2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题和答案_全国1卷.pdf

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1、专业资料 绝密启用前 2017 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 本试卷 5 页，23 小题，满分 150 分。考试用时 120 分钟。注意事项：1答卷前，考生务必将自己的 XX、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用 2B 铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。2作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答 案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。3非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目 指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然

2、后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。1已知集合 A x|x 1，B x|3x 1，则 A A B x|x 0 B C A B x|x 1 D A B R A B 2如图，正方形 ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切 圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方 形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是 A1 B 4 8 C1 D 2 4 3设有下面四个命题 p1：

3、若复数 z 满足 1 R，则 z R；p2：若复数 z 满足 z2 R，则 z R；z p3：若复数 z1,z2 满足 z1z2 R，则 z1 z2；p4：若复数 z R，则 z R.其中的真命题为 A p1,p3 B p1,p4 C p2,p3 D p2,p4 word 格式可复制编辑 专业资料 4记 Sn 为等差数列 an 的前 n 项和若 a4 a5 24，S6 48，则 an 的公差为 A1 B 2 C 4 D 8 5函数 f(x)在(,)单调递减，且为奇函数若 f(1)1，则满足 1 f(x 2)1 的 x 的取值 X 围是 A 2,2 B 1,1 C 0,4 D 1,3 6(1 1

4、)(1 x)6 展开式中 x2 的系数为 x2 A 15 B 20 C 30 D35 7某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰 直角三角形组成，正方形的边长为 2，俯视图为等腰直角三角形.该多 面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为 A 10 B 12 C 14 D 16 8右面程序框图是为了求出满足 3n 2n 1000 的最小偶 数 n，那么在 和 两个空白框中，可以分别填入 A B C D A 1000 n n 1 和 A 1000和 n n 2 A 1000和 n n 1 A 1000和 n n 2 2 9已知曲线 C1:y cos x,C 2:y s

5、in(2 x)，则下 3 面结论正确的是 A把 C1 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 个 6 单位长度，得到曲线 C 2 B把 C1 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 12 个单位长度，得到曲线 C2 C把 C1 上各点的横坐标缩短到原来的 1 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 个 2 6 单位长度，得到曲线 C 2 word 格式可复制编辑 专业资料 D把 C1 上各点的横坐标缩短到原来的 1 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 2 12 个单位长度，得到曲线 C2 10已知 F 为抛物线 C:y2 4

6、x 的焦点，过 F 作两条互相垂直的直线 l1,l2，直线 l1 与 C 交 于 A、B 两点，直线 l 2 与 C 交于 D、E 两点，则|AB|+|DE|的最小值为 A 16 B 14 C 12 D10 11设 xyz为正数，且 2x 3y 5z，则 A 2x 3y 5z B C 3y 5z 2x D 5z 2x 3 y 3 y 2x 5z 12几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件。为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的 答案：已知数列 1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，其中第一项 是

7、20，接下来的两项是 20,21，再接下来的三项是 20,21,22，依此类推。求满足如下条件的最小整数 N:N 100 且该数列的前 N 项和为 2 的整数幂。那么该款软件的激活码是 A 440 B 330 C 220 D110 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13已知向量 a，b 的夹角为 60，|a|=2，|b|=1，则|a+2 b|=.x 2y 1 14设 x,y 满足约束条件 2x y 1，则 z 3x 2y 的最小值为 .x y 0 15已知双曲线 C:x2 y 2 1(a 0,b 0)的右顶点为 A，以 A为圆心，b 为半径做圆 A，a 2 b 2 圆

8、 A 与双曲线 C 的一条渐近线交于 、两点。若 MAN 60，则 C 的离心率为 M N _。16如图，圆形纸片的圆心为 O，半径为 5 cm，该纸片上的等边三角形 ABC的中心为 O。D、为圆 O 上的点，分别是以，为底边的等腰三角形。E F DBC ECA FAB BC CA AB 沿虚线剪开后，分别以 BC，CA，AB 为折痕折起 DBC，ECA，FAB，使得 D、E、F 重合，得到三棱锥。当 ABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为 _。word 格式可复制编辑 专业资料 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，

9、每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60 分。17（12 分）的内角，的对边分别为，已知 的面积为 a2 ABC A B C a b c ABC 3sin A （1）求 sin Bsin C;（2）若 6cos B cosC 1,a 3，求 的周长.ABC 18.（12 分）如图，在四棱锥 P-ABCD中，AB/CD，且 BAP CDP 90.（1）证明：平面 PAB平面 PAD；（2）若 PA=PD=AB=DC，APD 90，求二面角 A-PB-C的余弦值.19（12 分）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽

10、取 16 个 零件，并测量其尺寸（单位：cm）根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生 产的零件的尺寸服从正态分布 N(,2)（1）假设生产状态正常，记 X表示一天内抽取的 16 个零件中其尺寸在 (3 ,3)之外的零件数，求 P(X 1)及 X 的数学期望；（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(3 ,3 )之外的零件，就认为这 条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查 （）试说明上述监控生产过程方法的合理性；（）下面是检验员在一天内抽取的 16 个零件的尺寸：9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 wo

11、rd 格式可复制编辑 专业资料 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95 1 16 1 16 x)2 1 16 xi2 16x 2)2 经计算得 x xi 9.97，s (xi (0.212，16 i 1 16 i 1 16 i 1 其中 xi 为抽取的第 i 个零件的尺寸，i 1,2,16 用样本平均数 x 作为 的估计值?，用样本标准差 s 作为 的估计值?，利用估计值 判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除(3?3?,)之外的数据，用剩下的数据 估计 和 （精确到 0.01）附：若随机变量 Z 服从正态分布 N(,2)，则 P(3 Z 3

12、)0.9974，0.997 4 16 0.959 2，0.008 0.09 20.（12 分）已知椭圆：x 2 y2=1 1 2 3 3），4（1，C a 2 2（ab0），四点 P（1,1），P（0,1），P（1，P b 2 3）中恰有三点在椭圆 C上.2 （1）求 C的方程；（2）设直线 l 不经过 P2 点且与 C相交于 A，B两点。若直线 P2 A与直线 P2B 的斜率的和为 1，证明：l 过定点.21.（12 分）已知函数 f(x)ae2x(a 2)ex x （1）讨论 f(x)的单调性；（2）若 f(x)有两个零点，求 a 的取值 X 围.（二）选考题：共 10 分。请考生在第 2

13、2、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22 选修 44：坐标系与参数方程 （10 分）在直角坐标系 xOy中，曲线 C的参数方程为 x 3cos ,（为参数），直线 l 的参数方 y sin,x a 4t,程为 1（t 为参数）.y t,（1）若 a=-1，求 C与 l 的交点坐标；（2）若 C上的点到 l 的距离的最大值为 17，求 a.23 选修 4 5：不等式选讲 （10 分）已知函数 f(x)x2 ax 4,g(x)|x 1|x 1|word 格式可复制编辑 专业资料 （1）当 a 1 时，求不等式 f（x）g（x）的解集；（2）若不等式 f（x）g（x）的解集包

14、含 1，1，求 a 的取值 X 围.word 格式可复制编辑 专业资料 2017 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学参考答案 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。1.A 2 B 3 B 4 C 5 D 6 C 7 B 8 D 9 D 10 A 11 D 12 A 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13 2 3 14-5 152 3 16 4 15cm3 3 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、2

15、3 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60 分。17（12 分）ABC的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，已知 ABC的面积为 a2 3sin A （1）求 sin Bsin C;（2）若 6cosBcos C=1，a=3，求 ABC的周长.解：（1）由题设得 1 ac sin B a2，即 1 c sin B a 2 3sin A 2 3sin A 由正弦定理得 1 sin C sin B sin A 2 2 3sin A 故 sin B sin C 。3 （2）由题设及（1）得 cosB cosC sin Bsin C 1，即 cos(B 1 2 C)2 2 ，故 A

16、 所以B C 3 3 由题设得 1 bc sin A a2，即 bc 8 2 3sin A 由余弦定理得 b2 c2 bc 9，即(b c)2 3bc 9，得 b c33 故 ABC 的周长为 3 33 18.（12 分）解：word 格式可复制编辑 专业资料 （1）由已知 BAPCDP 90，得 AB AP，CD PD 由于 AB/CD，故 AB PD，从而 AB 平面 PAD 又 AB 平面 PAB，所以平面 PAB 平面 PAD （2）在平面 PAD 内作 PF AD，垂足为 F 由（1）可知，AB 平面 PAD，故 AB PF，可得 PF 平面 ABCD 以 F 为坐标原点，FA 的方

17、向为 x 轴正方向，|AB|为单 位长，建立如图所示的空间直角坐标系F xyz 由（1）及已知可得 A(2,0,0),P(0,0,2),B(2,1,0),C(2,1,0)2 2 2 2 所以PC (2,1,2),CB(2,0,0),PA(2,0,2),AB (0,1,0)2 2 2 2 设 n(x,y,z)是平面 PCB 的法向量，则 n PC 0,即 2 x y 2 z 0,n CB 0 2 2 y 0 可取 n(0,1,2)设 m(x,y,z)是平面 PAB 的法向量，则 m PA 0,2 x 2 z 0,m AB 即 2 2 0 y 0 可取 m(1,0,1)则 cos n,m n m

18、3|n|m|3 所以二面角 A PB C 的余弦值为 3 3 19（12 分）解：（1）抽取的一个零件的尺寸在 (3 ,3 )之内的概率为 0.9974，从而零件的尺寸在 word 格式可复制编辑 专业资料 (3 ,3 )之外的概率为 0.0026，故 X B(16,0.0026)，因此 P(X 1)1 P(X 0)1 0.997416 0.0408 X 的数学期望为 EX 16 0.0026 0.0416 （2）（i）如果生产状态正常，一个零件尺寸在(3 ,3 )之外的概率只有 0.0026，一天内抽取的 16 个零件中，出现尺寸在 (3 ,3 )之外的零件的概率只有 0.0408，发生的概

19、率很小。因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在 这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上 述监控生产过程的方法是合理的。（ii）由 x 9.97,s 0.212，得 的估计值为?9.97,的估计值为?0.212，由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在(?3?,?3?)之外，因此需对当天 的生产过程进行检查。剔除(?3?,?3?)之外的数据 9.22，剩下数据的平均数为 1(16 9.97 9.22)10.02 15 因此 的估计值为 10.02 16 xi2 16 0.2122 16 9.97 2 1591.134 i 1 剔除(?3?,?3?)之外的数据

20、9.22，剩下数据的样本方差为 1(1591.134 9.222 15 10.022)0.008 15 因此 的估计值为 0.008 0.09 20.（12 分）解：（1）由于 P3,P4 两点关于 y 轴对称，故由题设知 C 经过 P3,P4两点 又由 1 1 1 3 知，C 不经过点 P1，所以点 P2 在 C 上 a 2 b 2 a 2 4b 2 1 1,a2 4 因此 b2 解得 1 3 b2 1 1 a2 4b2 故 C 的方程为 x2 y2 1 4 （2）设直线 P2 A 与直线 P2 B 的斜率分别为 k1,k2 如果 l 与 x 轴垂直，设 l:x t，由题设知 t 0，且|t

21、|2，可得 A,B 的坐标分别为 word 格式可复制编辑 专业资料 (t,4 t 2),(t,4 t 2)2 2 则 k1 k2 4 t 2 2 4 t2 2 1，得 t 2，不符合题设 2t 2t 从而可设 l:y kx m(m 1)，将 y kx m 代入 x2 y2 1得 4 (4 k 2 1)x2 8kmx 4m2 4 0 由题设可知 16(4 k 2 m2 1)0 设 8km 4m2 4 A(x1,y1),B(x2,y2)，则 x1 x2 4k 2 1,x1 x2 4k 2 1 而 k1 k2 y1 1 y2 1 x1 x2 kx1 m 1 kx2 m 1 x1 x2 2kx1x2

22、 (m 1)(x1 x2)x1x2 由题设 k1 k2 1，故(2 k 1)x1x2(m 1)(x1 x2)0 即(2 k 1)4m2 4(m 1)8km 0 4k 2 1 4k 2 1 m 1 解得 k 2 当且仅当 m 1 时，0，于是 l:y m 1 x m，2 所以 l 过定点(2,1)21.（12 分）解：（1）f(x)的定义域为 (,)，f(x)2ae2 x(a 2)ex 1 (aex 1)(2ex 1)（i）若 a 0，则 f(x)0，所以 f(x)在(,)单调递减 （ii ）若 a 0，则由 f(x)0 的 x ln a 当 x(,ln a)当 x(ln a,)时，f(x)0；

23、时，f(x)0 word 格式可复制编辑 专业资料 所以 f(x)在(,ln a)单调递减，在 (ln a,)单调递增。（2）（i）若 a 0，由（1）知，f(x)至多有一个零点 （ii）若 a 0，由（1）知，当 x ln a 时，f(x)取 得 最 小 值，最 小 值 为 f(ln a)1 1 ln a a 当 a 1 f(ln a)0，故 f(x)只有一个零点；时，由于 当 a(1,)时，由于 1 1 ln a 0，即 f(ln a)0，故 f(x)没有零 a 点；当 a(0,1)1 ln a 0，即 f(ln a)0 又 时，1 a 又 f(2)ae 4(a 2)e 2 2 2e 2

24、2 0，故 f(x)在(,ln a)有一 个零点。设正整数 n0 满足 n ln(3 1)，0 a 则 f(n0)en0(aen0 a 2)n0 en0 n0 2n0 n0 0 由于 ln(3 1)ln a，因此 f(x)在(ln a,)有一个零点 a 综上，a 的取值 X 围为(0,1)22解：（1）曲线 C 的普通方程为 x2 y 2 1，9 当 a 1 时，直线 l 的普通方程为 x 4y 3 0 x 4 y 3 0,x 3,x 21 25 由 x2 解得 或 y 2 y 0 24 9 1 y 25 从而 C 与 l 的交点坐标为 (3,0),(21,24)25 25 （2）直线 l 的

25、普通方程为 x 4y a 4 0，故 C 上的点(3cos ,sin)到 l 的距离为 word 格式可复制编辑 专业资料|3cos 4sina 4|d 17 当 a 4 时，d 的最大值为 a 9，由题设得 a 9 17，所以 a 8；17 17 当 a 4 时，d 的最大值为 a 1，由题设得 a 1 17，所以 a 16 17 17 综上，a 8 或 a 16 23解：（1）当 a 1 时，不等式 f(x)g(x)等价于 x2 x|x 1|x 1|4 0 当 x 1时，式化为 x2 3x 4 0，无解；当 1 x 1 时，式化为 x2 x 2 0，从而 1 x 1；当 x 1 时，式化为 x2 x 4 0，从而 1 x 1 17 2 所以 f(x)g(x)的解集为 x|1 x 1 17 2 （2）当 x 1,1 时，g(x)2 所以 f(x)g(x)的解集包含 1,1，等价于当 x 1,1时 f(x)2 又 f(x)在 1,1的最小值必为 f(1)与 f(1)之一，所以 f(1)2 且 f(1)2，得 1 a 1 所以 a 的取值 X 围为 1,1 word 格式可复制编辑