《高等数学教学课件》9.1多元函数微分学法及其应用.ppt

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1、第九章第九章 多元函数微分学法及其多元函数微分学法及其应用应用准备知识：空间解析几何简介准备知识：空间解析几何简介横轴横轴纵轴纵轴竖轴竖轴定点定点空间直角坐标系空间直角坐标系 三个坐标轴的正方向符三个坐标轴的正方向符合合右手系右手系.一、空间直角坐标面面面面面面空间直角坐标系共有空间直角坐标系共有八个卦限八个卦限空间的点空间的点有序数组有序数组特殊点的表示特殊点的表示:坐标轴上的点坐标轴上的点坐标面上的点坐标面上的点二、空间两点间的距离空间两点间距离公式空间两点间距离公式特殊地：若两点分别为特殊地：若两点分别为曲面方程的定义：曲面方程的定义：三、空间曲面与曲线三、空间曲面与曲线S S方程特点方

2、程特点:（2）圆锥面）圆锥面（1）球面）球面（3）椭球面）椭球面(3)抛物柱面抛物柱面(4)椭圆柱面椭圆柱面(2)圆柱面圆柱面 3、柱面、柱面 第九章第九章 第一节第一节一、区域一、区域二、多元函数的概念二、多元函数的概念三、多元函数的极限三、多元函数的极限四、多元函数的连续性四、多元函数的连续性多元函数的基本概念多元函数的基本概念 一、一、区域区域1.邻域邻域点集点集称为点称为点 P0 的的 邻域邻域.例如例如,在平面上在平面上,(圆邻域圆邻域)在空间中在空间中,(球邻域球邻域)点点 P0 的的去心邻域去心邻域记为记为例如，在平面上例如，在平面上开区域开区域闭区域闭区域二、多元函数的概念二、

3、多元函数的概念 引例引例:圆柱体的体积圆柱体的体积 定量理想气体的压强定量理想气体的压强定义定义1.设非空点集设非空点集点集点集 D 称为函数的称为函数的定义域定义域;数集数集称为函数的称为函数的值域值域 .特别地特别地,当当 n=2 时时,有二元函数有二元函数当当 n=3 时时,有三元函数有三元函数映射映射称为定义称为定义在在 D 上的上的 n 元函数元函数,记作记作例如例如:(1)二元函数二元函数定义域为定义域为圆域圆域(3)三元函数三元函数 定义域为定义域为 单位闭球单位闭球0三、多元函数的极限三、多元函数的极限定义定义2.设设 n 元函数元函数则称常数则称常数A 为函数为函数(也称为也

4、称为 n 重极限重极限)当当 n=2 时时,记记二元函数的极限可写作：二元函数的极限可写作：若存在常数若存在常数 A,记作记作都有都有对任意正数对任意正数 ,总存在正数总存在正数 ,例例1.设设求：求：例例2.若当点若当点趋于不同值或有的极限不存在，趋于不同值或有的极限不存在，解解:设设 P(x,y)沿直线沿直线 y=k x 趋于点趋于点(0,0),在点在点(0,0)的极限的极限.则可以断定函数极限则可以断定函数极限则有则有k 值不同极限不同值不同极限不同!在在(0,0)点极限不存在点极限不存在.以不同方式趋于以不同方式趋于不存在不存在.例例3.讨论函数讨论函数函数函数四四、多元函数的连续性多

5、元函数的连续性 定义定义3.设设 n 元函数元函数定义在定义在 D 上上,如果函数在如果函数在 D 上上各点处各点处都连续都连续,则称此函数则称此函数在在 D 上上如果存在如果存在否则称为否则称为不连续不连续,此时此时称为称为间断点间断点.则称则称 n 元函数元函数连续连续.连续连续,例如例如,函数在点在点(0,0)极限不存在极限不存在,又如又如,函数函数上间断上间断.故故(0,0)为其间断点为其间断点.在圆周在圆周结论结论:一切多元初等函数在定义区域内连续一切多元初等函数在定义区域内连续.定理：若定理：若 f(P)在有界闭域在有界闭域 D 上连续上连续,则则在在 D 上可取得最大值上可取得最大值 M 及最小值及最小值 m;(3)对任意对任意(有界性定理有界性定理)(最值定理最值定理)(介值定理介值定理)闭域闭域上多元连续函数有与一元函数类似的如下性质上多元连续函数有与一元函数类似的如下性质:解解:原式原式例例4.求例例5.求函数求函数的连续域的连续域.解解: