弯曲变形超静定梁.pptx

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1、工程中挠度和转角是度量梁弯曲变形的两个基本量。若梁任一横截面的位置用x表示，则：挠度方程为：转角方程为：梁任一横截面的转角等于该截面处挠度对横截面位置的一阶导数。第1页/共23页二、挠曲线近似微分方程二、挠曲线近似微分方程 在梁处于纯弯曲或剪应力相对影响较小情况下，由教材P128(5-2)式知在挠曲线中取微段由于小变形，故梁挠曲线近似微分方程 xyxABBdx(x)d(x)ds(x)则(x)(x)d(x)第2页/共23页上式中E(x)Iz(x)为梁在x处的抗弯刚度，适用于非均匀变截面梁。当E(x)为常数时称为均匀梁；当Iz(x)为常数时称为等截面梁；当E(x)Iz(x)为常数时称为等截面均匀梁

2、。本章仅研究等截面均匀梁。三、挠度、转角、弯矩、剪力、分布载荷关系三、挠度、转角、弯矩、剪力、分布载荷关系 w转角 w弯矩 w剪力 w分布载荷 第3页/共23页对该式积分后产生2个积分常数，在确定这些积分常数过程中，需灵活应用边值条件、连续条件和光滑条件等变形几何条件。一、挠曲线基本方程一、挠曲线基本方程 6-2 6-2 用积分法求梁的变形 w w1.1.边值条件边值条件 夹紧端：简支端：二、变形几何条件二、变形几何条件 w w2.2.连续条件连续条件w w3.3.光滑条件光滑条件任一点的挠度值连续。任一点的转角值连续。支承对挠度和转角的限制第4页/共23页三、解题步骤三、解题步骤 w求支座约

3、束反力；w求弯矩方程M(x)，有时可能要分段；w(分段)求解微分方程 ；w由边值条件、连续条件、光滑条件确定积分常数；w写挠度方程 和转角方程 ；w求最大挠度|y|max和最大转角|max。第5页/共23页四、例题四、例题 【例6-1】求图示简支梁的最大挠度|y|max和最大转角|max。【解】1)求支座反力 2)分段写弯矩方程RARBPabABCl3)分段求解微分方程 第6页/共23页4)根据边值条件、连续条件、光滑条件确定积分常数。求解得5)求挠度和转角方程 第7页/共23页最大转角仅可能发生在A、B端。6)求最大挠度|y|max和最大转角|max。显然，当ab时，最大转角发生在B端。因A

4、截面转角为负，而当ab时C截面转角为正，故转角为零即挠度取得极大值的截面发生在AC段。即：于是：第8页/共23页6-3 6-3 用叠加法求梁的变形 当作用在梁上的载荷较多且比较复杂时，而梁在简单载荷作用下的变形又易求得时，利用叠加法求梁的变形比较简单。叠加法：叠加法：当求梁上同时作用几个载荷时的挠度或转角时，可先分别求出各个载荷单独作用下梁的挠度或转角，然后分别求出它们的代数和，即得到这些载荷同时作用时梁的挠度或转角。【例6-2】求图示悬臂梁B端的挠度和转角。xyaABaCqP=qaP=qayaABaCxq1=qq2=q【解】原悬臂梁B端的挠度和转角与图示载荷情形下B端的挠度和转角等效。第9页

5、/共23页aaxyABCq1=qP=qaxyaABaCP、q1、q2单独作用时 B端的挠度和转角为：P单独作用时，由教材P172(图2)，取 l=2a得：q1单独作用时，由教材P173(图1)，取l=2a得：第10页/共23页xyABaCaxyaABaCq2=qq2单独作用时，由教材P173(图1)，取l=a得：P、q1、q2同时作用时B端的挠度和转角为其单独作用时的代数和：C(q2)yC(q2)第11页/共23页【例6-3】在简支梁上作用有图示集度为q的均布载荷。求跨度中点C的挠度（设b l/2）。ABll/2Cxdxbqqdx【解】在P174（图2）的0 x a段挠度公式中，令F=qdx，

6、b=x，x=l/2，可得到微元载荷qdx在C点引起的挠度dyC。第12页/共23页【例6-4】求图示外伸梁A端的转角 A和挠度yA。aABDFPllCDB2la2y2m=FaPBDllCa1y1【解】采用“逐段柔化,逐个加载，结果叠加”方法求1）求简支梁BD在P作用下B端的转角和挠度(P174图1)：2）求简支梁BD在m作用下B端的转角和挠度(P173图2)：3）求悬臂梁AB在F作用下A端的转角和挠度(P172图2)：Fy3aF3ABD第13页/共23页4）求原外伸梁A端的转角和挠度：第14页/共23页【例6-5】图示结构中刚架ABC的抗弯刚度为EI，杆BD的拉压刚度为EA，求C点的铅垂位移。

7、aaqCaABDaaCaABDly1y2BBaaCaABDy3aCBq【解】1）求BD杆轴力2）求y1:3）求y2:4）求y3:5）求yC:Me第15页/共23页6-4 6-4 梁的刚度校核 一、刚度条件一、刚度条件 y许用挠度 许用转角，单位为弧度(rad)。二、提高梁刚度的措施二、提高梁刚度的措施 w改善构件的截面形状或尺寸，以增大截面惯性矩；w在条件允许情况下减少构件的跨度或有关长度，如缩小支座距离、增加支座、合理安排载荷的作用位置等。第16页/共23页6-5 6-5 超静定梁 一、相关概念一、相关概念w w超静定梁：超静定梁：梁上作用的未知反力数目超过独立的静力平衡方程个数时，仅由平衡

8、方程不能求解的梁。w w超静定次数：超静定次数：未知约束反力个数与独立的平衡方程个数之差。若该差值为一则为一次超静定梁，为二则为二次超静定梁等。w w多余约束：多余约束：在超静定梁中，超过维持梁平衡所必须的约束。w w多余反力：多余反力：与多余约束对应的反力。w w静定基：静定基：如果撤除超静定梁上的多余约束后梁变为静定梁，则称该静定梁为原超静定梁的一个静定基。P RAmA RBw w静定梁：静定梁：梁上作用的未知反力数目不超过独立的静力平衡方程个数时，仅由平衡方程能求解的梁。CBA第17页/共23页二、用变形比较法求解超静定梁二、用变形比较法求解超静定梁 w w1.1.解题步骤解题步骤 选取

9、适当的静定基，确定多余约束，设定多余反力；利用叠加法和相应的变形协调条件建立补充方程，求出多余反力；由静力平衡方程求出其余支座反力。w w2.2.例题例题 【例6-5】求图示超静定梁的约束反力。mRCA2aaaaCEBDyx【解】1)取支座C为多余约束，则梁AE为静定简支梁，RC为多余反力。梁在P、RC、m单独作用下C点的挠度依次为：P第18页/共23页由教材P174(2图)，在axl段对应的表达式中取l=5a，x=2a，b=4a得：由教材P174(2图)，在0 xa段对应的表达式中取l=5a，x=2a，b=3a，P=-RC得：RCA3a2aCEyx由教材P173(3图)，在0 xa段对应的表

10、达式取l=5a，x=2a，b=a得：mA2aaEDyxC2aPA3aaaCEByx第19页/共23页2)梁在P、RC、m同时作用时的变形协调条件yC0 3)由静力平衡方程求解RA、RE PmRCA2aaaaCEBDyxRARE第20页/共23页BCFAlDllRC【例6-6】已知长为L、抗弯刚度为EI的悬臂梁在端部作用一横向集中载荷F时的挠曲线方程为 。设图示梁AB的抗弯刚度为EI，拉杆CD的抗拉刚度为EA，求梁在A、C点的约束反力。【解】1）取CD杆为多余约束，则梁AB为静定悬臂梁，CD杆的拉力RC为多余反力。该梁在F、RC单独作用下C点的挠度依次为：第21页/共23页RC2）杆CD在RC作用下C点的位移：DC3）梁AB在C点的变形协调条件：即4）求A点的约束反力llBCFA RCRAmA第22页/共23页感谢您的观看。第23页/共23页