中考数学频考点突破--二次函数.docx

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1、中考数学频考点突破-二次函数一、综合题1已知：二次函数y 12x2 +2x+m的图象与x轴有公共点 （1）求m的取值范围； （2）如图所示，若二次函数y 12x2 +2x+m图象的顶点B在x轴上，与y轴的交点为A，P为图象上的一点，若以线段PB为直径的圆与直线AB相切于点B，求P点的坐标； （3）在（2）中，若点P关于y轴的对称点为M，求以点M为圆心，BP长为半径的圆是否与直线AB相切？并说明理由 2已知二次函数图象的顶点坐标为（1，4），且经过点（4，-5）（1）求该二次函数表达式；（2）直接写出y随x的增大而减小时x的取值范围；（3）若二次函数的图象平移后经过原点，请直接写出两种不同的平移

2、方案3如图，AB是O的直径，BD是O的弦，延长BD到点C，使DC=BD，连结AC交O于点F（1）AB与AC的大小有什么关系？请说明理由；长（2）若AB=8，BAC=45，求：图中阴影部分的面积4如图，在RtABC中，AC=24cm，BC=7cm，P点在BC上，从B点到C点运动（不包括C点），点P运动的速度为2cm/s；Q点在AC上从C点运动到A点（不包括A点），速度为5cm/s若点P、Q分别从B、C同时运动，且运动时间记为t秒，请解答下面的问题，并写出探索的主要过程（1）当t为何值时，P、Q两点的距离为5 2 cm？ （2）当t为何值时，PCQ的面积为15cm2？（3）请用配方法说明，点P运动

3、多少时间时，四边形BPQA的面积最小？最小面积是多少？5函数yax2(a0)与直线y2x3交于点A(1，b)，求：（1）a和b的值； （2）求抛物线yax2的顶点和对称轴； （3）x取何值时，二次函数yax2中的y随x的增大而增大； 6已知二次函数y=2x2，y=2（x2）2，y=2（x2）2+2，请回答下列问题：（1）写出抛物线y=2（x2）2的顶点坐标，开口方向和对称轴；（2）分别通过怎样的平移，可以由抛物线y=2x2得到抛物线y=2（x2）2和y=2（x2）2+2？（3）如果要得到抛物线y=2（x2017）22018，应将y=2x2怎样平移？7如图，已知直线PA交O于A、B两点，AE是O

4、的直径，点C为O上一点，且AC平分PAE，过C作CDPA，垂足为D（1）求证：CD为O的切线；（2）若DC=4，AC=5，求O的直径的AE8已知：如图，AO是O的半径，AC为O的弦，点F为的中点，OF交AC于点E，AC=10，EF=3（1）求AO的长；（2）过点C作CDAO，交AO延长线于点D，求OD的长9如图，已知二次函数图象与x轴交于点A（1，0），B（3m，0），交y轴于点C（0，3m）（m0）.（1）当m2时，求抛物线的表达式及对称轴. （2）过OB中点M作x轴垂线交抛物线于点D过点D作DFx轴.交抛物线于点E，交直线BC于点F，当 EFED=54 时，求m的值. 10已知AB = B

5、C，ABC = 90，直线l是过点B的一条动直线（不与直线AB，BC重合），分别过点A，C作直线l的垂线，垂足为D，E（1）如图1，当45ABD90时，求证：CE +DE =AD；连接AE，过点D作DHAE于H，过点A作AFBC交DH的延长线于点F依题意补全图形，用等式表示线段DF，BE，DE的数量关系，并证明；（2）在直线l运动的过程中，若DE的最大值为3，直接写出AB的长11如图，已知D是O上一点，AB是直径，BAD的平分线交O于点E，O的切线BC交OE的延长线于点C，连接OD，CD.（1）求证：CDOD. （2）若AB2，填空：当CE 时，四边形BCDO是正方形.作AEO关于直线OE对称

6、的FEO，连接BF，BE，当四边形BEOF是菱形时，求CE的长.12如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点A（3，0），B（1，0），C（0，3）（1）求抛物线的解析式；（2）若点P为第三象限内抛物线上的一点，设PAC的面积为S，求S的最大值并求出此时点P的坐标；（3）设抛物线的顶点为D，DEx轴于点E，在y轴上是否存在点M，使得ADM是直角三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由13如图， AB 为 O 的直径，点C为 O 上一点， ACB 的平分线与 O 交于点D，与 AB 交于点E.点F为 DC 的延长线上一点，满足 FBC=BDC . （1）求证： BF 与 O 相切

7、； （2）若 BD=6 ， BC=22 ，求 ABC 的面积. 14如图，AB是O的直径，点C，D在O上，且AD平分CAB，过点D作AC的垂线，与AC的延长线相交于点E，与AB的延长线相交于点F（1）求证：EF与O相切；（2）若AB=10，AD=310，则tanDAF的值为 答案解析部分1【答案】（1）解：由题意得：224 12 m0， 解得m2；（2）解：y=12x2+2x+2，令x0，则y2，故点A（0，2）， 而函数的对称轴为x2，故顶点为B（2，0），设直线AB的表达式为ykx+b，则 0=2k+bb=2 ，解得 k=1b=2 ，直线AB：yx+2，则OAOB，故AOB45，以线段PB

8、为直径的圆与直线AB相切于点B，即PBAB，而AOB45，故直线PB与x轴负半轴的夹角为45，则设直线PB的表达式为yx+t，将点B的坐标代入上式并解得t2，直线PB的解析式为yx2，联立得： x2=12x2+2x+2 ，解得：x12（舍去），x24，P（4，2）（3）解：由点B、P的坐标知，BP (4+2)2+22 22 ， 关于y轴对称的点M（4，2），如图，连接PM，过点M作MHAB于点H，则AM4，ABOBAO45，则PAB90BAO904545HMA，则HMAMsinHMA4 22 22 ，即M到直线AB的距离为 22 ，BP长为半径的圆与直线AB相切【知识点】二次函数y=ax2+b

9、x+c的图象；二次函数y=ax2+bx+c的性质【解析】【分析】（1）根据二次函数与x轴有公共点，即二次方程有根，根据根的判别式即可得到m的取值范围；（2）根据题意，计算得到直线AB的解析式，将二次函数的解析式与直线PB的解析式，联立即可得到点P的坐标；（3）由勾股定理计算得到BP的长度，根据锐角三角函数即可得到HM的长度，即可得到答案。2【答案】（1）解： 二次函数图象的顶点坐标为（1，4），设抛物线的解析式为：y=a（x-1）2+4二次函数图象经过点（4，-5）a(4-1）2+4=-5解之：a=-1此函数解析式为：y=-（x-1）2+4 （2）解： 由（1）可知二次函数的对称轴为直线x=1

10、a=-10抛物线的开口向下，再对称轴的右侧，y随x的增大而减小当x1时y随x的增大而减小 （3）解： 二次函数y=-（x-1）2+4平移后经过原点y=-（x-1+1）2+4-4，即y=x2 向左平移1个单位，再向下平移4个单位 ；y=-（x-1）2+4=-x2+2x+3若平移后的函数解析式为：y=-x2+2x=-（x-1）2+1时，图像过原点y=-（x-1）2+4-3=-（x-1）2+1向下平移3个单位y=-（x-1-1）2+4=x2+4x 向右平移1个单位y=-（x-1+3）2+4=x2-4x 向左平移3个单位 二次函数的图象平移后经过原点 ，平移方案有： 向左平移1个单位，再向下平移4个单

11、位；向下平移3个单位；向右平移1个单位；向左平移3个单位等等。 【知识点】二次函数图象的几何变换；待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=a（x-h）2+k的性质【解析】【分析】（1）已知二次函数的顶点坐标，因此设二次函数解析式为顶点式，再将点（4，-5）代入，即可求解。（2）利用（1）中的函数解析式，可得出对称轴，再利用二次函数的增减性，就可得出答案。（3）利用二次函数图象平移的规律：上加下减，左加右减，要使平移后的图像经过原点，因此平移后的c的值一定为0，写出平移方案即可。3【答案】（1）解：AB=AC 理由是：连接ADAB是O的直径，ADB=90，即ADBC，又DC=BD，AB=AC；（

12、2）解：连接OD、过D作DHAB AB=8，BAC=45，BOD=45，OB=OD=4，DH=2 2OBD 的面积= 12422=42扇形OBD的面积= 4542360=2 ，阴影部分面积= 242【知识点】圆周角定理；扇形面积的计算【解析】【分析】（1）由圆周角定理可知ADBC，由已知条件可知D为BC中点，根据等腰三角形三线合一的性质即可得证.（2）在RtODH中，根据正弦的定义可求得DH长，由三角形面积公式可得OBD的面积，再由扇形的面积公式可求得扇形OBD的面积，从而可求得阴影部分的面积.4【答案】（1）解：在RtABC中，AC=24cm，BC=7cm，AB=25cm，设经过ts后，P、

13、Q两点的距离为5 2 cm，ts后，PC=7-2t cm，CQ=5t cm，根据勾股定理可知PC2+CQ2=PQ2，代入数据（7-2t）2+（5t）2=（5 2 ）2；解得t=1或t=- 129 （不合题意舍去）（2）解：设经过ts后，SPCQ的面积为15cm2ts后，PC=7-2t cm，CQ=5t cm，SPCQ= 12 = 12 （7-2t）5t=15解得t1=2，t2=1.5，经过2或1.5s后，SPCQ的面积为15cm2（3）解：设经过ts后，PCQ的面积最大，则此时四边形BPQA的面积最小，ts后，PC=7-2t cm，CQ=5t cm，SPCQ= 12 PCCQ= 12 （7-2

14、t）5t= 52 （-2t2+7t）当t=- b2a 时，即t= 722 =1.75s时，PCQ的面积最大，即SPCQ= 12 PCCQ= 12 （7-21.75）51.752= 24516 （cm2），四边形BPQA的面积最小值为：SABC-SPCQ最大= 12 724- 24516 = 109916 （cm2），当点P运动1.75秒时，四边形BPQA的面积最小为： 109916 cm2【知识点】二次函数的最值；一元二次方程的实际应用-几何问题；三角形-动点问题【解析】【分析】（1）根据勾股定理算出AB的长，根据题意得出PC=7-2t cm，CQ=5t cm，根据勾股定理建立方程，求出t的值

15、，再检验即可；（2）根据题意：PC=7-2t cm，CQ=5t cm，根据三角形的面积公式列出方程，求解即可得出答案；（3）设经过ts后，PCQ的面积最大，则此时四边形BPQA的面积最小，由题意知：PC=7-2t cm，CQ=5t cm，根据三角形的面积公式建立函数解析式，根据所得函数的性质即可得出三角形的面积的最大值，根据四边形BPQA的面积最小值为=SABC-SPCQ最大即可算出答案。5【答案】（1）解：将x = 1，y =b代入y = 2x3，得b = 1. 所以A(1，1).将x = 1，y = 1代入y =a x2 ，得a = 1（2）解：由(1)可得二次函数解析式为y = x2 .

16、 其顶点坐标为(0，0)，对称轴为x = 0（3）解：因为a = 10，所以抛物线开口向下，在对称轴左侧，y随x的增大而增大. 即当x0时，y随x的增大而增大.【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax2的性质【解析】【分析】（1）将点 A(1，b) 代入 直线y2x3 求出b的值从而得出点A的坐标，再将点A的坐标代入 函数yax2 即可求出a的值，从而求出抛物线的解析式；（2）根据抛物线的顶点式的性质即可求出抛物线yax2的顶点坐标和对称轴直线的解析式；（3）由于抛物线的二次项系数 a = 10，所以抛物线开口向下，在对称轴左侧，y随x的增大而增大，即当x0时，y随x的增大而增大

17、。6【答案】（1）解：抛物线y=2（x2）2的顶点坐标（2，0），开口方向向下，对称轴为直线x=2 （2）解：y=2x2的顶点坐标为（0，0），y=2（x2）2的顶点坐标为（2，0）， y=2（x2）2+2的顶点坐标为（2，2），所以，抛物线y=2x2向右平移2个单位得到抛物线y=2（x2）2，抛物线y=2x2向右平移2个单位，再向上平移2个单位得到抛物线y=2（x2）2+2（3）解：抛物线y=2（x2017）22018的顶点坐标为（2017，2018）， 应将y=2x2向右平移2017个单位，向下平移2018个单位得到【知识点】二次函数图象的几何变换【解析】【分析】（1）根据函数解析式，直接

18、写出抛物线的顶点坐标，开口方向和对称轴。 （2）根据二次函数图象的平移规律：上加下减，左加右减，即可得出答案。 （3）根据两函数解析式，由顶点坐标的变化情况，即可答案。7【答案】（1）证明：连接OCOC=OA，OAC=OCA AC平分PAE，DAC=OAC，DAC=OCA，ADOCCDPA，ADC=OCD=90，即 CDOC，点C在O上，CD是O的切线（2）解：过O作OMAB于M即OMA=90，MDC=OMA=DCO=90，四边形DMOC是矩形，OC=DM，OM=CD=4DC=4，AC=5，AD=3，设圆的半径为x，则AM=x-AD=x-3，在RtAMO中，AMO=90，根据勾股定理得：AO2

19、=AM2+OM2x2=（x-3）2+42，x=256O的半径是256，O的直径的AE=2256=253【知识点】勾股定理；切线的判定【解析】【分析】（1）连接OC，根据OA=OC推出OCA=OAC，根据角平分线得出OCA=OAC=CAP，推出OC/AP，得出OCCD，根据切线的判定推出即可；（2）过O作OMAB于M即OMA=90，证出四边形DMOC是矩形，可得OM=CD，OC=AM+AD，求出AM的长，利用勾股定理求出AD的长，设圆的半径为x，则AM=x-AD，再根据勾股定理列方程，求出x的值即可求出圆的半径，从而求出圆的直径AE。8【答案】（1）解：O是圆心，且点F为AC的中点，OFAC，A

20、C10，AE5，EF=3设圆的半径为r，即OAOFr，则OEOFEFr3，由OA2AE2OE2得r252（r3）2， 解得：r173，即AO173；（2）解：OAECAD，AEOADC90，AOEACD，则sinACDsinAOEAEAO=5173=1517AD=ACsinACD=101517=15017OD=ADAO=15017173=16151【知识点】勾股定理；垂径定理；解直角三角形【解析】【分析】（1）根据垂径定理和勾股定理即可得出OA的值；（2）根据题意和相似三角形的判定方法可得出AOEACD，则sinACDsinAOEAEAO=5173=1517，再根据题中的数据和（1）的结果，即

21、可得出OD的长。9【答案】（1）解：当m2时，得到A（1，0），B（6，0），C（0，6）， 设抛物线表达式为ya（x6）（x+1），将点C（0，6）代入得a1，yx2+5x+6，对称轴为x 52 ；（2）解：如图，作抛物线的对称轴交FD于G，交x轴于H，设抛物线表达式为ya（x3m）（x+1），将点C（0，3m）代入表达式，得a1，y（x3m）（x+1），对称轴为x 3m+12 ，M为OB的中点，OM 3m2 ，HMDG 12 ，ED1，EFED=54 ，EF 54 ，FDDN 94 ，DM 94+3m2 ，D（ 3m2 ， 94+3m2 ），代入抛物线解析式得m1.【知识点】待定系数法求二

22、次函数解析式；等腰三角形的性质；二次函数y=ax2+bx+c的性质【解析】【分析】（1）当m=2的时候，首先得出A,B,C三点的坐标，进而设出抛物线的交点式，将点C的坐标代入即可算出二次项的系数a的值，从而求出抛物线的解析式，根据抛物线的对称轴直线公式即可算出该抛物线的对称轴直线； （2）设出抛物线的交点式，将点C的坐标代入即可算出二次项的系数a的值从而求出抛物线的解析式，根据抛物线的对称轴直线公式即可算出该抛物线的对称轴直线；根据线段中点的定义表示出OM，故得出点M与D到对称轴直线的距离应该是 12 ，根据抛物线的对称性得出 ED1， 进而即可得出EF的长，FD的长，进而根据等腰直角三角形的

23、性质表示出DN的长，从而表示DM的长，表示出点D的坐标，将点D的坐标代入 抛物线解析式 即可算出m的值。10【答案】（1）解：证明： ABC=90， ABD+CBD=90 CEl， CEB=90 CBD+C=90 ABD=C ADl， ADB=90=CEB AB=BC， ABD BCE AD=BE，BD=CEBD+DE=BE，CE+DE=AD补全图形如图：线段DF，BE，DE的数量关系为BE2+DE2=DF2证明如下： AFBC， BAF+ABC=180 ABC=90， BAF=90 BAD+DAF=90 ADl， ADB=90 BAD+ABD=90 ABD=DAF DFAE于H， DHE=9

24、0 HDE+HED=90 ADE=ADF+HDE=90， HED=ADF 由（1）中全等，有AD=BE， ADF BEA DF=AE 在RtADE中，AD2+DE2=AE2，BE2+DE2=DF2（2）解：AB为322【知识点】三角形全等的判定；二次函数的实际应用-几何问题【解析】解：(2)当直线l在ABC外部时，由（1）知ABD BCE AD=BE，BD=CE，DE=DB+BE=DB+AD，设AD=x，则BE=x，DB=DE-BE=3-x，AB2=AD2+DB2=x2+(3x)2=2(x32)2+184当x=32时，AB2有最小值184，即AB=322故当DE取最大值3时，AB为322【分析

25、】（1）先证明ABD BCE，可得AD=BE，BD=CE，由BD+DE=BE可得CE+DE=AD；补全图形，先证明ADF BEA，得出DF=AE，再由勾股定理可得AD2+DE2=AE2，再利用等量代换可得BE2+DE2=DF2；（2）设AD=x，则BE=x，DB=DE-BE=3-x，利用勾股定理可得AB2=AD2+DB2=x2+(3x)2，再利用二次函数的性质求解即可。11【答案】（1）证明：BC是O的切线， BCOB，OBC90，AE是BAD的平分线，DAEBAE，OAOE，BAEOEA，DAEOEA，AD/OC ，BOCBAD，BODBOC+DOC2BAD，BOCBADDOC，在ODC和O

26、BC中， OD=OBDOC=BOCOC=OC ，ODCOBC（SAS），ODCOBC90，CDOD；（2）2 1；解：如图所示： AEO与FEO关于直线OE对称，OFOA，F在O上，四边形BEOF是菱形，BEOE1，EOBEBO，EOB+BCE90，EBO+CBE90，BCECBE，CEBE1.【知识点】全等三角形的判定与性质；菱形的性质；正方形的性质；圆周角定理；切线的性质【解析】【解答】（2）解：当CE 2 1时，四边形BCDO是正方形；理由如下： AB2，OBOEOD1，OCOE+CE 2 ，由（1）得：OBC90，ODCOBC，DCBC OC2OB2 (2)212 1，OBBCDCOD

27、，四边形BCDO是菱形，OBC90，四边形BCDO是正方形；故答案为： 2 1；【分析】（1）证出DAEOEA，得出 AD/OC ，由圆周角定理证出BOCBADDOC，证明ODCOBC（SAS），得出ODCOBC90，即可得出结论；（2）求出 OC=OE+CE=2 ，由（1）得OBC90，ODCOBC，由勾股定理得出 DC=BC=OC2OB2=1 ，得出OBBCDCOD，证出四边形BCDO是菱形，由OBC90，即可得出结论；由菱形的性质得出BEOE1，得出EOBEBO，证出BCECBE，即可得出CEBE1.12【答案】（1）解：由于抛物线y=ax2+bx+c经过A（3，0），B（1，0），可设

28、抛物线的解析式为：y=a（x+3）（x1），将C点坐标（0，3）代入，得：a（0+3）（01）=3，解得 a=1，则y=（x+3）（x1）=x2+2x3，所以抛物线的解析式为：y=x2+2x3（2）解：过点P作x轴的垂线，交AC于点N设直线AC的解析式为y=kx+m，由题意，得3k+m=0m=3 ，解得 k=1m=3 ，直线AC的解析式为：y=x3设P点坐标为（x，x2+2x3），则点N的坐标为（x，x3），PN=PENE=（x2+2x3）+（x3）=x23xSPAC=SPAN+SPCN，S= 12 PNOA= 12 3（x23x）= 32 （x+ 32 ）2+ 278 ，当x= 32 时，S

29、有最大值 278 ，此时点P的坐标为（ 32 ， 154 ）（3）解：在y轴上是存在点M，能够使得ADM是直角三角形理由如下：y=x2+2x3=y=（x+1）24，顶点D的坐标为（1，4），A（3，0），AD2=（1+3）2+（40）2=20设点M的坐标为（0，t），分三种情况进行讨论：当A为直角顶点时，如图3，由勾股定理，得AM2+AD2=DM2，即（0+3）2+（t0）2+20=（0+1）2+（t+4）2，解得t= 32 ，所以点M的坐标为（0， 32 ）；当D为直角顶点时，如图3，由勾股定理，得DM2+AD2=AM2，即（0+1）2+（t+4）2+20=（0+3）2+（t0）2，解得t=

30、 72 ，所以点M的坐标为（0， 72 ）；当M为直角顶点时，如图3，由勾股定理，得AM2+DM2=AD2，即（0+3）2+（t0）2+（0+1）2+（t+4）2=20，解得t=1或3，所以点M的坐标为（0，1）或（0，3）；综上可知，在y轴上存在点M，能够使得ADM是直角三角形，此时点M的坐标为（0， 32 ）或（0， 72 ）或（0，1）或（0，3）【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-百分率问题【解析】【分析】（1）已知抛物线上的三点坐标，利用待定系数法可求出该二次函数的解析式；（2）过点P作x轴的垂线，交AC于点N，先运用待定系数法求出直线AC的解析

31、式，设P点坐标为（x，x2+2x3），根据AC的解析式表示出点N的坐标，再根据SPAC=SPAN+SPCN就可以表示出PAC的面积，运用顶点式就可以求出结论；（3）分三种情况进行讨论：以A为直角顶点；以D为直角顶点；以M为直角顶点；设点M的坐标为（0，t），根据勾股定理列出方程，求出t的值即可13【答案】（1）证明：证明：AB 为 O 直径， ACB=90 ，CAB+CBA=90 ，FBC=BDC,BDC=BAC ，FBC+CBA=90 ，即 FBA=90 ，FBOB ，BF 与 O 相切.（2）解：连接 AD ， CD 平分 ACB ，ACD=BCD=45 ，BAD=ABD=ACD=45 ，

32、ADB=90 ，在 RtADB 中，BD=6 ，AB=BDsinBAD=6sin45=62 ，AC=AB2BC2=(62)2(22)2=8ABC 的面积为 12822=82 .【知识点】勾股定理；圆周角定理；切线的判定；锐角三角函数的定义【解析】【分析】(1)首先根据AB为O 的直径，可得ACB= 90，即CAB+ABC = 90，结合圆周角定理和FBC =BDC，最后推得FBC+ABC= 90，即FBOB，即可证得BF与 O相切； (2)连接AD，首先由角平分线的定义，可得ACD=BCD, 推得AD=BD，再根据圆周角定理可得ADB = 90，即可判定ABD是等腰直角三角形，在RtABD中根

33、据勾股定理求出AB，再在RtABC中根据勾股定理求出BC，最后由三角形的面积公式计算即可. 14【答案】（1）证明：如图，连接OD，AD平分CAB，CAD=OAD，OD=OA，ODA=OAD，DEAE，DEA+CAD=90，DEA+ODA=90，即EFOD，EF与O相切；（2）13【知识点】切线的判定；锐角三角函数的定义【解析】【解答】解：(2)如图，连接BD，AB是O的直径，ADB=90，在RtABD中，AD=310，AB=10，则BD=AB2AD2=10，tanDAF=BDAD=13【分析】（1）由题意得出EFOD，即可证出结论；（2）由勾股定理得出BD的长，由锐角三角函数的概念即可得出答案。学科网（北京）股份有限公司