《概率统计教学资料》第2章随机变量及其分3-4节.ppt

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1、2023/2/121二项分布和泊松分布的关系：二项分布和泊松分布的关系：回顾：回顾：随机变量、离散随机变量及其分布律、离散分布随机变量、离散随机变量及其分布律、离散分布分布函数：分布函数：F(x)=P(Xx)引例：引例：一射击运动员进行射击，设靶是中心在原点，半径为一射击运动员进行射击，设靶是中心在原点，半径为r的圆盘。的圆盘。又设射击不会脱靶。以又设射击不会脱靶。以X记弹着点到靶心的距离，记弹着点到靶心的距离，X的取值充满一个的取值充满一个区间（非离散变量）。先取区间（非离散变量）。先取1cm作为度量距离的单位，作为度量距离的单位，X取整数值，取整数值，将将X离散化，从而得到离散化，从而得到

2、X的分布律，作出对应的概率直方图如图的分布律，作出对应的概率直方图如图1所。所。接着取接着取0.5cm作为度量距离的单位，又得到其概率直方图如图作为度量距离的单位，又得到其概率直方图如图2.这样继这样继续缩小度量距离的单位，作出一系列的概率直方图，这些直方图的顶续缩小度量距离的单位，作出一系列的概率直方图，这些直方图的顶部的台阶型曲线趋于一条光滑曲线部的台阶型曲线趋于一条光滑曲线C：y=f(x),如图如图3。图图1图图2图图3在曲线在曲线C之下，之下，ox轴轴上方的面积等于上方的面积等于1，在在a,b上的面积是上的面积是X落在落在a,b的概率。的概率。2023/2/123第三节第三节 连续型随

3、机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度定义定义.若X是随机变量，如果存在定义在整个实数轴上的非负可积函数f(x),满足条件函数f(x)称为X概率密度函数概率密度函数一、连续随机变量和概率密度一、连续随机变量和概率密度则称X为连续随机变量;(probability density function),简称概率密度概率密度.2023/2/124n密度函数在区间上的积分密度函数在区间上的积分=随机变量在区间上取值的概率随机变量在区间上取值的概率2023/2/1251.连续随机变量X,2 20 0概率密度概率密度f(x)的性质的性质1 10 02.若X是连续随机变量，则对任意x1,x2(x1x2

4、)有注注:假若一个函数满足上述两条性质，它一定是某假若一个函数满足上述两条性质，它一定是某一个随机变量的概率密度函数，反之也是成立的。一个随机变量的概率密度函数，反之也是成立的。2023/2/126求：解:(1)由得例例1.设连续随机变量X的概率密度：2023/2/1271求:(1)系数A;解:(1)由有(2)随机变量X的概率分布的中值x*,即x*满足xf(x)oA例例2.设连续随机变量X的概率密度为2023/2/128解:(2)因为且有即1求(2)中值x*：xf(x)o例例2.设连续随机变量X的概率密度为2023/2/129二、连续型随机变量的分布函数二、连续型随机变量的分布函数设连续设连续

5、X的概率密度的概率密度f(x)，则，则其其分布函数为分布函数为且在f(x)的连续点x处，n积分关系积分关系n导数关系导数关系2023/2/1210分布函数分布函数F(x)的性质的性质(1)(1)F(x)是非减函数是非减函数,即若即若x1 x2,则则(3)(3)F(x)是是右连续函数右连续函数,即任意实数即任意实数x事件事件“Xx”当当x-时趋于不可能事件时趋于不可能事件;事件事件“Xx”当当x+时趋于必然事件时趋于必然事件.连续随机变量连续随机变量X的分布函数的分布函数F(x)在在(-,+)连续连续2023/2/1211例例4.4.设某种电器系统的电压设某种电器系统的电压X（以伏计）是一随机变

6、量，（以伏计）是一随机变量，它的概率密度为它的概率密度为求：求：X的分布函数，的分布函数，P(X3),P(-2X1)解：解：2023/2/1212练习练习.设随机变量X的概率密度为求随机变量X的分布函数.解：当当-x 0时时,当当00 x 2时时,当当22x +时时,2023/2/1213设连续随机变量设连续随机变量X的分布函数为的分布函数为解：解：(1)由分布函数的性质知由分布函数的性质知即即 求求:(1)A,B的值的值;(2)P(-1 X1);(3)X概率密度概率密度f(x).例例5.5.2023/2/1214即 所以 X的分布函数为(3)X的概率密度为 2023/2/1215定义定义：设

7、随机变量：设随机变量X的概率密度为的概率密度为则称则称X在区间在区间(a,b)上服从上服从参数为参数为a,b的的均匀分布均匀分布,两种重要的连续型分布两种重要的连续型分布记作记作1.均匀分布均匀分布(Uniform distribution)1,F(x)=xa,0,axb,xb.P(Xx)=其分布函数：其分布函数：2023/2/1216 0 a bx X“等可能等可能”地取区间（地取区间（a,b）中的值，这里的）中的值，这里的“等可能等可能”理解为：理解为：X落在区间（落在区间（a,b)中任意等长中任意等长度的子区间内的可能性是相同的。或者说度的子区间内的可能性是相同的。或者说它落在它落在子区

8、间内的概率只依赖于子区间的长度而与子区子区间内的概率只依赖于子区间的长度而与子区间的位置无关间的位置无关。n意义意义事实上，对事实上，对a,b上的任子区间上的任子区间c,c+l,有有2023/2/1217试求他到达车站试求他到达车站3分钟分钟内就有公共汽车到站的概率。内就有公共汽车到站的概率。该乘客等车时间该乘客等车时间X,例例6.6.某公共汽车站每某公共汽车站每1010分钟有一辆汽车通过，分钟有一辆汽车通过，乘客对于汽车通过该站的时间完全不知道，乘客对于汽车通过该站的时间完全不知道，一位一位一时刻到车站的可能性均等一时刻到车站的可能性均等，他在任他在任记记X X为他的等车时间，为他的等车时间

9、，解：解：0 0 X 0,有有 如果如果X是某一元件的寿命，已知元件已使用了是某一元件的寿命，已知元件已使用了s小时，它总共能使用至少小时，它总共能使用至少s+t小时的条件概率，与开小时的条件概率，与开始使用时算起它至少能使用始使用时算起它至少能使用t小时的概率相等。也就小时的概率相等。也就说，元件对它已使用过说，元件对它已使用过s小时没有记忆。小时没有记忆。无记忆性是指数分布广泛应用的重要原因。无记忆性是指数分布广泛应用的重要原因。2023/2/1222当当x0时时,当当x0时，时，指数分布的分布函数指数分布的分布函数求求X的分布函数的分布函数F(x).解：解：2023/2/1223（1 1

10、）求元件寿命至少为）求元件寿命至少为200200小时的概率；小时的概率；例例8.8.已知某电子元件的寿命已知某电子元件的寿命(以小时计以小时计)X)X服从指服从指数分布，其概率密度为数分布，其概率密度为解：解：2023/2/1224(2)(2)将将3 3只元件连成一个系统只元件连成一个系统.设系统工作的方式是设系统工作的方式是至少至少2 2只元件失效时系统失效只元件失效时系统失效,又设又设3 3只元件工作相只元件工作相互独立互独立.求系统的寿命至少为求系统的寿命至少为200200小时的概率小时的概率.例例8.8.已知某电子元件的寿命已知某电子元件的寿命(以小时计以小时计)X)X服从指数服从指数

11、分布分布,(1),(1)求元件寿命至少为求元件寿命至少为200200小时的概率；小时的概率；解：解：设设Y Y记记3 3只元件中寿命至少为只元件中寿命至少为200200小时的元件的只数，则小时的元件的只数，则系统的寿命至少为系统的寿命至少为200200小时的概率即小时的概率即2 2只或只或3 3只元件只元件的寿命至少为的寿命至少为200200小时的概率：小时的概率：2023/2/12252023/2/1226内容小结内容小结1.理解连续随机变量的概率密度及其性质；2.熟悉两种常用的连续分布：均匀分布：XU(a,b)指数分布：2023/2/12273.理解随机变量的分布函数及其性质.F(x)=)

12、=P(Xx)(1)X离散随机变量,其概率函数则其分布函数为(2)X 连续随机变量,其概率密度 f(x)0，则其分布函数为2023/2/1228习题二：8，9，11,12(2),13，14作业作业2023/2/1229备用题备用题1.判断正误：(1)概率函数与密度函数是同一个概念。（）(2)设X是随机变量,有（）若的密度函数为(3)若X的概率密度为 则（）2023/2/1230不一定为0，故一般情况下,答案:(1);(2);(3).分析 (1)概率函数是离散随机变量中的概念,密度函数是连续随机变量的概念,不是同一概念.(2)当X是离散随机变量时，P(X=a)和P(X=b)当X是连续随机变量时，P

13、(X=a)=P(X=b)=0故2023/2/1231(3)显然X是连续随机变量,根据密度函数的性质X的密度函数为于是因此命题有误.2023/2/1232二、选择题1.设离散随机变量X的概率分布为 则c的值为（）.2.设在a,b上,随机变量X的概率密度为f(x)=sinx,而在a,b外，f(x)=0,则区间a,b等于：().2023/2/1233(2)根据连续随机变量X的概率密度的2个性质,分析分析(1)根据离散随机变量X的概率分布性质选C.由非负性在a,b上f(x)=sinx0,可排除C，D.由规范性可排除B，故选A2023/2/1234三、计算题三、计算题求待定系数的值并求分布函数及相关概率

14、值求待定系数的值并求分布函数及相关概率值.典型题典型题 已知含有待定系数的概率密度函数已知含有待定系数的概率密度函数，1.设随机变量X的概率密度为(1)求常数A；(2)求X的分布函数；(3)求P(X1)2023/2/1235故A=20.解:(1)由概率密度的性质得2023/2/1236(2)当x0时，当0 x1时，当x1时,所以X的分布函数为2023/2/1237典型题典型题 已知含有待定系数的分布函数已知含有待定系数的分布函数，确定确定2.设连续随机变量X的分布函数为系数，并求概率密度函数系数，并求概率密度函数.解：(1)由分布函数的性质知即 求:(1)A,B的值;(2)P(-1 X1);(3)X概率密度f(x).2023/2/1238即 所以 X的分布函数为(3)X的概率密度为 2023/2/1239典型题典型题 离散型随机变量和连续型随机变量离散型随机变量和连续型随机变量综合运用问题综合运用问题3.某种型号的电灯泡使用时间(单位：小时)为一随机变量X，其概率密度为求3个这种型号的灯泡使用了1000小时后至少有2个仍可继续使用的概率.2023/2/1240解：每个灯泡的使用寿命超过1000小时的概率为设Y表示3个灯泡中使用寿命超过1000小时的个数,则 YB(3,0.82).故所求概率为