微分中值定理与导数应用小结.pptx

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1、洛必达法则Rolle定理Lagrange中值定理常用的泰勒公式Cauchy中值定理Taylor中值定理单调性,极值与最值,凹凸性,拐点,函数图形的描绘;曲率;求根方法.导数的应用主要内容第1页/共58页1.Rolle定理推论:一、中值定理第2页/共58页2.Lagrange 中值定理称为有限增量定理.推论第3页/共58页3.Cauchy中值定理第4页/共58页4.Taylor中值定理 第5页/共58页 常用函数的麦克劳林公式第6页/共58页二、LHospital法则 LHospital法则 I：第7页/共58页LHospital法则 II:第8页/共58页第9页/共58页第10页/共58页三、

2、导数应用 1.函数单调性的判定法设 f(x)在区间 I上可导.2.函数的极值及其求法定义:极大值和极小值统称为极值,取得极值的点称为极值点.第11页/共58页导数为0的点称为函数的驻点.极值存在的必要条件注意：导数不存在的点也可能是极值点!第12页/共58页极值存在的第一充分条件 第13页/共58页极值存在的第二充分条件 注意:(1)使二阶导数不为0的点一定是极值点.第14页/共58页求极值的步骤(2)求出驻点和不可导点.(3)由充分条件定理判定驻点和不可导点是否是极值点.(4)求出极值点处的函数值即得全部极值.第15页/共58页步骤:(1)求驻点和不可导点;(2).求区间端点及驻点和不可导点

3、的函数值,比较大小,那个大那个就是最大值,那个小那个就是最小值.注意:如果区间内只有一个极值,则这个极值就是最值.(最大值或最小值)3.最大值、最小值问题实际问题求最值应注意:1)建立目标函数;2)求最值;第16页/共58页4.曲线的凹凸与拐点 定义:设 f(x)在 I内连续,则 f(x)在 I上图形为向上凹的.则 f(x)在 I上图形为向上凸的.第17页/共58页判别法：拐点存在的必要条件 第18页/共58页一、内容小结1.中值定理Rolle定理Lagrange中值定理Cauchy中值定理Taylor中值定理2.LHospital法则3.导数的应用函数单调性判别法函数极值与判别法函数图形凹凸

4、性判别法函数图形拐点的求法函数图形渐近线的求法4.弧微分及计算第19页/共58页1.水平渐近线 则 y=A 是曲线 y=f(x)的水平渐近线.2.铅直渐近线 则 x=a 是曲线 y=f(x)的铅直渐近线.第20页/共58页3.斜渐近线 则 y=kx+b 是曲线 y=f(x)的斜渐近线.由此可得第21页/共58页主要题型举例1.证明等式或讨论根的存在性2.证明不等式3.LHospital法则的应用4.单调性与凹凸性的判定，极值与拐点的求法5.应用问题的最值6.作图第22页/共58页1.证明等式或讨论根的存在性Example 1.Proof.第23页/共58页由Rolle定理，得第24页/共58页

5、Example 2.分析：Proof.由Rolle定理得:证明在(a,b)内方程第25页/共58页Example 3.若 a b 0,分析:第26页/共58页Proof.设 0ab,显然,f(x),g(x)满足Cauchy中值定理的条件.由Cauchy中值定理,第27页/共58页Proof.由介值定理,Example 4.第28页/共58页(1)(2)注意到由(1),(2)得(3)(4)(3)+(4),得第29页/共58页2.证明不等式Example 5.Proof.利用Lagrange中值定理证明不等式时,由Lagrange中值定理,则第30页/共58页注意:第31页/共58页Example

6、 6.Proof.第32页/共58页Example 7.设函数f(x)在0,1上具有三阶连续导数,且 Proof.由 f(x)在0,1上具有三阶连续导数,且 第33页/共58页从而两式相减得，第34页/共58页Example 8.Proof.当 x=0 时,等号成立.所以 f(x)单调递增.从而,第35页/共58页Example 9.Proof.所以 f(x)单调递增.第36页/共58页Example 10.Proof.第37页/共58页3.LHospital法则的应用Example 11.Solution.第38页/共58页Example 12.Solution.第39页/共58页Examp

7、le 13.Solution.第40页/共58页Example 14.问 f(x)在 x=0处是否连续可导?Solution.故 f(x)在 x=0处连续.第41页/共58页故 f(x)在 x=0处可导.第42页/共58页4.单调性与凹凸性的判定，极值与拐点的求法Example 15.Solution.列表讨论如下:第43页/共58页Example 16.Proof.所以 G(x)单调递增.所以 F(x)单调递增.第44页/共58页Example 17.Solution.列表讨论如下:极大极小第45页/共58页Example 18.Solution.拐点拐点第46页/共58页Example 1

8、9.Solution.第47页/共58页Example 20.Solution.第48页/共58页5.应用问题的最值Example 21.从一块边长为a的正方形铁皮的四角上截去同样大小的正方形，然后折成一个无盖盒子，问要截去多大的小方块，才使盒子容量最大？Solution.如图所示第49页/共58页第50页/共58页Example 22.Solution.6.作图 第51页/共58页第52页/共58页Example23.Solution.奇函数第53页/共58页第54页/共58页列表如下:第55页/共58页极大值拐点极小值第56页/共58页作图The end 第57页/共58页感谢您的观看。第58页/共58页