工学二重积分.pptx

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1、会计学1工学二重积分工学二重积分柱体体积柱体体积=底面积底面积 高高特点特点：平顶：平顶.柱体体积柱体体积=？特点特点：曲顶：曲顶.曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积一、问题的提出一、问题的提出第1页/共199页播放播放 求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、分割、求和、取极限取极限”的方法，如下动画演示的方法，如下动画演示第2页/共199页步骤如下：步骤如下：用若干个小平用若干个小平顶柱体体积之顶柱体体积之和近似表示曲和近似表示曲顶柱体的体积，顶柱体的体积，先分割曲顶柱体的底，先分割曲顶柱体的底，并取典型小区域，并取典型小区域，曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积第3页/共199页求平面薄

2、片的质量求平面薄片的质量将薄片分割成若干小块，将薄片分割成若干小块，取典型小块，将其近似取典型小块，将其近似看作均匀薄片，看作均匀薄片，所有小块质量之和所有小块质量之和近似等于薄片总质量近似等于薄片总质量第4页/共199页二、二重积分的概念二、二重积分的概念第5页/共199页积积积积分分分分区区区区域域域域积积积积分分分分和和和和被被被被积积积积函函函函数数数数积积积积分分分分变变变变量量量量被被被被积积积积表表表表达达达达式式式式面面面面积积积积元元元元素素素素第6页/共199页对二重积分定义的说明：对二重积分定义的说明：二重积分的几何意义二重积分的几何意义当被积函数大于零时，二重积分是柱体

3、的体积当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值负值第7页/共199页 在直角坐标系下用平在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划行于坐标轴的直线网来划分区域分区域D，故二重积分可写为故二重积分可写为D D则面积元素为则面积元素为第8页/共199页性质性质当当 为常数时为常数时，性质性质（二重积分与定积分有类似的性质）（二重积分与定积分有类似的性质）三、二重积分的性质三、二重积分的性质第9页/共199页性质性质对区域具有可加性对区域具有可加性性质性质 若若 为为D的面积，的面积，性质性质 若在若在D上上特殊地

4、特殊地则有则有第10页/共199页性质性质性质性质（二重积分中值定理）（二重积分中值定理）（二重积分估值不等式）（二重积分估值不等式）第11页/共199页解解第12页/共199页解解第13页/共199页解解第14页/共199页解解第15页/共199页二重积分的定义二重积分的定义二重积分的性质二重积分的性质二重积分的几何意义二重积分的几何意义（曲顶柱体的体积）（曲顶柱体的体积）（和式的极限）（和式的极限）四、小结四、小结第16页/共199页思考题思考题 将二重积分定义与定积分定义进行比较，将二重积分定义与定积分定义进行比较，找出它们的相同之处与不同之处找出它们的相同之处与不同之处.第17页/共1

5、99页 定积分与二重积分都表示某个和式的极限定积分与二重积分都表示某个和式的极限值，且此值只与被积函数及积分区域有关不值，且此值只与被积函数及积分区域有关不同的是定积分的积分区域为区间，被积函数为同的是定积分的积分区域为区间，被积函数为定义在区间上的一元函数，而二重积分的积分定义在区间上的一元函数，而二重积分的积分区域为平面区域，被积函数为定义在平面区域区域为平面区域，被积函数为定义在平面区域上的二元函数上的二元函数思考题解答思考题解答第18页/共199页练练 习习 题题第19页/共199页第20页/共199页第21页/共199页练习题答案练习题答案第22页/共199页第二节第二节 二重积分的

6、计算法（二重积分的计算法（1）一、利用直角坐标系计算二重积分一、利用直角坐标系计算二重积分二、小结二、小结 思考题思考题第29页/共199页如果积分区域为：如果积分区域为：其中函数其中函数 、在区间在区间 上连续上连续.一、利用直角坐标系计算二重积分一、利用直角坐标系计算二重积分一、利用直角坐标系计算二重积分一、利用直角坐标系计算二重积分X型型第30页/共199页应用计算应用计算“平行截平行截面面积为已知的立面面积为已知的立体求体积体求体积”的方法的方法,得得第31页/共199页如果积分区域为：如果积分区域为：Y型型第32页/共199页 X型区域的特点型区域的特点：穿过区域且平行于穿过区域且平

7、行于y轴的轴的直线与区域边界相交不多于两个交点直线与区域边界相交不多于两个交点.Y型区域的特点型区域的特点：穿过区域且平行于穿过区域且平行于x轴的轴的直线与区域边界相交不多于两个交点直线与区域边界相交不多于两个交点.若区域如图，若区域如图，在分割后的三个区域上分在分割后的三个区域上分别使用积分公式别使用积分公式则必须分割则必须分割.第33页/共199页解解积分区域如图积分区域如图第34页/共199页解解积分区域如图积分区域如图第35页/共199页解解原原式式第36页/共199页解解第37页/共199页解解第38页/共199页解解第39页/共199页解解 曲面围成的立体如图曲面围成的立体如图.第

8、40页/共199页第41页/共199页二重积分在直角坐标下的计算公式二重积分在直角坐标下的计算公式（在积分中要正确选择（在积分中要正确选择积分次序积分次序）二、小结二、小结Y型型X型型第42页/共199页思考题思考题第43页/共199页思考题解答思考题解答第44页/共199页第45页/共199页练练 习习 题题第46页/共199页第47页/共199页第48页/共199页第49页/共199页练习题答案练习题答案第50页/共199页第51页/共199页第三节第三节 二重积分的计算法（二重积分的计算法（2）一、利用极坐标系计算二重积分一、利用极坐标系计算二重积分二、小结二、小结 思考题思考题第52页

9、/共199页一、利用极坐标系计算二重积分一、利用极坐标系计算二重积分第53页/共199页二重积分化为二次积分的公式（）二重积分化为二次积分的公式（）区域特征如图区域特征如图第54页/共199页区域特征如图区域特征如图第55页/共199页二重积分化为二次积分的公式（）二重积分化为二次积分的公式（）区域特征如图区域特征如图第56页/共199页极坐标系下区域的面积极坐标系下区域的面积二重积分化为二次积分的公式（）二重积分化为二次积分的公式（）区域特征如图区域特征如图第57页/共199页解解第58页/共199页解解第59页/共199页解解第60页/共199页第61页/共199页第62页/共199页解解

10、第63页/共199页解解第64页/共199页解解第65页/共199页第66页/共199页二重积分在极坐标下的计算公式二重积分在极坐标下的计算公式（在积分中注意使用（在积分中注意使用对称性对称性）二、小结二、小结第67页/共199页思考题思考题第68页/共199页思考题解答思考题解答第69页/共199页练练 习习 题题第70页/共199页第71页/共199页第72页/共199页练习题答案练习题答案第73页/共199页第74页/共199页第四节第四节 二重积分的计算法（二重积分的计算法（3）一、二重积分的换元法一、二重积分的换元法二、小结二、小结 思考题思考题第75页/共199页 一、二重积分的换

11、元法一、二重积分的换元法第76页/共199页第77页/共199页例例1 1解解第78页/共199页第79页/共199页例例2 2解解第80页/共199页第81页/共199页 二、小结二、小结基本要求基本要求:变换后定限简便，求积容易变换后定限简便，求积容易第82页/共199页思考题思考题第83页/共199页思考题解答思考题解答第84页/共199页第85页/共199页练练 习习 题题第86页/共199页练习题答案练习题答案第87页/共199页第五节第五节 二重积分的应用二重积分的应用一、问题的提出一、问题的提出二、曲面的面积二、曲面的面积三、平面薄片的重心三、平面薄片的重心四、平面薄片的转动惯量

12、四、平面薄片的转动惯量五、平面薄片对质点的引力五、平面薄片对质点的引力六、小结六、小结 思考题思考题第88页/共199页一、问题的提出一、问题的提出把定积分的元素法推广到二重积分的应用中把定积分的元素法推广到二重积分的应用中.若要计算的某个量若要计算的某个量U对于闭区域对于闭区域D具有可加性具有可加性(即当闭区域即当闭区域D分成许多小闭区域时，所求量分成许多小闭区域时，所求量U相应相应地分成许多部分量，且地分成许多部分量，且U等于部分量之和等于部分量之和)，并且，并且在闭区域在闭区域D内任取一个直径很小的闭区域内任取一个直径很小的闭区域 时，时，相应地部分量可近似地表示为相应地部分量可近似地表

13、示为 的形式，的形式，其中其中 在在 内这个内这个 称为所求称为所求量量U的的元素元素，记为，记为 ，所求量的积分表达式为，所求量的积分表达式为第89页/共199页二、曲面的面积二、曲面的面积卫星卫星第90页/共199页设曲面的方程为：设曲面的方程为：如图，如图，第91页/共199页曲面曲面S的面积元素的面积元素曲面面积公式为：曲面面积公式为：第92页/共199页设曲面的方程为：设曲面的方程为：曲面面积公式为：曲面面积公式为：设曲面的方程为：设曲面的方程为：曲面面积公式为：曲面面积公式为：同理可得同理可得第93页/共199页解解第94页/共199页第95页/共199页解解解方程组解方程组得两曲

14、面的交线为圆周得两曲面的交线为圆周在在 平面上的投影域平面上的投影域为为第96页/共199页第97页/共199页三、平面薄片的重心三、平面薄片的重心第98页/共199页当薄片是均匀的，重心称为当薄片是均匀的，重心称为形心形心.由元素法由元素法第99页/共199页解解第100页/共199页第101页/共199页四、平面薄片的转动惯量四、平面薄片的转动惯量第102页/共199页薄片对于薄片对于 轴的转动惯量轴的转动惯量薄片对于薄片对于 轴的转动惯量轴的转动惯量第103页/共199页解解第104页/共199页第105页/共199页解解第106页/共199页第107页/共199页薄片对薄片对 轴上单位

15、质点的引力轴上单位质点的引力为引力常数为引力常数五、平面薄片对质点的引力五、平面薄片对质点的引力第108页/共199页解解由积分区域的对称性知由积分区域的对称性知第109页/共199页所求引力为所求引力为第110页/共199页几何应用：曲面的面积几何应用：曲面的面积物理应用：重心、转动惯量、物理应用：重心、转动惯量、对质点的引力对质点的引力（注意审题，熟悉相关物理知识）（注意审题，熟悉相关物理知识）六、小结六、小结第111页/共199页思考题思考题第112页/共199页薄片关于薄片关于 轴对轴对称称思考题解答思考题解答第113页/共199页练练 习习 题题第114页/共199页第115页/共1

16、99页练习题答案练习题答案第116页/共199页第六节第六节 三重积分三重积分一、三重积分的定义一、三重积分的定义二、三重积分的计算二、三重积分的计算三、小结三、小结 思考题思考题第117页/共199页第118页/共199页直角坐标系中将三重积分化为三次积分直角坐标系中将三重积分化为三次积分二、三重积分的计算二、三重积分的计算如图，如图，第119页/共199页得得第120页/共199页注意注意第121页/共199页解解第122页/共199页第123页/共199页解解如图，如图，第124页/共199页解解第125页/共199页第126页/共199页第127页/共199页第128页/共199页第1

17、29页/共199页解解第130页/共199页原式原式第131页/共199页解解如图如图,第132页/共199页第133页/共199页三重积分的定义和计算三重积分的定义和计算在直角坐标系下的体积元素在直角坐标系下的体积元素（计算时将三重积分化为三次积分）（计算时将三重积分化为三次积分）三、小结三、小结第134页/共199页思考题思考题选择题选择题:第135页/共199页第136页/共199页练练 习习 题题第137页/共199页第138页/共199页第139页/共199页练习题答案练习题答案第140页/共199页第141页/共199页第七节第七节 三重积分的计算三重积分的计算一、利用柱面坐标计算

18、三重积分一、利用柱面坐标计算三重积分二、利用球面坐标计算三重积分二、利用球面坐标计算三重积分三、小结三、小结 思考题思考题第142页/共199页一、利用柱面坐标计算三重积分一、利用柱面坐标计算三重积分规定：规定：第143页/共199页 柱面坐标与直角坐柱面坐标与直角坐标的关系为标的关系为如图，三坐标面分别为如图，三坐标面分别为圆柱面；圆柱面；半平面；半平面；平平 面面第144页/共199页如图，柱面坐标系如图，柱面坐标系中的体积元素为中的体积元素为第145页/共199页解解知交线为知交线为第146页/共199页第147页/共199页解解所围成的立体如图，所围成的立体如图，第148页/共199页

19、所围成立体的投影区域如图，所围成立体的投影区域如图，第149页/共199页第150页/共199页二、利用球面坐标计算三重积分二、利用球面坐标计算三重积分第151页/共199页规定：规定：如图，三坐标面分别为如图，三坐标面分别为圆锥面；圆锥面；球球 面；面；半平面半平面第152页/共199页球面坐标与直角坐标的关系为球面坐标与直角坐标的关系为如图，如图，第153页/共199页球面坐标系中的体积元素为球面坐标系中的体积元素为如图，如图，第154页/共199页第155页/共199页第156页/共199页第157页/共199页解解第158页/共199页第159页/共199页补充：利用对称性化简三重积分

20、计算补充：利用对称性化简三重积分计算使用对称性时应注意：使用对称性时应注意：、积分区域关于坐标面的对称性；、积分区域关于坐标面的对称性；、被积函数在积分区域上的关于三个坐标轴、被积函数在积分区域上的关于三个坐标轴的的奇偶性奇偶性第160页/共199页解解积分域关于三个坐标面都对称，积分域关于三个坐标面都对称，被积函数是被积函数是 的的奇函数奇函数,第161页/共199页解解第162页/共199页第163页/共199页第164页/共199页（1）柱面坐标的体积元素柱面坐标的体积元素（2）球面坐标的体积元素球面坐标的体积元素（3）对称性简化运算对称性简化运算三重积分换元法三重积分换元法柱面坐标柱面

21、坐标球面坐标球面坐标三、小结三、小结第165页/共199页思考题思考题第166页/共199页练练 习习 题题第167页/共199页第168页/共199页第169页/共199页第170页/共199页练习题答案练习题答案第171页/共199页第172页/共199页第173页/共199页第八节第八节 含参变量的积分含参变量的积分一、含参变量积分的连续性一、含参变量积分的连续性二、含参变量的函数的微分二、含参变量的函数的微分三、莱布尼茨公式三、莱布尼茨公式四、小结四、小结 思考题思考题第174页/共199页一、含参变量积分的连续性一、含参变量积分的连续性是变量是变量 在在 上的一个一元连续函数上的一个

22、一元连续函数,设函数设函数 是在矩形是在矩形 上的连续函数上的连续函数.在在 上任意确定上任意确定 的一个值的一个值,于是于是从而积分从而积分存在存在,这个积分的值依赖于取这个积分的值依赖于取定的定的 值值.当当 的值改变时的值改变时,一般来说这个积分的值也一般来说这个积分的值也跟着改变跟着改变.这个积分确定一个定义在这个积分确定一个定义在上的上的 的函的函数数,我们把它记作我们把它记作即即第175页/共199页定理定理1 1 如果函数如果函数 在矩形在矩形 上连续，那么由积分上连续，那么由积分确定的函数确定的函数 在在 上也连续上也连续.证证设设 和和 是是 上的两点，则上的两点，则这里变量

23、这里变量 在积分过程中是一个常量，通常称它为在积分过程中是一个常量，通常称它为参变量参变量.第176页/共199页由于由于 在闭区域在闭区域 上连续，从而一致连续上连续，从而一致连续.因此对于任意取定的因此对于任意取定的 ,存在存在 ,使得对于使得对于 内的任意两点内的任意两点 及及 ,只要它们之间的距只要它们之间的距离小于离小于 ,即即就有就有因为点因为点 与与 的距离等于的距离等于 ,所以当所以当 时时,就有就有于是由（于是由（1）式有）式有第177页/共199页所以所以 在在 上连续上连续.定理得证定理得证注注 既然函数既然函数 在在 上连续上连续,那么它在那么它在 上的积分存在上的积分

24、存在,这个积分可以写为这个积分可以写为右端积分式函数右端积分式函数 先对先对 后对后对 的二次积分的二次积分.第178页/共199页定理定理2 2 如果函数如果函数 在矩形在矩形上连续上连续,则则公式（公式（2）也可写成）也可写成第179页/共199页 我们在实际中还会遇到对于参变量我们在实际中还会遇到对于参变量 的不同的值的不同的值，积分限也不同的情形，这时积分限也是参变量，积分限也不同的情形，这时积分限也是参变量 的函数的函数.这样这样,积分积分也是参变量也是参变量 的函数的函数.下面我们考虑这种更为广泛地下面我们考虑这种更为广泛地依赖于参变量的积分的某些性质依赖于参变量的积分的某些性质.

25、第180页/共199页定理定理3 3 如果函数如果函数 在矩形在矩形上连续，又函数上连续，又函数 与与 在区间在区间 上连续，上连续，并且并且则由积分（则由积分（3 3）确定的函数）确定的函数 在在 上也连续上也连续.证证设设 和和 是是 上的两点，则上的两点，则第181页/共199页当当 时，上式右端最后一个积分的积分限不时，上式右端最后一个积分的积分限不变，变，第182页/共199页根据证明定理根据证明定理1时同样的理由，这个积分趋于零时同样的理由，这个积分趋于零.又又其中其中 是是 在矩形在矩形 上的最大值上的最大值.根据根据 与与 在在 上连续的假定，由以上两式可见，上连续的假定，由以

26、上两式可见，当当 时，（时，（4）式右端的前两个积分都趋于）式右端的前两个积分都趋于零零.于是，当于是，当 时，时，所以函数所以函数 在在 上连续上连续.定理得证定理得证第183页/共199页下面考虑由积分下面考虑由积分(*)确定的函数确定的函数 的微分问题的微分问题.定理定理4 4 如果函数如果函数 及其偏导数及其偏导数 都在都在矩形矩形 上连续上连续,那么由积分那么由积分(1)(1)确定的函数确定的函数 在在 上可微分上可微分,并且并且二、含参变量的函数的微分二、含参变量的函数的微分第184页/共199页证证因为因为为了求为了求 ，先利用公式，先利用公式(1)作出增量之比作出增量之比由拉格

27、朗日中值定理，以及由拉格朗日中值定理，以及 的一致连续性，我们的一致连续性，我们有有第185页/共199页其中其中 ，可小于任意给定的正数可小于任意给定的正数 ，只，只要要 小于某个正数小于某个正数 .因此因此这就是说这就是说综上所述有综上所述有令令 取上式的极限，即得公式（取上式的极限，即得公式（5）.第186页/共199页定理定理5 5 如果函数如果函数 及其偏导数及其偏导数 都在都在则由积分则由积分(3)(3)确定的函数确定的函数 在在 上可微，并且上可微，并且矩形上矩形上 连续，又函数连续，又函数 与与 在区间在区间 上可微，并且上可微，并且三、莱布尼茨公式三、莱布尼茨公式第187页/

28、共199页证证由由(4)式有式有 当当 时，上式右端的第一个积分的积分时，上式右端的第一个积分的积分限不变，则限不变，则第188页/共199页对于对于(8)右端的第二项，应用积分中值定理得右端的第二项，应用积分中值定理得其中其中 在在 与与 之间之间.当当 时时,第189页/共199页类似地可证类似地可证,当当 时时,因此，令因此，令 ，取，取(8)式的极限便得公式式的极限便得公式(7).公式公式(7)称为称为莱布尼茨公式莱布尼茨公式.于是于是第190页/共199页应用莱布尼茨公式，得应用莱布尼茨公式，得例例1 1设设求求解解第191页/共199页例例2 2 求求解解 这里函数这里函数 在矩形

29、在矩形上连续，根据定理上连续，根据定理2，可交换积分次序，由此有，可交换积分次序，由此有第192页/共199页例例3 3 计算定积分计算定积分 考虑含参变量考虑含参变量 的积分所确定的函数的积分所确定的函数显然，显然，根据公式根据公式(5)得得解解第193页/共199页把被积函数分解为部分分式把被积函数分解为部分分式,得到得到于是于是第194页/共199页上式在上式在 上对上对 积分积分,得到得到即即从而从而第195页/共199页1、含参变量的积分所确定的函数的定义、含参变量的积分所确定的函数的定义；四、小结四、小结2、含参变量的积分所确定的函数的连续性；、含参变量的积分所确定的函数的连续性；3、含参变量的积分所确定的函数的微分；、含参变量的积分所确定的函数的微分；4、莱布尼茨公式及其应用、莱布尼茨公式及其应用.第196页/共199页练习题练习题第197页/共199页练习题答案练习题答案第198页/共199页感谢您的观看。感谢您的观看。第199页/共199页