为为2，H在在CD的的延延长长线线上上，四四边边形形CEFH也也为为正正方方形形

5、，则则BDF的的面面积积为为()A4 B.C D2讨论讨论 老老师给师给学生一个任学生一个任务务：从一：从一张张彩色彩色纸纸中剪出一个正方中剪出一个正方形形.小明剪完后，小明剪完后，这样检验这样检验它：比它：比较边较边的的长长度，度，发现发现四条四条 边边是相等的，于是就判定自己完成了是相等的，于是就判定自己完成了这这个任个任务务.这这种种检验检验 可可信信吗吗？小兵用另一种方法小兵用另一种方法检验检验：他量的不是：他量的不是边边，而是，而是对对角角线线，发现对发现对角角线线是相等的，于是就是相等的，于是就认为认为自己正确地剪出了正方自己正确地剪出了正方形形.这这种种检验对吗检验对吗？合作探究

6、合作探究新知二新知二 正方形的判定正方形的判定 小英剪完后，比小英剪完后，比较较了由了由对对角角线线相互分成的相互分成的4条条线线段，段，发现发现它它们们是相等的是相等的.按照小英的意按照小英的意见见，这说这说明剪明剪出的四出的四边边形是正方形形是正方形.你的意你的意见见怎怎样样？你你认为应该认为应该如何如何检验检验，才能又快又准确呢？，才能又快又准确呢？1.判定方法：判定方法：(1)从四从四边边形出形出发发：有四条有四条边边相等，四个角都是直角的相等，四个角都是直角的四四边边形是正方形；形是正方形；对对角角线线互相平分、垂直且相等的互相平分、垂直且相等的四四边边形是正方形；形是正方形；(2)

7、从平行四从平行四边边形出形出发发：有一有一组邻边组邻边相等并且有一个角相等并且有一个角是直角的平行四是直角的平行四边边形是正方形；形是正方形；对对角角线线互相垂直且互相垂直且相等的平行四相等的平行四边边形是正方形；形是正方形；(3)从矩形出从矩形出发发：有一有一组邻边组邻边相等的矩形是正方形；相等的矩形是正方形；对对角角线线互相垂直的矩形是正方形；互相垂直的矩形是正方形；(4)从菱形出从菱形出发发：有一个角是直角的菱形是正方形；有一个角是直角的菱形是正方形；对对角角线线相等的菱形是正方形相等的菱形是正方形2.四四边边形形间间的关系：的关系：(1)四四边边形、平行四形、平行四边边形、矩形、菱形、

8、正方形形、矩形、菱形、正方形间间的的包含关系包含关系如如图图.(2)四四边边形、平行四形、平行四边边形、矩形、菱形、正方形形、矩形、菱形、正方形间间的的转转化关系化关系如如图图：例例2 如如图图，在，在ABC中，中，C90，CD平分平分ACB，DEBC，DFAC，垂足分，垂足分别为别为E，F.求求证证：四：四边边形形CFDE是正方形是正方形要要证证四四边边形形CFDE是正方是正方形，首先要确定形，首先要确定这这个正方个正方形建立在哪种四形建立在哪种四边边形的基形的基础础上，即先上，即先证证它是什么四它是什么四边边形；再形；再证这证这种四种四边边形是形是正方形需要正方形需要补补充的条件充的条件导

9、引：导引：DEBC，ACBC，DECF.同理同理DFCE，四四边边形形CFDE是平行四是平行四边边形形CD平分平分ACB，DEBC，DFAC，DEDF，CFDE是菱形是菱形ACB90，菱形菱形CFDE是正方形是正方形ECFCFDCED90，四四边边形形CFDE是矩形是矩形CD平分平分ACB，DEBC，DFAC，DEDF，矩形矩形CFDE是正方形是正方形证证法一：法一：证证法二：法二：证证明条件中不含明条件中不含对对角角线线的四的四边边形是正方形的四种方法：形是正方形的四种方法：方法方法1：证证：“四四边边形四形四边边相等四个直角相等四个直角”；方法方法2：证证：“平行四平行四边边形一形一组邻边

10、组邻边相等一个直角相等一个直角”；方法方法3：证证：“矩形一矩形一组邻边组邻边相等相等”；方法方法4：证证：“菱形一个直角菱形一个直角”说说明：明：在判定四在判定四边边形是正方形形是正方形时时，四，四边边形常常是形常常是建建立在矩形或菱形的基立在矩形或菱形的基础础上上，采用方法，采用方法3、方法、方法4进进行行证证明；明；如如证证明中的明中的证证法一、法一、证证法二；本例也可采用方法法二；本例也可采用方法1、方法、方法2，请读请读者去者去试试一一试试归纳小结归纳小结例例3 如如图图，已知在，已知在 ABCD中，中，对对角角线线AC，BD交于点交于点O，E是是BD的延的延长线长线上的点，且上的点

11、，且EAEC.(1)求求证证：四：四边边形形ABCD是菱形；是菱形；(2)若若DACEADAED，求，求证证：四：四边边形形 ABCD是正方形是正方形要要证证 ABCD是正方形有三种途径可走：即在平行四是正方形有三种途径可走：即在平行四边边形、菱形、矩形的基形、菱形、矩形的基础础上，找各需上，找各需补补充的充的对对角角线线的条件的条件进进行行证证明；若要明；若要证证明明 ABCD是菱形，由于是菱形，由于题题中条件与中条件与对对角角线线相关，相关，则则需需证证ACBD.(1)首先根据平行四首先根据平行四边边形的性形的性质质可得可得AOCO，再由，再由EAEC可得可得EAC是等腰三角形，然后根据等

12、腰三角是等腰三角形，然后根据等腰三角形三形三线线合一的性合一的性质质可得可得EOAC，根据，根据对对角角线线互相垂直互相垂直的平行四的平行四边边形是菱形可形是菱形可证证出出结论结论；(2)首先根据角的关系得出首先根据角的关系得出AODO，进进而得到而得到ACBD，再根据，再根据对对角角线线相等的菱形是正方形可得到相等的菱形是正方形可得到结论结论导引：导引：(1)四四边边形形ABCD是平行四是平行四边边形，形，AOCO.又又EAEC，EOAC，即，即BDAC，四四边边形形ABCD是菱形是菱形(2)ADOEADAED，DACEADAED，ADODAC，AODO.四四边边形形ABCD是菱形，是菱形，

13、AC2AO，BD2DO，ACBD，四四边边形形ABCD是正方形是正方形证证明：明：证证明条件中含明条件中含对对角角线线的四的四边边形是正方形的方法：形是正方形的方法：(1)证证：“四四边边形形对对角角线线互相垂直、平分且相等互相垂直、平分且相等”；(2)证证：“平行四平行四边边形形对对角角线线互相垂直且相等互相垂直且相等”；(3)证证：“矩形矩形对对角角线线互相垂直互相垂直”；(4)证证：“菱形菱形对对角角线线相等相等”证证明一个四明一个四边边形是正方形的方法：形是正方形的方法：结结合条件合条件选择选择合理的合理的判定方法，一般先判定方法，一般先证证明是矩形，然后找出一明是矩形，然后找出一组邻

14、边组邻边相等相等或或对对角角线线互相垂直；或者先互相垂直；或者先证证明是菱形，然后找一个角明是菱形，然后找一个角是直角或是直角或对对角角线线相等相等归纳小结归纳小结例例4 已知：如已知：如图图，在四，在四边边形形ABCD中，中，ACBD，ACBD，E、F、G、H分分别为别为AB、BC、CD、DA的中点的中点求求证证：四：四边边形形EFGH是正方形是正方形要要证证四四边边形形EFGH是正方形，是正方形，以四以四边边形、平行四形、平行四边边形、矩形、矩形、菱形形、菱形为为基基础础都可以都可以证证出出所要所要证证的的结论结论；若以四；若以四边边形形为为基基础础，则则只需只需证证明四条明四条边边相等，

15、四个角是直角即可相等，四个角是直角即可导引：导引：合作探究合作探究E、F、G、H分分别为别为四四边边形形ABCD各各边边的中点，的中点，EFGHAC，FGEHBD，且且EFGH AC，FGEH BD.又又ACBD，ACBD，HEFEFGGHEFGH90，EFFGGHHE.四四边边形形EFGH是正方形是正方形证明：证明：几种常几种常见见的中点四的中点四边边形的命形的命题题：(1)连结连结四四边边形各形各边边中点的四中点的四边边形是平行四形是平行四边边形；形；(2)连结对连结对角角线线互相垂直的四互相垂直的四边边形各形各边边中点的四中点的四边边形是矩形；形是矩形；(3)连结对连结对角角线线相等的四

16、相等的四边边形各形各边边中点的四中点的四边边形是菱形；形是菱形；(4)连结连结平行四平行四边边形各形各边边中点的四中点的四边边形是平行四形是平行四边边形；形；(5)连结连结矩形各矩形各边边中点的四中点的四边边形是菱形；形是菱形；(6)连结连结菱形各菱形各边边中点的四中点的四边边形是矩形形是矩形归纳小结归纳小结 中点四中点四边边形的形状是由外形的形状是由外围围四四边边形的形的对对角角线线之之间间的的关系确定的任意四关系确定的任意四边边形的中点四形的中点四边边形是平行四形是平行四边边形；形；对对角角线线相等的四相等的四边边形的中点四形的中点四边边形是菱形；形是菱形；对对角角线线互相互相垂直的四垂直

17、的四边边形的中点四形的中点四边边形是矩形；形是矩形；对对角角线线相等且互相相等且互相垂直的四垂直的四边边形的中点四形的中点四边边形是正方形形是正方形.1把一把一张张矩形矩形纸纸片如片如图图那那样样折一下就可以裁出正方折一下就可以裁出正方 形形纸纸片，片，为为什么？什么？巩固新知巩固新知2(中考中考兰兰州州)ABCD的的对对角角线线AC与与BD相交于点相交于点O，且，且ACBD，请请添加一个条件：添加一个条件：_，使得，使得 ABCD为为正方形正方形3(中考中考益阳益阳)下列判断下列判断错误错误的是的是()A两两组对边组对边分分别别相等的四相等的四边边形是平行四形是平行四边边形形B四个内角都相等

18、的四四个内角都相等的四边边形是矩形形是矩形C四条四条边边都相等的四都相等的四边边形是菱形形是菱形D两条两条对对角角线线垂直且互相平分的四垂直且互相平分的四边边形是正方形形是正方形有一个角是直角有一个角是直角有一有一组邻边组邻边相等相等有一有一组邻边组邻边相等并且有一个角是直角相等并且有一个角是直角有一有一组邻边组邻边相等相等有一个角是直角有一个角是直角平行平行四四边边形形矩形矩形正方形正方形菱形菱形归纳新知归纳新知1如如图图，四四边边形形ABCD为为平平行行四四边边形形，延延长长AD到到E，使使DEAD，连连结结EB，EC，DB，添加一个条件，不能使四，添加一个条件，不能使四边边形形DBCE成

19、成为为矩形的是矩形的是()AABBE BBEDCCADB90 DCEDEB课后练习课后练习C 3如如图图，在，在 ABCD中，点中，点E,F是直是直线线BD上的两点，上的两点，DEBF.(1)求求证证：四：四边边形形AFCE是平行四是平行四边边形；形；(2)若若BDAD,AB5,AD3，四，四边边形形AFCE是矩形，求是矩形，求DE的的长长解解：(1)证证明明：连连结结AC交交EF于于点点O,四四边边形形ABCD是是平平行行四四边边形形，OAOC，ODOB.又又DE BF，OEOF，四四边边形形AFCE是是平平行四行四边边形形4如如图图所所示示，在在平平面面直直角角坐坐标标系系中中，菱菱形形M

20、NPO的的顶顶点点P的的坐坐标标是是(3，4)，则顶则顶点点M，N的坐的坐标标分分别别是是()AM(5，0)，N(8，4)BM(4，0)，N(8，4)CM(5，0)，N(7，4)DM(4，0)，N(7，4)A5如如图图，AD是是ABC的的中中线线，点点O是是AC的的中中点点，过过点点A作作AEBC交交DO的的延延长长线线于于点点E，连连结结CE，添添加加下下列列条条件件仍仍不不能能判判断断四四边边形形ADCE是是菱形的是菱形的是()AABAC BABACCAC平分平分DAE DAB2AC2BC2B6(永永州州中中考考)如如图图，四四边边形形ABCD的的对对角角线线相相交交于于点点O，且且点点O

21、是是BD的的中中点点，若若ABAD5，BD8，ABDCDB，则则四四边边形形ABCD的的面面积积为为()A.40 B24 C20 D15B7如如图图，已已知知四四边边形形ABCD是是平平行行四四边边形形，DEAB，DFBC，垂垂足足分分别别是是E，F，且，且DEDF.求求证证：(1)ADECDF；(2)四四边边形形ABCD是菱形是菱形8如如图图，在在正正方方形形ABCD中中，点点E,F分分别别在在边边BC,CD上上，EA平平分分BEF，ACEF，垂足，垂足为为点点G.则则EAF的度数的度数为为()A45 B30 C60 D40A9如如图图，在在ABC中中，ACB90，BC的的垂垂直直平平分分线

22、线EF交交BC于于点点D，交交AB于于点点E，且且BEBF.添添加加一一个个条条件件，仍仍不不能能证证明明四四边边形形BECF是是正正方形的是方形的是()ABCAC BCFBFCBDDF DACBFD10如如图图，在在矩矩形形ABCD中中，M，N分分别别是是边边AD，BC的的中中点点，E，F分分别别是是边边BM，CM的的中中点点，当当AB AD_时时，四四边边形形MENF是是正正方方形形1 211如如图图，在在边边长长为为5的的正正方方形形ABCD中中，点点E，F分分别别是是BC，CD边边上上的的点点，且且AEEF，BE2，延延长长EF交交正正方方形形中中BCD的的外外角角平平分分线线CP于点

23、于点P.(1)试试判断判断AE与与EP的大小关系，并的大小关系，并说说明理由；明理由；(2)在在AB边边上上是是否否存存在在一一点点M，使使得得四四边边形形DMEP是是平平行行四四边边形形？若若存存在，在，请给请给予予证证明；若不存在，明；若不存在，请说请说明理由明理由解解：(1)AEAP.理理由由：如如图图，在在AB上上取取一一点点G，使使BGBE，连连结结GE.ABBC，B90，AGEC，BGE45，AGE 135.CP是是 BCD的的 外外 角角 平平 分分 线线，DCP 45，ECP135AGE.AEBBAE90，AEBCEF90，BAECEF，AGEECP，AEEP(2)存存在在，如

24、如图图，过过点点D作作DMAE交交AB于于点点M，则则此此时时点点M使使得得四四边边形形DMEP是是 平平 行行 四四 边边 形形 证证 明明 如如 下下：DMAE，ADM 90DAE.四四边边形形ABCD为为正正方方形形，ABAD，BBAD90，BAE 90 DAE，BAE ADM，BAEADM，AE DM.由由(1)知知 AE EP，DM EP.DMAE，AEEF，DMEP，四四边边形形DMEP是平行四是平行四边边形形12在平面直角坐在平面直角坐标标系中，点系中，点A(3，0)，B(0，4).(1)直接写出直直接写出直线线AB的表达式；的表达式；(2)如如图图，过过点点B的的直直线线ykxb交交x轴轴于于点点C，若若ABC45，求求k的的值值；(3)如如图图，点点M从从A出出发发以以每每秒秒1个个单单位位的的速速度度沿沿AB方方向向运运动动，同同时时点点N从从O出出发发以以每每秒秒0.6个个单单位位的的速速度度沿沿OA方方向向运运动动，运运动动时时间间为为t秒秒(0t5)，过过点点N作作NDAB交交y轴轴于于点点D，连连结结MD，是是否否存存在在满满足足条条件件的的t，使使四四边边形形AMDN为为菱形，判断并菱形，判断并说说明理由明理由再见再见