(完整版)2019年中考数学压轴题汇编(几何1)解析版.pdf

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1、（2019 年安徽 23 题）23（14 分）如图，RtABC 中，ACB90，ACBC，P 为ABC 内部一点，且APBBPC135（1）求证：PABPBC；（2）求证：PA2PC；（3）若点 P 到三角形的边 AB，BC，CA 的距离分别为 h1，h2，h3，求证 h12h2h3 【分析】（1）利用等式的性质判断出PBCPAB，即可得出结论；（2）由（1）的结论得出，进而得出，即可得出结论；（3）先判断出 RtAEPRtCDP，得出，即 h32h2，再由PABPBC，判断出，即可得出结论【解答】解：（1）ACB90，ABBC，ABC45PBA+PBC 又APB135，PAB+PBA45 P

2、BCPAB 又APBBPC135，PABPBC （2）PABPBC 在 RtABC 中，ABAC，PA2PC （3）如图，过点 P 作 PDBC，PEAC 交 BC、AC 于点 D，E，PFh1，PDh2，PEh3，CPB+APB135+135270 APC90，EAP+ACP90，又ACBACP+PCD90 EAPPCD，RtAEPRtCDP，即，h32h2 PABPBC，即：h12h2h3 【点评】此题主要考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，判断出EAPPCD 是解本题的关键 （2019 年北京 27 题）27（7 分）已知AOB30，H 为射线 OA 上一定点，OH+1，

3、P 为射线 OB 上一点，M 为线段 OH 上一动点，连接 PM，满足OMP 为钝角，以点 P 为中心，将线段 PM 顺时针旋转 150，得到线段 PN，连接 ON（1）依题意补全图 1；（2）求证：OMPOPN；（3）点 M 关于点 H 的对称点为 Q，连接 QP写出一个 OP 的值，使得对于任意的点 M总有 ONQP，并证明 【分析】（1）根据题意画出图形（2）由旋转可得MPN150，故OPN150OPM；由AOB30和三角形内角和 180可得OMP18030OPM150OPM，得证（3）根据题意画出图形，以 ONQP 为已知条件反推 OP 的长度 由（2）的结论OMPOPN 联想到其补角

4、相等，又因为旋转有 PMPN，已具备一边一角相等，过点 N 作NCOB 于点 C，过点 P 作 PDOA 于点 D，即可构造出PDMNCP，进而得 PDNC，DMCP此时加上 ONQP，则易证得OCNQDP，所以 OCQD利用AOB30，设 PDNCa，则 OP2a，ODa再设 DMCPx，所以 QDOCOP+PC2a+x，MQDM+QD2a+2x由于点 M、Q 关于点 H 对称，即点 H 为MQ 中点，故 MHMQa+x，DHMHDMa，所以 OHOD+DHa+a+1，求得 a1，故 OP2证明过程则把推理过程反过来，以 OP2 为条件，利用构造全等证得 ONQP【解答】解：（1）如图 1

5、所示为所求 （2）设OPM，线段 PM 绕点 P 顺时针旋转 150得到线段 PN MPN150，PMPN OPNMPNOPM150 AOB30 OMP180AOBOPM18030150 OMPOPN （3）OP2 时，总有 ONQP，证明如下：过点 N 作 NCOB 于点 C，过点 P 作 PDOA 于点 D，如图 2 NCPPDMPDQ90 AOB30，OP2 PDOP1 OD OH+1 DHOHOD1 OMPOPN 180OMP180OPN 即PMDNPC 在PDM 与NCP 中 PDMNCP（AAS）PDNC，DMCP 设 DMCPx，则 OCOP+PC2+x，MHMD+DHx+1 点

6、 M 关于点 H 的对称点为 Q HQMHx+1 DQDH+HQ1+x+12+x OCDQ 在OCN 与QDP 中 OCNQDP（SAS）ONQP 【点评】本题考查了根据题意画图，旋转的性质，三角形内角和 180，勾股定理，全等三角形的判定和性质，中心对称的性质第（3）题的解题思路是以 ONQP 为条件反推OP 的长度，并结合（2）的结论构造全等三角形；而证明过程则以 OP2 为条件构造全等证明 ONQP （2019 年北京 28 题）28（7 分）在ABC 中，D，E 分别是ABC 两边的中点，如果上的所有点都在ABC的内部或边上，则称为ABC 的中内弧例如，图 1 中是ABC 的一条中内弧

7、 （1）如图 2，在 RtABC 中，ABAC，D，E 分别是 AB，AC 的中点，画出ABC 的最长的中内弧，并直接写出此时的长；（2）在平面直角坐标系中，已知点 A（0，2），B（0，0），C（4t，0）（t0），在ABC中，D，E 分别是 AB，AC 的中点 若 t，求ABC 的中内弧所在圆的圆心 P 的纵坐标的取值范围；若在ABC 中存在一条中内弧，使得所在圆的圆心 P 在ABC 的内部或边上，直接写出 t 的取值范围【分析】（1）由三角函数值及等腰直角三角形性质可求得 DE2，最长中内弧即以 DE为直径的半圆，的长即以 DE 为直径的圆周长的一半；（2）根据三角形中内弧定义可知，圆心

8、一定在 DE 的中垂线上，当 t时，要注意圆心 P 在 DE 上方的中垂线上均符合要求，在 DE 下方时必须 AC 与半径 PE 的夹角AEP满足 90AEP135；根据题意，t 的最大值即圆心 P 在 AC 上时求得的 t 值【解答】解：（1）如图 2，以 DE 为直径的半圆弧，就是ABC 的最长的中内弧，连接 DE，A90，ABAC，D，E 分别是 AB，AC 的中点，BC4，DEBC42，弧2；（2）如图 3，由垂径定理可知，圆心一定在线段 DE 的垂直平分线上，连接 DE，作 DE垂直平分线 FP，作 EGAC 交 FP 于 G，当 t时，C（2，0），D（0，1），E（1，1），F（

9、，1），设 P（，m）由三角形中内弧定义可知，圆心线段 DE 上方射线 FP 上均可，m1，OAOC，AOC90 ACO45，DEOC AEDACO45 作 EGAC 交直线 FP 于 G，FGEF 根据三角形中内弧的定义可知，圆心在点 G 的下方（含点 G）直线 FP 上时也符合要求；m 综上所述，m或 m1 如图 4，设圆心 P 在 AC 上，P 在 DE 中垂线上，P 为 AE 中点，作 PMOC 于 M，则 PM，P（t，），DEBC ADEAOB90 AE，PDPE，AEDPDE AED+DAEPDE+ADP90，DAEADP APPDPEAE 由三角形中内弧定义知，PDPM AE，

10、AE3，即3，解得：t，t0 0t 【点评】此题是一道圆的综合题，考查了圆的性质，弧长计算，直角三角形性质等，给出了“三角形中内弧”新定义，要求学生能够正确理解新概念，并应用新概念解题 （2019 年福建 24 题）24（12 分）如图，四边形 ABCD 内接于O，ABAC，ACBD，垂足为 E，点 F 在 BD的延长线上，且 DFDC，连接 AF、CF（1）求证：BAC2CAD；（2）若 AF10，BC4，求 tanBAD 的值 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得出ABCACB，根据圆心角、弧、弦的关系得到，即可得到ABCADB，根据三角形内角和定理得到ABC（180BAC）90BAC，A

11、DB90CAD，从而得到BACCAD，即可证得结论；（2）易证得 BCCF4，即可证得 AC 垂直平分 BF，证得 ABAF10，根据勾股定理求得 AE、CE、BE，根据相交弦定理求得 DE，即可求得 BD，然后根据三角形面积公式求得 DH，进而求得 AH，解直角三角函数求得 tanBAD 的值【解答】解：（1）ABAC，ABCACB，ABCADB，ABC（180BAC）90BAC，BDAC，ADB90CAD，BACCAD，BAC2CAD；（2）解：DFDC，DFCDCF，BDC2DFC，BFCBDCBACFBC，CBCF，又 BDAC，AC 是线段 BF 的中垂线，ABAF10，AC10 又

12、 BC4，设 AEx，CE10 x，由 AB2AE2BC2CE2，得 100 x280（10 x）2，解得 x6，AE6，BE8，CE4，DE3，BDBE+DE3+811，作 DHAB，垂足为 H，ABDHBDAE，DH，BH，AHABBH10，tanBAD 【点评】本题属于圆综合题，考查了圆周角定理，勾股定理，锐角三角函数，圆心角、弧、弦的关系，相交弦定理，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握并灵活运用性质定理，属于中考压轴题 （2019 年甘肃兰州 27 题）27（10 分）通过对下面数学模型的研究学习，解决问题【模型呈现】如图，在 RtABC，ACB90，将斜边 AB 绕点

13、 A 顺时针旋转 90得到 AD，过点 D作 DEAC 于点 E，可以推理得到ABCDAE，进而得到 ACDE，BCAE 我们把这个数学模型成为“K 型”推理过程如下：【模型应用】如图，在 RtABC 内接于O，ACB90，BC2，将斜边 AB 绕点 A 顺时针旋转一定的角度得到 AD，过点 D 作 DEAC 于点 E，DAEABC，DE1，连接 DO 交O于点 F （1）求证：AD 是O 的切线；（2）连接 FC 交 AB 于点 G，连接 FB求证：FG2GOGB【分析】（1）因为直角三角形的外心为斜边中点，所以点 O 在 AB 上，AB 为O 直径，故只需证 ADAB即可 由ABC+BAC

14、90和DAEABC可证得DAE+BAC90，而 E、A、C 在同一直线上，用 180减去 90即为BAD90，得证（2）依题意画出图形，由要证的结论 FG2GOGB 联想到对应边成比例，所以需证FGOBGF其中FGOBGF 为公共角，即需证FOGBFGBFG 为圆周角，所对的弧为弧 BC，故连接 OC 后有BFGBOC，问题又转化为证FOGBOC 把 DO 延长交 BC 于点 H 后，有FOGBOH，故问题转化为证BOHBOC只要 OHBC，由等腰三角形三线合一即有BOHBOC，故问题继续转化为证 DHCE联系【模型呈现】发现能证DEAACB，得到 AEBC2，ACDE1，即能求 ADAB又因

15、为 O 为 AB 中点，可得到，再加上第（1）题证得BAD90，可得DAOAED，所以ADOEAD，DOEA，得证【解答】证明：（1）O 为 RtABC 的外接圆 O 为斜边 AB 中点，AB 为直径 ACB90 ABC+BAC90 DAEABC DAE+BAC90 BAD180（DAE+BAC）90 ADAB AD 是O 的切线 （2）延长 DO 交 BC 于点 H，连接 OC DEAC 于点 E DEA90 AB 绕点 A 旋转得到 AD ABAD 在DEA 与ACB 中 DEAACB（AAS）AEBC2，ACDE1 ADAB O 为 AB 中点 AOAB DAOAED90 DAOAED

16、ADOEAD DOEA OHBACB90，即 DHBC OBOC OH 平分BOC，即BOHBOC FOGBOH，BFGBOC FOGBFG FGOBGF FGOBGF FG2GOGB 【点评】本题考查了三角形外心定义，圆的切线判定，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，垂径定理，等腰三角形三线合一，圆周角定理其中第（2）题证明 DOEA 进而得到 DO 垂直 BC 是解题关键 （2019 年甘肃陇南 27 题）27.阅读下面的例题及点拨，并解决问题：例题：如图，在等边ABC 中，M是 BC边上一点（不含端点 B，C），N 是ABC 的外角ACH 的平

17、分线上一点，且 AM=MN求证：AMN=60 点拨：如图，作CBE=60，BE与 NC的延长线相交于点 E，得等边BEC，连接 EM易证：ABMEBM（SAS），可得 AM=EM，1=2；又 AM=MN，则 EM=MN，可得3=4；由3+1=4+5=60，进一步可得1=2=5，又因为2+6=120，所以5+6=120，即：AMN=60 问题：如图，在正方形 A1B1C1D1中，M1是 B1C1边上一点（不含端点 B1，C1），N1是正方形 A1B1C1D1的外角D1C1H1的平分线上一点，且 A1M1=M1N1求证：A1M1N1=90 【答案】解：延长 A1B1至 E，使 EB1=A1B1，连

18、接 EM1C、EC1，如图所示：则 EB1=B1C1，EB1M1中=90=A1B1M1，EB1C1是等腰直角三角形，B1EC1=B1C1E=45，N1是正方形 A1B1C1D1的外角D1C1H1的平分线上一点，M1C1N1=90+45=135，B1C1E+M1C1N1=180，E、C1、N1，三点共线，在A1B1M1和EB1M1中，A1B1M1EB1M1（SAS），A1M1=EM1，1=2，A1M1=M1N1，EM1=M1N1，3=4，2+3=45，4+5=45，1=2=5，1+6=90，5+6=90，A1M1N1=180-90=90【解析】延A1B1至 E，使 EB1=A1B1，接 EM1C

19、、EC1，EB1=B1C1，EB1M1中=90=A1B1M1，得出EB1C1是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性得出B1EC1=B1C1E=45，出B1C1E+M1C1N1=180，得出 E、C1、N1，三点共，由 SAS明A1B1M1EB1M1得出A1M1=EM1，1=2，得出 EM1=M1N1，由等腰三角形的性得出3=4，出1=2=5，得出5+6=90，即可得出 此是四形合目，考了正方形的性、全等三角形的判定与性、等腰直角三角形的判定与性、等腰三角形的判定与性、三角形的外角性等知；本合性，熟掌握正方形的性，通作助构造三角形全等是解本的关 （2019 年甘肃天水 25 题）25（10 分）

20、如图 1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形（1）概念理解：如图 2，在四边形 ABCD 中，ABAD，CBCD，问四边形 ABCD 是垂美四边形吗？请说明理由；（2）性质探究：如图 1，四边形 ABCD 的对角线 AC、BD 交于点 O，ACBD试证明：AB2+CD2AD2+BC2；（3）解决问题：如图 3，分别以 RtACB 的直角边 AC 和斜边 AB 为边向外作正方形 ACFG和正方形 ABDE，连结 CE、BG、GE已知 AC4，AB5，求 GE 的长 【分析】（1）根据垂直平分线的判定定理证明即可；（2）根据垂直的定义和勾股定理解答即可；（3）根据垂美四边形的性质、勾股定理、结合

21、（2）的结论计算【解答】解：（1）四边形 ABCD 是垂美四边形 证明：ABAD，点 A 在线段 BD 的垂直平分线上，CBCD，点 C 在线段 BD 的垂直平分线上，直线 AC 是线段 BD 的垂直平分线，ACBD，即四边形 ABCD 是垂美四边形；（2）猜想结论：垂美四边形的两组对边的平方和相等 如图 2，已知四边形 ABCD 中，ACBD，垂足为 E，求证：AD2+BC2AB2+CD2 证明：ACBD，AEDAEBBECCED90，由勾股定理得，AD2+BC2AE2+DE2+BE2+CE2，AB2+CD2AE2+BE2+CE2+DE2，AD2+BC2AB2+CD2；故答案为：AD2+BC

22、2AB2+CD2 （3）连接 CG、BE，CAGBAE90，CAG+BACBAE+BAC，即GABCAE，在GAB 和CAE 中，GABCAE（SAS），ABGAEC，又AEC+AME90，ABG+AME90，即 CEBG，四边形 CGEB 是垂美四边形，由（2）得，CG2+BE2CB2+GE2，AC4，AB5，BC3，CG4，BE5，GE2CG2+BE2CB273，GE 【点评】本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理的应用，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键 （2019 年广东深圳 23 题）23（9 分）已知在平面直角坐标系中，点 A（3

23、，0），B（3，0），C（3，8），以线段BC 为直径作圆，圆心为 E，直线 AC 交E 于点 D，连接 OD（1）求证：直线 OD 是E 的切线；（2）点 F 为 x 轴上任意一动点，连接 CF 交E 于点 G，连接 BG；当 tanACF时，求所有 F 点的坐标，F2（5，0）（直接写出）；求的最大值 【分析】（1）连接 ED，证明EDO90即可，可通过半径相等得到EDBEBD，根据直角三角形斜边上中线等于斜边一半得 DOBOAO，ODBOBD，得证；（2）分两种情况：a）F 位于线段 AB 上，b）F 位于 BA 的延长线上；过 F 作 AC 的垂线，构造相似三角形，应用相似三角形性质可

24、求得点 F 坐标；应用相似三角形性质和三角函数值表示出，令 yCG2（64CG2）（CG232）2+322，应用二次函数最值可得到结论【解答】解：（1）证明：如图 1，连接 DE，BC 为圆的直径，BDC90，BDA90 OAOB ODOBOA OBDODB EBED EBDEDB EBD+OBDEDB+ODB 即：EBOEDO CBx 轴 EBO90 EDO90 点 D 在E 上 直线 OD 为E 的切线（2）如图 2，当 F 位于 AB 上时，过 F 作 F1NAC 于 N，F1NAC ANF1ABC90 ANFABC AB6，BC8，AC10，即 AB：BC：AC6：8：103：4：5

25、设 AN3k，则 NF14k，AF15k CNCAAN103k tanACF，解得：k 即 F1（，0）如图 3，当 F 位于 BA 的延长线上时，过 F2作 F2MCA 于 M，AMF2ABC 设 AM3k，则 MF24k，AF25k CMCA+AM10+3k tanACF 解得：AF25k2 OF23+25 即 F2（5，0）故答案为：F1（，0），F2（5，0）如图 4，CB 为直径 CGBCBF90 CBGCFB BC2CGCF CF CG2+BG2BC2，BG2BC2CG2 令 yCG2（64CG2）CG4+64CG2（CG232）2322（CG232）2+322 当 CG232 时

26、，此时 CG4 【点评】本题是一道难度较大，综合性很强的有关圆的代数几何综合题，主要考查了圆的性质，切线的性质和判定定理，直角三角形性质，相似三角形性质和判定，动点问题，二次函数最值问题等，构造相似三角形和应用求二次函数最值方法是解题关键 （2019 年广东 24 题）24（9 分）如图 1，在ABC 中，ABAC，O 是ABC 的外接圆，过点 C 作BCDACB 交O 于点 D，连接 AD 交 BC 于点 E，延长 DC 至点 F，使 CFAC，连接 AF（1）求证：EDEC；（2）求证：AF 是O 的切线；（3）如图 2，若点 G 是ACD 的内心，BCBE25，求 BG 的长 【分析】（

27、1）由 ABAC 知ABCACB，结合ACBBCD，ABCADC 得BCDADC，从而得证；（2）连接 OA，由CAFCFA 知ACDCAF+CFA2CAF，结合ACBBCD 得ACD2ACB，CAFACB，据此可知 AFBC，从而得 OAAF，从而得证；（3）证ABECBA 得 AB2BCBE，据此知 AB5，连接 AG，得BAGBAD+DAG，BGAGAC+ACB，由点 G 为内心知DAGGAC，结合BAD+DAGGDC+ACB 得BAGBGA，从而得出 BGAB5【解答】解：（1）ABAC，ABCACB，又ACBBCD，ABCADC，BCDADC，EDEC；（2）如图 1，连接 OA，A

28、BAC，OABC，CACF，CAFCFA，ACDCAF+CFA2CAF，ACBBCD，ACD2ACB，CAFACB，AFBC，OAAF，AF 为O 的切线；（3）ABECBA，BADBCDACB，ABECBA，AB2BCBE，BCBE25，AB5，如图 2，连接 AG，BAGBAD+DAG，BGAGAC+ACB，点 G 为内心，DAGGAC，又BAD+DAGGDC+ACB，BAGBGA，BGAB5【点评】本题是圆的综合问题，解题的关键是掌握圆心角定理、切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识点 （2019 年广东广州 24 题）24（14 分）如图，等边ABC 中，AB6，点 D 在 B

29、C 上，BD4，点 E 为边 AC 上一动点（不与点 C 重合），CDE 关于 DE 的轴对称图形为FDE（1）当点 F 在 AC 上时，求证：DFAB；（2）设ACD 的面积为 S1，ABF 的面积为 S2，记 SS1S2，S 是否存在最大值？若存在，求出 S 的最大值；若不存在，请说明理由；（3）当 B，F，E 三点共线时求 AE 的长 【分析】（1）由折叠的性质和等边三角形的性质可得DFCA，可证 DFAB；（2）过点 D 作 DMAB 交 AB 于点 M，由题意可得点 F 在以 D 为圆心，DF 为半径的圆上，由ACD 的面积为 S1的值是定值，则当点 F 在 DM 上时，SABF最小

30、时，S 最大；（3）过点 D 作 DGEF 于点 G，过点 E 作 EHCD 于点 H，由勾股定理可求 BG 的长，通过证明BGDBHE，可求 EC 的长，即可求 AE 的长【解答】解：（1）ABC 是等边三角形 ABC60 由折叠可知：DFDC，且点 F 在 AC 上 DFCC60 DFCA DFAB；（2）存在，过点 D 作 DMAB 交 AB 于点 M，ABBC6，BD4，CD2 DF2，点 F 在以 D 为圆心，DF 为半径的圆上，当点 F 在 DM 上时，SABF最小，BD4，DMAB，ABC60 MD2 SABF的最小值6（22）66 S最大值（66）3+6（3）如图，过点 D 作

31、 DGEF 于点 G，过点 E 作 EHCD 于点 H，CDE 关于 DE 的轴对称图形为FDE DFDC2，EFDC60 GDEF，EFD60 FG1，DGFG BD2BG2+DG2，163+（BF+1）2，BF1 BG EHBC，C60 CH，EHHCEC GBDEBH，BGDBHE90 BGDBHE EC1 AEACEC7【点评】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的性质，折叠的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，添加恰当的辅助线构造相似三角形是本题的关键 （2019 年广西池州 25 题）25（10 分）如图，五边形 ABCDE 内接于O，CF 与O 相切于点 C，交 AB 延长线

32、于点F（1）若 AEDC，EBCD，求证：DEBC；（2）若 OB2，ABBDDA，F45，求 CF 的长 【分析】（1）由圆心角、弧、弦之间的关系得出，由圆周角定理得出ADEDBC，证明ADEDBC，即可得出结论；（2）连接 CO 并延长交 AB 于 G，作 OHAB 于 H，则OHGOHB90，由切线的性质得出FCG90，得出CFG、OGH 是等腰直角三角形，得出 CFCG，OGOH，由等边三角形的性质得出OBH30，由直角三角形的性质得出 OHOB1，OG，即可得出答案【解答】（1）证明：AEDC，ADEDBC，在ADE 和DBC 中，ADEDBC（AAS），DEBC；（2）解：连接 C

33、O 并延长交 AB 于 G，作 OHAB 于 H，如图所示：则OHGOHB90，CF 与O 相切于点 C，FCG90，F45，CFG、OGH 是等腰直角三角形，CFCG，OGOH，ABBDDA，ABD 是等边三角形，ABD60，OBH30，OHOB1，OG，CFCGOC+OG2+【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系，全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形的性质；熟练掌握切线的性质和圆周角定理是解题的关键 （2019 年广西贺州 25 题）25（10 分）如图，BD 是O 的直径，弦 BC 与 OA 相交于点 E，AF 与O 相切于点 A，交

34、 DB 的延长线于点 F，F30，BAC120，BC8（1）求ADB 的度数；（2）求 AC 的长度 【分析】（1）由切线的性质得出 AFOA，由圆周角定理好已知条件得出FDBC，证出 AFBC，得出 OABC，求出BOA903060，由圆周角定理即可得出结果；（2）由垂径定理得出 BECEBC4，得出 ABAC，证明AOB 是等边三角形，得出 ABOB，由直角三角形的性质得出 OEOB，BEOE4，求出 OE，即可得出 ACABOB2OE【解答】解：（1）AF 与O 相切于点 A，AFOA，BD 是O 的直径，BAD90，BAC120，DAC30，DBCDAC30，F30，FDBC，AFBC

35、，OABC，BOA903060，ADBAOB30；（2）OABC，BECEBC4，ABAC，AOB60，OAOB，AOB 是等边三角形，ABOB，OBE30，OEOB，BEOE4，OE，ACABOB2OE【点评】本题考查了切线的性质、圆周角定理、等边三角形的判定与性质、垂径定理、直角三角形的性质等知识；熟练掌握切线的性质和圆周角定理，证出 OABC 是解题的关键 （2019 年广西柳州 25 题）25（10 分）如图，AB 是O 的直径，弦 CDAB 于点 E，点 F 是O 上一点，且，连接 FB，FD，FD 交 AB 于点 N（1）若 AE1，CD6，求O 的半径；（2）求证：BNF 为等腰

36、三角形；（3）连接 FC 并延长，交 BA 的延长线于点 P，过点 D 作O 的切线，交 BA 的延长线于点 M求证：ONOPOEOM 【解答】解：（1）如图 1，连接 BC，AC，AD，CDAB，AB 是直径，CEDECD3 ACDABC，且AECCEB ACECEB BE9 ABAE+BE10 O 的半径为 5（2）ACDADCCDF，且 DEDE，AEDNED90 ADENDE（ASA）DANDNA，AEEN DABDFB，ANDFNB FNBDFB BNBF，BNF 是等腰三角形（3）如图 2，连接 AC，CE，CO，DO，MD 是切线，MDDO，MDODEO90，DOEDOE MDO

37、DEO OD2OEOM AEEN，CDAO ANCCAN，CAPCNO，AOCABF COBF PCOPFB 四边形 ACFB 是圆内接四边形 PACPFB PACPFBPCOCNO，且POCCOE CNOPCO CO2PONO，ONOPOEOM （2019 年广西北部湾等 25 题）25（10 分）如图 1，在正方形 ABCD 中，点 E 是 AB 边上的一个动点（点 E 与点 A，B 不重合），连接 CE，过点 B 作 BFCE 于点 G，交 AD 于点 F（1）求证：ABFBCE；（2）如图 2，当点 E 运动到 AB 中点时，连接 DG，求证：DCDG；（3）如图 3，在（2）的条件下

38、，过点 C 作 CMDG 于点 H，分别交 AD，BF 于点 M，N，求的值 【分析】（1）先判断出GCB+CBG90，再由四边形 ABCD 是正方形，得出CBE90A，BCAB，即可得出结论；（2）设 ABCDBC2a，先求出 EAEBABa，进而得出 CEa，再求出BGa，CGa，再判断出CQDBGC（AAS），进而判断出 GQCQ，即可得出结论；（3）先求出 CHa，再求出 DHa，再判断出CHDDHM，求出 HMa，再用勾股定理求出 GHa，最后判断出QGHGCH，得出 HNa，即可得出结论【解答】（1）证明：BFCE，CGB90，GCB+CBG90，四边形 ABCD 是正方形，CBE

39、90A，BCAB，FBA+CBG90，GCBFBA，ABFBCE（ASA）；（2）证明：如图 2，过点 D 作 DHCE 于 H，设 ABCDBC2a，点 E 是 AB 的中点，EAEBABa，CEa，在 RtCEB 中，根据面积相等，得 BGCECBEB，BGa，CGa，DCE+BCE90，CBF+BCE90，DCECBF，CDBC，CQDCGB90，CQDBGC（AAS），CQBGa，GQCGCQaCQ，DQDQ，CQDGQD90，DGQCDQ（SAS），CDGD；（3）解：如图 3，过点 D 作 DHCE 于 H，SCDGDQCHDG，CHa，在 RtCHD 中，CD2a，DHa，MDH

40、+HDC90，HCD+HDC90，MDHHCD，CHDDHM，HMa，在 RtCHG 中，CGa，CHa，GHa，MGH+CGH90，HCG+CGH90，QGHHCG，QGHGCH，HNa，MNHMHNa，【点评】此题是相似形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，判断出DGQCDQ 是解本题的关键 （2019 年广西梧州 25 题）25（10 分）如图，在矩形 ABCD 中，AB4，BC3，AF 平分DAC，分别交 DC，BC 的延长线于点 E，F；连接 DF，过点 A 作 AHDF，分别交 BD，BF 于点 G，H（1）求 DE 的长；（2）求证：1DF

41、C 【分析】（1）由 ADCF，AF 平分DAC，可得FACAFC，得出 ACCF5，可证出ADEFCE，则，可求出 DE 长；（2）由ADGHBG，可求出 DG，则，可得 EGBC，则1AHC，根据 DFAH，可得AHCDFC，结论得证【解答】（1）解：矩形 ABCD 中，ADCF，DAFACF，AF 平分DAC，DAFCAF，FACAFC，ACCF，AB4，BC3，5，CF5，ADCF，ADEFCE，设 DEx，则，解得 x；（2）ADFH，AFDH，四边形 ADFH 是平行四边形，ADFH3，CH2，BH5，ADBH，ADGHBG，DG，DE，EGBC，1AHC，又DFAH，AHCDFC

42、，1DFC【点评】本题考查了矩形的相关证明与计算，熟练掌握矩形的性质、平行四边形的判定与性质与相似三角形的性质与判定是解题的关键 （2019 年广西梧州 25 题）25（10 分）如图，在正方形 ABCD 中，分别过顶点 B，D 作 BEDF 交对角线 AC 所在直线于 E，F 点，并分别延长 EB，FD 到点 H，G，使 BHDG，连接 EG，FH（1）求证：四边形 EHFG 是平行四边形；（2）已知：AB2，EB4，tanGEH2，求四边形 EHFG 的周长 【分析】（1）证明ABECDF（AAS），得 BEDF，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得结论；（2）如图，连接 BD，

43、交 EF 于 O，计算 EO 和 BO 的长，得OEB30，根据三角函数可得 HM 的长，从而得 EM 和 EH 的长，利用勾股定理计算 FH 的长，最后根据四边的和计算结论【解答】解：（1）四边形 ABCD 是正方形，ABCD，ABCD，DCABAC，DFBE，CFDBEA，BACBEA+ABE，DCACFD+CDF，ABECDF，在ABE 和CDF 中，ABECDF（AAS），BEDF，BHDG，BE+BHDF+DG，即 EHGF，EHGF，四边形 EHFG 是平行四边形；（2）如图，连接 BD，交 EF 于 O，四边形 ABCD 是正方形，BDAC，AOB90，AB2，OAOB2，RtB

44、OE 中，EB4，OEB30，EO2，ODOB，EOBDOF，DFEB，DFCBEA，DOFBOE（AAS），OFOE2，EF4，FM2，EM6，过 F 作 FMEH 于 M，交 EH 的延长线于 M，EGFH，FHMGEH，tanGEHtanFHM2，HM1，EHEMHM615，FH，四边形 EHFG 的周长2EH+2FH25+210+2【点评】此题主要考查了正方形的性质，平行四边形的判定和性质，三角函数和全等三角形的判定等知识充分利用正方形的特殊性质来找到全等的条件从而判定全等后利用全等三角形的性质解题，第二问有难度，恰当地作出辅助线是关键 （2019 年广西百色 25 题）25（10 分

45、）如图，已知 AC、AD 是O 的两条割线，AC 与O 交于 B、C 两点，AD 过圆心 O 且与O 交于 E、D 两点，OB 平分AOC（1）求证：ACDABO；（2）过点 E 的切线交 AC 于 F，若 EFOC，OC3，求 EF 的值提示：（+1）（1）1 【解答】证明：（1）OB 平分AOC BOEAOC OCOD DOCD AOCD+OCD DAOC DBOE，且AA ACDABO（2）EF 切O 于 E OEF90 EFOC DOCOEF90 OCOD3 CD3 ACDABO AE3 EFOC EF63 （2019 年广西贵港 26 题）26（10 分）已知：ABC 是等腰直角三角

46、形，BAC90，将ABC 绕点 C 顺时针方向旋转得到ABC，记旋转角为，当 90180时，作 ADAC，垂足为 D，AD 与 BC 交于点 E （1）如图 1，当CAD15时，作AEC 的平分线 EF 交 BC 于点 F 写出旋转角 的度数；求证：EA+ECEF；（2）如图 2，在（1）的条件下，设 P 是直线 AD 上的一个动点，连接 PA，PF，若 AB，求线段 PA+PF 的最小值（结果保留根号）【分析】（1）解直角三角形求出ACD 即可解决问题 连接 AF，设 EF 交 CA于点 O 在 EF 时截取 EMEC，连接 CM 首先证明CFA是等边三角形，再证明FCMACE（SAS），即

47、可解决问题（2）如图 2 中，连接 AF，PB，AB，作 BMAC 交 AC 的延长线于 M证明AEFAEB，推出 EFEB，推出 B，F 关于 AE 对称，推出 PFPB，推出 PA+PFPA+PBAB，求出 AB即可解决问题【解答】（1）解：旋转角为 105 理由：如图 1 中，ADAC，ADC90，CAD15，ACD75，ACA105，旋转角为 105 证明：连接 AF，设 EF 交 CA于点 O在 EF 时截取 EMEC，连接 CM CEDACE+CAE45+1560，CEA120，FE 平分CEA，CEFFEA60，FCO180457560，FCOAEO，FOCAOE，FOCAOE，

48、COEFOA，COEFOA，FAOOEC60，AOF 是等边三角形，CFCAAF，EMEC，CEM60，CEM 是等边三角形，ECM60，CMCE，FCAMCE60，FCMACE，FCMACE（SAS），FMAE，CE+AEEM+FMEF （2）解：如图 2 中，连接 AF，PB，AB，作 BMAC 交 AC 的延长线于 M 由可知，EAFEAB75，AEAE，AFAB，AEFAEB，EFEB，B，F 关于 AE 对称，PFPB，PA+PFPA+PBAB，在 RtCBM 中，CBBCAB2，MCB30，BMCB1，CM，AB PA+PF 的最小值为【点评】本题属于四边形综合题，考查了旋转变换，

49、全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题（2019 年广西桂林 25 题）25（10 分）如图，BM 是以 AB 为直径的O 的切线，B 为切点，BC 平分ABM，弦 CD交 AB 于点 E，DEOE（1）求证：ACB 是等腰直角三角形；（2）求证：OA2OEDC：（3）求 tanACD 的值 【分析】（1）由切线的性质和圆周角定理可得ACBABM90，由角平分线的性质可得CABCBA45；（2）通过证明EDOODC，可得，即可得结论；（3）连接 BD，AD，DO，作

50、BAFDBA，交 BD 于点 F，由外角的性质可得CABCDB45EDO+ODB3ODB，可求ODB15OBD，由直角三角形的性质可得 BDDF+BFAD+2AD，即可求 tanACD 的值【解答】证明：（1）BM 是以 AB 为直径的O 的切线，ABM90，BC 平分ABM，ABCABM45 AB 是直径 ACB90，CABCBA45 ACBC ACB 是等腰直角三角形；（2）如图，连接 OD，OC DEEO，DOCO EDOEOD，EDOOCD EDOEDO，EODOCD EDOODC OD2DEDC OA2DEDCEODC（2）如图，连接 BD，AD，DO，作BAFDBA，交 BD 于点