(新课标)2020版高考数学二轮复习专题五解析几何第3讲圆锥曲线中的定值、定点及证明问题学案文新人教.pdf

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1、第 3 讲 圆锥曲线中的定值、定点及证明问题 做真题(2019高考全国卷节选）已知曲线C：y错误!，D为直线y错误!上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B.证明：直线AB过定点 证明：设D错误!，A(x1，y1)，则x错误!2y1.由于yx,所以切线DA的斜率为x1，故错误!x1。整理得 2tx12y110。设B（x2，y2），同理可得 2tx22y210。故直线AB的方程为 2tx2y10.所以直线AB过定点错误!.明考情 圆锥曲线中的定点、定值问题是高考命题的热点，无论是选择题、填空题，还是解答题，只要考查与曲线有关的运动变化，都可能涉及探究定点或定值，因而这类问题考查范围广泛，命

2、题形式新颖 定值问题 1直接消参求定值：常见定值问题的处理方法:（1)确定一个（或两个）变量为核心变量,其余量均利用条件用核心变量进行表示：（2）将所求表达式用核心变量进行表示（有的甚至就是核心变量），然后进行化简，看能否得到一个常数 案例 关键步（2017高考全国卷)在直角坐标系xOy中，曲线yx2mx2 与x轴交于A，B两点,点C的坐标为(0，1),当m变化时，(1)略（2)BC的中点坐标为（x22,错误!），可得BC的中垂线方程为y错误!x2（x错误!）.错误!由(1)可得x1x2m，所以AB的中垂线方程为x错误!。解答下列问题：（1）能否出现ACBC的情况？说明理由；(2）证明过A,B

3、，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值 联立错误!又x错误!mx220，可得错误!所以过A，B,C三点的圆的圆心坐标为（错误!,错误!），半径r错误!。错误!故圆在y轴上截得的弦长为 2错误!3，错误!即过A,B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值 3.2从特殊到一般求定值:常见处理技巧：(1）在运算过程中，尽量减少所求表达式中变量的个数，以便于向定值靠拢；（2）巧妙利用变量间的关系,例如点的坐标符合曲线方程等，尽量做到整体代入，简化运算 案例 关键步（2015高考四川卷）如图，椭圆E：错误!错误!1(ab0)的离心率是错误!，点P（0，1)在短轴CD上，且错误!错误!1.（1）求椭圆E的方程；

4、（2）设O为坐标原点,过点P的动直线与椭圆交于A，B两点是否存在常数，使得错误!错误!错误!错误!为定值？若存在，求的值;若不存在，请说明理由 (1)略(2)当直线AB的斜率不存在时，直线AB即为直线CD.此时，OA错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!213.关键 1:分类讨论，证明当AB的斜率不存在时错误!错误!错误!错误!为定值 当直线AB的斜率存在时,设直线AB的方程为ykx1,A，B的坐标分别为（x1,y1)，（x2,y2）联立错误!得(2k21）x24kx20。其判别式(4k)28(2k21）0，所以x1x2错误!，x1x2错误!。关键 2:当直线AB的斜率存在时，联立直线方程

5、与椭圆方程，用参数 错误!从而错误!错误!错误!错误!x1x2y1y2x1x2（y11)(y21)(1）(1k2）x1x2k(x1x2）1错误!错误!2。所以,当1 时，错误!23。关键 3：构造错误!错误!错误!错误!关 于k，的表达式，得到当1 时错误!错误!错误!错误!的值 此时，错误!错误!错误!错误!3 为定值 故存在常数1,使得错误!错误!错误!错误!为定值3。典型例题 （2019贵阳市第一学期检测）已知椭圆C:x2a2错误!1（ab0）的左、右焦点分别为F1，F2,点M为短轴的上端点，错误!错误!0，过F2垂直于x轴的直线交椭圆C于A，B两点，且AB错误!。（1）求椭圆C的方程；

6、(2）设经过点(2，1)且不经过点M的直线l与椭圆C相交于G，H两点若k1，k2分别是直线MG，MH的斜率,证明：k1k2为定值【解】(1)由错误!错误!0，得bc，因为过F2垂直于x轴的直线交椭圆C于A，B两点,且|AB 2,所以错误!错误!，错误!错误!。故椭圆C的方程为错误!y21.(2）证明：由椭圆C的方程错误!y21 与点（2,1)，设直线l的方程为y1k（x2），即ykx2k1,将ykx2k1 代入错误!y21 中，得(12k2)x24k(2k1)x8k28k0,由题意知16k(k2)0，得2k0，设G(x1，y1),H(x2，y2)，则x1x2错误!，x1x2错误!，k1k2错误

7、!错误!错误!错误!2k错误!2k(2k1）1，所以k1k21(定值)错误!圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略(1)求代数式为定值依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式、化简即可得出定值(2）求点到直线的距离为定值利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得（3）求某线段长度为定值利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得 对点训练 已知椭圆方程为错误!错误!1，点F为右焦点，若直线l与椭圆C相切，过点F作FQl，垂足为Q，求证：|OQ为定值(其中O为坐标原点)证明：当直线l的斜率不存在时，l的方程为x2,点Q的坐标为(2，0）

8、或（2，0），此时|OQ2；当直线l的斜率为 0 时，l的方程为y错误!，点Q的坐标为(1,错误!)或（1,错误!),此时|OQ|2；当直线l的斜率存在且不为 0 时，设直线l的方程为ykxm（k0)因为FQl，所以直线FQ的方程为y错误!（x1）联立错误!消去y，可得（34k2）x28kmx4m2120.因为直线l与椭圆C相切，所以(8km）24(34k2)(4m212)0,整理得m24k23。(*）由错误!得Q错误!,所以|OQ错误!错误!（*），将（)式代入（*)式，得|OQ|错误!2。综上所述，OQ为定值，且定值为 2。定点问题 1参数法：参数法解决定点问题的思路:（1）引进动点的坐标

9、或动直线中的参数表示变化量，即确定题目中的核心变量（此处设为k）；（2)利用条件找到k与过定点的曲线F(x，y)0 之间的关系，得到关于k与x，y的等式，再研究变化量与参数何时没有关系,找到定点 案例 关键步（2017高考全国卷）设O为坐标原点，动点M在椭圆C：错误!y21 上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足错误!错误!错误!。(1)求点P的轨迹方程；(2）设点Q在直线x3 上,且错误!错误!1，证明:过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.(1)略(2)由题意知F(1,0)设Q(3,t）,P（m,n），则 错误!（3,t），错误!(1m,n），关键 1：用参数表示点P，Q的坐标及向量

10、错误!，错误!错误!错误!33mtn，错误!（m,n），错误!（3m，tn）由错误!错误!1 得3mm2tnn21,又由(1）知m2n22，故 33mtn0，所以错误!错误!0，关键 2：根据（1)中点P的轨迹方程，在错误!错误!1 的前提下,证明错误!错误!0 即错误!错误!。又过点P存在唯一直线垂直于OQ,所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.关键 3：利用平面内过一点作一条直线的垂线的唯一性，即得直线l过点F 2.由特殊到一般法：由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关 案例 关键步 (2017高考全国卷)已知椭圆C:x2a2错

11、误!1（ab0)，四点P1（1，1）,P2(0，1)，P3(1，错误!)，P4（1，错误!）中恰有三点在椭圆C上(1)求C的方程;(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点，若直线P2A与直线P2B的斜率的和为1，证明：l过定点 (1）略（2）设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1,k2.如果l与x轴垂直，设l：xt，由题设知t0，且|t|2，可得A，B的坐标分别为错误!，错误!,则k1k2错误!错误!1，得t2，不符合题设 关键 1：设出直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2，验证当直线l与x轴 垂直时，直线过定点的情况 从而可设l：ykxm(m1)将ykxm代入错误!y21

12、得(4k21)x28kmx4m240，由题设可知16(4k2m21)0，设A（x1,y1)，B（x2，y2)，则x1x2错误!，x1x24m244k21.而k1k2错误!错误!错误!错误!错误!。由题设k1k21，故（2k1）x1x2(m1)（x1x2)0，即（2k1）错误!(m1)错误!0，解得km12.关键 2：设出直线l的方程并与椭圆方程联立，消去y得到关 于x的一元二次方程，利用根与系数的关系及条件找到直线l中两个参数的关系 当且仅当m1 时，0，于是l：y错误!xm,即y1错误!（x2），所以l过定点(2，1)关键 3：将k与m的关系再回代变形，得到直线过定点 典型例题 （2019安

13、徽省考试试题)已知椭圆C：x2a2错误!1(ab0）的上顶点为P，右顶点为Q，直线PQ与圆x2y2错误!相切于点M错误!.（1）求椭圆C的方程；（2）若不经过点P的直线l与椭圆C交于A，B两点，且错误!错误!0，求证：直线l过定点【解】(1）由已知得直线OM(O为坐标原点)的斜率kOM2，则直线PQ的斜率kPQ1kOM错误!,所以直线PQ的方程为y错误!错误!（x错误!），即x2y2。可求得P(0，1)，Q（2，0），故a2,b1，故椭圆C的方程为错误!y21。（2)证明：当直线l的斜率不存在时，显然不满足条件 当直线l的斜率存在时,设l的方程为ykxn(n1),联立错误!,消去y整理得（4k

14、21)x28knx4（n21)0，(8kn)244（4k21)（n21)16(4k21n2）0，得 4k21n2.设A(x1,y1)，B(x2，y2）,则x1x2错误!，x1x2错误!。由错误!错误!0，得（x1，y11)(x2，y21)0，又y1kx1n，y2kx2n，所以(k21）x1x2k（n1)（x1x2）(n1)20，由得n1(舍），或n错误!，满足。此时l的方程为ykx错误!，故直线l过定点错误!.错误!圆锥曲线中定点问题的两种解法(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化的量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点（2）特殊到一般法:根据动点或动线的特殊情况探

15、索出定点，再证明该定点与变量无关 提醒(1)直线过定点，常令参数的系数等于 0 即可如直线ykxb，若b 为常量，则直线恒过点(0，b)；若错误!为常量，则直线恒过点错误!。(2)一般曲线过定点，把曲线方程变为f1（x，y）f2（x，y）0(为参数）解方程组错误!即得定点坐标 对点训练(2019开封市定位考试）已知椭圆C：错误!错误!1（ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为M，MF1F2为等腰直角三角形，且其面积为 1。（1)求椭圆C的方程；(2)过点M分别作直线MA,MB交椭圆C于A，B两点，设这两条直线的斜率分别为k1，k2，且k1k22,证明:直线AB过定点 解：（1）由题意得

16、错误!a21，所以a错误!，又bc,a2b2c2，所以b1，所以椭圆C的方程为错误!y21.(2）由（1）得M(0，1)当直线AB的斜率不存在时，设A(x0,y0），则B（x0，y0），由k1k22 得错误!错误!2，得x01，此时直线AB的方程为x1；当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为ykxm（m1)，A(x1，y1），B(x2，y2)由错误!,可得（12k2）x24kmx2m220，则8(2k2m21）0，x1x24km12k2，x1x2错误!。由k1k22，得错误!错误!2，即错误!2，（22k)x1x2（m1)(x1x2),（22k)（2m22）（m1)（4km)，由m1，得(

17、1k)(m1)km，所以mk1，即ykxmkxk1k（x1)1，故直线AB过定点（1，1），经检验，当k0 或k2 时，直线AB与椭圆C有两个交点,满足题意 综上所述，直线AB过定点（1，1）证明问题 代数转化法：圆锥曲线中的证明问题多涉及几何量的证明，比如涉及线段或角相等以及位置关系等等(注意一些常用的结论，如等腰三角形两底角相等，两直线斜率之和为 0 等）证明时,常把几何量用坐标表示，建立某个变量的函数，用代数方法证明，常将斜率利用整体法求解 案例 关键步(2018高考全国卷）设抛物线C：y22x，点A（2，0），B（2,0），过点A的直线l与C交于M，N两点（1）当l与x轴垂直时,求直线

18、BM的方程；(2）证明:ABMABN。(1)略(2)当l与x轴垂直时，AB为MN的垂直平分线，所以ABMABN.关键 1：首先证明当直线l与x轴垂直时,两角相等 当l与x轴不垂直时，设l的方程为yk(x2)（k0)，M(x1，y1），N（x2，y2），则x10,x20.由错误!得ky22y4k0，可知y1y2错误!，y1y24。关键 2：当斜率存在时，设出直线方程，并与抛物线方程联立，得到根与系数的 关系 直线BM，BN的斜率之和为 kBMkBNy1x12错误!错误!.将x1错误!2，x2错误!2 及y1y2，y1y2的表达式代入式分子，可得x2y1x1y22(y1y2)错误!错误!0，错误!

19、应的直线斜率的和为0 所以kBMkBN0，可知BM，BN的倾斜角互补，所以ABMABN。综上，ABMABN.(2018高考全国卷）已知斜率为k(1)设A(x1,y1)，B（x2，y2),则错误!错误!1,错误!错误!1.的直线l与椭圆C:错误!错误!1 交于A,B两点，线段AB的中点为M(1，m）(m0)（1)证明：k错误!；(2)设F为C的右焦点，P为C上一点，且错误!错误!错误!0,证明:2错误!|错误!错误!|.两式相减，并由错误!k得错误!错误!k0。关键1:用点差法求直线的斜率 由题设知x1x221，错误!m，于是k错误!.错误!由题设得 0mb0）的左、右焦点分别为F1,F2，过点

20、F1的直线交椭圆E于A，B两点若椭圆E的离心率为22，ABF2的周长为4 6。(1）求椭圆E的方程；(2)设不经过椭圆的中心而平行于弦AB的直线交椭圆E于点C，D，设弦AB,CD 的中点分别为M,N，证明：O，M，N三点共线 解：（1)由题意知,4a4错误!，a错误!。又e错误!，所以c错误!，b错误!，所以椭圆E的方程为错误!错误!1。(2)证明：当直线AB，CD的斜率不存在时，由椭圆的对称性知，中点M,N在x轴上，O，M，N三点共线；当直线AB，CD斜率存在时，设其斜率为k，且设A(x1，y1）,B（x2，y2），M(x0，y0），则错误!，两式相减，得错误!错误!错误!0,所以错误!错误

21、!，错误!错误!，所以y1y2x1x2错误!错误!，错误!错误!错误!,即kkOM错误!，所以kOM错误!.同理可得kON错误!，所以kOMkON，所以O，M，N三点共线 1（2019贵阳市第一学期监测)已知圆M：x2（y2）21，直线l：y1，动圆P与圆M相外切，且与直线l相切,设动圆圆心P的轨迹为E.（1）求E的方程；(2）若点A，B是E上的两个动点，O为坐标原点，且错误!错误!16，求证:直线AB恒过定点 解：(1)由题意动圆P与直线l：y1 相切，且与定圆M:x2(y2)21 外切,所以动点P到圆M的圆心M（0，2）的距离与到直线y2 的距离相等，由抛物线的定义知，点P的轨迹是以M（0

22、，2）为焦点，直线y2 为准线的抛物线 故所求P的轨迹E的方程为x28y。(2）证明：设直线AB：ykxb，A(x1，y1），B（x2，y2），将直线AB的方程代入x28y中得x28kx8b0，所以x1x28k,x1x28b，又错误!错误!x1x2y1y2x1x2错误!8bb216，所以b4，所以直线AB恒过定点（0,4)2(2019江西七校第一次联考）已知椭圆C:错误!错误!1（ab0)经过点M错误!，其离心率为错误!，设直线l：ykxm与椭圆C相交于A，B两点(1)求椭圆C的方程；（2)已知直线l与圆x2y2错误!相切，求证:OAOB（O为坐标原点）解：（1）因为e错误!错误!，a2b2c

23、2，所以a22b2，所以椭圆C的方程为错误!错误!1.因为错误!在椭圆上，所以错误!错误!1，b21,a22，所以椭圆C的方程为错误!y21。（2）证明：因为直线l与圆x2y2错误!相切，所以错误!错误!，即 3m22k220，由错误!，得（12k2）x24kmx2m220,16k2m24（12k2）(2m22)0。设A（x1,y1)，B（x2，y2）,则x1x2错误!,x1x2错误!，所以y1y2(kx1m)(kx2m）k2x1x2km（x1x2)m2错误!，所以错误!错误!x1x2y1y2错误!错误!错误!0，所以OAOB.3(2019长沙市统一模拟考试)已知椭圆C:错误!错误!1（ab0

24、)的离心率为错误!，左、右焦点分别为F1,F2,A为椭圆C上一点，AF2F1F2，且AF2|错误!。(1）求椭圆C的方程；（2)设椭圆C的左、右顶点分别为A1,A2，过A1，A2分别作x轴的垂线l1,l2，椭圆C的一条切线l：ykxm与l1,l2分别交于M，N两点，求证：MF1N为定值 解：(1）由AF2F1F2，AF2|83，得b2a错误!。又e错误!错误!,a2b2c2，所以a29，b28，故椭圆C的标准方程为错误!错误!1.(2）证明：由题意可知,l1的方程为x3，l2的方程为x3.直线l分别与直线l1，l2的方程联立得M（3，3km）,N(3，3km),所以错误!（2，3km)，错误!

25、（4,3km),所以错误!错误!8m29k2。联立错误!,得(9k28)x218kmx9m2720。因为直线l与椭圆C相切,所以（18km）24（9k28）（9m272)0，化简得m29k28.所以错误!错误!8m29k20，所以错误!错误!，故MF1N为定值错误!.4(2019高考北京卷）已知椭圆C：错误!错误!1 的右焦点为（1，0）,且经过点A(0,1）（1)求椭圆C的方程;（2）设O为原点,直线l：ykxt(t1)与椭圆C交于两个不同点P，Q，直线AP与x轴交于点M，直线AQ与x轴交于点N.若|OM|ON|2，求证：直线l经过定点 解：(1)由题意,得b21，c1,所以a2b2c22。

26、所以椭圆C的方程为错误!y21。（2)证明：设P(x1,y1),Q(x2，y2），则直线AP的方程为y错误!x1.令y0,得点M的横坐标xM错误!。又y1kx1t，从而OMxM错误!。同理,|ON|错误!。由错误!得（12k2）x24ktx2t220，则x1x2错误!，x1x2错误!。所以OM|ON错误!错误!错误!错误!2错误!。又|OM|ON2，所以 2错误!2。解得t0，所以直线l经过定点(0，0)尊敬的读者：本文由我和我的同事在百忙中收集整编出来，本文档在发布之前我们对内容进行仔细校对，但是难免会有不尽如人意之处，如有疏漏之处请指正，希望本文能为您解开疑惑,引发思考。文中部分文字受到网

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