微分方程与差分方程稳定性理论.pptx

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1、稳定性判别方法由于在讨论方程(4-1)的来代替.稳定性时，可用 易知 x0也是方程(4-2)的平衡点.(4-2)的通解为关于x0是否稳定有以下结论：若则x0是稳定的；若则x0是不稳定的.这个结论对于(4-1)也是成立的.第1页/共16页 关于常微分方程组的平衡点及其稳定性,设代数方程组的实根x=x0,y=y0称为方程(4-3)的平衡点平衡点,记作P0(x0,y0).它也是方程(4-3)的解.第2页/共16页如果则称平衡点P0是稳定稳定的.下面给出判别平衡点P0是否稳定的判别判别准则准则.设 则当p0且q0时,平衡点P0是稳定的；当p0或q0时,平衡点P0是不稳定的.第3页/共16页例：求解微分

2、方程组的平衡点，并讨论其稳定性。解：很容易求得该微分方程组的唯一平衡点；由已知微分方程组可以得到进而对该微分方程组的任一解 故也有第4页/共16页微分方程的定性分析 随着科学技术的发展，常微分方程定性分析随着科学技术的发展，常微分方程定性分析在各个学科领域已成为必不可少的数学工具，在各个学科领域已成为必不可少的数学工具，也是数学建模的必备基础理论也是数学建模的必备基础理论.一一.微分方程定性理论的基本任务和微分方程定性理论的基本任务和主要研究方法主要研究方法 极少情况下，能够用初等函数或初等函极少情况下，能够用初等函数或初等函数的积分表示微分方程的解数的积分表示微分方程的解.求微分方程的数值解

3、求微分方程的数值解解解决决方方法法对微分方程进行定性分析对微分方程进行定性分析第5页/共16页 一般提法一般提法：不去积分给定的微分方程：不去积分给定的微分方程,而根而根 据据方程右端的函数的性质确定方程的积分曲线在整方程右端的函数的性质确定方程的积分曲线在整个区域内的分布状态个区域内的分布状态.微分方程定性分析微分方程定性分析 基本任务基本任务：考虑在有限区域内积分曲线的形状，：考虑在有限区域内积分曲线的形状，或研究当时间无限增大时或研究当时间无限增大时,积分曲线的性态积分曲线的性态.研究对象研究对象：驻定系统：驻定系统其右端的函数不显含自变量其右端的函数不显含自变量 t，称为一阶，称为一阶

4、n维维驻定系统驻定系统(自治系统、动力系统自治系统、动力系统).若微分方程组若微分方程组第6页/共16页例5.2.1 单一质点非受迫直线运动满足下方程单一质点非受迫直线运动满足下方程得一个二维驻定系统得一个二维驻定系统第7页/共16页一般二维驻定系统形式为一般二维驻定系统形式为 在以在以t,x,y为坐标的空间中一条曲线，这条曲线为坐标的空间中一条曲线，这条曲线称为积分曲线。称为积分曲线。基本思想基本思想 将积分曲线投影到平面上进行分析将积分曲线投影到平面上进行分析.第8页/共16页xytot0(x,y,t)解曲线解曲线投影曲线投影曲线 定义：定义：称平面称平面(x,y)为为相平面相平面，称解曲

5、线称解曲线在相平面上的投影为在相平面上的投影为相轨线，相轨线，相轨线族称为相轨线族称为相位图相位图.第9页/共16页如何得到相轨线？方法：把时间t当作参数，只要P(x,y)和Q(x,y)不同时为零，驻定方程方程方程(4)的积分曲线就可以看成是方程（2）在在相平面上的轨线。第10页/共16页4.2 4.2 差分方程模型 对于k阶差分方程F(n;xn,xn+1,xn+k)=0 (4-6)若有xn=x(n),满足F(n;x(n),x(n+1),x(n+k)=0,则称xn=x(n)是差分方程(4-6)的解解,包含k k个任意常数的解称为(4-6)的通解通解,x0,x1,xk-1为已知时称为(4-6)的

6、初始条件初始条件,通解中的任意常数都由初始条件确定后的解称为(4-6)的特解特解.若x0,x1,xk-1已知,则形如xn+k=g(n;xn,xn+1,xn+k-1)的差分方程的解可以在计算机上实现.第11页/共16页 若有常数a是差分方程(4-6)的解,即F(n;a,a,a)=0,则称 a是差分方程(4-6)的平衡点平衡点.又对差分方程(4-6)的任意由初始条件确定的解 xn=x(n)都有xna(n),则称这个平衡点a是稳定稳定的的.一阶常系数线性差分方程 xn+1+axn=b,(其中a,b为常数,且a 0)的通解为xn=C(-a)n+b/(a+1)易知b/(a+1)是其平衡点,由上式知,当且

7、仅当|a|1时,b/(a+1)是稳定的平衡点.第12页/共16页 二阶常系数线性差分方程xn+2+axn+1+bxn=r,其中a,b,r为常数.当r=0时,它有一特解x*=0；当r 0,且a+b+1 0时,它有一特解x*=r/(a+b+1).不管是哪种情形,x*是其平衡点.设其特征方程 2+a +b=0的两个根分别为 =1,=2.第13页/共16页 当 1,2是两个不同实根时,二阶常系数线性差分方程的通解为xn=x*+C1(1)n+C2(2)n;当 1,2=是两个相同实根时,二阶常系数线性差分方程的通解为xn=x*+(C1+C2 n)n;当 1,2=(cos +i sin )是一对共轭复根时,二阶常系数线性差分方程的通解为xn=x*+n(C1cosn +C2sinn ).易知,当且仅当特征方程的任一特征根|i|1时,平衡点x*是稳定的.则第14页/共16页对于一阶非线性差分方程xn+1=f(xn)其平衡点x*由代数方程x=f(x)解给出.为分析平衡点x*的稳定性,将上述差分方程近似为一阶常系数线性差分方程时,上述近似线性差分方程与原非线性差分方程的稳定性相同.因此当时,x*是稳定的；当时,x*是不稳定的.当第15页/共16页感谢您的观看。第16页/共16页