《高等数学教学课件汇编》数列的极限.ppt

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1、 第一章 二二、收敛数列的性质、收敛数列的性质 三三、极限存在准则、极限存在准则 一、数列极限的定义一、数列极限的定义 第二节第二节机动 目录 上页 下页 返回 结束 数列的极限数列的极限数学语言描述:一一、数列极限的定、数列极限的定义义引例引例.设有半径为 r 的圆,逼近圆面积 S.如图所示,可知当 n 无限增大时,无限逼近 S (刘徽割圆术),当 n N 时,用其内接正 n 边形的面积总有刘徽 目录 上页 下页 返回 结束 定义定义定义定义:自变量取正整数的函数称为数列,记作或称为通项(一般项).若数列及常数 a 有下列关系:当 n N 时,总有记作此时也称数列收敛,否则称数列发散.几何解

2、释:即或则称该数列的极限为 a,机动 目录 上页 下页 返回 结束 例如例如例如例如,趋势不定收 敛发 散机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例例例1.1.已知已知证明数列的极限为1.证证:欲使即只要因此,取则当时,就有故机动 目录 上页 下页 返回 结束 2.2.收敛数列一定有界收敛数列一定有界收敛数列一定有界收敛数列一定有界.证证:设取则当时,从而有取 则有由此证明收敛数列必有界.说明说明:此性质反过来不一定成立.例如,虽有界但不收敛.有数列机动 目录 上页 下页 返回 结束 3.3.收敛数列的保号性收敛数列的保号性收敛数列的保号性收敛数列的保号性.若且时,有证证:对 a 0,取推论推论

3、:若数列从某项起(用反证法证明)机动 目录 上页 下页 返回 结束*4.4.收敛数列的任一子数列收敛于同一极限收敛数列的任一子数列收敛于同一极限收敛数列的任一子数列收敛于同一极限收敛数列的任一子数列收敛于同一极限.证证:设数列是数列的任一子数列.若则当 时,有现取正整数 K,使于是当时,有从而有由此证明*机动 目录 上页 下页 返回 结束 三、极限存在准则三、极限存在准则由此性质可知,若数列有两个子数列收敛于不同的极限,例如，发散!夹逼准则;单调有界准则;柯西审敛准则.则原数列一定发散.机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明说明:1.1.夹逼准则夹逼准则夹逼准则夹逼准则(准则准则1)1)(P

4、49)(P49)证证:由条件(2),当时,当时,令则当时,有由条件(1)即故 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例例例5.5.证明证明证证:利用夹逼准则.且由机动 目录 上页 下页 返回 结束 2.2.单调有界数列必有极限单调有界数列必有极限单调有界数列必有极限单调有界数列必有极限 (准则准则2 2 )(证明略)机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例例例6.6.设设证明数列极限存在.证证:利用二项式公式,有机动 目录 上页 下页 返回 结束 大大 大大 正正又比较可知机动 目录 上页 下页 返回 结束 根据准则根据准则 2 2 可知数列可知数列记此极限为 e,e 为无理数,其值为即有极限.原题 目录 上页 下页 返回 结束 又内容小结内容小结1.数列极限的“N”定义及应用2.收敛数列的性质:唯一性;有界性;保号性;任一子数列收敛于同一极限3.极限存在准则:夹逼准则;单调有界准则;机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习1.如何判断极限不存在?方法1.找一个趋于的子数列;方法2.找两个收敛于不同极限的子数列.2.已知,求时,下述作法是否正确?说明理由.设由递推式两边取极限得不对不对!此处机动 目录 上页 下页 返回 结束