(完整版)与球有关的高考试题.pdf

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1、2016 年高考数学微专题：与球体有关的问题 一、高考趋势分析：立体几何章节在传统的高考中分值占 22 分左右，以两小一大的形式出现较多。与球相关的问题也时有考题出现，现针对近年高考考题形式总结如下，也是每年高考热点，每年高考中主要考查选择、填空题目、解答题。二、基础知识点拨：1长方体、正方体的外接球其体对角线长为该球的直径 2正方体的内切球其棱长为球的直径 3正三棱锥的外接球中要注意正三棱锥的顶点、球心及底面正三角形中心共线 4正四面体的外接球与内切球的半径之比为 31.方法主要是“补体”和“找球心”考试核心：性质的应用22212rROOd，构造直角三角形建立三者之间的关系。三、高考试题精练

2、 1.（2015 高考新课标 2，理 9）已知 A,B 是球 O 的球面上两点，AOB=90,C为该球面上的动点，若三棱锥 O-ABC 体积的最大值为 36，则球 O 的表面积为()A36 B.64 C.144 D.256【答案】C【考点定位】外接球表面积和椎体的体积 2(2015辽宁高考)已知直三棱柱ABC-A1B1C1的 6 个顶点都在球O的球面上，若AB3，AC4，ABAC，AA112，则球O的半径为()A.3 172 B2 10 C.132 D3 10 解析：选 C 如图，由球心作平面ABC的垂线，则垂足为BC的中点M.又AM12BC52，OM12AA16，所以球O的半径ROA 522

3、62132.3(2016长春模拟)若一个正四面体的表面积为S1，其内切球的表面积为S2，则S1S2_.解析：设正四面体棱长为a，则正四面体表面积为S1434a2 3a2，其内切球半径为正四面体高的14，即r1463a612a，因此内切球表面积为S24r2a26，则S1S23a26a26 3.答案：6 3 4四棱锥P-ABCD的五个顶点都在一个球面上，该四棱锥的三视图如图所示，E，F分别是棱AB，CD的中点，直线EF被球面所截得的线段长为2 2，则该球的表面积为()A9 B3 C2 2 D12 解析：选 D 该几何体的直观图如图所示，该几何体可看作由正方体截得，则正方体外接球的直径即为PC.由直

4、线EF被球面所截得的线段长为 2 2，可知正方形ABCD对角线AC的长为2 2，可得a2，在PAC中PC 22?2 2?22 3，球的半径R 3，S表4R24(3)212.四、典型例题精析 类型一：有公共底边的等腰三角形，借助余弦定理求球心角。（两题互换条件形成不同的题）1.15如图球 O 的半径为 2，圆1O是一小圆，12OO，A、B 是圆1O上两点，若 A，B 两点间的球面距离为23，则1AO B=.（2015 年理科）2.15如图球 O 的半径为 2，圆1O是一小圆，12OO，A、B 是圆1O上两点，若1AO B=2，则 A,B 两点间的球面距离为 （2014 年文科）类型二：球内接多面

5、体，利用圆内接多边形的性质求出小圆半径，通常用到余弦定理求余弦值，通过余弦值再利用正弦定理得到小圆半径rCc2sin，从而解决问题。3.15.直三棱柱111ABCABC的各顶点都在同一球面上，若12ABACAA,120BAC，则此球的表面积等于 。（2014 年理科）析：欲求球的表面积，归根结底求球半径R，与R相关的是重要性质222drR。AA1=2,121121AAOOOOd。现将问题转化到O2的半径之上。因为ABC 是O2的内接三角形，又知 AB=AC=2，BAC=120，三角形可解。由余弦定理有32444cos222BACACABACABBC，由正弦定理有2sin22sinBACBCrr

6、BACBC.514222drR 2042RS。4.14正三棱柱111ABCABC内接于半径为2的球，若,A B两点的球面距离为，则正三棱柱的体积为 8 （2013 年理科）5.12已知球的直径SC=4，A，B是该球球面上的两点，AB=3，30BSCASC，则棱锥SABC的体积为 C （2014 年理科）A33 B32 C3 D1 6.（11）已知,S A B C是球O表面上的点，SAABC 平面，ABBC，1SAAB，2BC，则球O表面积等于 A（2015 年文科）（A）4 （B）3 （C）2 （D）类型三：通过线线角、线面角、面面角之间的平面的转化，构造勾股定理处理问题。7.15.设OA是球

7、O的半径，M是OA的中点，过M且与OA成 45角的平面截球O的表面得到圆C。若圆C的面积等于74，则球O的表面积等于 .（2015 年文科）析：问题的解决根本求球半径OBR。与R相关的重要性质222drR中，2r可求（472r 472r）问题转化到求OCd 上 充分运用题目中未用的条件，2ROM，OMC=45，22Rd 于是84722RR求得22R，842RS 8.(11)已知平面截一球面得圆 M，过圆心 M 且与成二面角的平面截该球面得圆 N.若该球面的半径为 4，圆 M 的面积为 4，则圆 N 的面积为 D （2014 年理科）(A)7 (B)9 (C)11 (D)13 9.（5）如果把地

8、球看成一个球体，则地球上的北纬060纬线长和赤道长的比值为 C（2015 文科）（A）0.8 （B）0.75 （C）0.5 （D）0.25 类型四：球内接多面体的相关元素之间的联系。10.13圆柱形容器内部盛有高度为 8 cm 的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示)，则球的半径是 4 cm（2010 年理科）11.16长方体1111ABCDA BC D的顶点均在同一个球面上，11ABAA，2BC，则A，B两点间的球面距离为 3 .（2015 年文科）12.14体积为8的一个正方体，其全面积与球O的表面积相等，则球O的体积等于 34 （200

9、9 年文科）13.16 已知两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上若圆锥底面面积是这个球面面积的316，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为_1/3_（2015 年文科）14.15.如图，半径为 R 的球 O 中有一内接圆柱.当圆柱的侧面积最大是，求的表面积与改圆柱的侧面积之差是 22 R .类型五：平面几何性质在球中的综合应用。BCDANMO15.（16）已知球O的半径为 4，圆M与圆N为该球的两个小圆，AB为圆M与圆N的公共弦，4AB 若3OMON，则两圆圆心的距离MN （2015 年理科）析：由 OM=ON 知，M 与No 为等圆，根据球中的重要

10、性质7916222dRr 又 MHAB 得 H 为 AB 中点，BH=AH=2 322BHrNHMH OMH=ONH=90MON=MHN 由余弦定理有 MN2=OM2+ON22OMONcosMON MN2=MH2+NH22MHNHcos(MON)解得 cosMON=21，即MON=3 三角形 OMN 为等边三角形，MN=3.类型六：性质的简单应用。16.(15)已知OA为球O的半径，过OA的中点M且垂直于OA的平面截球面得到圆M，若圆M的面积为3，则球O的表面积等于_16_.（2009 年文科）17.（15）已知矩形ABCD的顶点都在半径为 4 的球O的球面上，且6,2 3ABBC,则棱锥OA

11、BCD的体积为 24。（2011 年理科）18.（9）高为24的四棱锥 S-ABCD 的底面是边长为 1 的正方形，点 S、A、B、C、D 均在半径为 1 的同一球面上，则底面 ABCD 的中心与顶点 S 之间的距离为 C（2011 年理科）（A）24 （B）22 (C)1 (D)2 五、模拟试题精练 1.（2015 高考新课标 2，理 9）已知 A,B 是球 O 的球面上两点，AOB=90,C 为该球面上的动点，若三棱锥 O-ABC 体积的最大值为 36，则球 O 的表面积为()A36 B.64 C.144 D.256【答案】C 2(2015辽宁高考)已知直三棱柱ABC-A1B1C1的 6

12、个顶点都在球O的球面上，若AB3，AC4，ABAC，AA112，则球O的半径为()A.3 172 B2 10 C.132 D3 10 答案：选 C 3(2016长春模拟)若一个正四面体的表面积为S1，其内切球的表面积为S2，则S1S2_.答案：6 3 4四棱锥P-ABCD的五个顶点都在一个球面上，该四棱锥的三视图如图所示，E，F分别是棱AB，CD的中点，直线EF被球面所截得的线段长为 2 2，则该球的表面积为()A9 B3 C2 2 D12 答案：选 D.5.如图所示，已知E，F分别是棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1的棱A1A，CC1的中点，则四棱锥C1B1EDF的体积为_.答案(1)16a3 6.已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上，ABC是边长为 1 的正三角形，SC为球O的直径，且SC2，则此棱锥的体积为()A.26 B.36 C.23 D.22 答案 A 7.一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积为()A.233 B.476 C.6 D.7 答案 A 8.已知直三棱柱ABCA1B1C1的 6 个顶点都在球O的球面上，若AB3，AC4，ABAC，AA112，则球O的体积为()A.1338 B.1336 C.1334 D.1332 答案：B