平面向量数量积及运算律.pptx

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1、平面向量数量积及运算律平面向量数量积及运算律 我们学过功的概念，即一个物体我们学过功的概念，即一个物体在力在力F F的作用下产生位移的作用下产生位移s s（如图）（如图）F FS S力力F F所做的功所做的功WW可用下式计算可用下式计算W=|F|S|cos W=|F|S|cos 其中其中 是是F F与与S S的夹角的夹角 从力所做的功出发，我们引入向量从力所做的功出发，我们引入向量“数量积数量积”的概念。的概念。第1页/共18页规定规定:零向量与任一向量的数量积为零向量与任一向量的数量积为0 0。（1 1）向量的加、减法的结果是向量还是数量？）向量的加、减法的结果是向量还是数量？）向量的加、减

2、法的结果是向量还是数量？）向量的加、减法的结果是向量还是数量？数乘向量运算呢？向量的数量积运算呢？数乘向量运算呢？向量的数量积运算呢？数乘向量运算呢？向量的数量积运算呢？数乘向量运算呢？向量的数量积运算呢？（2 2）“”“”能不能写成能不能写成能不能写成能不能写成“”“”或者或者或者或者“”的形式？的形式？的形式？的形式？思思考考 已知两个非零向量已知两个非零向量a与与b，它们的，它们的夹角为夹角为，我们把数量，我们把数量|a|b|cos叫做叫做a与与b的的数量积数量积（或（或内积内积），记作），记作ab ab=|a|b|cos一一、向量数量积的定义：向量数量积的定义：第2页/共18页 向量的

3、数量积是一个数量，那么它什向量的数量积是一个数量，那么它什么时候为正，什么时候为负？么时候为正，什么时候为负？abab=|=|a a|b b|cos|cos当当00 9090时时abab为正；为正；当当 =90=90时时abab为零。为零。当当9090 180180时时abab为负。为负。第3页/共18页探究（二）：探究（二）：平面向量数量积的运算性质平面向量数量积的运算性质 思考思考1 1：设：设a与与b都是非零向量，若都是非零向量，若ab，则则ab等于多少？等于多少？反之成立吗？反之成立吗？ab ab0思考思考2 2：当：当a与与b同向时，同向时，ab等于什么？等于什么？当当a与与b反向时

4、，反向时，ab等于什么？特别地，等于什么？特别地，aa等于什么？等于什么？当当a与与b同向时，同向时，abab；当当a与与b反向时，反向时，abab；aaa2a2或或a .第4页/共18页思考思考3 3：ab与与ab的大小关的大小关系如何？为什么？系如何？为什么？a ab ba ab b 第5页/共18页例例1 1 已知已知|a|=5|a|=5，|b|=4|b|=4，a a与与b b的的夹角夹角=120=120，求，求a ab b。解：解：ab=|a|b|cos=54cos120 =54（-1/2）=10P书106.1.2第6页/共18页思考思考4 4：对于两个非零向：对于两个非零向量量a与与

5、b，设其夹角为，设其夹角为，那么那么acoscos的几何的几何意义如何？意义如何？ab bO OA AB BA A1 1对于两个非零向量对于两个非零向量a与与b，设其夹角为，设其夹角为，acoscos叫做向量叫做向量a在在b方向上的投方向上的投影影.那么该投影一定是正数吗？向量那么该投影一定是正数吗？向量b在在a方向上的投影是什么？方向上的投影是什么？不一定；不一定；bcos.|a|cos|cosP书106.3第7页/共18页思考思考5 5：根据投影的概念，数量积：根据投影的概念，数量积ab=a|bcos的几何意义如何？的几何意义如何？数量积数量积ab等于等于a的模与的模与b在在a方向上的方向

6、上的投影投影bcos的乘积，或等于的乘积，或等于b的模与的模与a在在b方向上的投影方向上的投影acos的乘积的乘积，第8页/共18页二、平面向量的数量积的运算律：二、平面向量的数量积的运算律：数量积的运算律：数量积的运算律：其中，其中，是任意三个向量，是任意三个向量，第9页/共18页例例 3：求证：求证：（1）(ab)2a22abb2；（2）(ab)(ab)a2b2.(ab)a(ab)ba22abb2.aabaabbb证明：证明：（1）(ab)2(ab)(ab)第10页/共18页（1）(ab)2a22abb2；（2）(ab)(ab)a2b2.例例 3：求证：求证：证明：证明：（2）(ab)(a

7、b)(ab)a(ab)b aabaabbb a2b2.第11页/共18页理论迁移理论迁移例例2 2 已知已知a6 6，b4 4，a与与b的的夹角为夹角为6060，求，求(a2b)(a3b).72 72 例例3 3 已知已知a3 3，b4 4，且，且a与与b不共线不共线.求当求当k k为何值时，向量为何值时，向量akb与与 ak kb互相垂直？互相垂直？第12页/共18页变式：变式：K=6第13页/共18页练习三：练习三：1、已知、已知 ，为单位向量，当它们的夹角为为单位向量，当它们的夹角为 时，时，求求 在在 方向上的投影及方向上的投影及 ；2、已知 ，与 的交角为 ，则；3、若 ，共线，则.

8、（1 1）e a=a e=|a|cos（2 2）ab a b=0 (判断两向量垂直的依据判断两向量垂直的依据)403或或34、已知 ，且 ，则 与 的夹角为 ；第14页/共18页A AD DA A练习五：练习五：第15页/共18页1 1、向量的数量积的定义、向量的数量积的定义4 4 、必须掌握的五条重要性质必须掌握的五条重要性质小结小结2 2、向量的数量积的几何意义、向量的数量积的几何意义3 3、向量的数量积的运算律、向量的数量积的运算律第16页/共18页作业:1.1.阅读教材的相关内容阅读教材的相关内容3.3.红对勾的第红对勾的第2626课时课时2.2.教材第教材第108108页页A A组组 第第1 1，2 2，3 3，5 5题题第17页/共18页