2022年黑龙江省齐齐哈尔市龙江县数学九年级第一学期期末达标检测模拟试题含解析.pdf

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1、2022-2023 学年九上数学期末模拟试卷 考生须知：1全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题(每小题 3 分,共 30 分)1如图，在直线l上有相距7cm的两点A和O（点A在点O的右侧），以O为圆心作半径为1cm的圆，过点A作直线ABl.将O以2cm/s的速度向右移动（点O始终在直线l上），则O与直线AB在_秒时相切.A3 B3.5 C3

2、或 4 D3 或 3.5 2若函数 y（3m）27mxx+1 是二次函数，则 m的值为（）A3 B3 C3 D9 3在 ABC 中，若=0，则C 的度数是（）A45 B60 C75 D105 4在 RtABC中，C=90，AB=13，AC=5，则 tanA的值为 A513 B1213 C512 D125 5如图，ABCAEF 且点 F 在 BC 上，若 AB=AE，B=E，则下列结论错误的是（）AAC=AF BAFE=BFE CEF=BC DEAB=FAC 6如图，直线y34x3 与x、y轴分别交于A、B两点，则 cosBAO的值是()A45 B35 C43 D54 7如图，O 的半径 OA

3、等于 5，半径 OC 与弦 AB 垂直，垂足为 D，若 OD3，则弦 AB 的长为()A10 B8 C6 D4 8点 A(3，2)关于 x 轴的对称点 A的坐标为（）A(3，2)B(3，2)C(3，2)D(3，2)9若关于 x 的一元二次方程 x2+2x+k0 有两个不相等的实数根，则 k的最大整数是（）A1 B0 C1 D2 10已知点11,Ay、22,By、32,Cy在函数21212yx上，则1y、2y、3y的大小关系是（）（用“”连结起来）A321yyy B123yyy C312yyy D132yyy 二、填空题(每小题 3 分,共 24 分)11计算：27tan60_ 12如图是反比例

4、函数kyx在第二象限内的图像，若图中的矩形 OABC 的面积为 2，则 k=_ 13在每个小正方形的边长为 1 的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点以顶点都是格点的正方形 ABCD 的边为斜边，向内作四个全等的直角三角形，使四个直角顶点 E，F，G，H都是格点，且四边形 EFGH为正方形，我们把这样的图形称为格点弦图例如，在如图 1 所示的格点弦图中，正方形 ABCD 的边长为65，此时正方形 EFGH的而积为 1问：当格点弦图中的正方形 ABCD 的边长为65时，正方形 EFGH的面积的所有可能值是_（不包括1）14如图，P是的边OA上一点，且点P的横坐标为 3，4sin5，则tan_

5、15把一元二次方程 x（x+1）=4（x1）+2 化为一般形式为_ 16如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AB 与 BC 的比是黄金比，过点 C作 CEBD，过点 D 作DEAC，DE、CE交于点E，连接 AE，则 tanDAE 的值为_.（不取近似值）17如图，O的半径为 2，弦 BC=23，点 A 是优弧 BC 上一动点（不包括端点），ABC 的高 BD、CE 相交于点F，连结 ED下列四个结论：A 始终为 60；当ABC=45时，AE=EF；当ABC 为锐角三角形时，ED=3；线段 ED 的垂直平分线必平分弦 BC 其中正确的结论是_（把你认为正确结论的序号都填上）18如图

6、，在半径为3的O中，AB的长为，若随意向圆内投掷一个小球，小球落在阴影部分的概率为_ 三、解答题(共 66 分)19（10 分）如图，抛物线22yaxaxc的图象经过点(0,2)C，顶点D的纵坐标为83，与x轴交于,A B两点.（1）求抛物线的解析式.（2）连接,AC E为线段AC上一点，当AOCAEB时，求点E的坐标.20（6 分）如图，在Rt ABC中，90ABC，6ABcm，8BCcm动点D从点C出发，沿线段CA向终点A以1cm/s的速度运动，同时动点E从点C出发，沿折线CBBA以2cm/s的速度向终点A运动，当有一点到达终点时，另一点也停止运动，以DC、DE为邻边作设CDEF与Rt A

7、BC重叠部分图形的面积为2cmS.点D运动的时间为0t st()()（1）当点E在AB边上时，求AE的长（用含t的代数式表示）；（2）当点F落在线段BC上时，求t的值；（3）求S与t之间的函数关系式0S，并写出自变量t的取值范围 21（6 分）如图，AC 为圆 O的直径，弦 AD 的延长线与过点 C 的切线交于点 B，E 为 BC 中点，AC=4 3，BC=4.（1）求证：DE 为圆 O的切线；（2）求阴影部分面积.22（8 分）如图，O中，弦AB与CD相交于点E，ABCD，连接ADBC、求证:AECE 23（8 分）（1）某学校“智慧方园”数学社团遇到这样一个题目：如图 1，在ABC 中，点

8、 O 在线段 BC 上，BAO=30，OAC=75，AO=3 3，BO：CO=1：3，求 AB 的长 经过社团成员讨论发现，过点 B 作 BDAC，交 AO 的延长线于点 D，通过构造ABD 就可以解决问题（如图 2）请回答：ADB=，AB=（2）请参考以上解决思路，解决问题：如图 3，在四边形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点O，ACAD，AO=3 3，ABC=ACB=75，BO：OD=1：3，求 DC 的长 24（8分）已知：如图，在正方形ABCD中，F是AB上一点，延长CB到E，使BE=BF，连接CF并延长交AE于G（1）求证：ABECBF；（2）将ABE绕点A逆时针旋转9

9、0得到ADH，请判断四边形AFCH是什么特殊四边形，并说明理由 25（10 分）如图，在ABC中，90C，6AC，8BC，点O在AC上，2OA，以OA为半径的O交AB于点D，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE （1）求证：直线DE是O的切线；（2）求线段DE的长 26（10 分）甲、乙、丙、丁 4 位同学进行一次乒乓球单打比赛，要从中选出两位同学打第一场比赛（1）若已确定甲打第一场，再从其余 3 位同学中随机选取 1 位，则恰好选中乙同学的概率是 （2）请用画树状图或列表的方法，求恰好选中甲、乙两位同学的概率 参考答案 一、选择题(每小题 3 分,共 30 分)1、C【分析】

10、根据O与直线 AB 的相对位置分类讨论：当O在直线 AB 左侧并与直线 AB相切时，根据题意，先计算O运动的路程，从而求出运动时间；当O在直线 AB 右侧并与直线 AB 相切时，原理同上.【详解】解：当O在直线 AB 左侧并与直线 AB 相切时，如图所示1O 1O的半径为 1cm，AO=7cm O运动的路程1OO=AO1AO=6cm O以2cm/s的速度向右移动 此时的运动时间为：1OO2=3s；当O在直线 AB 右侧并与直线 AB 相切时，如图所示2O 2O的半径为 1cm，AO=7cm O运动的路程2OO=AO2AO=8cm O以2cm/s的速度向右移动 此时的运动时间为：2OO2=4s；

11、综上所述：O与直线AB在 3 或 4 秒时相切 故选：C.【点睛】此题考查的是直线与圆的位置关系：相切和动圆问题，掌握相切的定义和行程问题公式：时间=路程速度是解决此题的关键.2、B【分析】根据二次函数的定义来求解，注意二次项的系数与次数.【详解】根据二次函数的定义，可知 m2-7=2，且 3-m0，解得 m=-3，所以选择 B.故答案为 B【点睛】本题考查了二次函数的定义，注意二次项的系数不能为 0.3、C【分析】根据非负数的性质可得出 cosA 及 tanB 的值，继而可得出 A 和 B 的度数，根据三角形的内角和定理可得出C的度数【详解】由题意，得 cosA=，tanB=1，A=60，B

12、=45，C=180-A-B=180-60-45=75 故选 C 4、D【分析】利用勾股定理即可求得 BC 的长，然后根据正切的定义即可求解【详解】根据勾股定理可得：BC222213512ABAC tanA125BCAC 故选：D 【点睛】本题考查了勾股定理和三角函数的定义，正确理解三角函数的定义是关键 5、B【分析】全等三角形的对应边相等，对应角相等，ABCAEF，可推出 ABAE，BE，ACAF，EFBC【详解】ABCAEF ABAE，BE，ACAF，EFBC 故 A，C 选项正确 ABCAEF EAFBAC EABFAC 故 D 答案也正确 AFE 和BFE 找不到对应关系，故不一定相等

13、故选：B【点睛】本题考查全等三角形的性质，全等三角形对应边相等，对应角相等 6、A【解析】在334yx中，当0 x 时，3y；当=0y时，解得4x；点 A、B 的坐标分别为（-4，0）和（0，3），OA=4，OB=3，又AOB=90，AB=225OAOB，cosBAO=45AOAB.故选 A.7、B【解析】试题分析：由 OC 与 AB 垂直，利用垂径定理得到 D 为 AB 的中点，在直角三角形 AOD 中，由 OA 与 OD的长，利用勾股定理求出 AD 的长，由 AB=2AD 即可求出 AB 的长 OCAB，D 为 AB 的中点，即 AD=BD=0.5AB，在 Rt AOD 中，OA=5，OD

14、=3，根据勾股定理得：AD=4 则 AB=2AD=1故选 B 考点：垂径定理 点评：此题考查了垂径定理，以及勾股定理，熟练掌握垂径定理是解本题的关键 8、D【分析】直接利用关于 x 轴对称点的性质得出符合题意的答案【详解】解：点 A（3，2）关于 x 轴的对称点 A的坐标为：（3，2），故选：D【点睛】本题考查了关于 x 轴对称的点的坐标特征，关于 x 轴对称的点：横坐标不变，纵坐标互为相反数 9、B【分析】根据题意知，代入数据，即可求解【详解】由题意知：一元二次方程 x2+2x+k1 有两个不相等的实数根，240bac 44 10k 解得44k 1k k的最大整数是 1 故选 B【点睛】本题

15、主要考查了利用一元二次方程根的情况求参数范围，正确掌握利用一元二次方程根的情况求参数范围的方法是解题的关键 10、D【分析】抛物线开口向上，对称轴为 x=-1根据三点横坐标离对称轴的距离远近来判断纵坐标的大小【详解】解：由函数21212yx可知：该函数的抛物线开口向上，且对称轴为 x=-1 11,Ay、22,By、32,Cy在函数21212yx上的三个点,且三点的横坐标距离对称轴的远近为:11,Ay、32,Cy、22,By 132yyy 故选:D【点睛】主要考查二次函数图象上点的坐标特征也可求得1 1,Ay的对称点13,y，使三点在对称轴的同一侧 二、填空题(每小题 3 分,共 24 分)11

16、、23【分析】先运用二次根式的性质和特殊角的三角函数进行化简，然后再进行计算即可.【详解】解：27tan60 333 23 故答案为：23【点睛】本题考查了基本运算，解答的关键是灵活运用二次根式的性质对二次根式进行化简、牢记特殊角的三角函数值.12、-1【解析】解：因为反比例函数kyx，且矩形 OABC的面积为 1，所以|k|=1，即 k=1，又反比例函数的图象kyx在第二象限内，k0，所以 k=1故答案为1 13、9 或 2 或 3.【解析】分析：共有三种情况：当 DG=13，CG=213时，满足 DG2+CG2=CD2，此时 HG=13，可得正方形EFGH的面积为 2；当 DG=8，CG=

17、1 时，满足 DG2+CG2=CD2，此时 HG=7，可得正方形 EFGH 的面积为 3；当 DG=7，CG=4 时，满足 DG2+CG2=CD2，此时 HG=3，可得正方形 EFGH 的面积为 9.详解：当 DG=13，CG=213时，满足 DG2+CG2=CD2，此时 HG=13，可得正方形EFGH的面积为 2 当 DG=8，CG=1 时，满足 DG2+CG2=CD2，此时 HG=7，可得正方形 EFGH 的面积为 3；当 DG=7，CG=4 时，满足 DG2+CG2=CD2，此时 HG=3，可得正方形 EFGH 的面积为 9.故答案为 9 或 2 或 3 点睛：本题考查作图-应用与设计、

18、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考填空题中的压轴题 14、43【分析】由已知条件可得出点 P 的纵坐标为 4，则tan就等于点 P 的纵坐标与其横坐标的比值【详解】解：由题意可得，4sin5，点 P 的纵坐标为 4，tan就等于点 P 的纵坐标与其横坐标的比值，4tan3 故答案为：43【点睛】本题考查的知识点是正弦与正切的定义，熟记定义内容是解此题的关键 15、x23x+2=1【分析】按照去括号、移项、合并同类项的步骤化为 ax2+bx+c=1 的形式即可.【详解】x2+x=4x4+2，x23x+2=1 故答案为：x23x+2=1【点睛】此题考查了一元二次方

19、程的一般形式，一元二次方程的一般形式为 ax2+bx+c=1（a1）其中 a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项.16、516【分析】根据 AB 与 BC的比是黄金比得到 ABBC=51 2，连接 OE 与 CD 交于点 G，过 E 点作 EFAF 交AD 延长线于 F，证明四边形 CEDO 是菱形，得到1122EFCDAB，1122DFOEBC，即可求出 tanDAE的值；【详解】解：AB 与 BC的比是黄金比，ABBC=51 2 连接 OE 与 CD 交于点 G，过 E 点作 EFAF 交 AD 延长线于 F，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CEBD，DEAC，四边形 CED

20、O 是平行四边形，又ABCD是矩形，OC=OD，四边形 CEDO 是菱形（邻边相等的平行四边形是菱形），CD 与 OE 垂直且平分，1122EFCDAB，1122DFOEBC，tanDAE115123322516ABEFAFBC，故答案为：516；【点睛】本题主要考查了矩形的性质、菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、黄金分割比，掌握邻边相等的平行四边形是菱形是解题的关键；17、【分析】延长 CO交O 于点 G，如图 1在 RtBGC 中，运用三角函数就可解决问题；只需证到BEFCEA即可；易证AECADB，则AEACADAB，从而可证到AEDACB，则有EDAEBCAC 由A=60可得到

21、12AEAC，进而可得到 ED=3；取 BC 中点 H，连接 EH、DH，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得EH=DH=12BC，所以线段 ED 的垂直平分线必平分弦 BC【详解】解：延长 CO交O于点 G，如图 1 则有BGC=BAC CG为O的直径，CBG=90 sinBGC=2 3342BCCG BGC=60 BAC=60 故正确 如图 2，ABC=25，CEAB，即BEC=90，ECB=25=EBC EB=EC CEAB，BDAC，BEC=BDC=90 EBF+EFB=90，DFC+DCF=90 EFB=DFC，EBF=DCF 在BEF 和CEA 中，90FBEACEBECE

22、BEFCEA，BEFCEA AE=EF 故正确 如图 3，AEC=ADB=90，A=A，AECADB AEACADAB A=A，AEDACB EDAEBCAC cosA=AEAC=cos60=12，12EDBC ED=12BC=3 故正确 取 BC 中点 H，连接 EH、DH，如图 3、图 2 BEC=CDB=90，点 H为 BC 的中点，EH=DH=12BC 点 H在线段 DE 的垂直平分线上，即线段 ED 的垂直平分线平分弦 BC 故正确 故答案为【点睛】本题考查了圆周角定理、锐角三角函数的定义、特殊角的三角函数值、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线等于

23、斜边的一半、到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上等知识，综合性比较强，是一道好题 18、16【分析】根据圆的面积公式和扇形的面积公式分别求得各自的面积，再根据概率公式即可得出答案【详解】圆的面积是：239，扇形的面积是：13322，小球落在阴影部分的概率为：31296.故答案为：16.【点睛】本题主要考查了几何概率问题，用到的知识点为：概率相应面积与总面积之比.三、解答题(共 66 分)19、（1）228(1)33yx 或2224233yxx；（2）18(,)55E 【分析】（1）将点 C、D的坐标代入抛物线表达式，即可求解；（2）当AOCAEB 时，AOCAEBSS=2ACAB=2

24、54=516，求出 yE=85，即可求出点E 坐标.【详解】解：（1）由题可列方程组：2823caac ，解得：2=32ac，抛物线解析式为：228(1)33yx 或2224233yxx；（2）由题，AOC=90，AC=5，AB=4，设直线 AC 的解析式为：y=kx+b，则=02kbb ，解得22kb ，直线 AC 的解析式为：y=-2x-2，当AOCAEB 时，AOCAEBSS=2ACAB=254=516，SAOC=1，SAEB=165，12AB|yE|=165，AB=4，则 yE=85，则点 E（15，85）.【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、点的对称性、三角形相似、

25、图形的面积计算等 20、（1）142AEt；（2）407t；（3）详见解析【分析】（1）根据动点E从点C出发，沿折线CBBA以2cm/s的速度向终点A运动，得出2CBBEt，即可表达出 AE 的表达式；（2）由DECB，可得ADEACB，可得ADAEACAB，列出方程即可求解；（3）分当04t 时，当4047t时，当4077t时，三种情况进行画图解答即可【详解】解：（1）当点E在AB边上时,2CBBEt,()6+8-2142AEABBCBCBEtt 142AEt（2）如图：当点F落在线段BC上时，此时：142CDtAEt，在Rt ABC中，90ABC，6ABcm，8BCcm 10ACcm 10

26、-tAD 在CDEF中：DECB，ADEACB，ADAEACAB，10142106tt，解得407t （3）依题意得：,CDt 在Rt ABC中，90ABC，6ABcm，8BCcm 10ACcm 10-tAD 当04t 时，此时 E 在 CB 边上，此时,2CDt CEt 如图：过 D 作 DMBC 于 M 90CMD 90B =90CMDB DMAB CMABDCDA 106DMt 6310=5ttDM 21133=22255SCE DMttt 当4047t时，E 在 AB 边上，F 在 BC 的下方，此时：14228AEtBEt，如图：过 E 作 EPAC 于 E,EF 交 BC 于 Q,

27、连接 CE 90EPA 90EPAB AA APEABC CEBCPAEA 14-2108PEt 8 14-2414-21=05tPEt 11414-2225CDESCD PEtt 在CDEF中 EQ/AC BQBCCAEA 14826CQt 8 142414263=tCQt 11 414-22-822 3CQESCQ BEtt 2141 414-214-22-8252 35252422415153CDECQESSStttttt 当4077t时，E 在 AB 边上，F 在 BC 的上方，此时：142AEt 如图：过 E 作 EPAC 于 E,90EPA 90EPAB AA APEABC CEB

28、CPAEA 14-2108PEt 8 14-2414-21=05tPEt 2485614-2-555CDEFSSCD PEttt 综上所述：S与t之间的函数关系式是：22230455252422440=4151537856 40-7557ttSttttt【点睛】本题考查了相似三角形的性质、二次函数的应用，掌握三角形的性质是解题的关键 21、（1）证明见解析；（2）S阴影=43-2【分析】（1）根据斜边中线等于斜边一半得到 DE=CE,再利用切线的性质得到BCO=90,最后利用等量代换即可证明,（2）根据 S 阴影=2SECO-S扇形COD即可求解.【详解】（1）连接 DC、DO.因为 AC 为

29、圆 O直径，所以ADC=90，则BDC=90，因为 E 为 RtBDC 斜边 BC 中点，所以 DE=CE=BE=12BC，所以DCE=EDC,因为 OD=OC，所以DCO=CDO.因为 BC 为圆 O 切线，所以 BCAC，即BCO=90，所以ODE=ODC+EDC=OCD+DCE=BCO=90，所以 EDOD，所以 DE 为圆 O的切线.（2）S 阴影=2SECO-S扇形COD=43-2【点睛】本题主要考查切线的性质和判定及扇形面积的计算，掌握切线的判定定理及扇形的面积公式是解题的关键 22、见解析【分析】由 AB=CD 知ABCD，得到ADACBCAC，再由ADBC知AD=BC，结合AD

30、E=CBE，DAE=BCE 可证ADECBE，从而得出答案【详解】解：ABCD，ABCD，即ADACBCAC，ADBC；ADBC，在ADE 和CBE 中，=DAEBCEAD BCADECBE，ADECBE（ASA），AECE.【点睛】本题主要考查圆心角、弧、弦的关系，圆心角、弧、弦三者的关系可理解为：在同圆或等圆中，圆心角相等，所对的弧相等，所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等 23、（1）75；43；（2）CD=413【分析】（1）根据平行线的性质可得出ADB=OAC=75，结合BOD=COA 可得出BODCOA，利用相似三角形的性质可求出 OD 的值，进而可得出 AD

31、的值，由三角形内角和定理可得出ABD=75=ADB，由等角对等边可得出 AB=AD=43，此题得解；（2）过点 B 作 BEAD 交 AC 于点 E，同（1）可得出 AE=43，在 RtAEB 中，利用勾股定理可求出 BE 的长度，再在 RtCAD 中，利用勾股定理可求出 DC 的长，此题得解【详解】解：（1）BDAC，ADB=OAC=75 BOD=COA，BODCOA，13ODOBOAOC 又AO=33，OD=13AO=3，AD=AO+OD=43 BAD=30，ADB=75，ABD=180-BAD-ADB=75=ADB，AB=AD=43（2）过点 B 作 BEAD 交 AC 于点 E，如图所

32、示 ACAD，BEAD，DAC=BEA=90 AOD=EOB，AODEOB，BOEOBEDOAODA BO：OD=1：3，13EOBEAODA AO=33，EO=3，AE=43 ABC=ACB=75，BAC=30，AB=AC，AB=2BE 在 RtAEB 中，BE2+AE2=AB2，即（43）2+BE2=（2BE）2，解得：BE=4，AB=AC=8，AD=1 在 RtCAD 中，AC2+AD2=CD2，即 82+12=CD2，解得：CD=413【点睛】本题考查了相似三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理以及平行线的性质，解题的关键是：（1）利用相似三角形的性质求出 OD 的值；（2）利

33、用勾股定理求出 BE、CD 的长度 24、(1)证明见解析;(2)证明见解析.【解析】试题分析：（1）由于四边形ABCD是正方形，所以AB=CB=DC，因为ABCD，CBA=ABE，从而得证（2）根据旋转的性质可知ABEADH，从而可证AF=CH，然后利用ABCD 即可知四边形AFCH是平行四边形.试题解析：（1）证明：ABCD四边形是正方形 ABCBDC，AB/CD 90CBA 180-180-9090ABEABC CBAABE（等量代换）在ABE和CBF中 BEBFABECBFABCB ABECBF（SAS）（2）答：四边形AFCH是平行四边形 理由：ABE绕点A逆时针旋转90得到ADH

34、ABEADH BE=DH 又BE=BF（已知）BF=DH(等量代换)又AB=CD（由（1）已证）AB-BF=CD-DH 即AF=CH 又AB/CD 即AF/CH 四边形AFCH是平行四边形 25、（1）见解析；（2）4.75DE 【分析】（1）连接OD，利用垂直平分线的性质及等腰三角形的性质通过等量代换可得出90EDBODA，即90ODE，则ODDE，则结论可证；（2）连接OE，设DEBEx，8CEx，利用勾股定理即可求出 x 的值【详解】（1）证明：连接OD，EF垂直平分BD，EBED，BEDB，OAOD，ODAA，90C，90AB ，90EDBODA，90ODE，ODDE，DE是O的切线.

35、（2）解：连接OE，OD,设DEBEx，8CEx，22222OEDEODECOC，22224(8)2xx，解得4.75x，4.75DE 【点睛】本题主要考查切线的判定及勾股定理，掌握切线的判定方法及勾股定理是解题的关键 26、（1）13；（2）16【分析】（1）确定甲打第一场，再从乙、丙、丁 3 位同学中随机选取 1 位，根据概率的性质分析，即可得到答案；（2）结合题意，根据树状图的性质分析，即可完成求解【详解】（1）确定甲打第一场 从其余 3 位同学中随机选取 1 位，选中乙同学的概率为13 故答案为：13；（2）树状图如下：共有 12 种情况，所选 2 名同学中有甲、乙两位同学的有 2 种结果 恰好选中甲、乙两位同学的概率为：21=126【点睛】本题考查了概率的知识；解题的关键是熟练掌握概率定义和树状图的性质，从而完成求解